ApunteNº3 Reglasdederivación Parte1

(1)

Colegio Tecnológico del Sur - Profesor: Dr. Jorge Shitu

Análisis Matemático –

Apunte Nº 3: Demostración de las Derivadas más importantes – Primera Parte

En este apunte obtendremos, aplicando la definición de derivada, las derivadas que hemos incluido en la tabla 1. Recordemos cual es el procedimiento que se usa para encontrar la derivada de cualquier función f(x). Este procedimiento consiste en cuatro pasos:

I. Dada f(x), se calcula f(x+x)

II. Se calcula el incremento de f(x), dado por:



f = f(x+x) – f(x) III. Se calcula el cociente incremental

x f  

como:

x f  

=

x f(x) x f(x

      

IV. Se obtiene la derivada, calculando el límite para x tendiendo a cero para x f  

. Es decir

x d

) x ( f d

=

0 x

lim 

 _x

f  

= 0 x

lim 

 _x

f(x) x f(x

      

Tabla 1: Las derivadas más importantes

La tabla que sigue resume las derivadas más importantes, a partir de la cual se obtienen las derivadas de la mayoría de las funciones matemáticas más usadas.

Regla

Nº f(x) dx

) x ( f

d _Regla

Nº f(x) dx

) x ( f d

1 K 0 7 xN N xN-1

2 K g(x) K

x d

) x ( g d

8 ln x

x 1

3 f(x) + g(x)

x d

) x ( g d x d

) x ( f d

 ₉ _ex

ex

4 f(x) . g(x)

x d

) x ( f d . ) x ( g x d

) x ( g d . ) x (

f  ₁₀ _{sen x} _{cos x}

5

) x ( g

) x ( h

 

 

 

 

 .h(x) x

d ) x ( g d ) x ( g . x d

) x ( h d . ) x ( g

1

2 11 cos x - sen x

6 f(g(x))

x d

g d . g d

(2)

Demostración de las reglas de derivación de la Tabla 1: Primera Parte

Derivada de una constante (Regla Nº 1)

Sea f(x) = K (  K



R )

0 x d

K d



Demostración : En este caso, f(x) = K. Por lo tanto, Paso I:

f(x+x) = K Paso II:



f = f(x+x) – f(x) = K – K = 0 Paso III:

x f  

= x 0 

= 0

Paso IV:

x d

) x ( f d

= 0 x

lim 

 _x

f  

= 0 x

lim 

 0 = 0

Derivada del producto de una constante por función (Regla Nº2)

Sean A una constante cualquiera, tal que K  R y g(x) una función cualquiera. Llamemos

f(x) = K g(x) Entonces:

x d

g d K x d

f d



Habitualmente, se dice “las constantes salen fuera de las derivadas”

Demostración :

Paso I: Si f(x) = A g(x), entonces:

f(x+x) = K g(x+x) Paso II: Calculamos el incremento de f(x)

f = f(x+x) – f(x) = K g(x+x) - K g(x) = K [ g(x+x) - g(x) ]

Paso III: Se calcula el cociente incremental de f(x)





 











 



x g K x

x g x x g K x

x g x x g K x f

   

   

    

 

(3)

dx dg K x g 0 x

lim K x g K 0 x

lim x f 0 x

lim dx df

  

    

  

Derivada de una suma de funciones (Regla Nº3)

Sean f(x) = g(x) + h(x), siendo g(x) y h(x) dos funciones cualesquiera. Entonces:

x d

h d x d

g d x d

f d

 

Demostración : Paso I:

Si f(x) = g(x) + h(x), entonces:

f(x+x) = g(x+x) + h(x+x) Paso II:

Calculamos el incremento de f(x):



f = f(x+x) – f(x) = g(x+x) + h(x+x) – [ g(x) + h(x) ] = = g(x+x) + h(x+x) – g(x) - h(x) = g(x+x) – g(x) + h(x+x) - h(x) lo que quedó al final es:



f = g(x+x) – g(x) + h(x+x) - h(x) Paso III: calculamos el cociente incremental





 





 





 





 

x x h x x h x

x g x x g x

x h x x h x g x x g x f

     

    

         

Paso IV:





 





 

    

  

     

   

      

x x h x x h x

x g x x g 0 x

lim x

f 0 x

lim dx

df

Aplicando el límite por separado a cada término, obtenemos:





 





 

x x h x x h 0 x

lim x

x g x x g 0 x

lim dx

df

   

   

  

  

o sea

dx dh dx dg dx df

 

Un caso particular: Aplicando las dos reglas anteriores, podemos demostrar que la derivada de una resta de funciones es las resta de la derivada de las funciones

 





 

x d

x g d x d

x f d x g x f x d

d

 



(4)

f(x) – g(x) = f(x) + (-1) . g(x) y entonces se aplican las reglas (3) y (4)

 







 





 



 





 



 





 

dx x dg dx

x df dx

x dg 1 dx

x df dx

x g 1 d dx

x df x g 1 x f x d

d x g x f x d

d

 

  



Derivada de una función compuesta (Regla Nº6)

Sea f(x) = h(g(x)), siendo h(x) y g(x) dos funciones cualesquiera. Entonces:

dx dg dg df dx df



Demostración :

f(x) = h(g(x)) = h(g) f(x+x) = h(g(x+x)) = h(g+g)

f = f(x+x) - f(x) = h(g+g) - h(g) = h (a) g = g(x+x) - g(x) (b)





 





 





 





 

  

 

 

 

  

    

  

   

      

x g x x g

x g x x g x

x f x x f 0 x

lim x

x f x x f 0 x

lim x

f 0 x

lim dx

df





 





 





 

 

 

 

 

   

  

  

x x g x x g x g x x g

x f x x f 0 x

lim dx

df





 





 





 

   

 

    

     

  

  

   

 

x x g x x g 0 x

lim x g x x g

x f x x f 0 x

lim dx df

Si lo pensamos un momento, en el primer factor del lado derecho de la igualdad, que x tienda a 0, también equivale a decir que g tienda a 0, por lo que podemos reescribir el lado derecho como:

dx dg

dg df

x f 0 x

lim

g f 0 g

lim

dg df

         

dx dg

dg df



Derivada del logaritmo (Regla Nº8)

Sea f(x) = ln x. Entonces

x 1 dx

x ln d



Demostración :

(5)

e x 1 1 x lim x            

Como f(x) = ln x, el incremento f de la función logaritmo natural es f = ln(x+x) – ln x

por lo que el cociente incremental vale,





 

1 x 1 x

x x 1 ln x x x ln x x x ln x 1 x x ln x x ln x

f  

                                      

En la última expresión, en el segundo signo de igualdad, hemos usado la propiedad de los logaritmos que decía que





b a ln b a

ln  

y en el tercer signo de igualdad, la propiedad del logaritmo de una potencia

 

_ba ln b ln

a 

Retomando la demostración, tenemos.

x x x 1 x x x x x 1 x 1 x x 1 1 ln x 1 x x 1 1 ln x x 1 1 ln x x 1 1 ln x

f    

                                                     

Una vez que hemos llegado a este punto, para hallar la derivada deseada, calculamos el límite del cociente incremental para x 0:

                                              x x x x x x 1 1 ln 0 x lim x 1 x x 1 1 ln x 1 0 x lim dx df x x x x 1 1 ln 0 x lim                  x x

Cuando x tiende a cero,  tiende a infinito, así que podemos reescribir el límite anterior como

                        1 1 ln lim

De esta manera, la derivada que estamos buscando se puede expresar como

                         1 1 ln lim x 1 dx df

(6)

  

 

  

 

       

        

 

  

 

       

  

 

 

1 1 lim ln 1

1 ln lim

Pero, por la definición del número e,

e 1

1 lim

        

    



Así que, reemplazando en la expresión de arriba

1 e ln 1

1 lim ln 1

1 ln lim

    

 

  

 

       

        

 

  

 

       

  

 

 

y reemplazando esta igualdad en la expresión de la derivada del logaritmo natural, finalmente

x 1 1 . x 1 1

1 ln lim x 1 dx df

    

 

  

 

       

  

  



que es lo que queríamos demostrar.

Derivada de una potencia de x (Regla Nº 7)

Sea y = xN, siendo N cualquier número real. Entonces:

1 N x N dx

y

d 



Demostración : Si

y = xN

podemos aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad: ln y = N ln x Derivamos ahora respecto de x a ambos lados de la igualdad.





x d

x ln N d

dx y ln d

 (a)

Del lado izquierdo de la igualdad (a), tenemos que aplicar la regla de la cadena, ya que y depende de x, por lo que ln y es una función compuesta. Así, si definimos

z = ln y y = y(x) así que nos queda





x d

y d

y 1

x d

y d

y n l d

x d

y d

z d

x d

z d

 

 (b)

(7)









x N x 1 N x d

x ln d N x d

x ln N d

 

 (c)

Reemplazando (b) y (c) en (a), nos queda:

x N dx dy y 1

 (d)

expresión de la que puedo despejar dx

y d

, pasando la función y para el lado derecho de la igualdad:

y x N dx dy

 (e)

pero como y = xN_{, reemplazando esta igualdad en (e), nos queda:} 1 N N

N _N_x

x x N x x N dx

dy _

 



que es lo que queríamos demostrar.

Derivada de la raíz de x

Sea y N x , siendo N cualquier número real. Entonces:





N ₁ _N

x N

1 x d

y

d _



Demostración:

Esta regla se deduce aplicando la derivada de una potencia, ya que una raíz se puede transformar en una potencia con exponente fraccionario. Como en la regla que obtuvimos para la derivada de una potencia, el exponente N de la misma podía ser cualquier número real, un exponente fraccionario pertenece a los números reales, y por lo tanto, la regla de la derivada de una potencia puede ser aplicada para resolver la derivada de una raíz.

Si y N x , entonces _y __x1N _{, así que:}





N x N

x N x x

d x d x d

y

d N N 1 N

N 1 1 N

1 N

1

 



 

      



Derivada de las función f(x) = 1/x

N

Sea y = N x

1

. Entonces,

1 N x

N x

d y d

(8)

Demostración: La función y =

N x

1

se puede escribir como una potencia, ya que _N x N x

1 _ 

. De esta forma, podemos derivarla como un caso particular del teorema 2, y entonces:





1 N 1

N N

N

x N x

) N ( x d

x d x d

x 1 d

x d

y d

 

 

  

 

 

 

 

 



Derivada de la función exponencial (Regla Nº 9)

Sea f(x) = ex. Entonces

x x

e x d

e d



Demostración :

La denostración es similar a la que usamos para demostrar la regla 7. Partimos de f(x) = ex

Aplicando logaritmo natural a ambos lados de la ecuación ln f(x) = ln ex = x Derivando a ambos lados de la igualdad

 

1 x d

x d x d

x f ln d

 

A partir de aquí, para poder seguir adelante con la demostración, vamos a hacer la siguiente identificación: introducimos una función auxiliar g(x) que definimos como

g(x) = ln f(x),

Como vemos, g(x) es una función compuesta de x. Así que la igualdad anterior queda:

 

1 x d

x g d

 (a)

Para resolver la derivada de la izquierda aplicamos la regla de la cadena, haciendo z = f(x) g(z) = ln z

Entonces, la derivada del lado izquierdo de (a) se resuelve como sigue:

x d

z d . z d

g d x d

g d

 (b)

como g(z) = ln z, la primera derivada del lado derecho de la igualdad es

 

x f

1 z 1 z d

z ln d z d

g d

 

 (c)

(9)

 

x d

x f d x d

z d

 (d)

así que reemplazando (c) y (d) en la igualdad (), nos queda

 

dx f d . x f

1 x d

f d . z 1 x d

z d . z d

g d x d

g d

 

 (f)

Reemplazando (f) en (a), nos queda:

 

1 x d

f d x f

1



por lo que, despejando la derivada

 

x f x d

f d



pero f(x) = ex, así que finalmente

x e x d

f d