Estad´ıstica y modelizaci´on. Ingeniero T´ecnico en Dise˜no Industrial.
Relaci´
on de problemas: Teor´ıa de muestras
1. Cada a˜no se lleva a cabo en la Reserva Natural de la laguna de Fuente Piedra (M´alaga) una campa˜na de anillamiento de flamencos que permite conocer aspectos tan importantes para la conservaci´on de la especie como su supervivencia y mortalidad, movimientos, migraciones, causas de mortandad, uso de h´abitats, reproducci´on, intercambio entre poblaciones, etc. El n´umero de pollos a anillar depende de las tasas de nacimiento registradas en los a˜nos anteriores. Se ha estimado que el n´umero de nacimientos por a˜no sigue una distribuci´on de Poisson y la media de nacimientos durante los ´ultimos 30 a˜nos es 14023.75 pollos al a˜no.
(a) Estima un intervalo de confianza al 90% para la media de nacimientos que se registran en la laguna por a˜no.
(b) ¿Puede admitirse que el n´umero medio de nacimientos es de 14000 pollos al a˜no, a un nivel de significaci´onα= 0.1?
2. Se supone que la altura de cierto arbusto silvestre sigue una distribuci´on normal y se quiere hacer una estimaci´on de la altura media que alcanza en una sierra determinada. Para ello, se miden 30 ejemplares de esta planta silvestre en una zona y se obtiene una media muestral de 45.5 cm y una desviaci´on t´ıpica muestral de 5.6 cm.
(a) Estima un intervalo de confianza al 95% para la altura media del arbusto en esta zona. (b) En otra zona de la misma sierra, se midieron otros 30 ejemplares, obteni´endose ahora una media muestral de 43 cm y una cuasidesviaci´on muestral de 6.235 cm. Da un intervalo de confianza para la diferencia de altura media en ambas zonas y deduce si se puede considerar que hay una diferencia significativa entre la altura del arbusto en las dos, con un nivel de significaci´onα = 0.1.
3. El ´area de Servicios Sociales del Ayuntamiento de cierta poblaci´on decide poner en marcha un servicio de atenci´on domiciliaria a personas mayores, siempre que la proporci´on de personas mayores de 65 a˜nos que vivan solas (y, por tanto, podr´ıan beneficiarse potencialmente del programa) sea al menos del 55%. Se tomaron al azar 50 personas mayores de 65 a˜nos censadas en dicha poblaci´on, de las cuales 33 resultaron vivir solas. Con un nivel de significaci´on 0.05, ¿se pondr´a en marcha el programa?
4. Para que el agua de un manantial sea declarada minero - medicinal, el contenido de calcio debe ser inferior a 80 mg/l. Despu´es de analizar 30 litros procedentes de un manantial de la sierra de Grazalema, se determin´o un contenido medio de calcio de 76.56 mg/l y una desviaci´on t´ıpica muestral de 10 mg/l. A un nivel de significaci´onα= 0.1, ¿podr´a declararse este agua de Grazalema, minero - medicinal?
5. El tiempo en minutos que se tarda en hacer el recorrido completo de una determinada l´ınea de autob´us urbano, sigue una distribuci´on normal de desviaci´on t´ıpica 15.45 minutos. Se observa lo que tardan 50 autobuses en realizar el recorrido y se obtiene una media muestral de 45 minutos. Con un nivel de confianza del 95%, ¿entre qu´e dos valores se puede considerar que estar´a el tiempo del recorrido aproximadamente?
6. El entrenador de un nadador especialista en 50 m braza, conf´ıa en que la marca del nadador se mantenga por debajo de los 33 segundos y adem´as quiere analizar la evoluci´on de ´este, estudiando la variabilidad de las marcas que va consiguiendo. Supone que el tiempo que tarda el nadador en recorrer los 50 m sigue una distribuci´on normal y anota los tiempos durante dos meses (60 d´ıas), obteniendo una media de 0.545 minutos y una cuasidesviaci´on t´ıpica muestral de 0.085 minutos.
(a) Con una confianza del 90%, calcula dos valores entre los cuales se encuentre la varianza de las marcas del nadador.
(b) A un nivel del 5% y a la vista de los resultados obtenidos, ¿puede mantener el entrenador sus expectativas?
7. Para investigar si la proporci´on de matrimonios civiles es la misma en dos Comunidades Aut´onomas, se tomaron al azar 100 matrimonios en cada una de ellas. En la primera poblaci´on, 62 de los matrimonios eran civiles, mientras que en la segunda, lo eran 49. A nivelα= 0.05, ¿puede aceptarse que no influye significativamente la Comunidad Aut´onoma en la que se celebre el matrimonio para elegirlo civil?
8. El Ministerio de Sanidad decide poner en funcionamiento una campa˜na en los centros de salud, para ayudar al abandono del h´abito de fumar. Para ello se tomaron muestras de 300 y 200 personas fumadoras en Catalu˜na y Andaluc´ıa, respectivamente, a las que se les pregunt´o acerca del tiempo que transcurr´ıa entre el consumo de dos cigarrillos. Las personas fumadoras encuestadas en Catalu˜na fumaban en promedio un cigarrillo cada 45 minutos aproximadamente, mientras que las andaluzas fumaban un cigarrillo cada hora. Suponiendo que el tiempo transcurrido entre el consumo de dos cigarrillos sigue una distribuci´on normal, en ambas poblaciones, cuyas desviaciones t´ıpicas se estiman en 5 minutos en Catalu˜na y 10 en Andaluc´ıa, ¿puede inferirse a un nivel de significaci´on 0.05, una diferencia significativa en el consumo de tabaco en ambas Comunidades?
9. Una empresa de transporte local realiz´o un estudio hace cinco a˜nos sobre los miles de kil´ometros que recorr´ıan sus veh´ıculos en un mes, del cual se dedujo que dicha variable segu´ıa una distribuci´on normal de media 3000 km y desviaci´on t´ıpica de 200 km. Para analizar si ese n´umero de kil´ometros ha variado con el tiempo, se consideraron 40 veh´ıculos, de los que se obtuvieron una media muestral de 3003.45 Km recorridos en un mes. Admi-tiendo que la distribuci´on modelo sigue siendo normal y que la dispersi´on tambi´en se ha mantenido durante estos cinco a˜nos, ¿puede admitirse que la media de kil´ometros recorridos tambi´en se ha mantenido, a un nivel de significaci´on del 5%?
10. En unos multicines se piensa en dedicar una de las salas a la exhibici´on de pel´ıculas en versi´on original subtitulada. Para conocer el n´umero de clientes potenciales, se lleva a cabo una encuesta entre 485 personas que acuden un d´ıa a dicho cine, obteni´endose que solamente el 11% preferir´ıa ver una pel´ıcula en versi´on original. Con una confianza del 90%, ¿entre qu´e dos valores se podr´ıa considerar el porcentaje de personas que acudir´ıa a una sala de cine donde se exhibieran las pel´ıculas en versi´on original?
11. Para analizar la variabilidad de la temperatura en las cimas de las Sierras Tejeda y Almijara (M´alaga), se seleccionan al azar 20 d´ıas y se registra una cuasidesviaci´on muestral de 5 grados cent´ıgrados. Suponiendo que la temperatura se distribuye normalmente,
(a) estima un intervalo de confianza al 95% para la varianza poblacional;
(b) ¿se puede considerar que la desviaci´on t´ıpica es significativamente mayor que 4, tomando
α = 0.01?
12. Para comparar la demanda de profesionales de dos ingenier´ıas se toman dos muestras de trabajadores en activo de ambas carreras y se les pregunta sobre los meses que tardaron en encontrar un trabajo (donde ejercieran labores de ingeniero) despu´es de terminar los estudios. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
n1 = 65 x1 = 4.7 S1 = 0.9
n2 = 60 x2 = 5.2 S2 = 1.4
Bajo hip´otesis de normalidad para ambas poblacionales y a un nivel de significaci´onα= 0.01, (a) ¿pueden deducirse diferencias significativas entre la demanda de ingenieros de ambas
especialidades?
(b) ¿se puede considerar que la demanda de ingenieros de la segunda especialidad es signi-ficativamente superior que la de la primera?
(c) ¿Se sacar´ıan las mismas conclusiones en los apartados a) y b), con un nivel de signifi-caci´on mayor, por ejemplo α= 0.05? ¿Por qu´e?
13. Tras la realizaci´on de unos tests psicot´ecnicos en un colegio a 50 alumnos, la media y cuasidesviaci´on muestrales fueron de 110 y 12 puntos, respectivamente. Se sabe que la puntuaci´on obtenida en dichos tests sigue una distribuci´on normal y que la media habitual de puntuaci´on es de 100 puntos. Ante los resultados obtenidos en este colegio, cabe preguntarse si ha habido alg´un factor que haya influido en tan buenos resultados o si la media de la puntuaci´on no es significativamente superior a la habitual. Establece un contraste de hip´otesis que resuelva esta cuesti´on.
Se realizan las mismas pruebas a 50 alumnos de otro colegio, obteni´endose esta vez una media de puntos de 105 y una cuasidesviaci´on de 15 puntos. ¿Puede inferirse una diferencia significativa entre los resultados obtenidos en ambos centros educativos?
Despu´es de realizarse las pruebas en 3 centros educativos m´as y obtenerse puntuaciones medias de 107, 103 y 97 puntos respectivamente. ¿Es posible que haya una estimaci´on err´onea de base en que la media de puntuaci´on en dichos tests es de 100 puntos?
En todos los casos, se considera un nivel de significaci´onα= 0.05.
14. Una empresa desea conocer si el porcentaje de sus trabajadores que poseen conocimientos m´ınimos de ingl´es ronda el 60%, para poner en marcha dentro de un plan de formaci´on propio, un curso especializado de este idioma. Para ello, de 200 trabajadores encuestados, 132 resultaron tener un nivel b´asico de ingl´es. A un nivel de significaci´on α= 0.05, explica razonadamente si la compa˜n´ıa decidir´a poner en marcha el curso o no.
15. Se quiere investigar si el porcentaje de ni˜nos vacunados contra la poliomelitis es superior en Kenia que en Somalia, tras una campa˜na de informaci´on llevada a cabo por una ONG que trabaja en ambos pa´ıses. Entre los 50 ni˜nos elegidos al azar en Kenia, el 90% estaban vacunados, mientras que el 87.5% de los 80 ni˜nos somal´ıes elegidos, lo estaban. ¿Puede pensarse que el ´ındice de vacunados en Kenia es, en efecto, superior que en Somalia? (Toma
α= 0.01)
16. El gerente de un hospital pretende analizar las necesidades de personal en el servicio de urgencias, seg´un el n´umero de pacientes atendidos cada d´ıa. Si el n´umero medio de pacientes resulta inferior a 100, no se aumentar´a la plantilla, mientras que, en caso contrario, habr´a que pensar en la contrataci´on de m´as personal. Se supone que el n´umero de pacientes que acuden cada d´ıa sigue una distribuci´on de Poisson y se decide observar la afluencia de personas durante los 31 d´ıas del mes de agosto, resultando una media de 104.2 pacientes al d´ıa.
(a) ¿Se pensar´a en mantener la misma plantilla, para alg´un nivel de significaci´on?
(b) A la vista de los resultados, el gerente piensa que la media de pacientes atendidos es superior a 100 personas al d´ıa. ¿Puede mantenerse dicha afirmaci´on con cualquier nivel de significaci´on?
17. En una f´abrica de autom´oviles, se incorpora una m´aquina nueva a la cadena de montaje con la intenci´on de reducir el tiempo de ensamblaje de las piezas del veh´ıculo. Con el fin de investigar si verdaderamente se optimiza el tiempo con la m´aquina nueva, se midi´o el tiempo de ensamblaje con el proceso nuevo para una muestra de 10 autom´oviles, obteni´endose una media de 25.68 minutos y una cuasidesviaci´on muestral de 0.752 minutos. Estos resultados pretenden compararse con los observados en una muestra de 8 autom´oviles que fueron en-samblados con el proceso antiguo, para los cuales el tiempo medio de ensamblaje fue de 32.25 minutos y la cuasidesviaci´on de 1.48 minutos. Suponiendo que el tiempo de ensamblaje con ambos procesos sigue una distribuci´on normal,
(a) ¿se puede considerar que ha merecido la pena la inversi´on realizada en la m´aquina nueva, es decir, se ha reducido el tiempo de ensamblaje considerablemente?
(Usa una significaci´onα= 0.05 para los dos apartados)
18. Se pretende averiguar si la administraci´on v´ıa oral de cierta hormona provoca un aumento de peso significativo. Para ello, se incorpora dicha hormona a la dieta de 5 cobayas en el laboratorio y se observa el aumento de peso experimentado por las mismas tras un mes. ´
Esto se pretende comparar con el aumento de peso de otras cinco cobayas que recibieron la misma dieta, pero sin hormona. Los datos obtenidos fueron los siguientes:
Dieta con hormona 4.22 3.64 5.125 3.458 4.325 Dieta sin hormona 1.56 5.23 2.900 5.568 5
Bajo la hip´otesis de que el aumento de peso sigue una distribuci´on normal, ¿qu´e consecuen-cias pueden deducirse del experimento? (usa un nivel de significaci´on α= 0.1)
19. Se admite que el di´ametro del espir´aculo del delf´ın listado sigue una distribuci´on normal y se quiere hacer una estimaci´on de la variabilidad de esta medida de unos inviduos a otros en el Mediterr´aneo. Para ello se analizan las medidas de 50 ejemplares varados en las costas mediterr´aneas andaluzas en los ´ultimos dos a˜nos y se obtiene una desviaci´on t´ıpica muestral de 4 mm. Da un intervalo de confianza al 95% de la desviaci´on t´ıpica de esta variable aleatoria.
20. Se sabe que el n´umero de ejemplares de lince ib´erico en el Parque Nacional de Do˜nana ha descendido enormemente en los ´ultimos a˜nos. Para declarar a la especie potencialmente extinta en dicho Parque, ha de verificarse que la proporci´on de machos y hembras son significativamente distintas. De 24 ejemplares observados, 10 eran machos. Con un nivel de significaci´on del 90%, saca conclusiones de los datos recogidos.
Algunas soluciones
1. a) I = [13988.184,14059.316];b) Se admite que la media de nacimientos es de 14000 ejemplares, puesto que 14000∈I. 2. a) I = [43.3735,47.6265]
b)I = [−0.0362,5.0362]
No hay motivos para pensar que haya una diferencia significativa pues 0∈I. 3. Contraste unilateral:
(
H0 :p= 0.55
Ha :p > 0.55
Se acepta H0 pues 0.6657>0.66, esto implica que no se pondr´a en marcha el programa.
4. Contraste unilateral:
(
H0 :µ= 80
Ha :µ < 80
se rechazaH0 pues 77.56>76.56, lo cual permite declarar el agua minero - medicinal.
5. I = [40.7148,49.2825]. 6. a) I = [0.0054,0.0101] b) Contraste unilateral: ( H0 :µ= 0.55 Ha:µ <0.55
Se acepta H0 pues 0.5319 < 0.545, por tanto no hay indicios para pensar que el nadador
bajar´a la marca: el entrenador no debe mantener sus expectativas. 7. Contraste bilateral:
(
H0 :p1 =p2
Ha :p1 6=p2
Se aceptaH0 pues 0.1377>0.13, por tanto parece que no hay diferencias significativas entre
el n´umero de matrimonios civiles en ambas Comunidades. 8. Contraste bilateral:
(
H0 :µ1 =µ2
Ha :µ1 6=µ2
Se rechazaH0 pues 1.4969 <15, luego se puede pensar que s´ı hay diferencias significativas
en el consumo de tabaco en ambas Comunidades. 9. Contraste bilateral:
(
H0 :µ= 3
Ha :µ6= 3
Se acepta H0 pues 0.062 > 0.00345, por tanto se piensa que la media de km recorridos se
mantiene con los a˜nos.
10. Entre un 8.66% y un 13.33%. 11. a) I = [14.4587,53.3288] b) Contraste unilateral: ( H0 :σ2 = 16 Ha:σ2 >16
Se acepta H0 pues 29.6875 < 36.191, por tanto, se aceptar´a que la desviaci´on t´ıpica de la
12. a) Contraste bilateral:
(
H0 :µ1 =µ2
Ha:µ1 6=µ2
Se acepta H0, pues 0.5<0.5469 lo que implica que no hay diferencias significativas.
b) Contraste unilateral:
(
H0 :µ1 =µ2
Ha:µ1 < µ2
Se rechazaH0, pues 4.7<4.7058, as´ı que se puede pensar que la demanda de profesionales
de ambas especialidades es igual o menor, aunque no muy significativamente.
c) Con α= 0.05, ocurre que H0 se rechaza, en el primer contraste (0.5>0.4163) y tambi´en
se rechaza en el segundo (4.7<4.8507). 13. a)Contraste unilateral:
(
H0 :µ= 100
Ha:µ >100
Se rechazaH0 pues 102.7916<110, lo que quiere decir que hay motivos para pensar que los
resultados son significativamente mayores que la media habitual. b) Contraste bilateral:
(
H0 :µ1 =µ2
Ha:µ1 6=µ2
Se aceptaH0 pues 5 <5.3245: no parece haber diferencias significativas entre los resultados
de ambos colegios. c) Contraste bilateral:
(
H0 :µ= 100
Ha:µ6= 100
Se acepta H0 pues 4.4 < 6.0564, luego, no hay motivos para pensar que la media de
pun-tuaci´on de las pruebas no sea 100. 14. Contraste bilateral:
(
H0 :p= 0.6
Ha :p6= 0.6
Se acepta H0, pues 0.06<0.0678 por tanto, se organizar´a el curso especializado de ingl´es.
15. Contraste unilateral:
(
H0 :p1 =p2
Ha :p1 > p2
Se aceptaH0 pues 0.9<1.009, luego no hay indicios para pensar que el n´umero de
vacuna-ciones sea superior en Kenia. 16. a) Contraste unilateral:
(
H0 :λ= 100
Ha:λ <100
Se aceptaH0 con cualquier nivel de significaci´on, puesto que 104.2−100 >0 >−zα
s
100 31 para todoα, por lo tanto, no se pensar´a que el n´umero de pacientes va a ser igual o menor a 100. b) Contraste unilateral: ( H0 :λ= 100 Ha:λ >100 Se rechaza H0 si 104.2 > 100 +zα s 100 31 es decir 2.3384 > zα. Si se toma α > 0.0096, se rechazaH0 y, por tanto, se puede pensar que la media de pacientes atendidos es
17. Tras un contraste de varianzas
(
H0 :σ21 =σ22
Ha :σ21 6=σ22
cuya hip´otesis nula se acepta porque 0.2581 ∈ [0.2073,4.197], se plantea el contraste de diferencia de medias para dos distribuciones normales:
(
H0 :µ1 =µ2
Ha:µ1 > µ2
Se rechazaH0 pues 32.25>26.61, con lo cual, se puede considerar que ha merecido la pena
la inversi´on.
b)I = [5.4341,7.7058]
18. Tras un contraste de igualdad de varianzas
(
H0 :σ12 =σ22
Ha :σ12 6=σ22
cuya hip´otesis nula se rechaza porque 0.1422 ∈/ [0.1565,6.388], se plantea el contraste de diferencia de medias para dos distribuciones normales:
(
H0 :µ1 =µ2
Ha:µ1 > µ2
Se acepta H0 pues 4.1536 < 5.2496, con lo cual, no se advierten diferencias significativas
entre ambas dietas. 19. I = [3.3872,5.0704] 20. Contraste bilateral
(
H0 :p= 0.5
Ha:p6= 0.5
