Propagación de ondas de Rayleigh en medios con grietas

(1)

Revista

Internacional

de

Métodos

Numéricos

para

Cálculo

y

Diseño

en

Ingeniería

w w w . e l s e v i e r . e s / r i m n i

Propagación

de

ondas

de

Rayleigh

en

medios

con

grietas

E. Olivera-Villase ˜

nor

a,∗

_,

_J.

_{Nú ˜}

_nez-Farfán

a

_,

_N.

_{Flores-Guzmán}

b

_,

_M.

_{Carbajal-Romero}

c

_,

A. Rodríguez-Castellanos

a

_y

_F.J.

_{Sánchez-Sesma}

d a_Instituto_Mexicano_del_Petróleo,_Eje_Central_L._Cárdenas_152,_CP_07730,_México_D.F.,_México b_Centro_de_{Investigación}_en_{Matemáticas,}_Jalisco_s/n,_Mineral_de_Valenciana,_Guanajuato,_México

c_Instituto_Politécnico_Nacional,_Unidad_Profesional_ESIME_{Azcapotzalco,}_Av._de_las_Granjas_682,_Sta._Catarina,_Del._{Azcapotzalco,}₀₂₂₅₀_México_D.F.,_México d_Instituto_de_Ingeniería,_Universidad_Nacional_Autónoma_de_México;_Cd._{Universitaria,}_Coyoacán_04510,_México_D.F.,_México

i n f o r m a c i ó n

d e l

a r t í c u l o

Historiadelartículo: Recibidoel3deabrilde2012 Aceptadoel12deagostode2012 On-lineel27defebrerode2013 Palabrasclave: FuncionesdeGreen Deteccióndegrietas OndasdeRayleigh

Métododeelementosfrontera Cocientesespectrales TeoremadeSomigliana Picosderesonancia

r

e

s

u

m

e

n

Estetrabajoestáenfocadoalaobtenciónderesultadosnuméricosquepermitanladeteccióny carac-terizacióndegrietassub-superﬁcialesensólidosmediantelaincidenciadeondaselásticasdeRayleigh. Losresultadosseobtienenapartirdeecuacionesintegralesdefrontera,quepertenecenalcampodela elastodinámica.Unavezqueseaplicanlascondicionesdefronteraseobtieneunsistemadeecuaciones integralesdeltipoFredholmdesegundaespecieyordencero,elcualesresueltomediante elimina-cióngaussiana.Elmétodoqueseempleaparaladiscretizacióndedichasecuacionesesconocidocomo «métodoindirectodeelementosfrontera»,elcualpuedeservistocomounaderivacióndelteorema clá-sicodeSomigliana.Apartirdelosanálisisrealizadoseneldominiodelafrecuenciaemergenpicosde resonanciaquepermiteninferirlapresenciadegrietasmedianteloscocientesespectrales.Se analiza-ronvariosmodelosdemediosagrietadosdondesepretendeevidenciarlagranutilidadquepresentael usodeloscocientesespectralesparaidentiﬁcargrietas.Seestudiaronlosefectosdelaorientaciónyla localizacióndelasgrietas.Losresultadosobtenidospresentanbuenaconcordanciaconlospublicados previamente.

Propagation

of

Rayleigh’s

waves

in

cracked

media

Keywords: Green’sfunctions Crackdetection Rayleigh’swaves Boundaryelementmethod Spectralratio

Somigliana’stheorem Resonancepeaks

a

b

s

t

r

a

c

t

Thisworkisfocusedontheﬁndingofnumericalresultsfordetectionandcharacterizationofsub-surface cracksinsolidsundertheincidenceofRayleigh’selasticwaves.Theresultsareobtainedfrom boun-daryintegralequations,whichbelongtotheﬁeldofdynamicsofelasticity.Onceappliedtheboundary conditions,asystemofFredholm’sintegralequationsofsecondkindandzeroorderisobtained,which issolvedusingGaussianelimination.Themethodthatisusedforthesolutionofsuchintegralequationsis knownastheIndirectBoundaryElementMethod,whichcanbeseenasaderivationoftheSomigliana’s classictheorem.Onthebasisoftheanalysismadeinthefrequencydomain,resonancepeaksemergeand allowustoinferthepresenceofcracksthroughthespectralratios.Severalmodelsofcrackedmediawere analyzed,whereanalysesrevealthegreatutilitythatdisplaystheuseofspectralratiostoidentifycracks. Westudiedtheeffectsoforientationandlocationofcracks.Theresultsshowgoodagreementwiththe previouslypublished.

∗ Autorparacorrespondencia.

Correoelectrónico:[email protected](E.Olivera-Villase ˜nor).

1. Introducción

Es bien sabido que la presencia de grietas en componentes estructurales conduce a problemas de estabilidad e integridad estructural.Las grietasenmateriales ycomponentes usadosen laingenieríamecánicaycivilcausanlareduccióndelacapacidad estructuralypuedenconducirainestabilidadocolapso.

(2)

Eldesarrollodeestudiospara laidentificacióny caracteriza-cióndelasgrietastienesuorigenenunagranvariedaddeáreas, citando,porejemplo,aGriffith[1].Elprogresotecnológicocentrado enensayosnodestructivos(NDT)delosmaterialeshaconducido al desarrollode dispositivos tales como generadoresde pulsos (ondasmecánicas)yreceptoresque puedenllegar afrecuencias tanaltascomo200MHz.Porotrolado,losavancesteóricosyen losmodelosnuméricos[2,3]handemostradoserútilesparauna interpretaciónconjunta conlosdesarrollosenelcampodeNDT [4,5].Unpanoramageneralderesultados teóricosenrelación a lainteraccióndelasondaselásticascongrietaspuedeverse en ZhangyGross[6].Laidentificaciónycaracterizacióndegrietas desuperficie ysub-superficialesque utilizan lasondas de Ray-leighsondemuchointerésenlaindustria;véanse,porejemplo ,lasreferencias[7–12].Principalmenteydesdeelpuntodevista teórico,Achenbachetal.handesarrolladoformulacionesquehan contribuidoenormementealacomprensiónencaminadaala carac-terizacióndegrietasmedianteelusodeondaselásticas,citandopor ejemplo[13–16].

Adicionalmente,sehandesarrolladodiversasinvestigacionesen elcampodelasecuacionesintegralesdefronteraaplicadasa la identificaciónycaracterizacióndecavidadesygrietas[17–19].Una contribuciónsumamenteimportantefueladesarrolladaen[20], lacualestá encaminadaal estudio delasecuacionesintegrales hipersingularesconfinesdeidentificacióndegrietas,remarcando suvaliosoyauxiliarusoenanálisisdeNDT.Porotrolado,para finesdeidentificacióndegrietassehademostradoquelasondas irradiadasdependendeunaintegraldeltensordeGreende traccio-nesponderadaconlaaperturadelacaradelagrietaylascualesson relativamenteinsensiblesaconcentracionesdeesfuerzos[21].Las ecuacionesintegralesdefronteradedesplazamientosseutilizaron paralalocalizacióndegrietasaplicandovibracionesoultrasonido enRusyGallego [22],ysu principalobjetivofue elde evaluar lacapacidaddesolucionarproblemaspertenecientesalcampode NDT.

Estetrabajoconsideraelestudiodelasecuacionesintegrales de frontera, las cuales pueden ser derivadas del teorema clá-sico deSomigliana, para abordar la detección ycaracterización dediscontinuidadessub-superﬁcialesmedianteondasdeRayleigh. Particularmente,estemétodopuedeservistocomouno pertene-cientealos métodosdeelemento frontera(MEF),yadquiere el carácterdeindirecto(MIEF)debidoaquelasincógnitas, conoci-dascomodensidadesdefuerza,seobtienenenunpasointermedio. Elsistemadeecuacionesintegrales,detipoFredholmdesegunda especieyordencero,seobtieneapartirdelaaplicacióndelas con-dicionesdefronteraenlospuntosdecolocación.Estospuntosde colocaciónseestablecenenlospuntosmediosdecadaelemento frontera(elementosconstantes).Paralasolucióndelsistemade ecuacionesintegralesobtenidosehaempleadoelmétodode elimi-nacióngaussiana,debidoaqueesterepresentaunmétodosimple quepermitelaobtencióndesolucionesexactasalasecuaciones lineales.Sehatenidoespecialcuidadodeevitarproblemasdemal condicionamientodelsistemadeecuaciones,yporlotantofue posi-bleobtenersolucionesprecisasparalosmodelosaquíplanteados. Esimportantemencionarqueapartirdelanálisiseneldominio delafrecuenciaseobservanpicosderesonanciaquepuedenestar relacionadosconlapresenciadegrietassub-superﬁciales yque aparecenclaramenteempleandoloscocientesespectrales.

2. Ecuacionesintegralesdefrontera

Sise considera un dominiosólidoelástico V delimitadopor sufronteraS,loscamposdifractadosdedesplazamientosy trac-ciones, bajo una excitación armónica, pueden ser expresados,

despreciandolasfuerzasdecuerpo,pormediodelasecuaciones integralesdefrontera: ud_i(x) =

∂S Gij

x,

j

dS, (1) y t_id(x) =ci(x) +

∂S Tij

x,

j

dS, (2) donde ud

i(x) =i-ésimacomponente de desplazamientoen un puntox,Gij

x;␰

=funcióndeGreen,querepresentanel desplaza-mientoendirecciónienxdebidoalaaplicacióndeunafuerza uni-tariaendirecciónjenelpunto␰,j

␰

esladensidaddefuerzaen direcciónjenelpunto_␰.Elproductoj

␰

dS_␰esladistribución delafuerzaenlasuperﬁcieS(lossubíndicesi,jselimitanaser1o 3).Elsubíndicedeladiferencialmuestralavariablesobrelacualse vaarealizarlaintegración.Estaecuaciónintegralpuedeobtenerse apartirdelarepresentaciónintegraldeSomigliana[23].Además, sehademostradoquesij

␰

escontinuaalolargodeS,enese casoelcampodedesplazamientosescontinuoatravésdeS[24]. td

i (x) =i-ésimacomponentedetracciones,c=0,5sixtiendeala fronteraS«desdedentro»delaregión,c=−0,5sixtiendeaS«desde fuera»delaregión,oc=0sixnoestáenS.Tij

x;␰

=funciónde traccionesdeGreen,osea,latracciónenladirecciónienelpunto

x,vinculadoalvectorunitarioni(x),debidoalaaplicacióndeuna fuerzaunitariaendirecciónjen␰sobreS.LasfuncionesdeGreen paradesplazamientosytraccionesparaunespacioinﬁnitopueden serconsultadasenSánchez-SesmayCampillo[23].

3. Planteamientodelproblema

Entérminosgenerales,enlapropagacióndeondasenmedios agrietados,loscamposdedesplazamientos ytraccionespueden ser representados por la suma deun campo libre (superíndice «o»)ydeuncampodifractado(superíndice«d»),estoes:ui(x)= uo

i(x)+udi(x)yti(x)=tio(x)+tdi(x),respectivamente.Elcampolibre seexpresa,porejemplo,porlaincidenciadelasondasP,SVode Rayleigh.Lascondicionesenlasuperﬁcielibreseconocencomo detraccioneslibresyserepresentancomoti(x)=0.

Lasecuacionesintegralesestablecidasenlasecuaciones(1)y (2)permitenlainclusióndegrietasodiscontinuidadesdebidoal usodelconceptode multi-región.Eldominiodeestudio puede serdiscretizadoenregiones,ylauniónentreellasdebe satisfa-ceralascondicionesdefronteraquerepresentanlacontinuidad (uR

i(x)=uEi(x)ytiR(x)=tiE(x))paraunaregiónRyunaregiónE,por ejemplo.Paraincluirunagrietaentrelas2regionessedeben esta-blecerlascondicionesdefronteradetraccioneslibresenlascaras delasgrietasyseescribencomotR

i(x)=0ytEi(x)=0.

Cadasuperﬁciesedivideenelementosfronteracuyalongitud esigualomenora1/6delalongituddeondasSVobtenidaacada frecuencia.Porejemplo,paraunasuperﬁcielibre,launiónentre lasregionesRyE yladiscontinuidado grietase requierenlos elementosfronteraN,MyK,respectivamente.Entonces,las ecua-ciones(1)y(2)puedenserescritas,considerandoloscamposlibres ydifractadosylascondicionesdefronteradescritasanteriormente, como: cR i(x)+

∂R R j

␰

TR ij

x;␰

dS=−to R i (x), x∈∂3R, (3)

∂R Rj

␰

GRij

x;␰

dS−

∂E Ej

␰

GEij

x;␰

dS =uo_iE(x)−u_ioR(x), x∈∂1R=∂1E, (4)

(3)

cR_i(x)+

∂R R_j

␰

T_ijR

x;␰

dS␰−cEi(x) −

∂E E_j

␰

T_ijE

x;␰

dS␰=tioE(x)−to R i (x), x∈∂1R=∂1E, (5) cR_i(x)+

∂R R_j

␰

T_ijR

x;␰

dS␰=−tioR(x), x∈∂2R (6) y cE_i(x)+

∂E _jE

␰

T_ijE

x;␰

dS=−toE i (x),x∈∂2E, (7)

LaregiónRestáformada porlafrontera∂R=∂1R∪∂2R∪∂3R, mientrasquelaregiónEloestáporlafrontera∂E=∂1E∪∂2E.∂1Ry ∂1ErepresentanlossegmentoscontinuosentrelaregiónRyE,∂2R eslacorrespondientealadiscontinuidadogrietapertenecientea laregiónR,∂2Eesladiscontinuidadogrietaenelladodelaregión E,y∂3ReslasuperﬁcielibrequepertenecealaregiónR.

Paraelprocesodediscretizacióndelasfronteras,incluyendo lascarasdelasgrietas,seempleanelementosfronteraconstantes. Estetipodeelementoshansidousados enlasoluciónde diver-sosproblemasrelacionadosconladifraccióndeondaselásticasy hanmostradosereﬁcientesparaobtenerrespuestasprecisas[25]. Apartirdeladiscretizacióndelasecuaciones(3)ala(7)seforma unsistemadeecuacionesdeltipoFredholmdesegundaespeciey ordencero.Susoluciónserealizaempleandoelmétodode elimina-cióngaussiana.Unavezqueseobtienenlosvaloresdelaincógnitas (’s)esposibledeterminarelcampodifractadode desplazamien-tosydetracciones.Elsistemadeecuacionesintegralesresultante eselquesemuestraacontinuación.GyTsereﬁerenalafunción deGreen de desplazamientosy detracciones, respectivamente. Elsuperíndicerepresentaalaregióndeintegración(RoE)ylos subíndicesseasocianalosgradosdelibertadconsiderados(x,z), asociadosa1y3,respectivamente. Tx x R x x R T 2 1 2 1 R T x z R T x z 0 0 x x R T R x Tz T 0 Tz x R x z 0 R 1 _TR z z R 2 T 1 2 z z R z Tx z z R T 0 0 0 0 0 0 0 0 z x R T R x Tx TR x z T R z z T z T x 0 Tz 0 z x R T 0 1 _TR x R x 2 T 1 R 1₂ x x z z T z 12 R T R z x z R x 0 2 R T z T x 0 Tz 0 z x E T 0 1 _TE x E x 2 T 1 E 1₂ x x z z T z 12 E T E z x z E x 0 2 E TR x z x Tx R z x R T z z R T TE x z x Tx E z x E T z z E T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 TR x z z z R T z x R T x Tx R TR x z z z R T z x R T x Tx R TR x z z z R T z x R T x Tx R TE x z z z E T z x E T x Tx E GR x z z z R G z x R G x Gx R 2 Tx R x 1 x T 2 1 x R x R z T 0 T 0 x R z T TR x z 0 R 0 z x 2 T 2 R z 1 Tz R 1 z z 2 E T 1 T 1₂ x x Tz E x 0 0 z x E T T 0 z x E T x z 0 E 2 1 T 1 E 2 _z_z z z T E Gx x R Gx z R R Gz z R Gz x Gx x E Gx z E E Gz z E Gz x Gx x R Gx z R R Gz z R Gz x Gx x E Gx z E E Gz z E Gz x E 0x R 0z R 0x R 0z R 0x E 0z E 0x R 0z R 0x E 0z E

t

x o R

t

z o R

t

x o R

t

z o R

t

x o E

t

z o E 0 0 0 0

=

x x (8)

4. Validaciónyejemplosnuméricos

Comosemencionóanteriormente,elcampo incidentepuede serrepresentadoporcualquiertipodeondaquesepropagaenel plano,esdecir,ondaP,SVodeRayleigh.Laformulaciónintegral aquípresentadaesvalidada empleando4relacionesde profun-didaddegrieta,dadaspord

_⁄

_2a₌_0,2,_0,4,_0,6_y_1,0,_donde_d_es_la profundidaddelagrietay2aessulongitud.Paraesteﬁnde vali-daciónseutilizalaincidenciadeondasP.Elrangodefrecuencias analizadoesde0≤≤3,0,donde=ωd

C_R,ωeslafrecuencia angu-laryCRrepresentalavelocidaddelasondasdeRayleigh;elsólido consideradosatisfacelarelacióndePoissonde=0,25.Achenbach etal.[13]estudiaronestasmismasrelacionesdeprofundidadpara unagrietahorizontalycalcularonlosdesplazamientos horizonta-lesobtenidosenlasuperficie(puntoA,fig.1b)delsólidoagrietado yencontróquelasgrietasprovocan,enunanálisisenfrecuencia, picosderesonanciaquepuedenserdeutilidadparaidentificary caracterizargrietas.LosresultadosobtenidosporAchenbachetal. [13] y los obtenidosmediante la presente formulaciónintegral sepresentanenlafigura1a.Lacongruenciaentreambos resul-tados essatisfactoria. Resulta claroque lasgrietas superficiales tiendenadescribirpicosderesonanciaagudos.Amedidaquelas grietastiendenasermásprofundas(p.ej.,d

_⁄

_2a₌_1,_0),_los_picos_de resonanciasevuelvenmenosevidentes.Paradetallesadicionales referentesalprocesodevalidaciónderesultados,referimosallector aconsultarlareferencia[25].

Adicionalmente,enlafigura1csegraficanlosresultados obteni-dosporGraff[26]correspondientesaunaondadeRayleighquese propagaenmediosconcaracterísticasdefinidasporsurelaciónde Poisson(=0,25y=0,33).Élmuestralosdesplazamientos nor-malizadosconrespectoalaprofundidad,paralas2relacionesde Poissonconsideradas.Menciona,además,quelaenergíase encuen-tralocalizadacercadelasuperficielibreydesapareceencasiuna longituddeondadeRayleigh(R),comoesclaramenteobservado. Porlotanto,elusoeficazdelasondasRayleighparadetecciónde grietaspodríalimitarsealasgrietassuperficiales.Graff[26]grafica

(4)

0,0 −0,2 −0,4 −0,6 0,0 0,5 1,0 Frecuencia adimensional (ωd/CR) 1,5 2,0 2,5 Medio agrietado Achenbach et al. [13] MIEF (presente trabajo)

3,0 −0,8 −1,0 ν = 0,33 ν = 0,25 ν = 0,25 ν = 0,25 Graff (h = 0,68) (v = 1,00) Superficie libre ν = 0,33 Presente trabajo Graff [26] Medio no agrietado −0,4 −0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 Desplazamientos normalizados, h/v_o_{, v/v}_o Profundidad adimensional, X 3 /λR Desplazamiento horizontal 1,0 1,2 ν = 0,25 v/v_o h/v_o −1,2 −1,4 −1,6

a)

c)

b)

x₃ b 1 2 3 4 5 d/2a Localización de receptores d/2a = 1,0 d/2a = 0,6 d/2a = 0,4 d/2a = 0,2 X₁ a A δr θ Ondas P Ondas de Rayleigh 2 a 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0

Figura1.a)ComparacióndelosresultadosobtenidosporAchenbachetal.[13]yel

presentetrabajoparaunmediosujetoalaincidenciadeondaselásticasP.b)Modelos demediosagrietadosestudiadosenelpresentetrabajo.c)Desplazamientos,debidos aondasdeRayleigh,normalizadosenfuncióndelaprofundidad,dondevoesel

valorparaeldesplazamientoverticalenlasuperﬁcie;resultadosdeGraff[26]ydel presentetrabajo.

losdesplazamientoshorizontales(h)yverticales(

v

)yobtienelos valoresdeh=0,68y

v

=1,00enlasuperficielibre,parauna rela-cióndePoissonde=0,25.Porlotanto,larelaciónespectralpara estecasoes h/v=0,68. Lafigura1cincluyecurvas obtenidasen elpresentetrabajopara=0,25(líneadiscontinua).Seobserva unabuenaconcordanciaentrelosresultadosobtenidosmediante elMIEFyGraff[26].Losmodelosagrietadosestudiadosenel pre-sentetrabajoyaloscualesselescalculasucocienteespectralse ilustranenlafigura1b.

Paraestudiarlainﬂuenciadelasgrietasantelaincidenciade lasondasdeRayleighseconsideraron4relacionesde profundi-dadd

_⁄

_2a₌_0,2,_0,4,_0,6_y_1,0._El_análisis_en_frecuencia_se_llevó_a_cabo paraelrangode0≤≤3,0.SeseleccionóunsólidodePoisson, esdecir,=0,25. Losdesplazamientoshorizontalesyverticales medidosenelpuntoA(verdetalleenlafig.2a)semuestranen lasfigura2ay2b,respectivamente,paralagrietamássuperficial (d

_⁄

_2a₌_0,₂₎_y_la_grieta_más_profunda₍d

_⁄

_2a₌_1,_0)._Se_espera_que_una grietasuperficialcausealteracionesimportantesenlasondas Ray-leigh,mientrasqueuna grietaprofundapresenteunefectocasi insignificanteparaambascomponentesdedesplazamientos.Esto esclaramenteobservableenestasfiguras.

Laﬁgura2cmuestrauncocienteespectralh/v casiconstante paratodaslasrelacionesdeprofundidad,exceptoparalasgrietas

deprofundidadd

_⁄

_2a₌_0,₂_yd

_⁄

_2a₌_0,_4._En_el_detalle_ampliﬁcado_de laﬁgura2csepuedeobservarelprimerpicocausadoporla profun-didaddegrietad

_⁄

_2a₌_0,_2,_así_como_el_{comportamiento}_constante mostradoparaunagrietaconunaprofundidadd

_⁄

_2a₌_1,_0. Adicio-nalmente,sepuede observarquea bajasfrecuenciaslarelación espectral h/v tiende a 0,6815 para cualquierprofundidad de la grieta,yestevalorinclusosemantieneparaelcasodecuandono existegrieta,locualconcuerdaconloobtenidoporGraff[26],quien obtuvovaloresdeh=0,68yv=1,00enlasuperficie(fig.1c).Porlo tanto,elcocienteespectralh/v=0,68,obtenidoporGraff[26], con-cuerdasatisfactoriamenteconelobtenidoenelpresentetrabajo (fig.2c).

Conelpropósitodeobservarelcomportamientodeloscocientes espectralesenfuncióndelaorientacióndelagrieta,enlaﬁgura3 sepresentanestosparaunángulo =45◦ (grietadescendente)y =135◦ (grietaascendente).Larelacióndeprofundidad conside-radaesded

_⁄

_2a₌_0,_1,_en_ambos_casos._Se_determinaron_los_cocientes espectralesparalos5receptoresmostradosenlafigura1b,el incre-mentodedistanciaentreellosesdeır=2/a.Loscomentariosmás importantesquesurgendeestos2casosestudiadossemencionan acontinuación.Lagrietadescendente(líneacontinua)provocala difraccióndeenergíaalinteriordelmedio.Porestarazón,los recep-tores4y5noregistranfuertesamplificacionesynosepresentan interaccionesdeondadeRayleighentrelacarasuperiordelagrieta ylasuperficielibre.Estasinteraccionesseobservanclaramenteen losreceptores1y2.Uncomportamientosimilarseobservapara lagrietaascendente(líneadiscontinua),exceptoquelas reflexio-nesdelasondassonmuyevidentesparalosreceptores1y2.Para elreceptor3,sepresentanpicosderesonanciamuyimportantes. Parael casodegrietasdescendentessetieneuna amplificación sumamenterelevante en=0,2362, mientrasque para grietas ascendentesestepicoseobservaen=0,5724.Estehechoimplica quelospicosderesonanciaquesepresentanenloscocientesh/v dependendeladirecciónenlaqueviajanlasondasdeRayleigh, ytambiéndelaorientacióndelasmismasgrietas.Esdecir,una mismagrietaresponderádediferentemanera,mostrandopicosde resonanciadependiendoladirección deincidenciadelasondas deRayleigh,locualpuedetenerimplicacionesprácticas.

Para observar los cocientes espectrales h/v debido al

agrie-tamiento múltiple, se modelaron sistemas de 3 grietas. Se

consideraron primeramente grietas: ascendentes consecutivas ( =135◦),descendentes( =45◦)yhorizontales( =0◦),yse deter-minaron los cocientes espectrales en los receptores 1 y 5. La distanciadesde elreceptor 1a 5esde32/2a, d

_⁄

_2a₌_0,_1,_b/2a₌ 0,7171(fig. 1b) para lasgrietas nohorizontales ypara grietas horizontalesb/2a=1,0.Enlafigura4,lasgrietasdescendentes (líneadiscontinua)muestranpocasinteraccionesdelasondaspara ambosreceptores,comoeradeesperar,debidoaladifracciónde energíahaciaelinteriordelmedio.Sinembargo,lasgrietas ascen-dentes(líneacontinua)yhorizontales(líneapunteada)presentan másinteraccionesdeondasentrelacarasuperiordelagrietayla superficielibre.Esteefectoesmásevidenteenelreceptor1.En todosloscasos,elreceptor5muestraunarespuestaatenuadaa altasfrecuencias.

Comosemencionóanteriormente,lospicosderesonancia cau-sadosporlaincidenciadelasondasdeRayleighsonmásfuertes paraalgunasdireccionesdepropagaciónuorientacióndelagrieta. Estacaracterísticapuedeoriginarproblemasalmomentode identi-ficarocaracterizargrietas.Porlotanto,unagrietapodríapresentar picosderesonanciaevidentescuandoestasesometeauna direc-cióndadadelasondasRayleigh,mientrasquelamismagrietapuede nopresentarpicosimportantesderesonanciaparaotraincidencia u orientación. Enlafigura5 se graficanlos cocientes espectra-lescalculadosenelpuntoBpara12orientacionesdelagrietade acuerdoconlafigura5a.Loscocientesespectralessegraficanenla figura5b,mientrasquelarespuestadetalladaparacadaángulode

(5)

Frecuencia adimensional, η = ωd/CR Detalle 0,0 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,1 0,2 d/2a = 0,2 d/2a = 1,0 0,3 0,4 0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Sólido de poisson (ν = 0,25) d/2a = 0,2 d/2a = 0,6 d/2a = 0,4 Ver detalle η = ωd/CR Sólido de Poisson (v = 0,25) η = ωd/CR 0,70 0,69 0,68 0,67 0,66 0,00 40 30 20 10 0 4 3 2 d/2a = 0,2

Desplazamiento horizontal (h) Desplazamiento vertical (v)

Cociente espectral (h/v) d/2a = 1,0 d/2a = 0,2 d/2a = 1,0 d/2a 2a A 1 0 5 4 3 2 1 0 −1 0,0 0,5 1,0 1,5 Valor teórico (h/v = 0,68) Graff [26] Valor numérico (h/v = 0.6815) presente trabajo 2,0 2,5 3,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 0,01 0,02

a

c

b

Sólido de Poisson (v = 0,25)

Figura2.GrietassometidasalaincidenciadelasondasRayleigh.a)Desplazamientoshorizontalesparalasprofundidadesdegrietad

_⁄

_2a₌_0,₂_yd

_⁄

_2a₌_1,_0._b)_{Desplazamientos}

verticalesparalasprofundidadesdegrietad

_⁄

_2a₌_0,₂_yd

_⁄

_2a₌_1,_0._c)_Relación_espectral_h/v_para_{profundidades}_de_grietad

_⁄

_2a₌_0,2,_0,4,_0,6_y_1,0.

incidenciaseilustraenlaﬁgura5c.Esnotablequeparalasgrietas horizontalesocasihorizontalesseobservenpicosderesonancia agudos.Elvalor máximode h/ves cercanoa 30 ycorresponde a una grieta con deángulo =165◦. Lagrieta vertical muestra un valor h/v casi constante para todo el rango de frecuencias estudiado.

Finalmente,enlafigura6serelacionanlasfrecuenciasde reso-nancia ¯f (obtenidasapartirdelospicosmostradosenlafigura1a) conlos tama ños de las grietas horizontales. Adicionalmente, y conel propósitodedarunaexplicacióna dichasfrecuenciasde

18 16 _{Receptor 5} Receptor 4 Receptor 3 Receptor 2 Receptor 1 14 12 1 2 3 Grietas descendentes Grietas ascendentes 2 0 4 5 10 8 6 4 2 0 −0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 Frecuencia adimensional, η = ωd/CR

Cociente espectral, ondas de Rayleigh, (h/v)

Escala

2,0

1 2 3 4 5

η = 0.5724

η = 0.2362

Figura3. CocientesespectralesdebidosalaincidenciadeondasdeRayleighen

grietasascendentes(líneadiscontinua)ydescendentes(líneacontinua),paraun sólidodePoisson.

resonancia,seconsideróqueelespacioentrelacarasuperiorde la grietayla superficielibre se podríaidealizar comouna viga sujetaaflexión.Seestimóqueelcomportamientorealen frecuen-ciaparauna grietahorizontaltendría queestarcontenidoentre las2condicionesdefronteraextremaspara lasvigas.Paraesto, seconsideróprimeramenteunavigasimplementeapoyadaensus extremos(FEM1)ydespuésunavigaconlosextremosfijos(FEM 2).Lalongituddelasvigasesde2a,ylasalturasdeellassatisfacen larelaciónd/2a=0,2,0,4,0,6y1,0.LarelacióndePoissonempleada fuede=0,25.Losmodelosnuméricosdeestasvigasfueron rea-lizadosutilizandoelprogramacomercialconocidoANSYSversión

Grietas ascendentes Grietas decendentes Grietas horizontales Receptor 5 Receptor 1 −0,5 0,0 0,5 1,0 Frecuencia adimensional, η = ωd/CR

Cociente espectral, ondas de Rayleigh, (h/v)

1,5 2,0 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0

Figura4.CocientesespectralesdebidoaondasdeRayleighqueincidenensistemas

(6)

a

b

c

B Onda de Rayleigh Superficie libre Dirección de propagación γ = 165º _{γ = 150º} 165º 150º 135º 120º 105º 90º 75º 60º 45º 30º 15º γ = 135º γ = 120º γ = 105º γ = 90º γ = 75º γ = 60º γ = 30º γ = 0º γ = 45º γ = 15º γ = 0º 30 25 20 15 10 5 0 30 25 20 15 10 5 0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 d/2a = 0,1 2a γ γ = 165º γ = 0º 30 25 20 15 Cociente espectral (h/v) 10 5 0 0,0 0,5 30 25 20 15 10 5 0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 30 25 20 15 10 5 0 30 25 20 15 10 5 0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 30 25 20 15 10 5 0 1,0 1,5 2,0 η = ωd/CR 30 25 20 15 10 5 0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 _0,0 _0,5 _1,0 _1,5 _2,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 30 25 20 15 10 5 0 30 25 20 15 10 5 0 30 25 20 15 10 5 0 30 25 20 15 10 5 0 30 25 20 15 10 5 0

Figura5.Efectosdeorientacióndegrietas:a)modelodeestudio;b)cocienteespectral,yc)respuestadetalladaparavariasorientacionesdegrietas.

0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 FEM 1 Grieta MIEF FEM 2 Presente trabajo Achenbach et al. [13] 1,2 d/2a 1,4 ƒ (Hz)

Figura6. Frecuenciaderesonancia(¯f)vs.relaciónd/2a.Losresultadosobtenidosen

elpresentetrabajosegraficanconlíneacontinua,mientrasquelosobtenidospor Achenbachetal.[16]segraficanconcírculos.Seobservabuenaconcordanciaentre ambosresultados.Lascurvasrayapuntoyrayapuntopuntorepresentanlos resul-tadosobtenidosmedianteelmétododeelementosfinitosmodelandounavigacon 2condicionesdefrontera.Lalíneapunteadarepresentaelpromediodelosanálisis FEM.

9.0.Lasvigassemodelaronencondicionesdedeformaciónplana yseemplearonelementosfinitosdeltipoPlane82.Lasfrecuencias deresonancia,tantodelpresentetrabajocomodelosresultados obtenidosporAchenbach etal. [13], se graficanen la figura6. Asítambién,segraficanlasfrecuenciasderesonanciasobtenidas apartirdelosanálisisFEM1yFEM2.Lalíneapunteada repre-sentaelpromediodelosanálisisrealizadosmedianteelmétodode elementosfinitos(FEM1yFEM2).Seobservaquelosresultados obtenidosmedianteelpresentetrabajoylosdeAchenbachetal. [13]muestranbuenaconcordancia,yademás,quelaidealización mediantevigasesunabuenaherramientaparaestimardemanera aproximadadichasfrecuencias.

5. Conclusiones

Elpresentetrabajosederivadelasecuacionesintegralesdeltipo Fredholmdesegundaespecieyordencero.Despuésdelaaplicación delascondicionesdefronterayelusodelconceptodemulti-región, fueposibledeterminarunsistemadeecuacionesintegralesenel quelasincógnitas,conocidascomodensidadesdefuerza,se obtu-vieronparacadaunadelasfrecuenciasanalizadas.Estemétodode elementosfronterapuedeservistocomouna conceptualización deteoremaclásicodeSomigliana.Laexcitacióndelsistemasellevó acaboporlaincidenciadelasondasPydeRayleigh.Paraesteúltimo tipodeondassedeterminaroncocientesespectrales,loscuales pue-denserútilesparalaidentiﬁcaciónylacaracterizacióndegrietas contenidasensólidos.

Losresultadosobtenidosenelpresentetrabajofueron valida-dosconlosresultadospublicadosporAchenbachetal.[13]yGraff [26].Lapresenciadegrietasodiscontinuidadesprovocapicosde resonancia que pueden ser identiﬁcados mediante un análisis defrecuencia.Lospicosderesonanciasonmásagudoscuandolas discontinuidadessonsomeras.Además,seobservóqueunagrieta podríapresentarpicosderesonanciaevidentescuandosesometea unadireccióndeexcitación,mientrasquelamismagrietapuedeno presentarpicosimportantesderesonanciaparaotraincidenciade ondasdeRayleigh.Finalmente,seemplearonmodelosde elemen-tosﬁnitosparaexplicarlasfrecuenciasderesonanciasqueemergen enlosanálisisdefrecuenciaenmediasagrietados,ylosresultados fueronsatisfactorios.

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