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Álgebra Lineal I

Espacios Vectoriales

Guillermo Garro y Araceli Guzmán

Febrero, 2018

Índice

1. Espacios Vectoriales

2. Subespacios

3. Subespacios generados

4. Dependencia e independencia lineal

5. Bases y espacios de dimensión finita

Espacio Vectorial

Unespacio vectorial(olineal) sobre un campoF, es un conjunto no vacíoV, cuyos elementos son llamadosvectores, en el cual están definidas dos operaciones:

(a) suma de vectores:

+ :V×V→V.

Para todosu,v∈V, escribimos

u+v

en lugar de

+(u,v).

(b) producto por escalares:

•:F×V→V

Para todoα∈Fy todov∈V, escribimos

αv

en lugar de

•(α,v).

Propiedades de la suma de vectores

Propiedades de la suma:El sistema(V,+,0)es un grupo conmutativo, esto es:

(i) Lasumaesconmutativa:

u+v=v+u, ∀u,v∈V.

(ii) Lasumaesasociativa:

(u+v) +w=u+ (v+w), ∀u,v,w∈V.

(iii) Existe un úniconeutro para la suma:

∃!0∈V(∀v∈V)(v+0=v).

(iv) Todo elemento deVtiene un únicoinverso relativo a la sumaenV:

∀v∈V(∃!−v∈V)(v+ (−v) =0). Para todouyvenV, definimos

u−v:=u+ (−v).

En particular,

Propiedades del producto por escalares:

Propiedades del producto por escalares:

(i) El producto por escalares puede asociarse de cualquier forma:

α(βv) = (αβ)v, ∀α, β∈F y ∀v∈V.

(ii) El neutro1∈Fes neutro para el producto por escalares:

1v=v, ∀v∈V.

(iii) El producto por escalares se distribuye bajo la suma de vectores:

α(u+v) =αu+αv, ∀α∈F y ∀u,v∈V.

(iv) El producto por escalares distribuye la suma de escalares:

(α+β)v=αv+βv, ∀α, β∈F y ∀v∈V.

La definción de Rincón

Definición (Rincón)

Un espacio vectorial es una quinteta(V,+˜,0,F,•:F×V→V)tal que

1. (V,+˜,0)es un grupo conmutativo (abeliano).

2. •:F×V→Vsatisface las propiedades(i)-(iv)del producto por escalares.

Observaciones

(1) Otros autores ofrecen definiciones similares con la idea de ser formalmente más preciso. No significa que la definición usada aquí sea imprecisa, sólo es más “coloquial”. Ambas definiciones, la de Rincón y la nuestra, dicen lo mismo. (2) Se usa+˜para distinguir la suma de vectores de la suma+definida en el campo

F. Nosotros, siguiendo el convenio mayormente extendido, no haremos tal distinción notacional. Haremos la distinción conceptual según el contexto. Pero conviene mantener en cuenta que se trata de cosas esencialmente distintas. (3) Mantemos un distintivo para el vector nulo, que será escrito en negritas0, en

Los ejemplos triviales

1. SiX={x}(i.e.Xtiene un único elemento), definimos

x+x=x.

Y siFes cualquier campo, también definimos

αx=x, ∀α∈F.

EntoncesX={x}es un espacio vectorial sobreF.

Observe en este caso que el neutro para la suma de vectores es el mismo elementox.

Este es el espacio vectorial más pequeño que puede contruirse.

2. Todo campoFes un espacio vectorial sobre sí mismo. En particular,Res un espacio vectorial sobre sí mismo.

3. Más aún, un campoFes espacio vectorial sobre cualquiera de sus subcampos K⊂F. En particular,Res un espacio vectorial sobreQ; yCes un espacio vectorial sobreR.

Productos de copias de un campo

F

Recordemos de los cursos básicos de Geometría que los espacios linealesRn_,n≥1, con la suma de vectores y el producto por escalares usuales, son espacios vectoriales sobreR.

Esta idea es generalizable de la forma siguiente:

Dado un campoFyn ≥ 1, seaFn _{el conjunto de todas lasn-adas ordenadasx =}

(x1, ...,xn)tales quex_i∈Fpara toda1≤i≤n.

Definimos la suma de dosn-adasx= (x1, ...,xn)yy= (y1, ...,yn)enFncomo lan-ada

x+y= (x1+x2, ...,xn+yn),

dondexi+yies la suma de los elementosxiyyien el campoF, para toda1≤i≤n.

Y siα∈F, definimos el producto por escalares como lan-ada

αx= (αx1, ..., αxn),

dondeαxies el producto deαyxienF, para toda1≤i≤n.

Con estas operacionesFn_{es un espacio vectorial sobreF.}

El espacio de funciones en un espacio vectorial

Los anteriores ejemplos son casos particulares de lo siguiente.

Sea(V,F)un espacio vectorial y seaXun conjunto no vacío. Consideremos el conjunto

VX_{={f:X→V: fes función}.}

SobreVX_{definimos lasuma de funcionesdel siguiente modo: Dadas dos funciones} f,g:X→V, la suma defyges la funciónf+g:X→Vtal que

(f+g)(x) =f(x) +g(x), ∀x∈X,

donde la suma de la parte derecha de la igualdad es la suma de vectores enV.

Definimos elproducto por escalaresdel modo siguiente: Para todoα∈Fy toda fun-ciónf:X→V, el producto deαconfes la funciónαf:X→Vdada por

(αf)(x) =αf(x), ∀x∈X,

donde el producto de la derecha de la igualdad es el producto por escalares del espacio vectorialV.

EntoncesVX_{es un espacio vectorial sobreF. El neutro es lafunción nulaf:X→Vtal} quef(x) =0,∀x∈X.

El espacio vectorial de las matrices con coeficientes en un campo

SeaFun campo y seanm,n≥1enteros. Unamatrizde tamañom×ncon coeficientes enF, es una funciónA:{1, ...,m} × {1, ...,n} →F. Generalmente escribimosAijen lugar deA(i,j), y para la descripción deAse usa el típico arreglo rectangular

A=       

A11 A21 · · · A1n A21 A22 · · · A2n

..

. ... ... ...

Am1 Am2 · · · Amn

      

También escribiremosA= (A_ij)m×n.

Dadas dos matricesA= (Aij)m×nyB= (Bij)m×n, y un escalarα∈F, las operaciones desumaA+Byproducto por escalaresαAestán dadas por

(A+B)ij=Aij+Bij y (αA)ij=αAij, ∀(i,j)∈ {1, ...,m} × {1, ...,n}.

El espacio de todas las matrices dem×ncon coeficientes enFse denota como

Mm×n(F)óFm×n. El neutro es la matriz nula0m×ncuyos coeficientes son todos iguales a0.

El anillo de polinomios sobre un campo

SeaKun campo. Y seaK[x]el conjunto de todos los polinomios

p(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0,

donde

• nes cualquier entero positivo, • a0,a1, ...,an−1,anson constantes enK, • xes un variable que toma valores enK.

EntoncesK[x]con la suma de polinomios y el producto por escaleres usuales, es un

espacio vectorial sobreK.

El neutro es el polinomio cero dado porp(x) =0.

Propiedades distributivas

Lema

Sea(V,F)un espacio vectorial y seanα1, ..., αn∈Fyv∈V. Entonces

(α1+· · ·+αn)v=α1v+· · ·+αnv.

Demostración

Ejercicio. ■

Lema

Sea(V,F)un espacio vectorial y seanv1, ...,vn∈Vyα∈F. Entonces

α(v1+· · ·+vn) =αv1+· · ·+αvn.

Demostración

Ejercicio. ■

Teorema

Sea(V,F)un espacio vectorial y seanα1, ..., αn∈Fyv1, ...,vm∈V. Entonces

(α1+· · ·+αn)(v1+· · ·+vm) =α1v1+· · ·+αnvm.

Demostración

Propiedades fundamentales

Teorema

SiVes un espacio vectorial sobreF, entonces

1. 0v=0, para todav∈V.

2. α0=0, para todaα∈F. 3. (−1)v=−v, para todav∈V.

Demostración 1.Seav∈V. Entonces

0+0v=0v

= (0+0)v =0v+0v.

Por la ley cancelativa de la suma de vectores,

0=0v.

■

Propiedades fundamentales

Teorema

SiVes un espacio vectorial sobreF, entonces

1. 0v=0, para todav∈V.

2. α0=0, para todaα∈F. 3. (−1)v=−v, para todav∈V.

Demostración 2.Seaα∈F. Entonces

0+α0=α0

=α(0+0)

=α0+α0.

Por la ley cancelativa de la suma de vectores,

0=α0.

Propiedades fundamentales

Teorema

SiVes un espacio vectorial sobreF, entonces

1. 0v=0, para todav∈V.

2. α0=0, para todaα∈F. 3. (−1)v=−v, para todav∈V.

Demostración 3.Seav∈V, entonces

(−1)v+v= (−1)v+1v = (−1+1)v =0v

=0.

De donde(−1)v=−v. ■

Consecuencias

Corolario (1)

Para todaα∈Fy todav∈V,

αv=0 ⇔ α=0 ó v=0.

Demostración

[⇐]Ya está probado.

[⇒]Supongamos queαv=0. Siα̸=0, tomamosα−1el inverso multiplicativo deα, y entonces

v=1v= (α−1α)v=α−1(αv) =α−10=0. ■

Corolario (2)

Sea(V,F)un espacio vectorial. Para todaα∈Fy todov∈V,

(i) (−α)v=α(−v) =−αv. (ii) (−α)(−v) =uv.

Demostración

Subespacios

Definición (Hoffman y Kunze)

SeaVun espacio vectorial sobre el campoF. UnsubespaciodeVes un subconjuntoW deVel cual es él mismo un espacio vectorial sobreF, con las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares definidas enV.

Definición (Friedberg et all.)

Un subconjuntoWde un espacio vectorialVsobre un campoFes llamado un subespaciodeV, siWes un espacio sobreFcon las operaciones de adición y multiplicación por escalares definidas sobreV.

Definición (Hugo Rincón)

Sea(V,+,0,F,•:F×V→V)un espacio vectorial, y seaW⊂V. Diremos queWes un subespacio vectorial deVsi

(W,+W×W,0,F,•F×W:F×W→W).

Observación

Caracterización de subespacios

Teorema (Rincón y Friedberg)

SiVun espacio vectorial sobreF, entoncesW⊂Ves subespacio deVsi y sólo si,

(i) Wes cerrado bajo+: Para todosu,v∈W,

u+v∈W.

(ii) El vector nulo enWes0mismo, y en consecuencia0∈W. (iii) Wes cerrado bajo•: Para todoα∈Fy todov∈W,

αv∈W

Demostración

[⇒]Supongamos queWes un subespacio deV.

Las condiciones(i)y(iii)se cumplen de forma obvia a partir de la definición de subespacio.

Vamos a probar(ii). Sea0Wel vector nulo del espacioW. Seaw∈Wcualquier vector. Tenemos

0W+w=w=0+w.

Por la ley cancelativa para la suma de vectores,0W=0. Esto prueba que0∈W. ■

Caracterización de subespacios

Teorema (Rincón y Friedberg)

SiVun espacio vectorial sobreF, entoncesW⊂Ves subespacio deVsi y sólo si,

(i) Wes cerrado bajo+: Para todosu,v∈W,

u+v∈W.

(ii) El vector nulo enWes0mismo, y en consecuencia0∈W. (iii) Wes cerrado bajo•: Para todoα∈Fy todov∈W,

αv∈W

Demostración

[⇐]Supongamos que(i),(ii)y(iii)se cumplen. En particular, por(i)se sigue queW hereda las propiedades de la suma, por lo que+es asociativa y conmutativa enW.

Mientras que por(ii), se sigue0es el neutro enW. Así que(W,+,0)es un monoide

conmutativo. Y por(iii)se tiene en particular que−w∈Wpara todow∈W. Luego,

(W,+,0)es un subgrupo de(V,+,0).

Otra caracterización típica de subespacio

Corolario (Hoffman y Kunze)

SiVun espacio vectorial sobreF, entoncesW⊂Ves subespacio deVsi y sólo si, para todosv,w∈Wy todo escalarα∈F, se cumplev+αw∈W.

Demostración

[⇒]Es obvio.

[⇐]Supongamos que se cumple la condición del corolario. En particular, para todos

v,w∈W, si elegimosα=1,

v+w∈W.

Y si elegimosw=vyα=−1, entonces

0=v−v∈W.

Finalmente, si elegimosv=0yα=−1,

−w=0−w∈W.

Por lo que se cumple(i),(ii)y(iii)del teorema anterior. ■

Los ejemplos básicos

SeaVun espacio vectorial sobre un campoF.

1. Vmismo es un subespacio deV. Este es el subespacio “más grande” deV. A veces nos referimos a éste como elsubespacio trivial.

2. El conjunto{0}es también un subespacio deV. Éste es el subespacio “más pequeño” deV, llamadosubespacio nulo.

3. Siv∈V, entonces el conjunto de todos los múltiplos escalares dev,

L(v) :={αv:α∈F},

es un subespacio deV.

4. Siv,w∈V, entonces el conjunto

L(v,w) :={αv+βw:α, β∈F}

Combinaciones lineales

Definición

Dado un espacio vectorial(V,F), unacombinación linealde una colección den≥1 vectoresv1, ...,vndeV, es una suma de la forma

α1v1+αv2+· · ·+αnvn,

dondeα1, ..., αnson escalares enF.

Proposición

Siv1, ...,vnson vectores deV, entonces el subconjunto

L(v1, ...,vn) ={αv1+· · ·+αnvn:α_i∈F,1≤i≤n},

de todas las combinaciones lineales dev1, ...,vnes un subespacio deV.

Demostración

Seana=α1v1+· · ·+αnvnyb=β1v1+· · ·+βnvnenL(v1, ...,vn)y seaλ∈F. Entonces

a+λb= (α1v1+· · ·+αnvn) +λ(β1v1+· · ·+βnvn)

=α1v1+· · ·+αnvn+λβ1v1+· · ·+λβnvn

El subespacio de las combinaciones lineales

Proposición

SeaSun subconjunto no vacío de un espacio vectorial(V,F). Entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores deS, dado por

L(S) :={α1v1+· · ·+αnvn:n≥1;v1, ...,vn∈V;α1, ..., αn∈F},

es un subespacio deV.

Demostración

Observe que la suma de dos combinaciones lineales de vectores deSes una combinación lineal de vectores enS.

Ahora, si elegimos arbitrariamente algúnv∈S, entonces0=0v∈L(S).

Por último, siw=α1v1+· · ·+αnvnes una combinación lineal de los vectores v1, ...,vnenS, yαes un escalar enF, entonces claramente

αw=α α1v1+· · ·+α αnvn

Subespacios de polinomios

1. SiFes un campo, entonces el espacioF[x]de los polininomios con coeficientes

enF, es un subespacio del espacioFF_{de todas las funciones deFenF.}

2. Seax0∈Fy seaPx0={p∈F[x] :p(x0) =0}. EntoncesPx0es un subespacio de

F[x].

3. Sean≥0fijo y seaFun campo. El espacioFn[x]de todos los polinomios con

coeficientes enF, de grado menor o igual an, es un subespacio deF[x].

3. El subespacioL(x,x3,x5)deF[x]de todas las combinaciones lineales de los

monomiosx,x3_yx5_{, es el conjunto de todos los polinomios de la forma}

p(x) =ax5+bx3+cx.

4. SeaM⊂F[x]el conjunto de todos los monomiosxn, conn≥0. Podemos escribir

M={1,x,x2,x3, ...}. Entonces

L(M) =F[x].

5. SeaMn⊂F[x]el conjunto de todos los monomiosxk, con0≤k≤n. Podemos

escribirMn={1,x, ...,xn}. Entonces

L(Mn) =Fn[x].

Subespacios de funciones

1. El espacioC0_{(R)de todas las funciones deRenRcontinuas, es un subespacio} del espacioRR_{de todas las funciones deRenR.}

2. El espacio de todas las funciones diferenciablesC1_{(R)es un subespacio de}

C0_(R).

3. El espacioC(1)_{(R)de todas las funciones diferenciables con derivada continua,}

es un subespacio deC1_(R).

4. Seana<bnúmeros reales. El espacioL1([a,b])de las funcionesf: [a,b]→R

Subespacios de matrices

1. El espacioSn(F)de las matrices simétricas de tamañones un subespacio del

espacioMn(F)de las matrices cuadradas de tamañon.

2. El espacioTn(F)de las matrices triangulares superiormente, es un subespacio

deMn(F).

3. El espacio de las matrices de traza igual a0es un subespacio deMn(F).

4. El espacio de las matrices diagonalesDn(F)es un subespacio deMn(F).

Observe queDn(F) =Sn(F)∩Tn(F).

Intersecciones de subespacios son subespacios

Teorema

SiUyWson subespacios de un espacio vectorialVsobreF, entoncesU∩Wes un espacio vectorial sobreF.

Observación

ComoUyWson subespacios deV, en particular0∈Uy0∈W, por lo que0∈U∩W. Así queU∩W̸=∅.

Demostración

Seanv1yv2enU∩Wy seaα∈F. En particular

u1+αu2∈U y u1+αu2∈W.

Por lo tantou1+αu2∈U∩W. ■

Teorema (Rincón / Hoffman y Kunze / Friedberg)

SeaΓun conjunto no vacío, y supongamos que para todaγ∈Γ,Wγes un subespacio de un espacio vectorial(V,F). SeaW=∩γ∈ΓWγ. EntoncesWes un subespacio deV.

Subespacios generados

Definición (Rincón / Hoffman y Kunze)

Si(V,F)es un espacio vectorial y seaS⊂V. Elsubespacio generadoporS, es la intersección de todos los subespacios deVque contienen aS, el cual denotamos como⟨S⟩. En símbolos,

⟨S⟩=∩{W⊂V:W es subespacio y S⊂W}.

Observación

1. ⟨S⟩es el subespacio más “pequeño” que contiene aS, en el sentido de que siW es un subespacio tal queS⊂W, entonces⟨S⟩ ⊂W. Esto es inmediato de la definición. (Rincón lo pone como un Teorema)

2. SiWes un subespacio deV, entonces⟨W⟩=W.

Subespacios generados por conjuntos finitos

Teorema (Hoffman y Kunze)

Sea(V,F)un espacio vectorial. Entonces

(i) ⟨∅⟩={0}.

(ii) Siv1, ...,vn∈V,

⟨v1, ...,vn⟩=L(v1, ...,vn).

Demostración

(i)Dado que⟨∅⟩es un subespacio,0∈ ⟨∅⟩, o equivalentemente,

{0} ⊂ ⟨∅⟩.

Por otra parte,∅ ⊂ {0}, por lo que

⟨∅⟩ ⊂ {0}.

■

Subespacios generados por cojuntos finitos

Teorema (Hoffman y Kunze)

Sea(V,F)un espacio vectorial. Entonces

(i) ⟨∅⟩={0}.

(ii) Siv1, ...,vn∈V,

⟨v1, ...,vn⟩=L(v1, ...,vn).

Demostración

(ii)L(v1, ...,vn)es un subespacio que contiene a{v1, ...,vn}. Por lo tanto

⟨v1, ...,vn⟩ ⊂L(v1, ...,vn).

Por otro lado, dado que⟨v1, ...,vn⟩es un subespacio que contiene a{v1, ...,vn}, entonces en particular, toda combinación lineal de los vectoresv1, ...,vnestá en

⟨v1, ...,vn⟩. Esto es

L(v1, ...,vn)⊂ ⟨v1, ...,vn⟩.

Forma general del subespacio generado

Teorema (Rincón / Hoffman y Kunze)

SeaSun subconjunto no vacío de un espacio vectorial(V,F). Entonces

⟨S⟩=L(S).

Es decir, el subespacio generado porSes el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores enS.

Demostración

El modelo de demostración no es distinto al del teorema anterior, y por ellos se deja

como ejercicio. ■

Dependencia lineal

Definición (Hoffman y Kunze/Friedberg)

Decimos que un subconjuntoSde un espacio vectorialVeslinealmente dependiente (l.d.)si existe un número finito de vectores distintosu1, ....,unenSy escalares α1, ..., αn, no todos cero, tales que

α1u1+· · ·+αnun=0.

En otras palabras,Ses linealmente dependiente si existe una representación no trivial de0como una combinación lineal de vectores enS.

SiSestá constituido por un conjunto finito de vectoresv1, ...,vnentonces decimos que los vectoresv1, ...,vnson linealmente dependientes.

Independencia lineal

Definición (Hoffman y Kunze/Friedberg)

Un subconjuntoSde un espacio vectorialVeslinealmente independiente(l.i.) si no es linealmente dependiente.

En otras palabras,Ses linelamente independiente si y sólo si, para cualesquiera colección finita de vectores distintosu1, ...,un∈S, la única representación del0como combinación lineal de estos vectores es la trivial, es decir, si para cualesquiera escalaresα1, ..., αn, si se cumple

α1u1+· · ·+αnun=0,

entonces

α1=α2=· · ·=αn=0.

Los ejemplos triviales

Proposición

En un espacio vectorial(V,F),{0}yVson l.d.

Demostración

Elegimos algún escalarα̸=0(¿por qué podemos hacer esta elección?), y entonces

tenemos

α0=0.

Hemos probado que0tiene una representació no trivial de0. Así que{0}es l.d.

Observe que esta misma representación muestra queVes l.d. ■

Proposición

∅es l.i.

Demostración

Si∅fuera l.d., existiría una representación no trivial de0como una combinación

lineal de vectores en∅, lo cual es imposible. ■

Un par de ejercicios

Teorema

SeanR⊂Ssubconjuntos de un espacio vectorialV. SiRel l.d. entoncesSes l.d.

Demostración

Ejercicio. ■

Pregunta

¿Es cierto el recíproco del teorema anterior?

Teorema

SeanR⊂Ssubconjuntos de un espacio vectorialV. SiSel l.i. entoncesSes l.i.

Demostración

Ejercicio. ■

Pregunta

Algunas equivalencias

Proposición (Rincón)

Si(V,F)es un espacio vectorial yS⊂V, son equivalentes

(i) Ses l.d.

(ii) Existev∈Stal quev∈L(S\{v}). Esto es, al menos un vector deSes combinación lineal de los otros.

(iii) Existev∈Stal queL(S) =L(S\{v}).

Demostración

[(i)⇒(ii)]Supongamos queSes l.d. Existe un conjunto finitov1, ...,vnde vectores distintos enS, tales que

α1v1+· · ·+αnvn=0,

dondeα1, ..., αnson escalares no todos cero. Elegimos alguno de estos escalares no cero, digamosα_j. De la igualdad anterior,

vj=−α1

αjv1− · · · − α_j−1

αj vj−1− α_j+1

αj vj+1− · · · − αn

αjvn∈L(S\{vj}).

Algunas equivalencias

Proposición (Rincón)

Si(V,F)es un espacio vectorial yS⊂V, son equivalentes

(i) Ses l.d.

(ii) Existev∈Stal quev∈L(S\{v}). Esto es, al menos un vector deSes combinación lineal de los otros.

(iii) Existev∈Stal queL(S) =L(S\{v}).

Demostración

[(ii)⇒(iii)]Solo debemos probar la contensiónL(S)⊂L(S\{v}). Es decir, debemos probar que toda combinación lineal de vectores enS, es una combinación lineal de vectores enS\{v}. Seanu1, ...,unvectores enS. Siv̸=ui, para todo i=1, ...,n, entonces es inmediato que para cualesquiera escalaresα1, ..., αn,

α1u1+· · ·+αnun∈L(S\{v}). (1)

Supongamos quev=ui, para algún (o algunos)i=1, ...,n. Por hipótesis,

v∈L(S\{v}), por lo queα_iu_i∈L(S\{v})para cadaital queu_i=v. De donde es

Algunas equivalencias

Proposición (Rincón)

Si(V,F)es un espacio vectorial yS⊂V, son equivalentes

(i) Ses l.d.

(ii) Existev∈Stal quev∈L(S\{v}). Esto es, al menos un vector deSes combinación lineal de los otros.

(iii) Existev∈Stal queL(S) =L(S\{v}).

Demostración

[(iii)⇒(i)]Comov∈L(S\{v}), existenu1, ...,unvectores enS\{v}y escalares α1, ..., αn, tales que

v=α1u1+· · ·+αnun.

Equivalentemente,

α1u1+· · ·+αnun−v=0.

Note que esta es una representación no trivial del vector0como combinación lineal

de vectores enS. ■

Algunas equivalencias y un corolario

Proposición (Rincón)

Si(V,F)es un espacio vectorial yS⊂V, son equivalentes

(i) Ses l.d.

(ii) Existev∈Stal quev∈L(S\{v}). Esto es, al menos un vector deSes combinación lineal de los otros.

(iii) Existev∈Stal queL(S) =L(S\{v}).

Corolario

Si(V,F)es un espacio vectorial yS⊂V, son equivalentes

(i) Ses l.i.

(ii) Para todov∈S,v∈/L(S\{v}). Es decir, ningún vector deSes combinación lineal de los otros.

Un teorema típico

Teorema (Friedberg)

SeaSun subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorialV, y sea v∈V\S. EntoncesS∪ {v}es linealmente dependiente si y sólo siv∈L(S).

Demostración

[⇒]Supongamos queS∪ {v}es linealmente dependiente. Existe una colección finita de vectores distintosu1, ...,un∈S∪ {v}y escalaresα1, ..., αnno todos cero, tal que

α1u1+· · ·+αnun=0.

Pero comoSes un conjunto de vectores linealmente independiente, se sigue que uno (y sólo uno) de los vectoresu1, ...,undebe estar fuera deS, esto es, para algún (único) i∈ {1, ...,n},ui=v. Dado queSes l.i., se tiene queαi̸=0. Si despejamos de la

igualdad anterior

v=α1

αiu1− · · · − αi−1

αi ui−1− α_i+1

αi ui+1− · · · − αn αiun.

Lo que prueba quev∈L(S).

[⇐]Obvio. ■

Representación única

Teorema

Un subconjuntoSde un espacio vectorialVes l.i. si y sólo si, cada vectorv∈L(S)no nulo, puede ser expresado de manera única (salvo el orden de los términos) como combinación lineal de vectores enS, es decir, puede ser representado en la forma

v=αv1+· · ·+αnvn,

donde los vectoresv1, ...,vn∈Sson únicos yα1, ..., αnson escalares no nulos únicos

Demostración

[⇒]Ejercicio

[⇐]Supongamos que cada vector enL(S)tiene representación única como combinación lineal de vectores enSde la forma que dice el teorema.

En particular, siv∈Sentoncesv=1ves la única representación devcomo

Definición

Definición

Dado un subespacioWde un espacio vectorialV, decimos queS⊂WgeneraaW(o queSesconjunto generadordeW) siL(S) =W.

Definición

Unabasede un espacio vectorialV, es un subconjuntoBdeVtal que

(i) Bes l.i. (Una base no tiene demasiados vectores)

(ii) Bgenera aV, esto es,L(B) =V. (Tampoco tiene demasiado pocos)

Ejemplos

(i) ∅es una base para{0}.

(ii) Dado un campoFy un entero positivon≥1. Para todoi=1, ...,n, definimos ei= (δi(k))n_k=1el vector deFndado por

δ_i(k) =

  

1 sik=i,

0 sik̸=i.

Entonces{e_i:i=1, ...,n}es una base deFn, llamadabase canónica.

(iii) SeaMm×n(F)el espacio de todas las matrices con coeficientes en un campoF.

Para todo1≤i≤my1≤j≤n, definimosMij_{= (a}

kl)m×ntal que

akl=

  

1 sik=iyl=j,

0 en otro caso.

Entonces{Mij_{:1≤i≤m,1≤j≤n}es una base deMm} ×n(F)

Más Ejemplos

(iv) SeaAuna matriz invertible den×ncon coeficientes en un campoF. Entonces los vecores columaA1, ...,AndeAson una base para el espacio de las matrices columnaFn×1_.

(v) El conjunto{1,x,x2_{, ...,x}n_{}es una base para el espacioFn[x]de polinomios de} grado menor igual an, con coeficientes en un campoF

(vi) El conjunto{1,x,x2, ...,xn, ...}es un base para el espacioF[x]de todos los

Sistemas generedores irreducibles y sistemas libres maximales

Sea(V,F)un espacio vectorial y consideremos las clases

J(V) ={S⊂V: Ses l.i.} G(V) ={S⊂V: Sgenera aV}.

Observación

(i) S∈J(V)⇔ ∀v∈S,L(S\{v})⊊L(S).

(ii) S∈G(V)⇔ ∀W⊂V subespacio,S⊂W⇒W=V.

Observación

Las clasesJ(V)yG(V)son no vacías:

∅ ∈J(V) y V∈G(V).

Sistemas generedores irreducibles y sistemas libres maximales

Teorema (Rincón)

SeaB⊂V. Son equivalentes:

(i) Bes base deV. (ii) Bes maximal enJ(V).

(iii) Bes minimal enG(V).

Definición

SeaXun conjunto y seaFuna clase de subconjunto deX, esto esF⊂℘(X).

1. Decimos queA∈FesmaximalenFsi no existeB∈Ftal queA⫋B. 2. Decimos queA∈FesminimalenFsi no existeB∈Ftal queB⫋A.

Ejemplo

SeaX={0,1,2}y seaF={{0},{1},{0,2}}. Entonces{0,2}es maximal enF; y{0} y{1}son minimales enF.

Sistemas generedores irreducibles y sistemas libres maximales

Ejemplo

Consideremos el espacio vectorial(R2,R).

J(R2) ={∅}∪{{(x,y)}: (x,y)̸= (0,0)}∪{{(x1,y1),(x2,y2)}: (x1,y1)∦(x2,y2)}

X Y

(x,y)

X Y

(x1,y1) (x2,y2)

Los conjuntos de dos vectores{(x1,y1),(x2,y2)}no paralelos son maximales enJ(R2).

Sistemas generedores irreducibles y sistemas libres maximales

Ejemplo

Consideremos el espacio vectorial(R2,R).

G(R2) ={{(x1,y1),(x2,y2)}: (x1,y1)∦(x2,y2)}∪{R2}.

X Y

(x1,y1) (x2,y2)

Sistemas generedores irreducibles y sistemas libres maximales

Teorema (Rincón)

SeaB⊂V. Son equivalentes:

(i) Bes base deV. (ii) Bes maximal enJ(V).

(iii) Bes minimal enG(V).

Demostración

[(i)⇒(ii)]

SiBes una base deV, entonces por definciónB∈J(V).

Supongamos que existeB′_{∈J(V)tal queB⊊B}′_.

Seav0∈B′\B. Dado queL(B) =V, en particular,v0∈L(B), así queB∪ {v0}es l.d.

PeroB∪ {v0} ⊂B′, por tantoB′es l.d. Contradicción. ■

Sistemas generedores irreducibles y sistemas libres maximales

Teorema (Rincón)

SeaB⊂V. Son equivalentes:

(i) Bes base deV. (ii) Bes maximal enJ(V).

(iii) Bes minimal enG(V).

Demostración

[(ii)⇒(iii)]

Supongamos queBes maximal enJ(B). Solo debemos probar queBes un conjunto

generador deV. SiV\L(B)̸=∅, elegimos algúnv0∈V\L(B). En particularv0∈/B, y por tantoB∪ {v0}es l.d. (esto debido a queBes un conjunto maximal en la clase de todos los conjuntos l.i.). Por lo tantov0∈L(B). Absurdo. Se debe tener entonces

Sistemas generedores irreducibles y sistemas libres maximales

Teorema (Rincón)

SeaB⊂V. Son equivalentes:

(i) Bes base deV. (ii) Bes maximal enJ(V).

(iii) Bes minimal enG(V).

Demostración

[(iii)⇒(i)]

SiBes un conjunto minimal enG(V), entonces, para todov∈B,

L(B\{v})⫋V=L(B).

Por lo tantoBes l.i. ■

Espacios vectoriales finitamente generados

Definición (Rincón)

Un espacio vectorialVesfinitamente generadosi existeS⊂Vfinito tal queL(S) =V.

Teorema (Rincón)

Un espacio vectorialVes finitamente generado si y sólo si, existe una base finita deV. Y siVes generado por un conjunto finitoS⊂V, entoncesScontiene una baseB.

Demostración

Supongamos queS⊂Ves un conjunto finito tal queL(S) =V. Observe entonces queS∈G(V). Por lo tanto hay dos casos:Ses minimal enG(V)o bien no lo es.

Si sucede lo primero,Smismo es una base finita deV.

Supongamos queSno es minimal. Existirá entonces un subconjuntoS1⫋Stal que

L(S1) =V, esto es,S1∈G(V). Y nuevamente tendremos dos casos:S1es minimal en

G(V), en cuyo casoS1es en sí mismo una base finita deV, o bienS1no es minimal en

G(V), en cuyo caso existiráS2⫋S1tal queL(S2) =V. Y así sucesivamente....

Note que este proceso debe acabar en algún momento, puesto queSes finito.

Habrá entonces algún subconjuntoSk⊂Sminimal enG(V), y por tanto será una base

Teorema del Reemplazo

Teorema del Reemplazo (Rincón / Friedberg / Hoffman y Kunze)

SeaVun espacio vectorial finitamente generado por un subconjuntoGfinito. SiJes un subconjunto de vectores deVlinealmente independientes, entonces

card(J)≤card(G).

Además existe un subconjuntoHdeGtal que

card(H) =card(G)−card(J)

yJ∪Hes un generador deV.

Observaciones

1. Este teorema se enuncia de diversas formas en la literatura, pero la idea es exactamente la misma. La que aquí presentamos es la aparece en el libro de Hugo Rincón, que creo es la más bonita por su simplicidad. No sé si el profesor Rincón la habrá sacado de otro lado.

2. Los libros de Friedberg et al y Hoffman y Kunze presentan dos pruebas distintas a la que damos aquí, que es la que da Hugo Rincón, que creo es también muy bonita, por ser directa.

Teorema del Reemplazo

Teorema del Reemplazo (Rincón / Friedberg / Hoffman y Kunze)

SeaVun espacio vectorial finitamente generado por un subconjuntoGfinito. SiJes un subconjunto de vectores deVlinealmente independientes, entonces

card(J)≤card(G).

Además existe un subconjuntoHdeGtal que

card(H) =card(G)−card(J)

yJ∪Hes un generador deV.

Observaciones

3. La prueba de Friedberg et al. es por inducción sobre el tamaño deJ.

4. La prueba de Hoffman y Kunze usa un resultado de la teoría de ecuaciones, el cual dice que cualquier sistema homogéneo demecuaciones connincógnitas, conn>m(más incógnitas que ecuaciones), tiene solución no trivial.

Demostración del Teorema del Reemplazo

Demostración

SiJ⊂Gno hay nada que hacer.

Supongamos queJ̸⊂G. Seav1∈J\G. Dado queGes generador deV, existen vectores u1, ...,unenGy escalaresα1, ..., αntales que

v1=α1u1+· · ·+αnun.

Ahora,(G∩J)∪ {v1}es l.i. porque está contenido enJ. De modo quev1no es

combinación lineal de vectores enG∩J. Por lo tanto, para al menos unk∈ {1, ...,n}, uk∈G\Jyαk̸=0. Si reordenamos los índices podemos suponeru1∈G\Jyα1̸=0.

Así que podemos despejaru1para obtener

u1= 1

α1v1− α2

α1u2− · · · − αn

α1un∈L((G\{u1})∪ {v1}).

Se sigue queG1= (G\{u1})∪ {v1}es un conjunto generador deV, y observe que

card(G) =card(G1).

Tenemos así dos casos nuevamente: SiJ⊂G1, no tenemos nada más que hacer, o bien, siJ̸⊂G1, repetimos el proceso anterior.

Demostración del Teorema del Reemplazo

Demostración

Pero en este último caso, observe que

G1∩J= (G∩J)∪ {v1}.

Por lo que

#(G)≥#(G1∩J) = #(G∩J) +1>#(G∩J).

De modo que si tuviéramos que repetir el argumento una vez más, obtendríamos un nuevo conjunto generadorG2tal que

card(G)≥card(G2∩J)>card(G1∩J)>card(G∩J).

Pero comoGes finito, esta secuencia implica que el número de veces que se puede aplicar el argumento es finito. Y el proceso termina cuando encontramos un conjunto generadorGmtal que

J⊂Gm y card(Gm) =card(G).

Dimensión de un espacio finitamente generado

Corolario (Rincón)

Si(V,F)es finitamente generado, entonces todas las bases deVson finitas y tienen el mismo número de elementos.

Demostración

SeaGun conjunto generador finito deVy seanByB′_{dos bases deV. Por elTeorema} del Reemplazo,card(B)≤card(G)ycard(B′)≤card(G). En particular esto prueba

que toda base deVes finita. PeroByB′_{también son generadores deVy} subconjuntos de vectores linealmente independientes, por lo que

card(B)≤card(B′) y card(B′)≤card(B).

Luego,card(B) =card(B′). ■

Dimensión de un espacio finitamente generado

Definición

Decimos que un espacio vectorial(V,F)esfinito-dimensional(o dedimensión finita) si tiene una base finita. En cuyo caso, definimos ladimensióndeVcomo el número (único) de vectores de cualquiera de las bases deV. Denotamos comodim(V)a la dimensión deV.

Ejemplos

1. El espacio{0}tiene dimensión cero.

2. El espacioFn_{tiene dimensiónn.}

3. El espacioFm×n_{tiene dimensiónmn.}

4. El espacioFn[x]tiene dimensiónn+1.

5. El espacio(C,C)tiene dimensión1. Una base es{1}.

Dimensión de un espacio finitamente generado

Corolario

SiVes un espacio vectorial finito-dimensional de dimensiónn, entonces cualquier subconjuntoB⊂Vcon más denvectores es l.d. (en otras palabras, ningún subconjunto con más denvectores es l.i.). Y siG⊂Ves un generador, entoncesG tieneno más vectores (en otras palabras, ningún subconjunto con menos den vectores puede generar aV).

Demostración

SiBes una base de tamañondeV, entonces para todo subconjuntoBdeVl.i., se tiene

card(B)≤card(B) =n.

Y siGes un subconjunto generador, entonces contiene a alguna baseB, por lo tanto

n=card(B)≤card(G).

■

Dimensión de un espacio finitamente generado

Teorema

Sea(V,F)un espacio finito-dimensional tal quedim(V) =ny seaB⊂V. Son equivalentes:

(i) Bes base deV. (ii) Bes l.i. ycard(B) =n.

(iii) Bes generador deVycard(B) =n.

(iv) card(B) =ny para todov∈V, existe una única representación (salvo el orden de los términos) devcomo combinación lineal de vectores deB.

Demostración

[(i)⇒(ii)]Obvio.

[(ii)⇒(i)]SiB′es un subconjunto l.i. deVtal queB⊂B′. Entonces,

n=card(B)≤card(B′)≤n.

Dimensión de un espacio finitamente generado

Teorema

Sea(V,F)un espacio finito-dimensional tal quedim(V) =ny seaB⊂V. Son equivalentes:

(i) Bes base deV. (ii) Bes l.i. ycard(B) =n.

(iii) Bes generador deVycard(B) =n.

(iv) card(B) =ny para todov∈V, existe una única representación (salvo el orden de los términos) devcomo combinación lineal de vectores deB.

Demostración

[(i)⇒(iii)]Obvio.

[(iii)⇒(i)]SiB′es un subconjunto generador deVtal queB′⫋B. Entonces,

n≤card(B′)<card(B′)≤n.

En consecuenciaB=B′. Así queBes minimal enG(V)y por tanto una base. ■

Dimensión de un espacio finitamente generado

Teorema

Sea(V,F)un espacio finito-dimensional tal quedim(V) =ny seaB⊂V. Son equivalentes:

(i) Bes base deV. (ii) Bes l.i. ycard(B) =n.

(iii) Bes generador deVycard(B) =n.

(iv) card(B) =ny para todov∈V, existe una única representación (salvo el orden de los términos) devcomo combinación lineal de vectores deB.

Demostración

[(i)⇒(iv)]Ejercicio.

[(iv)⇒(i)]PongamosB={b1, ...,bn}. Es claro queBes un generador deV. Solo hay que probar que es l.i. Pues bien, es claro que

0=0b1+· · ·+0bn.

Dimensión de un espacio finitamente generado

Teorema

Si(V,F)es un espacio vectorial finito dimensional ySes un subconjunto deVl.i., entonces existe una baseBdeVtal queS⊂B.

Demostración

Ejercicio. ■

Teorema

Si(V,F)es un espacio vectorial finito dimensional yW⫋Ves un subespacio propio de

V, entoncesWes finito dimensional ydim(W)<dim(V).

Demostración

Ejercicio. ■

Teorema

Si(V,F)es un espacio vectorial finito dimensional yW⊂Ves un subespacio deV, entoncesdim(W) =dim(V)si y sólo siW=V.

Demostración

Ejercicio. ■