Álgebra lineal con aplicaciones : con su enfoque geométrica y nota histórica

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Universidad Sergio Arboleda

Álgebra lineal

_{con aplicaciones}

Con un enfoque geométrico y nota histórica

Teléfono: 3257500

Segunda edición: abril de 2015

Queda prohibida toda reproducción, por cualquier medio, sin previa autorización escrita del editor.

Edición realizada por el Fondo de Publicaciones Universidad Sergio Arboleda

Calle 74 No. 14-14

Teléfonos: 3220080-3220282-5400300 www.usergioarboleda.edu.co

Fax: 3177529 Bogotá D.C.

Director editorial: Jaime Barahona Caicedo

Diseño carátula y diagramación: Maruja E. Flórez Jiménez Impresión: Digiprint

Bogotá, D.C.

ISBN: 978-958-8866-40-6

núñez, reinaldo

Álgebra lineal con aplicaciones: con un enfoque geométrica y nota histórica/ reinaldo núñez, Moisés aranda Silva, luis alejandro bello rodríguez. – 2ª ed. – bogotá: Universidad Sergio arboleda, 2015.

342 p.

iSbn: 978-958-8866-40-6

1. algebraS linealeS 2. eCUaCiOneS linealeS i. aranDa SilVa, MOiSÉS ii. bellO rODrÍgUeZ, lUiS aleJanDrO

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9 vii

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...

ix

Capítulo 1

1 Vectores en

‘

8

1

1.1 Introducción...1

1.2 Vectores en el plano... 3

1.3 Vectores en ‘#...8

1.4 Norma de un vector... 15

1.5 Producto punto... 18

1.6 Vectores en ‘8... 27

1.7 Independencia lineal, base y dimensión...38

1.8 Vectore en ‘$... 45

1.6 Rectas y planos... 50

Capítulo 2

63 Sistema de ecuaciones lineales y matrices

63

2.2 Sistema homogéneos de ecuaciones lineales... 63

2.3 Teoría de sistemas de ecuaciones lineales... 73

2.4 Matrices...84

2.5 Multiplicación de matrices... 93

2.6 Matrices cuadradas... 98

2.7 Matrices elementales... 107

2.8 Rango de una matriz... 118

Nota histórica... 125

Capítulo 3

128 Determinantes

128

3.2 Determinantes...128

3.3 Determinantes de orden ...1388

vii

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Capítulo 1

1 Vectores en

‘

8

1

1.8 Vectore en ‘$... 45

Capítulo 2

63 Sistema de ecuaciones lineales y matrices

63

2.4 Matrices...84

Capítulo 3

128 Determinantes

128 vii

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Capítulo 1

1 Vectores en

‘

8

1

1.8 Vectore en ‘$... 45

Capítulo 2

63 Sistema de ecuaciones lineales y matrices

63

2.4 Matrices...84

Capítulo 3

128 Determinantes

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Capítulo 1

1 Vectores en

‘

8

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1.8 Vectore en ‘$... 45

Capítulo 2

63 Sistema de ecuaciones lineales y matrices

63

2.4 Matrices...84

Capítulo 3

128 Determinantes

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Capítulo 1

1 Vectores en

‘

8

1

1.8 Vectore en ‘$... 45

Capítulo 2

63 Sistema de ecuaciones lineales y matrices

63

2.4 Matrices...84

Capítulo 3

128 Determinantes

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Capítulo 1

1 Vectores en

‘

8

1

1.8 Vectore en ‘$... 45

Capítulo 2

63 Sistema de ecuaciones lineales y matrices

63

2.4 Matrices...84

Capítulo 3

128 Determinantes

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1.1 Int rod ucc ión .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ...1 1.2 Vec tor es en el p lan o... ... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 3 .8 .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... # ‘ en es tor Vec 1.3 1.4 Nor ma de un vec tor .... .... .... .... .... ... .... .... .... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .1 5 1.5 Pro duc to p unt o... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .1 8 .2 .... .... ... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... en es tor Vec 1.6 7 ₈ ‘ 1.7 Ind epe nde nci a li nea l, b ase y dim ens ión .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... ... 38 1.8 Vec tor e e n .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... ..4

5 _$ ‘ 1.6 Rec tas y pla nos .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... 50

Capí

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2.1 Int rod ucc ión .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .63 .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... ... eales lin ones e ecuaci eos d ogén a hom tem Sis 2.2 63 2.3 Teo ría d e si stem as d e ecuaci ones lin eales ... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .... 73 2.4 Matr ice s... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .8 4 93 ... .... ... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... ... .... s... ice atr m de ión cac pli Multi 2.5 2.6 Matr ice s c uad rad as. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... ... ... .... .... .9 8 2.7 Matr ice s e lem ent ale s... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... 107 .... .... ... .... .... .... .... .... .... ... ... .... .... ... .... .... .... .... .... .... iz. atr m una de go Ran 2.8 118 Not a h ist óri ca. .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... 125

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RÓLOGO

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Capítulo 1

1 Vectores en

‘

8

1

1.8 Vectore en ‘$... 45

Capítulo 2

63 Sistema de ecuaciones lineales y matrices

63

2.4 Matrices...84

Capítulo 3

128 Determinantes

128

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10

Álgebra Lineal con Aplicaciones

viii

ÁLGEBRA INEAL CON PLICACIONESL A

3.4 Propiedades... 146

3.5 Una interprtación geométrica del determinante... 148

3.6 Producto vectorial generalizado en ‘8...152

3.7 Matriz inversa y determinantes...160

Capítulo 4

169 Transformaciones lineales

169

4.2 Transformaciones lineales... 169

4.3 Construcción de transformaciones lineales...182

4.4 Núcleo e imagen de una transformación lineal... 188

4.5 Transformaciones lineales y matrices... 197

4.6 Isomorfismos... 205

4.7 Transformaciones lineales y cambios de base... 227

Capítulo 5

237 Valores propios y vectores propios

237

5.1 Valores propios y vectores propios... 237

5.2 Ortonormalización de bases. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt...251

5.3 Formas bilineales...263

Capítulo 6

272 Aplicaciones

272

6.3 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices... 277

6.4 Modelo de Leontief... 291

6.5 Cadenas de Markov... 295

6.6 Programación lineal...301

6.7 Diagonalización...306

6.8 Método AHP... 308

B

IBLIOGRAFÍA... 325

viii

ÁLGEBRA INEAL CON PLICACIONESL A 3.4 Propiedades... 146

Capítulo 4

169 Transformaciones lineales

169 Capítulo 5

237 Valores propios y vectores propios

237 Capítulo 6

272 Aplicaciones

272 B

IBLIOGRAFÍA... 325

viii

Capítulo 4

169 Transformaciones lineales

169 Capítulo 5

237 Valores propios y vectores propios

237 Capítulo 6

272 Aplicaciones

272 B

IBLIOGRAFÍA... 325

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Capítulo 4

169 Transformaciones lineales

169 Capítulo 5

237 Valores propios y vectores propios

237 Capítulo 6

272 Aplicaciones

272 B

IBLIOGRAFÍA... 325

viii

Capítulo 4

169 Transformaciones lineales

169 Capítulo 5

237 Valores propios y vectores propios

237 Capítulo 6

272 Aplicaciones

272 B

IBLIOGRAFÍA... 325

159 161 165 173 178

183 183 196 202 211 219 241

251

265 277

287 287 292 306 310 316 321 323

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