Método de elementos de contorno isogeométrico aplicado al cálculo de potencial y densidad de corriente eléctrica en una celda galvánica

(1)

M´

etodo de elementos de contorno isogeom´

etrico aplicado al

c´

alculo de potencial y densidad de corriente el´

ectrica en una

celda galv´

anica

Hernando J. De Avila Pereira

[email protected]

Jairo F. Useche Vivero

[email protected]

Trabajo de grado presentado a Universidad Tecnol´ogica de Bol´ıvar

en cumplimiento parcial para la obtenci´on del t´ıtulo de

Mag´ıster en ingenier´ıa

´

Enfasis en ingenier´ıa mec´anica

Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica

Parque Industrial y Tecnol´ogico Carlos V´elez Pombo Km 1 V´ıa Turbaco Cartagena-Bol´ıvar, Colombia

(2)

(3)

Resumen

En este trabajo se elabora una formulación de elementos de contorno isogeométrico (IGABEM) para el cálculo de potencial electroqu´ımico y densidad de corriente eléctrica en una celda galvánica, en un medio isotrópico. Inicialmente se realiza una revisión del estado del arte sobre la representación geométrica en los sistemas CAD, utilizando B-spline y non-uniform rational B-spline (NURBS) para la creación de diferentes curvas y superficies, se desarrollan las técnicas de aproximación de estas y finalmente se describe como realizar integrales de longitud de arco y superficie. Se encuentra que a pesar de que las funciones NURBS puedan generar mayor cantidad de curvas y/o superficies con el mismo numero de puntos de control y el mismo grado polinomial, son exactamente iguales si el vector de pesos posee valores unitarios. Luego se presenta en detalle la formulación del método de elemen-tos de contorno (BEM), se muestran los diferentes tipos de elemenelemen-tos utilizados y su implementación computacional. En suma, se describe como BEM puede ser empleado en cálculos de potencial electro-qu´ımico. Luego se combinan las funciones de representación geométrica con el método de contorno para desarrollar la formulación isogeométrica. El método planteado en este documento, utiliza elementos de variación constante para aproximar las variables del espacio solución (potencial y corriente) y se utiliza las funciones de forma de los B-spline, generadas por el algoritmo de Boor, para aproximar la geometr´ıa del contorno del modelo. Las integrales singulares que surgen de la formulación se dividen en dos grupos, las de singularidad débil y las de singularidad fuerte, estas son calculadas empleando la técnica de subdivisión de elemento y de cuerpo r´ıgido respectivamente. Por otro lado, se utiliza la tec-nica de -k refinamiento para incrementar el numero de nudos en el contorno del modelo( el equivalente a incrementar el numero de elementos en los métodos tradicionales de análisis de ingenier´ıa). Para el desarrollo de los algoritmos y la solución de los sistemas de ecuaciones se utiliza MATLAB, y para el cálculo de las integrales, se utiliza el método de la cuadratura de Gauss. La formulación es inicialmente probada sobre ejemplos de transferencia de calor, ya que tanto los fenómenos electroqu´ımicos como estos, son modelados con la ecuación diferencial de Laplace, los resultados obtenidos son luego con-frontados con el método de elementos finitos (FEM), comparando múltiples valores de temperatura al interior del dominio. Se encontró que el error relativo mostrado fue menor al 1 % para los tres ejemplos realizados, Por otro lado IGABEM demostró mejor rendimiento que FEM en cuanto a la convergencia de los resultados, puesto que para los tres ejemplos, requiere de menor número de elementos para lograr la convergencia. El método IGABEM luego es probado en un ejemplo de celda galvánica simple para calcular la distribución de potencial eléctrico y densidad de corriente. El contorno del problema es aproximado a 5 B-spline con altura de electrolito variable. Los resultados obtenidos son comparados con la ecuación anal´ıtica y se muestra que para alturas de electrolito con relación w/a = 0.5, w/a = 0.1 y w/a = 0.05 el error relativo no es mayor al 1 % pero incrementa al 40 % para la relación w/a = 0.005. Palabras clave: isogeométrico, Laplace,B-spline, NURBS,potencial galvánico

Abstract

In this work, an isogeometric boundary element method(IGABEM) formulation is presented, for cal-culation of electrochemical potential and electrical current density in a galvanic cell, in an isotropic medium. At first a review of the state of the art is performed on the geometric representation in CAD systems, using B-spline and non-uniform rational B-spline (NURBS) for the creation of different curves and surfaces, the approximation techniques of these are developed and finally it is described how to perform arc length and surface integrals. It is found that although the NURBS functions can generate more curves and / or surfaces with the same number of control points and the same polyno-mial degree, they are exactly the same if the weight vector has unit values. Then the formulation of the boundary element method (BEM) is presented in detail, the different types of elements used and their computational implementation are shown. Eventually, it is described how BEM can be used in calculations of electrochemical potential. The geometric representation functions are then combined with the boundary method to develop the isogeometric formulation. The method proposed in this document uses elements of constant variation to approximate the variables of the solution field (po-tential and current) and the B-spline basis functions, generated by the Boor algorithm, are used to

(4)

approximate the boundary geometry of the model. The singular integrals that arise from the formula-tion are divided into two groups, those of weak singularity and those of strong singularity, these are calculated using the technique of element subdivision and rigid body respectively. On the other hand, the technique of -k refinement is used to increase the number of nodes in the contour of the model (the equivalent of increasing the number of elements in traditional engineering analysis methods). For the development of the algorithms and the solution of the systems of equations, MATLAB is used, and for the calculation of the integrals, the Gauss quadrature method is used. The formulation is initially tested on examples of heat transfer, since both electrochemical phenomena and these are modeled with the Laplace differential equation, the results obtained are then compared with the finite element method (FEM), contrasting multiple values of temperature inside the domain. It was found that the relative error shown was less than 1 % for the three examples performed. On the other hand, IGABEM demonstrated better performance than FEM in terms of convergence of results, since for the three examples, it requires fewer elements to achieve convergence. The IGABEM method is then tested in an example of a simple galvanic cell to calculate the distribution of electrical potential and current density. The boundary of the problem is enclosed by 5 B-spline with variable electrolyte height. The results obtained are compared with the analytical equation and it is shown that for electrolyte heights in relation w/a = 0.5, w/a = 0.1 and w/a = 0.05 the relative error is not greater than 1 % but increases to 40 % for the ratio w/a = 0.005.

(5)

Agradecimientos

Agradezco profundamente al profesor Jairo Useche por su paciencia y confianza durante todo el periodo del proyecto, el permitió que aprendiera de mis errores, a mi ritmo y siempre fue comprensivo con mis problemas académicos y personales. Agradezco también a mis compañeros de maestr´ıa, Luis Miguel Perez, por su acompañamiento durante el proceso de modelado de algunos problemas con elementos finitos, David Ramirez Brewer por su asesor´ıa en el proceso de redacción de este documento, a Nelson Forero Salcedo y Luis Alejandro Paternina por sus aportes en el diseño de algoritmos e implementación numérica. Finalmente, pero no menos importante, agradezco a mis queridos padres Luis Francisco De Avila, Nelly Del Carme Pereira y a mi hermano Luis Mauricio De Avila, por su apoyo moral y cariño durante todos estos años

(6)

CONTENIDO

pág. ´_{Indice de figuras} ₈ ´_{Indice de tablas} ₁₀ 1 Introducción 11 1.1 Antecedentes . . . 12 1.2 Hipótesis . . . 15

1.3 Planteamiento del problema . . . 15

1.4 Objetivos . . . 16

1.4.1 Objetivo General . . . 16

1.4.1.1 Objetivos espec´ıficos . . . 16

2 Fundamentos Te´oricos 17 2.1 Aproximaci´on por B-Splines y Nurbs . . . 17

2.1.1 Introducci´on . . . 17

2.1.1.1 Funci´on de Base . . . 17

2.1.1.2 Derivada de la funci´on Base . . . 20

2.1.2 Curvas B-spline 2D y 3D . . . 21

2.1.2.1 Interpolaci´on de curvas B-spline . . . 22

2.1.2.2 Longitud de arco . . . 25

2.1.3 Superficies B-spline . . . 26

2.1.4 Interpolaci´on de superficie B-Spline . . . 27

2.1.5 Area de superficie B-spline . . . 30´

2.1.6 Curvas NURBS 2D y 3D . . . 31

2.1.7 Superficies NURBS . . . 32

2.1.8 Resultados . . . 34

2.1.8.1 Interpolaci´on de curvas B-spline . . . 34

2.1.8.2 Interpolaci´on de superficies B-spline . . . 36

2.2 Método de Elementos de Contorno en Problemas de Corrosión Galvánica . . . 40

2.2.1 Introducci´on . . . 40

2.2.2 Ecuaci´on de Laplace . . . 41

2.2.3 Soluciones fundamentales . . . 42

2.2.4 Ecuaci´on integral . . . 45

2.2.5 Discretizaci´on . . . 49

2.2.5.1 Elementos unidimensional de variaci´on constante . . . 49

2.2.6 Elementos unidimensional de variaci´on lineal . . . 50

2.2.6.1 Elementos unidimensional de variaci´on cuadr´atica . . . 51

2.2.6.2 Elementos bidimensional de variaci´on constante . . . 51

2.2.6.3 Elementos bidimensional de variaci´on lineal . . . 52

2.2.6.4 Elementos bidimensional de variaci´on cuadr´atica . . . 53

2.2.6.5 Elementos discontinuos . . . 54

2.2.7 Implementaci´on num´erica . . . 56

2.2.7.1 Integrales singulares . . . 59

2.2.8 Aplicaciones del método en cálculo de potencial electroqu´ımico en celda galvánica 2D y 3D . . . 64

2.3 Formulaci´on de elementos de contorno Isogeom´etrico 2D . . . 68

(7)

3 Metodolog´ıa 71

3.1 Implementaci´on num´erica de IGABEM . . . 71

3.2 Integraci´on num´erica sobre elementos curvos . . . 71

3.2.1 Integrales . . . 71

3.2.2 Armado de matrices y soluci´on . . . 72

4 Resultados y Discusiones 74 4.1 Validaci´on del m´etodo IGABEM problemas de potencial 2D . . . 74

4.1.1 Ejemplo 1 . . . 74

4.1.1.1 Ejemplo 2 . . . 77

4.1.1.2 Ejemplo 3 . . . 79

4.1.2 Aplicaciones del método IGABEM en cálculo de potencial electroqu´ımico en celda galvánica 2D . . . 81

5 Conclusiones y recomendaciones 85 5.1 Conclusiones . . . 85

(8)

LISTA DE FIGURAS

p´ag.

1 Funciones base lineal . . . 19

2 Funciones base cuadr´atica . . . 20

3 Curva B-spline p = 1 U ={0, 0, 0.5, 1, 1} . . . 22

4 Curva B-spline p = 2 U ={0, 0, 0, 1, 1, 1} . . . 22

5 Curva B-spline p = 2 . . . 23

6 Curva B-spline p = 3 . . . 23

7 Curva B-spline generada con 20 puntos de control . . . 24

8 Curva B-spline tridimensional helicoidal . . . 24

9 Puntos de Gauss distribuidos a lo largo de la curva (cruces azules) y distribuidos entre los intervalos del vector de nodos(asteriscos rojos) . . . 26

10 Esta superficie B-spline de grado p = q = 2 fue creada con los puntos de control P aleatorios (a) y no aleatorios (b) . . . 28

11 Esfera B-spline obtenida con los puntos de control(azul) P x,P y y P z . . . 28

12 Toroide y resorte generado con superficies B-splines, las lineas en rojo representan el pol´ıgono de control . . . 29

13 Curvas NURBS de grado p = 2 con variaci´on en uno de los puntos de control w1 = 1(a),w2= 1.5(b) y w3= 2.5(c) . . . 32

14 Curvas NURBS tridimensional de grado p = 2 con peso w = 1(a) en todos los puntos de control y w = 0.1(b) en el segundo punto de control(de abajo hacia arriba) . . . 33

15 Esta superficie NURBS fue generada con las matrices de pesos wa y wb para las figuras (a) y (b) respectivamente . . . 34

16 Estas superficies NURBS fueron generadas utilizando los mismos puntos de control, pero diferentes matrices de peso w . . . 34

17 Estas superficies NURBS que representan la carcasa de embarcaciones peque˜nas, fueron credas con puntos de control iguales pero matrices de pesos diferentes . . . 35

18 Interpolaci´on MLS utilizando 5 puntos de control . . . 36

19 Interpolaci´on directa . . . 36

20 Interpolación de los datos(asteriscos verdes) utilizando el método directa(azul) e inter-polación MLS(negra de trazos) . . . 37

21 Interpolaci´on de 25 puntos de la superficie S(x, y) = sin(x, y) utilizando 25 puntos de control . . . 38

22 Superficie B-spline interpolada con la uni´on de curvas . . . 38

23 Función impl´ıcita f (x, y) (a) y interpolación B-spline (b) de grado p = 2, 100 puntos de control y 25 puntos de integración(c). . . 39

24 Malla de elementos de contorno (a) versus malla de elementos finitos (b) . . . 41

25 Flujo de calor en un cubo infinitesimal . . . 42

26 Dominio circular con puntos fuente en el centro . . . 43

27 Dominio Ω con condiciones de contorno φ y q . . . 45

28 Ubicaci´on del punto p en unaa arista del contorno . . . 46

29 Dominio definido por el vector normal . . . 48

30 Ejemplo de malla para elementos de contorno 2D (a) y 3D(b) . . . 49

31 Sentido recomendado de los elementos en una malla BEM . . . 49

32 Elemento cuadr´atico . . . 51

33 Funciones de forma cuadr´aticas . . . 51

34 Elemento constante bidimensional . . . 52

35 Elemento cuadr´atico bidimensional . . . 53

36 Elemento discontinuo lineal (a) y elemento discontinuo cuadr´atico(b) . . . 54 37 Elemento discontinuo bilineal (a) y elemento discontinuo cuadr´atico bidimensional(b) . 55

(9)

38 Contorno mallado con ocho elementos constantes . . . 57

39 vector v3 normal al elemento . . . 58

40 elemento constante . . . 60

41 Singularidad en el centro del elemento cuadr´atico . . . 61

42 Singularidad en los nodos de un elemento bilineal . . . 62

43 Singularidad en los nodos intermedios de un elemento bicuadr´atico . . . 64

44 Configuración geométrica de par galvánico . . . 65

45 Ilustraci´on de la malla de elementos constantes para la configuraci´on mostrada en 44 . . 65

46 Convergencia de flujo y potencial en par galv´anico despu´es de 9 iteraciones con elementos constates . . . 66

47 Convergencia de flujo y potencial en par galvánico después de 10 iteraciones con elemen-tos cuadráticos . . . 66

48 Ilustración de la malla de elementos tridimensionales de variación constante y lineal,(esta malla fue creada utilizando el software de pre-procesamiento y pos-procesamiento GID) [1] 67 49 Curvas finales de convergencia para flujo y potencial en par galvánico después de 8 iteraciones con elementos constantes tridimensionales . . . 67

50 Dominio encerrado por un B-spline con 12 Knot-span . . . 69

51 Elemento sub-dividido en 6 partes . . . 69

52 Nodo de colocaci´on es una arista del contorno . . . 73

53 Semicirculo aislado en los bordes . . . 74

54 (a) Mallado IGABEM(im´agenes generadas por MATLAB) ; (B) Mallado FEM(im´agenes generadas por ParaView 5.0.1) . . . 75

55 (a) Potencial en el dominio calculado con IGABEM(imágenes generadas por MATLAB) ; (B) Potencial en el dominio calculado con FEM(imágenes generadas por ParaView 5.0.1) 75 56 Comparación de resultados nodo a nodo, linea azul(IGABEM), puntos rojos(FEM) . . . 75

58 Placa con lados semicirculares aislados . . . 77

59 (a) Mallado IGABEM(im´agenes generadas por MATLAB) ; (B) Mallado FEM(im´agenes generadas por ParaView 5.0.1) . . . 77

62 Error relativo FEM vs IGABEM . . . 78

63 Placa irregular aislada con agujero rectangular aislante en el medio . . . 79

64 (a)Mallado IGABEM(im´agenes generadas por MATLAB) ; (B) Mallado FEM(im´agenes generadas por ParaView 5.0.1) . . . 79

68 (a) Configuración geométrica de la celda ; (B) Malla IGABEM para celda galvánica . . . 82

69 (a) Valores calculados de potencial utilizando IGABEM vs los valores anal´ıticos (S´IMBO-LOS); (B) valores calculados de densidad de corriente utilizando IGABEM vs los valores anal´ıticos . . . 83

70 (a) Error relativo entre potencial anal´ıtico y calculado con IGABEM ; (B) Error relativo entre flujo anal´ıtico y calculado con IGABEM . . . 84

(10)

LISTA DE TABLAS

p´ag.

1 Puntos de control . . . 25

2 Resultados longitud de arco f (x) =√1− x2 _{. . . 26}

3 Resultados longitud de arco f (x) = (x3₎ − (2(x2_{) + 1)} _{. . . 26}

4 Puntos de control y pesos. . . 31

5 Datos de la funci´on f (x) =p(1− x2₎ _{. . . 34}

6 Datos con error aplicado a la funci´on . . . 35

7 Valores de la funci´on sin(xy) . . . 36

8 Valor del ´area de superficie. . . 37

9 Coordenadas intr´ınsecas de un elemento bilineal. . . 52

10 Coordenadas intr´ınsecas de un elemento cuadr´atico. . . 53

11 Numero l(n) de las cordenadas locales de los sub-elementos . . . 63

(11)

1. Introducci´

on

La corrosión puede definirse como la conversión de una aleación metálica en un componente inorgánico de baja energ´ıa, como los óxidos, sulfatos y carbonatos, esta transformación también produce transfe-rencia de masa de este componente al medio circundante, esta conversión es activada principalmente por los ácidos del medio y es acelerada por procesos de calentamiento (corrosión en caliente), cargas de tensión (corrosión por esfuerzo) y la presencia de una segunda aleación (corrosión galvánica). En la industria, numerosas estructuras metálicas están expuestas a estas condiciones de activación o ace-leración que afecta negativamente su integridad[? ]. Entre los diversos mecanismos de corrosión, uno de los más comúnmente presentados en la industria, es la corrosión galvánica, el cual es provocado por contacto directo entre dos aleaciones metálicas sumergidas dentro de un medio electrol´ıtico, estas condiciones son muy frecuentes y aunque teóricamente se pueden eliminar al aislar, los metales del medio, con resinas y/o pinturas, no se puede esperar que esta solución cumpla para toda las ocasiones, en muchos casos estas condiciones no se pueden evitar, por requerimientos de operación que deben ser respetados. Por ejemplo, en la industria del Oil&Gas el contacto directo entre diferentes aleaciones metálicas es muy común en equipos que transmiten derivados l´ıquidos del petróleo, como la superficie de las bombas, donde usualmente se tienen combinaciones de aleaciones de cobre, fundición gris, ace-ros de baja aleación, acero inoxidable y aceros de aleación media, los cuales generan pares galvánicos que conducen a problemas de corrosión galvánica[2]. Otro ejemplo es presentado en la industria auto-movil´ıstica, donde la corrosión galvánica es el principal obstáculo para la implementación efectiva de materiales de bajo peso como el magnesio[3]. No obstante, el mismo mecanismo de corrosión galvánica es utilizado en la industria naval para garantizar la protección del casco metálico, la protección por ánodo de sacrificio es una técnica ampliamente utilizada en esta industria y ha demostrado resultaos satisfactorios al extender la vida útil de las embarcaciones metálicas[4], por otra parte, la ubicación efectiva de los ánodos de sacrificio es un tema que depende aun de la experiencia de ingenier´ıa más que de un modelo matemático ya preestablecido. Por otro lado, se sabe que, este tipo de fenómenos elec-troqu´ımicos puedes ser modelados mediante la ecuación de Laplace, sin embargo, la solución anal´ıtica de esta ecuación diferencial parcial, para complejas estructuras metálicas y diversas condiciones del medio, es en extremo complicada y por esta razón es preferible utilizar métodos numéricos para su solución.

Las técnicas numéricas son ampliamente aceptadas en el diseño de sistemas de protección catódica para estructuras metálicas de pared delgada [5–11] , entre estos, el método de elementos de contorno (BEM por sus siglas en inglés) es el más utilizado por sus diferentes ventajas. Como su nombre lo indica, este metodo necesita de la generación de elementos, los cuales permiten aproximar la geometr´ıa de la estructura con formas geométricas conocidas (triángulos y/o rectángulos), sin embargo, generar dichos elementos requiere de la utilización de algoritmos de mallado, los cuales no son completamente automáticos y requieren de continua intervención humana para generar una distribución adecuada de estos elementos, además existe un error geométrico intr´ınseco entre la aproximación obtenida por los elementos y la geometr´ıa real de estudio, error que solo puede ser mitigado al incrementar el número de elementos( incrementando la carga computacional) o utilizando elementos de grados superiores( incrementando la dificultad en la implementación numérica).

El análisis Isogeométrico es una metodolog´ıa propuesta por T.J.R. Hughes[12] en 2004, cuyo objetivo principal es unificar el análisis de ingenier´ıa con el diseño de ingenier´ıa Y minimizar de esa forma la intervención humana para disminuir tiempo de análisis. En el trabajo, se propone la utilización de funciones base del doctor Carl De Boor[13] en vez de los tradicionales elementos isoparametricos, como funciones interpolantes del espacio geométrico y/o el espacio solución (desplazamientos, esfuerzos, temperatura, etc.), ya que estas mismas funciones son utilizada por los sistemas CAD(Computer Aided Engineering) para representar geometr´ıas complejas. Se logra en primera instancia, eliminar el error por aproximación geometr´ıca intr´ınseco en los métodos de mallado tradicional. Ya que las funciones base por si mismas son atractivas para la interpolción de superficies complejas, se entender´ıa entonces

(12)

que el espacio solución puede ser aproximado fácilmente con estas funciones sin importar que tan compleja sean las condiciones de contorno de Neumann y Dirichlet. En última instancia se sabe que al aplicar tecnicas de knot inserción el numero de elementos isogeométricos incrementa pero siempre mantiene la exactitud geométrica sin importar que tan densa sea la malla.

Los primeros trabajos de análisis isogeométrico, demostraron su fiabilidad al solucionar problemas de elasticidad lineal, difusión, transferencia de calor y mecánica de fluidos, utilizando elementos fini-tos como metodolog´ıa de discretización de dominio(IGAFEM) [14] [15] [16] . No obstante, el análisis isogeométrico también se puede combinar con el método de elementos de contorno (IGABEM), permi-tiendo resolver problemas similares a IGAFEM pero con la ventaja de que solo es necesario discretizar el contorno del objeto de estudió, lo cual ofrece una significativa ventaja computacional [17] [18] Ya que el número de elementos utilizados para obtener una solución convergente del problema disminuye drásticamente.

El objetivo de este trabajo es presentar una formulación IGABEM para la solución de la ecuación de Laplace aplicada (mas no limitada) al cálculo de distribución de potencial electroqu´ımico presentado en una celda Galvánica 2D. El documento esta estructurado de la siguiente forma.

En el cap´ıtulo 2.1 se explica los fundamentos necesarios para la elaboración de curvas y superficies tipo B-Spline o NURBS y se muestran algunos aspectos históricos en el campo de la representación geométrica de ingenier´ıa. Se presentan en figuras algunos ejemplos de estas curvas y superficies, en donde se explica cómo pueden ser utilizadas para la aproximación y ajuste de datos. Finalmente se exponen en figuras, algunas curvas y superficies comunes en el campo de la geometr´ıa e ingenier´ıa, generadas por los B-Splines y NURBS.

En el cap´ıtulo 2.2 se desarrolla el método de elementos de contorno, en la parte introductoria se describe su historia y la relación que guarda con el método de elementos finitos, mientras que en las secciones siguientes, se exponen las identidades matemáticas necesarias para derivar la ecuación integral del método y se muestran los tipos de elementos más comunes utilizados en la literatura, explicando bre-vemente sus diferentes ventajas y desventaja, finalmente se plantean las ecuaciones del método en su forma numérica y se muestran aplicaciones del método en la solución de la ecuación de Laplace para el cálculo de potencial electroqu´ımico de una celda galvánica.

Finalmente en el capitulo 2.3 se desarrolla la formulación del método de elementos de contorno iso-geométrico, se describe el tratamiento de las integrales singulares y se realza una comparación entre los resultados obtenidos con este método y con el método de elementos finitos. Luego se realizan cálculos de potencial y densidad de corriente en una celda electroqu´ımica con altura de electrolito variable, por ´

ultimo los resultados obtenidos son comparados con la soluci´on anal´ıtica.

1.1. Antecedentes

El desarrollo de las simulaciones numéricas, representa una temática importante en el desarrollo de los modelos predictivos de la corrosión galvánica, por lo tanto, extensas investigaciones se han reali-zados en el campo del modelado y experimentación de este fenómeno electroqu´ımico. F.Thébault [19] realiza una modelado de una celda galvánica, fabricada en chapa de acero galvanizado, calculando la distribución de corriente eléctrica. Al analizar los resultados experimentales con un electrodo vibra-torio de barrido (SVET) se concluye que los resultados más precisos se obtienen al considerar una conductividad homogenea del medio.

Kiran B.Deshpande estudia la evolución de la sección transversal de una microestructura de una aleación de magnesio[20]. Modela el fenómeno con COSMOL Multi-Physics, utilizando una técnica de mallado móvil. El modelo es capaz de seguir el movimiento del contorno de la fase en corrosión α y supone que la fase β actúa de forma uniforme. Estos efectos son luego validados experimentalmente,

(13)

posibles configuraciones, la primera con con una fase β continua alrededor de la fase α y la segunda con una fase β discreta. En la simulación numérica, se muestra como la tasa de corrosión es acelerada al inicio y luego decae en la medida en que la fase α se disuelve en el medio, este comportamiento es tambien observado en los resultados experimentales.

Litao Yin et al, evalua un modelo de elementos finitos(FEM) con el objetivo de tener un conoci-miento mas profundo de como las microestructuras afectan la corrosión micro galvánica, presentada en aleaciones de aluminio(Al), se considera una superficie de corrosión dinámica y se tiene en cuenta los siguientes aspectos, reacciones homogéneas en el electrolito, datos cinemáticos de reacciones elec-troqu´ımicas locales, la transferencia de O2 y especies iónicas(Al+3, H+, Cl−) y la deposición de los productos de reacción en el cátodo y ánodo. Se considera en la simulación numérica una matriz de alu-minio con una part´ıcula cátodica de tamaño micrométrico, expuesta a a una sustancia de 0.1 M NaCl. La simulación predice los cambios dinámicos de la superficie corro´ıda, y el flujo y distribución de iones en espacio y tiempo. Los resultados muestran concordancia con los datos experimentales obtenidos de la Microscopia de fuerza atómica obtenida en sitio [21].

Los autores M. Mandel y L. Krüger utilizan FEM para determinar la rata ce corrosión presentada en dos tipos de juntas [22], Aluminio-CFRP(Pol´ımero reforzado con fibra de carbono) con remache autoperforante y junta de remache ciego Aluminio-Acero. La condición de contorno utilizada es el potencial de corrosión, el cual fue encontrado en una solución de 5wt %NaCl. Por otro lado, se su-mergieron por 6 semanas en una solución de 5 % NaCl estos dos tipos de juntas. Se muestra que la simulación numérica y los resultados del experimento de inmersión poseen buena concordancia, se concluye que las mas altas ratas de corrosión se encuentra entre las superficies de los dos elementos, También se observa que para la junta de remache ciego no se encuentra ataque de corrosión mientras que para la junta Aluminio-CFRP si se encuentra corrosión por picadura inducida galvánicamente.

Si bien en los casos anteriores toda simulación numérica es validada con datos experimentales, es posible también validar los resultados de una nueva formulación numérica a través de otros ejemplos que han sido validados extensamente en la literatura. Por ejemplo, Weijie Mai y Soheil Soghrati presentan un nuevo modelo de campo de fase, para la simulación de corrosión galvánica y por picadura [23]. Se valida dicho modelo, contrastando los resultados obtenidos con otros métodos. En las simulaciones realizadas, se emplea la ecuación de Laplace para aproximar la distribución de potencial eléctrico, se considera un ánodo no polarizable y se relaciona la densidad de corriente con parámetros cinéticos de interface, por ejemplo, el l´ımite de difusión cinética es considerando como una condición de contorno en el cátodo. Se logra demostrara la aplicabilidad del modelo, en cinco ejemplos de aplicación, dos de corrosión galvánica y tres de corrosión por picadura.

El trabajo presentado por Siva Palani et al [24], se enfoca en modelar la corrosión galvánica pre-sentada entre el par CFC( compuesto de fibra de carbono) y la aleación de Al 7050-T7451, utilizando sujetadores de titanio. Se utilizo FEM como método numérico de predicción y se compararon los resul-tados con los ensayos de niebla salina, realizados de acuerdo a na norma ASTM B117. Se concluye que, en los procesos de corrosión galvánica es critico basar el análisis de acuerdo a los resultados de corriente eléctrica y no tanto en el potencial. Los valores calculados de la simulación, mostraron similitudes con los datos obtenidos del experimento, demostrando nuevamente que los métodos numéricos si son una buena herramienta para el cálculo de corrosión galvánica a largo plazo.

La corrosión galvánica presentada en una junta de perno entre una placa de acero al carbono y un perno de baja aleación es investigada en el trabajo de R. Radouani et al [25]. En el trabajo de investigación se evalúa la variación de la rata de corrosión en la placa de acero al carbono(ánodo) y un perno de baja aleación, con el objetivo de determinar la expectativa de vida de dicho conjunto metálico. Tres materiales para la placa (20MnCr25, 42CrMo4 y 32CrMoV13) y tres tornillos (M12, M16 y M20) fueron probados, Mientras que la junta es sumergida en dos alturas diferentes(e=1mm y e=20mm) de solución electrol´ıtica de 1M HCL y los parámetros de corrosión de los componentes de la junta, como el comportamiento logar´ıtmico de polarización(Tafel), fueron utilizados como condiciones de contorno. Se utiliza Comsol-Multiphysics como software de simulación numérica para analizar el comportamiento de la corrosión en la zona de contacto entre los dos metales. Se encuentra que la rata de corrosión es mayor para 32CrMoV13 e incrementa si tanto el diámetro del tornillo como la altura del

(14)

electrolito aumentan. También se evidencia que, la rata de corrosión es mayor en la zona de contacto. Con respecto a las investigaciones realizadas con el metodo de elementos de contorno en el estudio de corrosión galvánica, RobinJames et al [26], explora los efectos del CFRP sobre una aleación de aluminio de alta recistencia(AA7075-T6 or AA2024-T3), se sabe que en el contacto de estos dos materiales, el aluminio actua como anodo de sacrificio. Los dos materiales son unidos mediante tornillos SS-304 y expuesto a degradación medioambiental. Se utiliza el paquete de simulación BEASY para simular el crecimiento de la corrosión en la muestra diseñada. Posteriormente un ensayo no destructivo de microondas es empleado para detectar defectos de corrosión que aparecen en la interface del par galvánico.

Por otro lado, el análisis isogeométrico (IGA) ha atra´ıdo fuerte interés por ser capaz de resolver diferentes problemas de la mecánica computacional, con una mejora sustancial en las velocidades de convergencia. Por ejemplo, en el trabajo de Seyed Shahram et al[27], Se combina IGA con el método de elementos de contorno (BEM) y elementos finitos extendidos (XFEM) para solucionar problemas de mecánica de fractura. Este nuevo enfoque es capaz de realizar una análisis de problemas de esta ´ındole, utilizando las funciones base NURBS para aproximar la geometr´ıa y el espacio solución, también permi-te reproducir fácilmente el espacio singular alrededor de una grieta y una discontinuidad(representada por la función de Heaviside) sobre esta. Por otra parte, el concepto XFEM es utilizado para evitar el remallado de la grieta en propagación, incrementar la precisión de la solución en la punta de esta y representar el campo de desplazamiento isotrópico, gracias a sus funciones de enriquecimiento. Con respecto a las condiciones de contorno, se utilizan multiplicadores de Lagrange para imponer estas condiciones, también se implementa la técnica de subtriangulos para mejorar el cálculo de las integra-les realizadas por medio de la cuadratura de Gauss. Se resuelven múltiples problemas bidimensionales, de la mecánica de fractura, estáticos y cuasiestáticos. En general esta técnica de cuadratura presenta mejoras en comparación a las utilizadas anteriormente en el análisis isogeométrico.

El método IGA también puede ser utilizado para resolver problemas de contacto, como se demuestra en el art´ıculo de I, temizer y otros [28]. Se compara IGA con el método normalmente utilizado (Lagra-niano de C0_{-continuidad de elementos finitos). Se desarrolla un algoritmo de nudos(Knot) a superficie,} para tratar las restricciones de contacto con superficies NURBS. Estudios cualitativos muestran re-sultados satisfactorios para múltiples problemas de contacto termoelásticos. Sin embargo, estudios cualitativos basados en problemas de Hertz, plantean la necesidad de una relajación en las restriccio-nes de contacto mecánico. Basado en el estudio, se concluye que el método IGA es una alternativa viable para resolver problemas de esta ´ındole.

Por lo que corresponde a las técnicas de integración utilizadas para IGA, en un estudio realizado por T.J.R. Hughes et al [29], se desarrolla un regla eficiente de cuadratura para el análisis isogeométrico, basado en funciones NURBS. La regla de punto medio, indica que un numero de puntos aproximada-mente igual a la mitad de los grados de libertad es optimo para la realización de cálculos numéricos, dicho de otro modo, la mitad de las funciones base del espacio en consideración. La regla de punto medio es independiente del grado polinomial de las funciones en consideración. Se obtienen otras re-glas de interés práctico y un procedimiento numérico para obtener rere-glas eficientes es presentado. Esta regla es comparada con las tradicionales utilizadas en problemas t´ıpicos de la mecánica estructural y la dinámica de fluidos. En general esta nueva técnica de cuadratura presenta mejoras en comparación a las utilizadas anteriormente en IGA.

J. Kiendl et al[30], desarrolla con el método IGA los elementos cascara Kirchhoff–Love utilizando las funciones NURBS para la aproximación precisa de la geometr´ıa. Para este tipo de elemento cascara, las funciones base también tienen la ventaja adicional de conseguir fácilmente la suficiente continuidad entre los elementos. La formulación del elemento es geométricamente no lineal. Se demuestra en varios ejemplos la robustez de la precisión de esta formulación, ademas el elemento presenta muy buen comportamiento bajo grandes deformaciones.

No siempre se utilizan las funciones NURBS para el método IGA, por ejemplo en el art´ıculo de Y. Bazilevs et al [31], se utilizan los T-splines. Se realiza una revisión sobre el estado del arte de los T-splines como metodolog´ıa de diseño de superficies y luego se desarrolla para el análisis de problemas

(15)

como el an´alisis de estructuras y la din´amica de fluidos. Obteniendo buenos resultados en todos los casos. En base a esto, se comentan sobre las diferentes posibilidades y limitaciones del uso de los T-splines en IGA.

En el trabajo de A. Buffa y otros [? ], es implementa un nuevo esquema de discretización de las ecuaciones de Maxwell en un espacio bidimensional, el cual esta basado en IGA. Se propone un algoritmo instituido en las funciones B-spline Bivariable, se construyen espacios con estas funciones y regularidad de interelemento bivariable en el dominio paramétrico, estos espacios forman un diagrama De Raham que es utilizado para resolver la ecuación de Maxwell.

Una formulación para elemento cascara tipo Reissner-Mindlin es implementada para IGA en el trabajo de D.J. Benson et al[32]. La eficiencia de la formulación es puesta a prueba en múltiples problemas de referencia de la eslastisidad lineal y elastoplasticidad. El análisis realizado fue desarrollado en LS-DYNA un software de elementos finitos de carácter comercial. Se obtiene una buena velocidad de convergencia para problemas lineales. Por otro lado, en problemas de carácter no lineal, IGA presenta una buena robustez ante las distorsiones de elemento presentadas por los grandes desplazamientos, siempre que los elementos sea de grado p = 4 o superior(incrementando su robustez en la medida en que se incrementa de grado). En general IGA presenta un gran potencial industrial para el análisis de problemas de grandes deformaciones, tales como el formado de chapa metálica y las pruebas de colisiones de automovilismo.

Costa politis et al [33] , combina el método de elementos de contorno con IGA desarrollando IGABEM con el objetivo de resolver un problema de Newman de plano externo. El desarrollo de IGABEM es basado en las funciones NURBS para representar la geometr´ıa exacta del modelo y se emplean las mismas funciones para representar el campo solución(potencial y/o densidad) de una sola capa. Para validar el método, los datos obtenidos se comparan con la solución anal´ıtica para el caso de un cuerpo en forma circular y uno de forma libre. Se comprueba mediante un análisis de error numérico que IGABEM presenta una tasa de convergencia superior en comparación a BEM de bajo orden.

Finalmente en el trabajo de Kang Li y Xiaoping Qian[34], se presenta una formulación de IGA de integral de contorno y de optimización de forma, en el cual se utilizan las funciones NURBS para representar tanto el espacio solución como la geometr´ıa del modelo, utilizando la ecuación integral de contorno(BIEM). Se propone la utilización de los puntos de Greville como puntos de colocación y se realizan refinamientos de tipo -h, -p y -k para efectuar estudios de convergencia, de problemas de transferencia de calor y elasticidad lineal. Los resultados muestran que la colocación de las abscisas de Greville conducen a una mejor convergencia. Por otro lado, se encuentra que reemplazar las fun-ciones NURBS por las funfun-ciones B-spline, no conduce a una diferencia significativa en la velocidad de convergencia.

1.2. Hip´

otesis

La formulación de elementos de contorno isogeométricos(IGABEM) que utiliza funciones de forma de B-spline para aproximar la geométria del contorno y elementos de variación constante para aproximar el espacio solución, permite calcular satifactoriamente distribución de potencial eléctrico y densidad de corriente galvánica asociados a fenomenos de corrosión galvánica.

1.3. Planteamiento del problema

La corrosión electroqu´ımica es un fenómeno presente cuando dos metales, rodeados de un medio electrol´ıtico, se encuentran en contacto. La deficiente preservación de las estructuras metálicas que son susceptibles a la corrosión, genera elevados costos a la industria, solo en EE.UU se estima que el costo de la corrosión es de 276 billones [35], infortunadamente para Colombia no existe información al respecto. Diferentes técnicas se han desarrollado para prevenir o mitigar los daños provocados por la corrosión, entre ellas la de protección catódica por ánodos de sacrificio. Sin embargo, el diseño de dichos sistemas de protección, depende más de la experiencia del consultor, ya que no se cuenta con un esquema de

(16)

soluciones simples de problema de valor de frontera e iniciales asociadas a la corrosión galvánica. Se puede modelar matemáticamente aplicando la ecuación de Laplace al electrol´ıto y asumiendo ciertas condiciones de borde[36], no obstante, encontrar la solución anal´ıtica de estos modelos matemáticos es una tarea compleja y en muchas ocasiones es preferible optar por métodos numéricos para su solución. Entre los más utilizados se encuentra el método de los elementos finitos(FEM) y el método de elementos de contorno(BEM), siendo este último el mas utilizado ya que solo se tiene que mallar el contorno y no todo el dominio del problema, lo cual minimiza el costo computacional. El método BEM utiliza principalmente funciones lineales a trozo, lo cual lo hace muy impreciso para representar la geometr´ıa del contorno. En este trabajo se propone emplear las funciones de forma B-spline [12] para aproximar la geometr´ıa y aplicarlas a la simulación de potencial y densidad de corriente eléctrica en una celda galvánica. Cabe resaltar que, estas funciones son también utilizadas por los sistemas de dibujo asistidos por computadora(CAD) para la representación de curvas y superficies. El uso de estas funciones en el análisis es reciente y es conocido como análisis Isogeométrico[14]. La intención detrás de la utilización de estas funciones es cerrar la brecha entre el análisis de ingenier´ıa y la representación gráfica

1.4. Objetivos

1.4.1. Objetivo General

Proponer e implementar una solución numerica de problema de valor de frontera basado en el método de elementos de contorno isogeométricos aplicada al cálculo de potencial y densidad de corriente electroqu´ımica en una celda galvánica

1.4.1.1. Objetivos espec´ıficos

Aproximar mediante funciones de forma B-spline y Non-uniform Rational B-spline(NURBS) geometrias bidimensionales y tridimensionales

Implementar el método de elementos de contorno(BEM) a problemas de corrosión galvánica bidimensionales y tridimensionales

Implementar la formulación de elementos de contorno isogeométrico (IGABEM) para resolver problemas de corrosión galvánica bidimensionales

Verificar los resultados obtenidos del m´etodo IGABEM con el metodo de elementos finitos(FEM) y soluciones anal´ıticas

(17)

2. Fundamentos Te´

oricos

2.1. Aproximaci´

on por B-Splines y Nurbs

2.1.1. Introducci´on

Existen dos formas de representar geometr´ıas en el espacio, utilizando funciones impl´ıcita f (x1, x2, x3) = 0 o funciones paramétricas, esta última siendo la mas ventajosa a la hora de representar superficies mas complejas[12][37] y por dicha razón son ampliamente utilizados en los CAD.

Un ejemplo de estas funciones se observa al intentar describir un circulo con la funci´on impl´ıcita f (x) = x2_{+ y}2

− 1 = 0 y param´etricas x(u) = cos(u), y(u) = sin(u) y al describir una esfera en el espacio f (x) = x2_{+ y}2_{+ z}2

− 1 = 0 (funci´on impl´ıcita) y sus funciones param´etricas x(u, v) = sin(u) cos(v)

y(u, v) = sin(u) sin(v) z(u, v) = cos(u)

Matemáticamente hablando es dif´ıcil determinar que tipo de función, es siempre mas adecuada que la otra, pero se puede realizar una comparación de estas dos técnicas. De acuerdo a [37] se tiene que:

1. Con solo agregar el eje (Z) las funciones paramétricas 2D se pueden extender a 3D fácilmente. 2. Las funciones paramétricas posen dirección natural y en consecuencia es fácil generar una

colec-ci´on de nodos ordenados en la superficie.

3. La forma paramétrica es mas natural para el diseño y la representación de formas en las compu-tadoras. Los coeficientes de muchas funciones paramétricas como Bézier y B-spline, poseen con-siderable importancia geométrica. Esto significa que se puede desarrollar diseños mas intuitivos y algoritmos más simples.

En este cap´ıtulo se mostraran las ecuaciones Base utilizada en la generación de curvas y superficies paramétricas B-spline y NURBS, se desarrollaran sus derivadas y se explica como generar diversos tipos de geometr´ıas, se muestra también la ecuaciones necesarias para realizar cálculos de longitud de arco y área de superficie, seguido se proponen algunas metodolog´ıas de interpolación de datos. Finalmente los resultados obtenidos son discutidos apropiadamente en la sección final del capitulo 2.1.1.1. Función de Base

Obviamente al liberar la relaci´on entre los tres ejes espaciales permitiendo que las funciones de estos sean arbitrariamente escogidas(x(u),y(u),z(u)) se puede obtener una gran variedad de formas. Sin embargo se deben de tener claro que estas funciones deben cumplir con ciertos principios para permitir su eficiente implementaci´on[21].

1. Son capaces de representar todas las curvas que el dise˜nador requiera. 2. Son precisas eficientes y f´acilmente generadas en algoritmos computacionales

3. Para efectos de cálculo de longitud de arco y área de superficie su Jacobiano debe ser calculado, esto implica que las derivadas de dichas curvas tienen que ser fáciles de desarrollar.

4. Las funciones requieren de m´ınima memoria de almacenamiento.

5. El procesamiento num´erico de las funciones debe ser robusto y estable, evitando errores provo-cados por coma flotante.

(18)

Las curvas de Bézier cumplen muy bien las dos últimas condiciones y fueron desarrolladas a finales de 1950 por el ingeniero Pierre Bézier y utilizadas inicialmente para la representación de diversas partes de automóviles fabricados por Renault[38]. Pero incluso estas funciones presentan inestabilidad numérica después de utilizar grandes cantidades de puntos de control, además al cambiar la posición espacial de un solo punto de control cambia la forma global de toda la curva o superficie de trabajo [39]. Por consiguiente se requieren de otras funciones que sean mas eficientes cuando se requiera trabajar con formas mas grandes y complejas.

El desarrollo de la curvas de Bézier no es el objetivo de estudio de este documento por lo tanto para un tratamiento mas detallado se requiere consultar las referencia [40][41]. De hora en adelante cuando se hable de funciones bases, serán las funciones utilizadas para generar las curvas y superficies B-spline. La función Base pueden definirse de muchas formas como se muestra en las referencias [42] [43][44] siendo el doctor Schoenberg el primero en introducirlas, pero las utilizadas en este documento sera la función desarrolladas por el doctor Carl De Boor [13] [45] [46] ya que ha demostrado ser la mas útil para la implementación computacional puesto que no poseen problemas en nudos(knots) coincidentes y están bien condicionadas.

Si U = _{u0, ...., um} es una secuencia de números reales no decrecientes donde ui≤ ui+1 ademas i = 0, ..., m_{− 1 los términos u}i de la secuencia son llamados nodos(knots) y por lo tanto U es llamado vector de nudos(knot vector). El i-ésimo término de la función base denotada como Ni,p del B-spline de grado p se escribe como:

Ni,0(u) = 1 si ui≤ u < ui+1 0 de lo contrario Ni,p(u) = u_{− u}i ui+p− ui Ni,p−1(u) + ui+p+1− u ui+p+1− ui+1 Ni+1,p−1(u) (2.1) Obs´ervese que:

1. Ni,0(u) es una funci´on escalon igual a cero en todos los lugares excepto en en intervalo abierto [ui, ui+1}.

2. para funciones de p > 0 el valor de Ni,p(u) es una combinaci´on lineal de dos tipo de funciones bases Ni,p−1 y Ni+1,p−1

3. El vector de nudo y el grado p del B-spline es una entrada necesaria para el c´alculo 4. El intervalo abierto [ui, ui+1} es tambi´en llamado intervalo de nodo (knot span)

En lo común desarrollar las funciones de forma genera un conjunto de datos en forma de triángulo truncado, pero si se desea almacenar cada uno de los valores obtenidos por estas, para cada grado p, se puede optar por una configuración de triángulo rectángulo similar al que se observa en [45], esta ´

ultima configuraci´on sera utilizada a lo largo de este documento. Esquema tri´angulo truncado.

Ni−p,p Ni−1,1

Ni,0 ... :

Ni,1

Ni,p Esquema tri´angulo rect´angulo.

Ni,0 Ni,p−1 Ni,p ... Ni+1,p−1 :

(19)

Por ejemplo si se quiere analizar las funciones de forma para el vector de nudos U =_{{0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5}} para el grado del polinomio p = 2 y el valor u = 2.5 se obtiene los siguientes valores.

Esquema triangulo rect´angulo.

0 0 0 0 0 0 0 0 0.125 0 0.5 0.75 1 0.5 0.125 0 0 0 0 0 0

Tambi´en se puede graficar todo el conjunto de las funciones bases que se obtienen al asignar dados par´ametros, si por ejemplo se tiene el siguiente vector de nudos U = {0, 0, 1/3, 2/3, 1, 1} y U = {0, 0, 0, 1/2, 1, 1, 1}, para los valores 0 ≤ u < 1, la figura ?? y 2 muestran el comportamiento de las funciones bases para p = 1 y p = 2 respectivamente.

(20)

Figura 2: Funciones base cuadr´atica

Note que las funciones base de la figura 1 son interpolantes mientras que las funciones de la figura 2 no lo son, lo cual hay que tener en cuanta a la hora de utilizar estas funciones para realizar in-terpolación de datos como se vera en cap´ıtulos posteriores. También tienen propiedades matemáticas interesantes(soporte local) que permite la utilización de estas, como funciones de pesos en los métodos de colocación, utilizados para resolver ecuaciones diferenciales.

2.1.1.2. Derivada de la funci´on Base

La derivada de la funci´on base esta dada de la siguiente forma: Ni,p0 = p ui+p− ui Ni,p−1(u)− p ui+p+1− ui+1 Ni+1,p−1(u) (2.2)

Luego para representar derivadas superiores se indicara Ni,pk (u) como la derivada k-ésima de Ni,p(u): Ni,pk (u) = p N_i,p−1k−1 ui+p− ui − N_i+1,p−1k−1 ui+p+1− ui+1 ! (2.3) Otra forma de describir la ecuación 2.3 es mediante la sumatoria mostrada en la ecuación 2.4.

Nk i,p(u) = p! (p− k)! k X j=0 ak,jNi+j,p−k (2.4) Donde: a0,0= 1 ak,0= _u_i+p−k+1ak−1,0_−u_i ak,j =_ua_i+p+j−k+1k−1,j−ak−1,j−1_−u_i+j

(21)

ak,k=_u_i+p+1−ak−1,k−1_−u_i+k

Debe cumplirse la restricci´on que k no debe exceder al grado p de la funci´on para aplicar correctamente las ecuaciones anteriores.

Finalmente se tiene la ecuación 2.5 la cual es mas cómoda de utilizar para el cálculo computacional de las derivadas de los B-spline.

Ni,pk = p p_{− k} u− ui ui+p− ui Ni,p−1k + ui+p+1− u ui+p+1− ui+1 Ni+1,p−1k (2.5) k = 0..p_{− 1}

Si desea estudiar en mayor profunda el tratamiento de las ecuaci´ones aqu´ı expuesta, consulte [37] 2.1.2. Curvas B-spline 2D y 3D

William J. Gordon y Richard F. Riesenfeld fueron los primeros en proponer la utilización de estos B-spline para el diseño asistido por computadora, en sus trabajos[47] [48] se describe a los B-spline como una gran alternativa para reemplazar los instrumentos tradicionales de diseño de curvas. Desde entonces innumerables trabajos se han publicado sobre la aplicación de estos B-spline. hasta la fecha de redacción de este documento, la búsqueda de la palabra ”B-spline”genera mas de 70 mil resultados en sciencedirect y los temas en los cuales se puede encontrar aplicación var´ıan desde el diseño aéreo-dinámico de estructuras [49] hasta el ajuste de grandes cantidades de datos [50].

A continuaci´on se definir´a las curvas B-spline de grado p de la siguiente forma: C(u) =

n X

i=0

Ni,p(u)Pi (2.6)

donde Pi son los puntos de control que conforman el polinomio de control de la curva, Ni,p son las funciones base y el vector de nudos U se caracteriza por tener la siguiente forma:

U =_{{α, .., α} | {z } p+1 , up+1, ..., um−p−1, β, ..., β | {z } p+1 }

Para una curva param´etrica que vari´e entre [0, 1] entonces α = 0 y β = 1. Para calcular una curva B-spline es necesario:

1. Determinar el vector de nudos adecuado 2. Calcular las funciones base.

3. Multiplicar los t´erminos Ni,p por los puntos de control

Teniendo en cuenta lo anterior se puede realizar el primer ejemplo. Si se tienen los siguientes puntos de control P = [0, 1, 0], las curvas B-spline para p = 1 y p = 2 son las siguientes.

Se observa claramente que las curvas de grado p = 2 se comportan de forma similar a las curvas de B´ezier (los puntos P controlan la pendiente de la curva formada). Se pueden fusionar dos pares de puntos de control de igual tama˜no para formar una curva bidimensional y tres pares para una curva tridimensional. Por ejemplo. Las figuras 5 y 6 muestran las curvas obtenidas de los puntos de control Px= [0, 1, 0.75, 0.25, 0.5] y Py = [0, 0.25, 1, 0.5, 0.5] con grado p = 2 y p = 3 respectivamente.

La diferencia entre curvas B-spline que comparten la misma cantidad de puntos de control pero tiene grados diferentes, radica en la proximidad que tiene la curva resultante al polinomio de control. Pueden aplicarse los B-spline para generar curvas cerradas que representen alg´un tipo de pieza mec´anica o perfil como se observa en la figura7.

(22)

Figura 3: Curva B-spline p = 1 U =_{{0, 0, 0.5, 1, 1}}

Figura 4: Curva B-spline p = 2 U ={0, 0, 0, 1, 1, 1}

Finalmente si se tienen tres vectores de puntos de control del mismo tama˜no puede generarse una curva tridimensional como se muestra en la figura 8la cual fue generada con unto total de 18 puntos de control para los tres ejes coordenados.

Si esta interesado en conocer otra forma de definir los B-spline y estudiarlos con mas rigor matem´atico se pueden consultar la siguiente referencia [46]

2.1.2.1. Interpolaci´on de curvas B-spline

Se pueden utilizar los B-spline para realizar ajustes de grandes cantidades de dato. Sea el conjunto de numeros reales Xj con j = [0, ..., M ] números enteros, M el numero total de datos, Pi los puntos de control que ajustan la curva, Ni,p(uj) las funciones base y uj el valor de la variable paramétrica que mas se aproxima a xj al ser reemplazada en la función, se tiene entonces:

xj = n X i=0

Ni,p(uj)Pi Par obtener uj aproximado se puede utilizar dos alternativa:

1. conocer cual es la magnitud de la distancia dj que separa un dato j del siguiente j + 1, luego dividir el conjunto de distancias entre el total de la suma de las distancias. Esto permite calcular de forma burda la fracción porcentual que ocupa la sección [j, j + 1] en la totalidad de la curva. Se define dicha fracción porcentual de la siguiente forma.

f tj = dj PM j=1dj (2.7) Donde: dj = p

((X1j+1− X1j)2+ (X2j+1− X2j)2) para dos dimensiones y dk = p

((X1j+1− X1j)2+ (X2j+1− X2j)2) + (X3j+1− X3j)2) para tres dimensiones.

(23)

Figura 5: Curva B-spline p = 2

Figura 6: Curva B-spline p = 3

uj= f tj+ uj−1 (2.8)

Para el cual uo= 0

Note que para evitar singularidades indeseadas en esta metodolog´ıa es necesario filtrar datos repetidos.

2. La otra alternativa es simplemente enumerar los datos y re-acomodarlos de forma equidistante para el intervalo [0, 1] de tal forma que para el total del conjunto de datos M existen tambi´en M variables uj. En MATLAB se puede realizar esto utilizando el comando linspace(0,1,M). reescribiendo de forma matricial se tiene.

xj= [N1,p(uj), N2,p(uj), ..., Nn,p(uj)]     P1 P2 : Pn     Luego repitiendo el proceso para cada uno de los datos a interpolar.

(24)

Figura 7: Curva B-spline generada con 20 puntos de control

Figura 8: Curva B-spline tridimensional helicoidal

    x0 x1 : xM     =     N1,p(u1), N2,p(u1), ..., Nn,p(u1) N1,p(u2), N2,p(u2), ..., Nn,p(u2) : N1,p(uM), N2,p(uM), ..., Nn,p(uM)         P1 P2 : Pn     Luego reescribiendo de forma compacta se obtiene.

#»

X = N#»P

En este punto hay dos opciones, la primera opción es invertir la matriz de funciones de forma N directamente, para eso esta debe ser cuadrado, los que significa que el numero de puntos de control n debe ser igual al numero de datos a interpolar M , Esta opción no siempre es practica en especial si se esta trabajando con grandes cantidades de datos. La segunda alternativa es aplicar MLS(Moving Least Squares) de esta forma se puede utilizar una cantidad de puntos de control modesta mientras se minimiza el error de los datos. Esta última alternativa es mas atractiva en especial cuando los datos obtenidos provienen con considerable ruido.A continuación las ecuaciones respectivas de las dos opciones:

(25)

#»

P = N−1#»X (2.9)

#»_{P = (N}T_{N )}−1_NT#»_X _(2.10)

Donde NT _{es la transpuesta de N en la ecuaci´}_{on 2.10.}

En la figura 20 se muestra como al utilizar MLS la interpolación el resultado es una curva mas suave, en contraste de utilizar el método directo el cual genera resultados con oscilaciones mas caóticas. Se puede conocer mas información en detalle de como funcionan los métodos de interpolación en [51] y mas espec´ıficamente en los B-spline en [37]

2.1.2.2. Longitud de arco

Para calcular la longitud de arco de cualquier B-spline se utiliza la ecuaci´on 2.11a.

L = Z b a s dx du 2 + dy du 2 du (2.11a) Donde: dx du = n X i=0 d duNi,p(u)Px (2.11b) dy du = n X i=0 d duNi,p(u)Py (2.11c) La deriva d

duNi,p(u) se puede calcular con la ecuaci´on 2.2

La ecuación para la evaluación numérica con cuadratura de Gauss esta dada por la forma. Lk= npg X i=1 s d duNi,p(ui)Px 2 + _d duNi,p(ui)Py 2 (2.12) Se puede calcular directamente la integral 2.12 variando los limites de integración entre (0, 1) lo cual los redistribuye a lo largo la la curva, la segunda opción es colocar los puntos de Gauss entre los intervalos del vector de nudos [uj, uj+1).Esta última opción tiene mayores tiempos de cálculo, pero la solución es mas robusta a la hora de calcular el valor real de la integral. Para demostrar la afirmación anterior se calculara la longitud de arco de la curva f (x) =√1_{− x}2 _{colocando primero estos puntos a lo largo de} la curva y luego entre los intervalos del vector de nudos U . Se utilizara la interpolación de 10 datos de la tabla 5 para encontrar los puntos de control Pxy Pyque mejor aproxime a esta curva. cabe resaltar que, ya existe un error en la interpolación de datos y el resultado final de la integración contiene este, adicionado al error del método de integración en si mismo.

Px -1.00 -0.876 -0.6287 -0.381 -0.13 0.113 0.36125 0.608 0.856 0.98 Py 0 0.5279 0.792 0.933 0.9988 1.001 0.941 0.807 0.5544 0.1989

Tabla 1: Puntos de control

El error obtenido por el c´alculo de la longitud de arco es tabulado en la tabla2 donde L0,1 representa la integral realizada con puntos de Gauss redistribuidos en toda la curvatura y Luj,uj+1 es la integral

(26)

Valor real: π error relativo: L0,1 2.924 7.428 % Luj,uj+1 2.928 7.2908 %

Tabla 2: Resultados longitud de arco f (x) =√1_{− x}2

El error relativo que los dos m´etodos tiene es aproximado, pero hay que tener en cuenta que esto se debe al tipo de curva. Si se compara estas dos metodolog´ıas con la funci´on f (x) = (x3₎

− (2(x2_{) + 1)} en el intervalo x = [_{−1, 1] los resultados son diferentes.}

Valor real: 4.71936 error relativo: L0,1 4.7208 0.032 % Luj,uj+1 4.71931 9.891∗ 10

−_{4 %} Tabla 3: Resultados longitud de arco f (x) = (x3₎

− (2(x2_{) + 1)}

Esto se debe a la complejidad de la curva, entre mas compleja sea la curva mas dispersos son los puntos de Gauss colocados en ella y mas se incrementa el error. Mientras que al colocar los putos de Gauss entre los intervalos del vector de nudos, se mantiene una subdivisi´on del dominio adecuada al lo largo de la curva como se muestra en la figura 9.

Figura 9: Puntos de Gauss distribuidos a lo largo de la curva (cruces azules) y distribuidos entre los intervalos del vector de nodos(asteriscos rojos)

2.1.3. Superficies B-spline

Las superficies B-spline son calculadas utilizando la ecuación 2.13a donde Pi,j es la matriz de puntos de control, Nj,qes la función base de grado q de la segunda variable paramétrica v. La doble sumatoria también se puede expresar de forma matricial como se muestra en la ecuación 2.13b, esta última es mas eficiente computacionalmente hablando.

(27)

S(u, v) = n X i=0 m X j=0

Ni,p(u)Nj,q(v)Pi,j (2.13a)

S(u, v) = [N1,p(u), N2,p(u), ..., Nn,p(u)]      P1,1 P1,2 .. P1,m P2,1 P2,2 .. P2,m : : . .. : Pn,1 Pn,2 .. Pn,m          N1,q(v) N2,q(v) : Nm,q(v)     (2.13b)

Para poder computar la superficie B-spline es necesario primero calcula los vectores de nudos U y V , que pueden ser de diferente tamaño y realizar el producto de los términos como se muestra. En la ecuación 2.13c se escribe de forma compacta la ecuación 2.13b.

S(u, v) =N#»I(u)TPN#»J(v) (2.13c) DondeN#»I(u) yN#»J(v) son los vectores columna 1×I y 1×J formado por las funciones bases evaluadas en el par´ametro u, note que la letra T es el operador traspuesta, P es la matriz de puntos de control de tama˜no I_{× J. Un ejemplo de una superficie B-spline es mostrada en la figura 10(a). Los vectores de} nudos utilizados fueron U = _{{0, 0, 0, 0.3333, 0.6666, 1, 1, 1} y V = [0, 0, 0, 0.5, 1.0, 1.0, 1.0]. Utilizando} los mismos vectores de nudos, pero ajustando los puntos de control, se puede obtener la superficie de la figura 10(b) la cual posee los siguientes puntos de control:

P =       1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1      

Se pueden generar superficies que encierren vol´umenes como se muestra en la figura 10 , para po-der realizar esta superficie se necesita conocer tres matrices de puntos de control para los tres ejes coordenados Px, Py y Pz que se muestran a continuaci´on.

Px=    0 0 0 0 0 0 0 1 1 −1 −1 0 0 1 1 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0   , Py=    0 0 0 0 0 0 −1 −1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 −1 −1 0 0 0 0 0 0   , Pz=    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1   

Otros ejemplos de superficies que están asociadas con volúmenes es el toroide y el resorte. El toroide se puede generar rotando los puntos de control de un circulo, sobre una curva de traslación, la cual para este caso puntual es también un circulo pero de mayor radio.Por otro lado, el resorte se genera de la misma forma pero con la excepción que, se agrega un avance al eje perpendicular al plano en el que se encuentra la curva de traslación. Las figuras 12 muestra los resultados obtenido.

2.1.4. Interpolaci´on de superficie B-Spline

La interpolaci´on de superficies spline se realiza de forma similar a como se interpolan las curvas B-spline 2D y 3D, pero en este caso se tiene que tener en cuenta que, para generar una de estas superficies se necesitan dos variables param´etricas u y v.

Se puede asignar de forma arbitraria el valor de [ui, vj] que corresponde al valor de los parámetros que mas se acercan al punto [xt1, xt2, xt3] de la superficie, al ser reemplazado en la ecuación 2.13b, o se puede calcular la fracción porcentual que ocupa cada uno de estos en la superficie, de forma semejante a como se realiza en la ecuación 2.8.

Para determinar cual es la matriz de puntos de control para las tres coordenadas espaciales, es reque-rido armar el sistema de ecuaciones.

(28)

(a) (b)

Figura 10: Esta superficie B-spline de grado p = q = 2 fue creada con los puntos de control P aleatorios (a) y no aleatorios (b)

Figura 11: Esfera B-spline obtenida con los puntos de control(azul) P x,P y y P z

xxt= n X i=0 m X j=0

N (ut)i,pN (vt)j,qP xi,j (2.14a)

xyt= n X i=0 m X j=0 N (ut)i,pN (vt)j,qP yi,j (2.14b) xzt= n X i=0 m X j=0 N (ut)i,pN (vt)j,qP zi,j (2.14c) Donde las variables [xxt, xyt, xzt] representan puntos en los tres ejes coordenados de la superficie. Luego se reescribe de forma matricial como se ve en la ecuaci´on 2.13b y t = [1, T ] donde T es la cantidad total de datos a interpolar.

(29)

(a) (b)

Figura 12: Toroide y resorte generado con superficies B-splines, las lineas en rojo representan el pol´ıgono de control Xt(u, v) = [N (ut)1,p, N2,p(ut), ..., Nn,p(ut)]      P1,1 P1,2 .. P1,m P2,1 P2,2 .. P2,m : : . .. : Pn,1 Pn,2 .. Pn,m          N (vt)1,q N (vt)2,q : N (vt)m,q     Xt(u, v) = (N (ut)1,p∗ P1,1, N2,p(ut)∗ P2,1, ..., Nn,p(ut)∗ Pn,1)∗ N(vt)1,q+ ... (N (ut)1,p∗ P1,2, N2,p(ut)∗ P2,2, ..., Nn,p(ut)∗ Pn,2)∗ N(vt)2,q+ ... (N (ut)1,p∗ P1,m, N2,p(ut)∗ P2,m, ..., Nn,p(ut)∗ Pn,m)∗ N(vt)m,q Se puede reescribir este producto de la siguiente forma:

Xt(u, v) = [N (ut)1,p∗ N(vt)1,q, N (ut)2,p∗ N(vt)1,q, .., N (ut)n,p∗ N(vt)2,q, .., N (ut)n,p∗ N(vt)m,q]∗           P1,1 P2,1 : Pn,1 P1,2 : Pn,m           Luego para los T datos se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

     X1(u, v) X2(u, v) X3(u, v) : XT(u, v)      | {z_#» } A =      N (u1)1,p∗ N (v1)1,q N (u1)2,p∗ N (v1)1,q ... N (u1)n,p∗ N (v1)m,q N (u2)1,p∗ N (v2)1,q N (u2)2,p∗ N (v2)1,q ... N (u2)n,p∗ N (v2)m,q N (u3)1,p∗ N (v3)1,q N (u3)2,p∗ N (v3)1,q ... N (u3)n,p∗ N (v3)m,q : N (uT)1,p∗ N (vT)1,q N (uT)2,p∗ N (vT)1,q ... N (uT)n,p∗ N (vT)m,q      | {z } M ∗      p1,1 p2,1 p3,1 : pn,m      | {z_#» } P #» A = M#»P (2.15)

Tal como se vio en la secci´on 2.1.2.1 el sistema de ecuaciones se puede resolver invirtiendo directamente la matriz M o utilizando MLS(note que el tama˜no de esta matriz es de T _{× (n ∗ m), mientras que el}

(30)

vector#»P es de n_{∗m×1). Para invertir directamente la matriz, esta debe ser cuadrada, lo que significa} entonces que, la cantidad de puntos de control #»P es igual a la cantidad de puntos conocidos a interpo-lar. Esta opción no siempre es recomendable a la hora de interpolar grandes cantidades de datos como se señalo anteriormente. Por otro lado, utilizar MLS implica que la cantidad de puntos de control que se desea utilizar para realizar la interpolación de los datos, es asignada por el usuario. La desventaja es que nunca se obtendr´ıa una aproximación en la cual, la superficie generada pase exactamente por los datos, sin embargo, esta técnica es muy útil cuando se pretende realizar ajuste de datos experimentales

2.1.5. Area de superficie B-spline´

Una forma de determinar la precisión de los resultados obtenidos en la sección 2.1.4, es interpolar una superficie generada por una función impl´ıcita y luego determinar el área de superficie del B-spline que la interpola y comparar el cálculo anal´ıtico del área de la función impl´ıcita con el cálculo de la integral numérica aplicada al B-spline. En este caso se utilizara cuadratura de Gauss-Legendre como método de integración numérica.

El cálculo de área de superficie de un función paramétrica se realiza de la siguiente forma:

A = Z 1 0 Z 1 0 ∂{X, Y, Z}_∂v ×∂{X, Y, Z}_∂u dudv (2.16)

Pare este caso las derivadas parciales del vector [X, Y, Z] son reemplazadas por:

∂_{{X, Y, Z}} ∂v = _∂NT I (u)PxNJ(v) ∂v , ∂NT I (u)PYNJ(v) ∂v , ∂NT I (u)PZNJ(v) ∂v

note que NI(u) y Nj(V ) son vectores columnas como se muestra en el producto tensorial 2.13c. Luego entonces: ∂_{{X, Y, Z}} ∂v = NIT(u)PX ∂NJ(v) ∂v , N T I (u)PY ∂NJ(v) ∂v , N T I (u)PZ ∂NJ(v) ∂v (2.17) De forma an´aloga se puede aplicar para ∂/∂u.

∂{X, Y, Z} ∂u = _∂NT I (u) ∂u PXNJ(v), ∂NT I (u) ∂u PYNJ(v), ∂NT I (u) ∂u PZNJ(v) (2.18) Finalmente el esquema de la integraci´on queda:

A = npg X i=1 npg X j=1    NT I (u)PX∂N_∂vJ(v) NT I (u)PY∂N_∂vJ(v) NT I (u)PZ∂N_∂vJ(v)    ×    ∂NT I(u) ∂u PXNJ(v) ∂NT I(u) ∂u PYNJ(v) ∂NT I(u) ∂u PZNJ(v)    WiWj uj+1− uj 2 vj+1− vj 2 (2.19)

Donde cada intervalo _{uj, uj+1} y {vj, vj+1} son los limites de integración que se encuentran entre nudos del vector U y v respectivamente, pero para este caso, los dos limites de integración son{0, 1}. Realizar la integral tomando el dominio completo en vez de subdividirlo entre los nudos del B-spline, conlleva a ciertas consecuencias que serán expuesta posteriormente en este capitulo.

(31)

2.1.6. Curvas NURBS 2D y 3D

En las secciones anteriores se estudió como se pueden generar curvas y superficies B-spline. Se sabe que gracias a sus propiedades peculiares son utilizadas ampliamente en el campo de las ciencias e ingenier´ıa. Pero existe una variación (podr´ıa decirse superior) de este tipo de curvas, esta variación es llamada NURBS, estas son las siglas en ingles de NonUniform Rational B-Spline los primeros trabajos publicados sobre este tipo de funciones paramétricas son mostrados en [52][53]. Hoy en d´ıa se encuentran numerosos trabajos donde son aplicadas estos NURBS en diferentes ramas de la ciencia e ingenier´ıa, principalmente en la rama de reconstrucción de geometr´ıas complejas [54–57] y en el análisis de ingenier´ıa al fusionarlo con diferentes métodos numérico(FEM,BEM.XFEM,etc.) [14][17, 18]. Una curva NURBS unidimensional se puede definir de la siguiente forma:

C(u) = Pn

i=0Ni,p(u)wiPi Pn

i=0Ni,p(u)wi

(2.20) Donde Pison los putos de control, wi son los pesos correspondientes a cada punto de control y Ni,p(u) son las funciones base definidas en la sección 2.1.1.1. Se puede rescribir como producto tensorial de la siguiente forma. C(u) = #» NI(u)T(#»P ∗ #»w ) #» NI(u)T#»w (2.21) La diferencia principal entre los NURBS y los B-spline recae sobre el vector de pesos. Al variar los vectores de pesos se puede obtener curvas y superficies NURBS diferentes a los B-spline aun cuando los puntos de control utilizados sean exactamente iguales. Un ejemplo de una curva NURBS 2D se muestra en las figura 13 donde se observa claramente como los pesos correspondientes a cada punto de control cambian la forma de la curva final, esta información esta tabulada en la tabla 4, cuando estos pesos son iguales a la unidad, la curva NURBS colapsa a un B-spline, de igual forma sucede con las superficies,el lector puede verificar fácilmente que el productoN#»I(u)T#»w =PN#»I(u) = 1.

Tabla 4: Puntos de control y pesos.

i 1 2 3 4 5 Px 0 4 6 11 13 Py 0 5 2 8 8 w1 1 1 1 1 1 w2 1 1.5 1 1 1 w3 1 2.5 1 1 1

De igual forma se pueden generar curvas NURBS tridimensionales que pueden tener exactamente los mismos puntos de control pero el resultado final es diferente ya que los pesos respectivos de cada uno de los puntos de control son diferentes, un ejemplo es mostrado en la figura 14. En este caso uno de los puntos de control fue asignado con un peso 10 veces inferior al resto, como consecuencia la curva presenta una clara repulsi´on.a_{dicho punto en especifico. Cuando es asignado un peso negativo a uno} de los puntos de control la repulsi´on”provocada en la curva es considerablemente mayor.

Por consiguiente se puede afirmar que para una curva B-spline C(u) con #»P puntos de control existen infinitas variaciones de curvas NURBS, las cuales son provocadas por el vector de pesos #»w .