Estimación de valor en riesgo para un portafolio de bonos usando el método GARCH

Texto completo

(1)ESTIMACION DE VALOR EN RIESGO PARA UN PORTAFOLIO DE BONOS USANDO EL METODO GARCH. MARIA TERESA CAMACHO RIOS. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial Bogotá, DC 2003.

(2) II – 03 (2) 15. ESTIMACION DE VALOR EN RIESGO PARA UN PORTAFOLIO DE BONOS USANDO EL METODO GARCH. MARIA TERESA CAMACHO RIOS. Trabajo de Grado para optar al título de Ingeniero Industrial. Director FERNANDO BELTRAN Profesor Asociado Departamento Ingeniería Industrial Universidad de los Andes. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial Bogotá, D.C 2003 2.

(3) II – 03 (2) 15. Nota de Aceptación. ___________________________ ___________________________ ___________________________. __________________________ Presidente del Jurado. __________________________ Jurado. __________________________ Jurado. 3.

(4) II – 03 (2) 15. “...La imaginación es más importante que el conocimiento ...”. Albert Einstein. A mis padres quienes me apoyar en todo momento.. 4.

(5) II – 03 (2) 15. AGRADECIMIENTOS El autor quiere agradecer a: FERNANDO BELTRÁN por su asesoría y colaboración durante la realización del presente proyecto. JAVIER GÓMEZ y NICOLÁS ACEVEDO por su valiosa orientación, conocimiento indispensables para la realización de este proyecto. Todas aquellas personas que de una u otra forma colaboraron en la realización del presente proyecto.. 5.

(6) II – 03 (2) 15. TABLA DE CONTENIDO pág INTRODUCCION.......................................................................................... 11 1. RIESGO DE MERCADO ............................................................................. 14 1.1. RIESGO, TIPOS DE RIESGO ................................................................... 14 1.2. VALOR EN RIESGO ................................................................................ 15 1.2.1. DEFINICIÓN ...................................................................................... 15 1.2.2. ESTIMACION ..................................................................................... 18 1.3. PORTAFOLIO DE BONOS ....................................................................... 22 2. CURVA DE CUPON CERO.......................................................................... 26 2.1. DEFINICION ......................................................................................... 26 2.2. CONSTRUCCION ................................................................................... 27 3. FRACCIONAMIENTO DE FLUJOS DE EFECTIVO.......................................... 29 4. METODO................................................................................................. 33 4.1. GARCH ................................................................................................. 33 4.2. ANALISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES............................................ 35 4.3. GARCH ORTOGONAL ........................................................................... 36 5. METODOLOGIA ....................................................................................... 38 5.1. SELECCIÓN DE LOS PORTAFOLIOS ........................................................ 38 5.2. “MAPEO” O FRACCIONAMIENTO DE FLUJOS DE EFECTIVO....................... 51 5.3. APLICACIÓN DEL MÉTODO GARCH......................................................... 51 5.4. CALCULO DEL VAR ................................................................................ 52 6. RESULTADOS .......................................................................................... 53 7. COMPARACION CON OTROS METODOS .................................................... 59 7.1. MODELO VARIANZA .............................................................................. 59 7.2. MODELO EWMA .................................................................................... 59 6.

(7) II – 03 (2) 15. 7.3. MODELO SIMULACIÓN DE MONTECARLO ............................................... 60 7.4. CONCLUSIONES COMPARACION ............................................................ 60 CONCLUSIONES .......................................................................................... 61 RECOMENDACIONES ................................................................................... 63 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................ 64 ANEXOS...................................................................................................... 66. 7.

(8) II – 03 (2) 15. LISTA DE TABLAS. TABLA. pág 1 BONOS SELECCIONADOS ....................................................................... 42. TABLA 2 CÁLCULO DE LIQUIDEZ......................................................................... 44 TABLA 3 CÁLCULO DE VOLATILIDAD .................................................................... 45 TABLA 4 CÁLCULO DE DURACIÓN ....................................................................... 46 TABLA 5 MATRIZ DE COVARIANZA ...................................................................... 48 TABLA 6 MATRIZ DE CORRELACIÓN .................................................................... 48 TABLA 7 CONFORMACIÓN DEL PORTAFOLIO 1........................................................ 49 TABLA 8 CONFORMACIÓN DEL PORTAFOLIO 2........................................................ 49 TABLA 9 CONFORMACIÓN DEL PORTAFOLIO 3........................................................ 50 TABLA 10 CONFORMACIÓN DEL PORTAFOLIO 4........................................................ 50 TABLA 11 CONFORMACIÓN DEL PORTAFOLIO 5........................................................ 51 TABLA 12 RESUMEN CONFORMACIÓN DE. LOS PORTAFOLIOS ....................................... 51. TABLA 13 MATRIZ DE VARIANZA-COVARIANZA DE LOS RETORNOS (SEPTIEMBRE 9) ........... 54 TABLA 14 MATRIZ DE CORRELACIÓN DE LOS RETORNOS (SEPTIEMBRE 9) ....................... 54 TABLA 15 RESULTADOS APLICACIÓN GARCH ......................................................... 56 TABLA 16 MATRIZ DE “MAPEO” .......................................................................... 57 TABLA 17 CÁLCULO DEL VAR ............................................................................. 58 TABLA 18 ESTIMACIÓN DE VAR USANDO VARIANZA-COVARIANZA ................................ 59 TABLA 19 ESTIMACIÓN DE VAR USANDO EWMA .................................................... 59 TABLA 20 ESTIMACIÓN DE VAR USANDO MONTECARLO............................................. 60. 8.

(9) II – 03 (2) 15. LISTA DE GRAFICOS pág GRÁFICO 1 DEFINICIÓN DE VAR.......................................................................... 17 GRÁFICO 2 REPRESENTACIÓN DE LA CURVA DE CUPÓN CERO ....................................... 26 GRÁFICO 3 “MAPEO” O FRACCIONAMIENTO DE FLUJOS DE EFECTIVO .............................. 30 GRÁFICO 4 PROCESO DE REVERSIÓN A LA MEDIA ..................................................... 33 GRÁFICO 5 AUTORREGRESIÓN DE LOS RETORNOS ..................................................... 34 GRÁFICO 6 MATRIZ DE METODOLOGÍA .................................................................. 39 GRÁFICO 7 RENDIMIENTOS DE LA CURVA DE CUPÓN CERO........................................... 53 GRÁFICO 8 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS COMPONENTES PRINCIPALES .................... 56. 9.

(10) II – 03 (2) 15. LISTA DE ANEXOS pág ANEXO 1: DISTRIBUCIÓN DE LOS RETORNOS........................................................... 66 ANEXO 2: INSTRUCCIONES DE SAS ...................................................................... 68 ANEXO 3: SALIDAS DE SAS ............................................................................... 69 ANEXO 4: DISTRIBUCIÓN DE LOS COMPONENTES PRINCIPALES .................................... 71 ANEXO 5: FRACCIONAMIENTO “MAPEO” DE LOS FLUJOS DE EFECTIVO DE LOS BONOS .......... 76. 10.

(11) II – 03 (2) 15. INTRODUCCION El conocimiento de la cantidad máxima de pérdida que puede derivarse como consecuencia de la exposición de un determinado instrumento financiero o un portafolio de estos frente al riesgo de mercado, interesa tanto desde el punto de vista del control y limitación de riesgos, como desde la perspectiva de evaluación de rendimientos que, ligados a dicha exposición, se obtengan. El Valor en Riesgo (VaR) aporta una cuantificación para la mencionada pérdida, asociándola con un grado de confianza estadísticamente conocido. En este sentido, el VaR de un portafolio puede ser definido como la máxima pérdida que, con un nivel de confiabilidad estadística determinado, pueda experimentar el valor de la misma a lo largo de un período temporal concreto, durante el cual las posiciones permanecen inalteradas. La utilización del Valor en Riesgo (VaR) se ha generalizado en el ámbito de los mercados financieros en los últimos años. En Colombia, la entidad que se encarga actualmente de regular la medición de riesgo en las entidades bancarias es La Superintendencia Bancaria de Colombia. Este organismo de control mide el riesgo de tasa de interés, entendiéndose este como el efecto de cambios en la tasa de interés sobre el valor de capital de la entidad, para esto emplea el cálculo de la duración, por ejemplo. Luego de haber calculado la duración y los valores presentes de los instrumentos pactados a tasa de interés fija y variable, se calcula el Valor en Riesgo por tasas de interés.. 11.

(12) II – 03 (2) 15. Este trabajo tiene como objetivos: •. Determinar los efectos que puede tener la valoración del riesgo con la metodología de RiskMetrics en el mercado de bonos colombianos.. •. Estudiar los beneficios de utilizar un método diferente al tradicional (propuesto), para la estimación de la matriz de varianzas-covarianzas.. •. Conocer los aspectos más relevantes de los estándares internacionales en materia de medición, control y gestión de riesgos de mercado que incorpora y regula la Superintendencia Bancaria de Colombia.. •. Conocer lo referente a transformación de plazos, montos e instrumentos de las instituciones financieras que están expuestas a riesgo de mercado que pueden traducirse en una disminución del valor económico del patrimonio de la entidad, la cual puede llegar a afectar su viabilidad financiera y la percepción del mercado sobre su estabilidad.. Se necesitará entre otras, la siguiente información.. . Series de Precios de los bonos mas tranzados en el mercado. . Datos de la curva de cupón cero. El presente proyecto se divide en capítulos. En el primero se hace un recuento de la importancia de la medición de riesgo y su regulación por parte de la entidades financieras. En el segundo y tercer capítulo se explica la curva de cupón cero y el procedimiento de fraccionamiento de flujos de efectivo. En el capítulo cuarto se explica el método GARCH que está basado en un modelo de heteroscedasticidad condicional autorregresiva generalizada muy aplicado hoy 12.

(13) II – 03 (2) 15. en día en el campo financiero y el GARCH ortogonal, que surge de la aplicación del análisis de Componentes Principales. En el capítulo quinto, se describe la metodología mediante la cual se desarrolló este proyecto, donde se hace énfasis en como se abordo la selección de los portafolios. En el sexto capitulo se muestran los resultados luego de aplicar el modelo de heteroscedasticidad condicional autorregresiva generalizada y el cálculo del Valor en Riesgo para los portafolios. En el séptimo capitulo se muestran las estimaciones de Valor en Riesgo por otros métodos donde se efectúan las comparaciones entre los portafolios estudiados. Y los últimos capítulos presentan las conclusiones y las recomendaciones de este trabajo.. 13.

(14) II – 03 (2) 15. 1. RIESGO DE MERCADO. Este capítulo trata que es el riesgo y las clases de este que se presentan en el mercado financiero, además se introduce el concepto de Valor en Riesgo, lo relacionado con su definición y su medición por diferentes criterios. Al final del capítulo se describen los bonos que emite el Gobierno Colombiano y sus características.. 1.1. RIESGO, TIPOS DE RIESGO El riesgo es el grado de variabilidad o contingencia del retorno de una inversión. En términos generales se puede esperar que, a mayor riesgo, mayor rentabilidad de inversión o pérdida. Existen varias clases de riesgos: de mercado, solvencia, jurídico, de liquidez, de tasa de cambio, riesgo de tasa de interés. •. El riesgo de mercado: es el riesgo que se genera por cambios en las condiciones generales del mercado frente a la inversión.. •. El riesgo de liquidez: es la contingencia de que la entidad incurra en pérdidas excesivas por la venta de activos y la realización de operaciones con el fin de lograr la liquidez necesaria para poder cumplir con sus obligaciones.. 14.

(15) II – 03 (2) 15. •. El riesgo de tasa de cambio: es la contingencia de pérdidas por variaciones inesperadas en las tasas de cambio de las divisas en las cuales la entidad mantiene posiciones.. •. El riesgo de tasa de interés: es la contingencia que ante cambios inesperados en las tasas de interés, la entidad vea disminuido el valor de mercado del patrimonio.. •. Riesgo del emisor: es la capacidad o percepción que tiene el mercado de que los emisores paguen sus títulos de deuda.. •. Riesgo de contraparte: es el riesgo de que la contraparte (con quien negociamos) no entregue el valor o título correspondiente a la transacción en la fecha de vencimiento.. 1.2. VALOR EN RIESGO 1.2.1. DEFINICIÓN La definición de Value at Risk “Valor en Riesgo” (VaR ), o valoración del riesgo, proviene de la necesidad de cuantificar con determinado nivel de significancia o incertidumbre el monto o porcentaje de pérdida que un portafolio enfrentará en un período predefinido de tiempo1. Su medición tiene fundamentos estadísticos y el estándar de las instituciones financieras es calcular el VaR con un nivel de significancia del 5%. Esto significa que solamente el 5% de las veces, o 1 de 20 veces (es decir, una vez al mes con datos diarios, o una vez cada cinco meses con datos semanales) el retorno 1. Jorion, P. “Valor en Riesgo: el nuevo paradigma para el control de riesgos con derivados”. 15.

(16) II – 03 (2) 15. del portafolio caerá más de lo que señala el VaR, en relación con el retorno esperado. Para el caso colombiano la Superintendencia Bancaria ha establecido que los valores de riesgo deberán ser estimados utilizando un nivel de confianza mínimo del 98% (donde le nivel de significancia es del 2%).2 Si consideramos una serie de retornos históricos de un portafolio que posee un número n de activos, es factible visualizar la distribución de densidad de aquellos retornos a través del análisis del histograma.. Es común encontrar fluctuaciones de retornos en torno a un valor medio levemente diferente de cero (este concepto en estadística se denomina proceso con reversión a la media) y cuya distribución se aproxima a una normal. Leves asimetrías (sesgo) son a veces percibidas en los retornos, pero desde un punto de vista práctico es suficiente asumir simetría en la distribución. Una vez generada la distribución se debe calcular aquel punto del dominio de la función de densidad que deja un 5% o 1% del área en su rango inferior (α). La distancia de este punto en el dominio de la distribución en relación al valor esperado de la distribución se denomina Value at Risk.3 El Valor en Riesgo (VaR) es definido analíticamente de la siguiente manera:. 2 3. Circular externa 042 de 2001. Superbancaria de Colombia.. Value at Risk: teoría y aplicaciones. Christian A. Johnson.. 16.

(17) II – 03 (2) 15. Gráfico 1 Definición de VaR. E [r ]−VaR. ∫ r ( s)ds = α. −∞. donde se supone que E[r] = 0, por lo tanto la ecuación es: −VaR. ∫ r (s )ds = α. −∞. El valor en riesgo (VaR) surgió ligado a los problemas de cuantificación del riesgo de mercado en las entidades bancarias y se ha convertido en un punto de obligada referencia a la hora de valorar los riesgos. El valor en riesgo (VaR) cuantifica la máxima pérdida que puede derivarse de la exposición de determinada cartera o portafolio (institución, área de negocio) frente al riesgo de mercado, asociándola a un grado conocido de confianza estadística. El VaR proporciona, con un nivel de fiabilidad estadística predeterminado, una estimación, en unidades monetarias, de la máxima variación negativa que 17.

(18) II – 03 (2) 15. puede experimentar el valor de una entidad durante un período de tiempo preestablecido (período de tenencia). Los elementos clave del concepto de VaR de un portafolio son: el nivel de confiabilidad estadística requerida y el período de tenencia considerado. La magnitud del primero dependerá del grado de eficacia que se persiga con la medida de riesgo. El período de tenencia deberá relacionarse con la facilidad con que la entidad se pueda deshacer de las posiciones que integran al portafolio analizado y dependerá de la liquidez de los activos que lo componen. Este elemento consiste en el lapso máximo en que la entidad puede despojarse de todas las disposiciones que integran al portafolio.. 1.2.2. ESTIMACION El procedimiento de cálculo consta de cuatro fases: identificación de los factores de riesgo (retornos), escogencia del método de cálculo, definición del parámetro de confiabilidad estadística y determinación de VaR. Dentro de los métodos más usados se encuentran :. Primer criterio de clasificación: •. Método de valoración global. VAR = Vp Vo Pérdida potencial = Valor potencialmente posible - Valor actual (esperado al finalizar el período de tenencia) •. Método delta. VAR = S * C Pérdida potencial = Sensibilidad * Cambios potenciales en los factores de riesgo (frente a cambios) (efecto de factores individuales) 18.

(19) II – 03 (2) 15. Segundo criterio de clasificación: •. Método de simulación histórica. La variación máxima que puede experimentar el valor de un portafolio como consecuencia de la exposición frente al riesgo de mercado equivale a la máxima variación que hubiera experimentado dicho portafolio a lo largo de un período histórico determinado en un percentil estadístico prefijado. Se genera la distribución estadística de los cambios potenciales a partir de datos históricos. El. VaR se estima directamente a partir de los percentiles estadísticos de dicha distribución. Estos percentiles ofrecen el nivel de confiabilidad estadística del importe calculado. Es clave la elección del período histórico que se va a utilizar. •. Método de simulación de MonteCarlo. Se genera la distribución estadística de los cambios potenciales a partir de datos generados aleatoriamente. El VaR se estima directamente a partir de los percentiles estadísticos de dicha distribución. •. Método de varianzas-covarianzas. Supone que el Valor en Riesgo es proporcional a la desviación típica del rendimiento del portafolio, calculada conforme a información histórica. Para calcular el valor en riesgo en determinado momento t, se recurre a la siguiente expresión:. VARt = φ ∗ (τ ∗ σpt)1/2 φ parámetro de confiabilidad estadística τ parámetro de ajuste temporal σpt desviación típica. 19.

(20) II – 03 (2) 15. El punto clave, por lo tanto en los métodos de varianza–covarianza, es el procedimiento para determinar la varianza (desviación típica del portafolio). La varianza del portafolio se calcula, de acuerdo con el enfoque delta así:. σ. 2 pt. =. n. ∑. i =1. δ i2 σ. 2 n. + 2∑. ∑. ρ ijt δ i δ j σ it σ. jt. Se puede ver como un producto matricial σ 2pt =D´CD, donde D = (δ1 δ2 ... δn) este es el vector que recoge las sensibilidades del rendimiento del portafolio frente a los distintos factores de riesgo y C es la matriz de varianzas– covarianzas entre dichos factores. Modelo de varianza constante en el tiempo La expresión a utilizar es la siguiente: t −1 1 σi = * ∑(xis − µs ) 2 k − 1 s=t −k. donde s es el valor de la desviación típica del i-ésimo factor de riesgo.. σ ij =. 1 t −1 ∑ ( xis − µ i )( x js − µ j ) k − 1 s =t − k. Modelo Promedios Móviles En este modelo se supone que la varianza varía a lo largo del tiempo, considerando que toda la información histórica es igualmente relevante a la hora de predecir cual será el comportamiento futuro de la varianza. El modelo de promedios Móviles es utilizado como una primera aproximación para el análisis de volatilidad debido a que consiste en tomar un promedio sobre los valores anteriores durante un período de longitud determinado, presenta el problema de que una observación con un valor extremo tendría efecto sobre el número de estimaciones futuras. Al ponderar igualmente toda la información 20.

(21) II – 03 (2) 15. que toma este modelo, no es posible que reaccione más rápidamente ante la nueva información.. rt 2−1 σˆ = ∑ i =1 T T. 2 t. Modelo Promedios Móviles Exponencialmente Ponderados (EWMA) El modelo Promedios Móviles Exponencialmente ponderados corrige el problema de ponderar mediante un decaimiento exponencial la información, desde la más reciente hasta la menos reciente. De esta forma es posible calibrar el modelo de forma que responda más rápidamente a la información reciente o que tenga en cuenta con mayor peso relativo la información pasada. En este modelo se parte de que la varianza no permanece constante en el tiempo y que la información histórica es más relevante cuanto más próxima está al momento en el que se desea realizar la predicción de la varianza futura. ∞. σˆ = (1 − λ )∑ λi −1 rt 2−i 2 t. i =1. σˆ t = (1 − λ )rt 2−1 + λσ t2−1. 0 ≤ λ ≤ 1. modelo en forma recursiva. Modelo GARCH (heteroscedasticidad condicional autorregresiva generalizada)4 Desarrollado a partir de los modelos ARCH de Rob Engle, este modelo propone que los retornos son generados por un proceso estocástico con parámetro de volatilidad variable en el tiempo, donde este último presenta tendencia a comportarse como un procesos de reversión a la media.. 4. Este modelo se desarrolla ampliamente en el capítulo de modelo. 21.

(22) II – 03 (2) 15. 1.3. PORTAFOLIO DE BONOS. Un portafolio es una combinación de activos financieros poseídos por una misma persona, siendo esta natural o jurídica. Un portafolio de inversión es diversificado cuando en el conjunto de activos se combinan especies con rentabilidades, emisores, modalidades de pago de intereses y riegos diferentes. Los Bonos son títulos que representan una parte de un crédito constituido a cargo de una entidad emisora. Su plazo mínimo es de un año; en retorno de su inversión recibirá una tasa de interés que fija el emisor de acuerdo con las condiciones de mercado, al momento de realizar la colocación de los títulos. Surgen de la necesidad de obtener recursos (dinero) por parte de las empresas y los gobiernos de los países para poder llevar a cabo sus actividades y proyectos. Los gobiernos y las empresas emiten bonos en forma de títulos o certificados por medio de los cuales se comprometen a devolver al comprador del bono una cantidad específica de dinero correspondiente al valor inicial del bono más unos intereses. Esto quiere decir que quien compra el bono da unos recursos a quien emite el bono y, posteriormente, el comprador del bono recibe su dinero además de unos intereses como retribución por no haber podido utilizar su dinero durante cierto tiempo. Por sus características estos títulos son considerados de renta fija. Además de los bonos ordinarios, existen en el mercado bonos de prenda y bonos de garantía general y específica y bonos convertibles en acciones. Sin embargo, generalmente, tienen las siguientes características comunes:. 22.

(23) II – 03 (2) 15. Valor de compra o emisión: Es el valor que el comprador paga al momento de comprar el bono. Valor par o valor facial: Es la cantidad de dinero, sin tener en cuenta los intereses, que se le retorna al comprador del bono al terminarse el plazo del bono (madurez). El valor par puede ser mayor, menor o igual al valor de compra dependiendo de factores como la tasa de interés vigente al momento de la emisión, el riesgo percibido por los compradores de no cumplimiento por parte del emisor, la cantidad de dinero solicitada, los impuestos (en especial el de renta), la inflación del país que emite los bonos y del mundo en general, las condiciones particulares del bono, etc. Madurez o fecha de vencimiento: Es el plazo que tiene el bono. Los bonos se emiten a largo plazo, mínimo un año. Al cabo de este tiempo, se le paga al comprador el valor del bono más los intereses, dependiendo de las características del bono. Tasa de interés: El emisor define una tasa de interés sobre el valor par del bono. Por lo tanto, reconocerá, según la frecuencia determinada en el bono, unos intereses basado en dicha tasa y el valor par. Cupón: Son los pagos periódicos de intereses que se le hacen al tenedor del bono. Existen bonos con cupón cero, los cuales no hacen pagos por intereses de manera periódica. El pago de los intereses, en este caso, se hace en una fecha específica, generalmente al finalizar el plazo del bono. Existen, igualmente, Bonos de cupón fijo. En este caso, los pagos periódicos son de una misma cantidad, la cual corresponde a un porcentaje del valor par, o bonos de cupón flotante, en los cuales el valor de los cupones está atado a algún índice flotante como pueden ser la DTF o la inflación.. 23.

(24) II – 03 (2) 15. Los bonos, tanto de empresas, organizaciones privadas o públicas y gobiernos, se emiten y negocian (vuelven a ser comprados o vendidos) generalmente en las bolsas de valores, conformando un mercado de bonos. El gobier. gobier. gobi. 24.

(25) II – 03 (2) 15. •. Riesgo de precio: este riesgo está asociado con la inversión en un bono que se presenta cuando este debe ser vendido antes de su fecha de vencimiento a un precio que es desconocido porque el rendimiento a futuro se desconoce.. •. Riesgo de inversión: este riesgo está asociado con la inversión en un bono, que se presenta cuando el importe total recibido antes de la fecha del horizonte planeado debe ser reinvertido a una tasa desconocida.. 25.

(26) II – 03 (2) 15. 2. CURVA DE CUPON CERO. Este capítulo introduce la definición de la curva de cupón cero y su importancia para calcular el riesgo a un conjunto de bonos a tasa fija.. 2.1. DEFINICION La curva de rendimientos, es un método econométrico que permite extraer de todo el conjunto de operaciones una curva continua que reconoce los diferentes niveles de interés en el tiempo. A partir de esta metodología se calcula diariamente la Curva de Rendimientos Estimada de los Títulos de Tesorería TES Tasa Fija denominados en pesos (CETES).. Gráfico 2 Representación de la Curva de cupón cero. 26.

(27) II – 03 (2) 15. 2.2. CONSTRUCCION Dentro de los métodos para construir la curva cero cupón5, existe uno desarrollado por Nelson y Siegel en 1987, que consiste en minimizar el número de parámetros que se desea estimar asumiendo que la tasa foward instantánea es la solución de la ecuación diferencial de segundo orden con raíces iguales y repetidas. Entonces la tasa forward instantánea con maduración en el tiempo t es: f (t ) = β 0 + β 1 exp(−t / τ ) + β 2. t. τ. exp(−t / τ ). donde los términos βο, β1, β2 yτ son parámetros para estimar el modelo. El valor que toman los parámetros, define la forma de la estructura de las tasas. Dentro de las formas mas comunes se encuentran las monótonas crecientes, las de forma de S o las de forma de U invertida. Integrando la ecuación anterior que relaciona la tasa spot s(t) y la tasa foward, se obtiene la siguiente expresión. ⎡1 − exp(−t / τ ) ⎤ s (t ) = β 0 + ( β 1 + β 2 ) ⎢ ⎥ − β 2 exp(−t / τ ) ⎣ ( −t / τ ) ⎦. Este método se hace minimizando la suma de los errores cuadráticos de los rendimientos al vencimiento (TIR) así:. N. min ∑ (TIRoi − TIRei ) 2 β ,τ. i =1. 5. Métodos de Estimación de la Curva Cero Cupón para los títulos Tes. Bolsa de Valores de Colombia. 27.

(28) II – 03 (2) 15. La estimación se lleva a cabo mediante el método de máxima verosimilitud. La tasa spot estimada es una tasa continua que se tiene que convertir a una tasa compuesta anual de forma discreta:. s discreta ( t ) = exp( s ( t )) − 1. 28.

(29) II – 03 (2) 15. 3. FRACCIONAMIENTO DE FLUJOS DE EFECTIVO En la metodología de Riskmetrics, un portafolio de instrumentos financieros se encuentra dividido en un número de futuros flujos de caja. Esto es adecuado para evaluar dichos instrumentos. Sin embargo, en el cálculo del VaR paramétrico, el gran número de combinaciones de fechas de los flujos de dinero en efectivo es una tarea poco práctica ya que trabajar con ese gran número de correlaciones y volatilidades es tedioso sobre todo cuando se esta considerando un portafolio con muchos instrumentos financieros. La metodología de Riskmetrics simplifica la estructura del tiempo dividiendo o mapeando cada uno de los flujos de caja en un grupo especifico de vértices o nodos, un ejemplo de estos nodos es el siguiente:. 1d 1m 3m 6m 1a 2a 3a 4a 5a 7a 9a 10a 15a 20a 30a. “Mapear” un flujo de caja significa fraccionarlo en dos vértices adyacentes de Riskmetrics, de la siguiente manera:. 29.

(30) II – 03 (2) 15. Gráfico 3 “Mapeo” o fraccionamiento de flujos de efectivo. Ft. ti. t. Wi. ti. años. td. Wd. t. td. años. C. Luego de “mapear” el flujo de caja, el portafolio de instrumentos es transformado en un portafolio de flujos de caja estándar. Ahora para calcular el VaR, solo se necesita tomar las volatilidades de esos nodos estándar. El mapeo de Riskmetrics está definido de tal forma que se cumplan las siguientes tres condiciones:. •. El valor presente se mantiene. La suma de los valores presentes de los dos flujos de efectivo de Riskmetrics deben ser idénticos al valor presente del flujo de efectivo original.. •. La volatilidad se mantiene. La volatilidad del portafolio de cada flujo de efectivo debe ser igual a la volatilidad del flujo de efectivo original. (definido como la interpolación de las volatilidades de los dos nodos adyacentes). 30.

(31) II – 03 (2) 15. •. El signo se mantiene. Los flujos de efectivo de Riskmetrics tienen el mismo signo que el flujo de efectivo original.. Ahora se resume el procedimiento: 1. Se calcula la tasa del flujo de efectivo original mediante la interpolación de los dos nodos adyacentes y sus respectivas tasas cero cupón.. zt = azi + (1-a)zd donde α = (td – t) / (td - ti), t es la madurez del bono cero cupón, ti y td son los dos nodos adyacentes, y zi y zd son las dos tasas cero cupón de los nodos. 2. Usando la tasa interpolada, se calcula el valor presente del flujo de efectivo original. El valor presente del flujo original es la cantidad actual de la base monetaria que será mapeada entre los dos nodos adyacentes. A continuación se asume que un pago en el tiempo t es mapeado en un pago Wi en el tiempo ti y un pago Wd en el tiempo td, además una cantidad en efectivo C. Para preservar el valor presente del flujo de caja, se establece la siguiente equivalencia:. VPt = e (− ztt ) = Wi e (− ziti ) + Wd e (− zd td ) + C El flujo de caja mapeado debería además mantener la sensibilidad del valor presente a los cambios en las tasas para los nodos vecinos. A partir de la ecuación anterior, se calculan las derivadas parciales de VPt con respecto a zi, manteniendo constante Wi, Wd y C. 31.

(32) II – 03 (2) 15. ∂VPt = −αte(−ztt) =−Witi e(−zltl ) ∂zi De la expresión anterior se obtiene que. Wi = α. t ( − z t t ) ( − z i ti ) e e ti. C=−. Wd = (1 − α ). t ( − zt t ) ( − zd t d ) e e td. (t − t i )(t d − t ) e (− z t ) t. t d ti. Por lo tanto, una cantidad de VPt dólares invertidos en un bono cero cupón con maduración en t puede ser representado por un portafolio de (a) dólares. 3. Finalmente se calculan las cantidades Wi, Wd y C.. Wi = α. t Vt ti. Wd = (1 − α ). t Vt td. C=−. (t − t i )(t d t d ti. − t). Vt. 32.

(33) II – 03 (2) 15. 4. METODO. Este capítulo explica el método GARCH y el GARCH ortogonal que resulta de aplicar el Análisis de Componentes Principales, para reducir los datos manteniendo una gran cantidad de varianza explicada.. 4.1. GARCH Desarrollado a partir de los modelos ARCH de Rob Engle (1982), este modelo propone que los retornos son generados por un proceso estocástico con parámetro de volatilidad variable en el tiempo, donde este último presenta tendencia a comportarse como un proceso de reversión a la media.. Gráfico 4 Proceso de Reversión a la media 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 -0,01 -0,02 -0,03 -0,04. Este modelo se deriva del carácter autorregresivo presente en la series de retornos, en la existencia de correlación entre la serie y esta misma rezagada un. 33.

(34) II – 03 (2) 15. determinado número de períodos, que puede ser observado en un gráfico de correlación. Gráfico 5 Autorregresión de los retornos. El modelo más utilizado es el modelo GARCH(1,1), que es representado de la siguiente forma:. σˆ t2 = γ V + α rt 2−1 + β σˆ t2−1 donde V = volatilidad en el largo plazo (parámetro que revierte la serie) Los parámetros α, β, ω, donde ω = γV, se pueden estimar mediante métodos de máxima verosimilitud (modelos de regresión).. Modelo GARCH(1,1). El modelo GARCH(1,1) de Bollerslev (1986) es una generalización del modelo ARCH introducido por Engle (1982) que ha tenido mejores propiedades de convergencia y una mayor parametrización parsimonia.. 34.

(35) II – 03 (2) 15. El modelo GARCH(1,1) simple es:. rt = c + εt. στ2 = ω + αε2t-1 + βσ2t-1 donde rt denota el retorno diario y σt denota la varianza condicional de εt, para t=1,2,3,...,N. En este modelo la varianza condicional es asumida normal como media cero. Los pronósticos de varianza bajo algún periodo futuro de tenencia, denotada σˆ T2 , h , puede ser calculada por la estimación del modelo como sigue:. σˆ T2 +1 = wˆ + αˆε T2 + βˆσˆ T2 σˆ T2+ s = wˆ + (αˆ + βˆ )σˆ T2+ s −1. σˆ. s>1. h. 2 T ,h. = ∑ σˆ T2 + s s =1. La tercera ecuación da un pronóstico de la varianza de los retornos bajo los siguientes h días. Si α+β = 1, el pronóstico instantáneo dado por la segunda ecuación crecerá en una cantidad constante cada día, y la varianza del periodo. h nunca convergería, se conoce como el modelo GARCH integrado. Pero cuando α+β >1 el pronóstico converge hacia la varianza condicional w/(1-(α+β)) y cuando α+β<1 converge normalmente esto quiere decir que la persistencia o velocidad de convergencia se encuentra sin problema.. 4.2. ANALISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES Esta es una técnica para formar nuevas variables que son combinaciones lineales de las variables originales, extrayendo la mayor información posible. El 35.

(36) II – 03 (2) 15. máximo número de nuevas variables que pueden ser formadas es igual al número de variables originales y las nuevas variables no se encuentran correlacionadas entre ellas. Este análisis además establece exactamente que cantidad de la varianza total de los datos originales es explicada por cada uno de los componentes principales. Se encuentra basado en los valores y vectores propios de la matriz X´X de los datos originales, esta es la matriz de varianza-covarianza. Se pretende encontrar una matriz Z = XC, donde C es la matriz de vectores propios de la matriz X´X, donde la descomposición espectral es: X´XC = CΛ, donde Λ es la matriz diagonal de valores propios, (X´X) = CΛC´ Un Componente Principal se encuentra representado de la siguiente manera: z1 = x1c1 + x2c2 + ... + xkck, donde cada uno tendrá asociado un valor propio y estos se encuentran ordenados así: λ1 > λ2 > λ3 > ... > λκ. La varianza explicada por cada componente se calcula mediante la razón λi / Σ λi.. 4.3. GARCH ORTOGONAL6. Permite generar matrices de varianza-covarianza (k x k) de m modelos GARCH univariados, donde m es el número de componentes principales (m < k).. St = A *Dt * A´. 6. Carol Alexander, “Market Models: a guide to financial data analysis” 36.

(37) II – 03 (2) 15. A es la matriz de k x m de los pesos de los factores (vectores propios),. Dt. es la matriz diagonal de las varianzas de los componentes principales. usando el modelo GARCH(1,1).. 37.

(38) II – 03 (2) 15. 5. METODOLOGIA. Este capitulo describe la metodología desarrollada para abarcar este trabajo, esta comprende la selección de los portafolios, el uso de la técnica de RiskMetrics “mapeo”, la aplicación del método GARCH y el cálculo del VaR para cada uno de los portafolios.. 5.1. SELECCIÓN DE LOS PORTAFOLIOS7 El desarrollo de este trabajo de tesis está compuesto por tres trabajos que se complementan e intentan mostrar diversas maneras de medir el valor en riesgo de varios portafolios de bonos TES y asimismo lograr identificar perfiles de riesgo para dichos portafolios. Para lograr este objetivo se dividió el trabajo de varias maneras que se van a presentar a continuación. Se realizó lo que se va a llamar una división horizontal, correspondiente a tres grandes métodos de estimación del valor en riesgo, y una división vertical que corresponde a diferentes conformaciones de portafolios que se realizaron con base en diferentes características que se expondrán más adelante. Antes de comenzar a describir la metodología que se utilizará es necesario hablar sobre los escenarios y los diferentes métodos relacionados con el VaR.. 7. Esta sección fue elaborada en conjunto con Fabio Macías y Camilo Serrano, quienes trabajaron estimación de VaR con otros métodos. 38.

(39) II – 03 (2) 15. Para ilustrar esto es muy útil remitirse a una matriz, en la cual una coordenada correspondería a los diferentes escenarios que se pueden crear en un portafolio de TES y la otra coordenada correspondería a los métodos relacionados con el cálculo del VaR. Esto se podría interpretar también como una división horizontal y vertical en la cual se presentan infinidad de combinaciones de métodos estudiando diferentes portafolios.. Gráfico 6 Matriz de Metodología. Es1 Es 2 L Es.n Método1 ⎡ *1,1 *1, 2 ⎢ Método2 ⎢*2,1 * 2, 2 ⎢ M M M ⎢ Métodok ⎣*k ,1 *k , 2. K *1,n ⎤ L *2, n ⎥⎥ O M ⎥ ⎥ L * k ,n ⎦. En la anterior ilustración se pueden ver las combinaciones que se pueden generar de métodos y portafolios formando una matriz bidimensional, dentro de la cual se encuentran los resultados de la estimación del VaR.. División horizontal: Tres manera de estimar el VAR En una coordenada de la matriz están las diversas metodologías involucradas con la estimación del VaR. Tales métodos van desde la formula más elemental para calcular el VaR de un activo, bono u otro instrumento hasta los métodos mas elaborados y computacionalmente más exigentes para calcularlo en un portafolio conformado por múltiples instrumentos. Los métodos de estimación del VAR que se utilizaron en este trabajo se diferencian debido al enfoque que cada uno tiene. Los dos primeros tienen en común que parten de la estimación de la matriz de varianza covarianza para llegar al VAR. El primer método sin embrago utiliza tanto los promedios móviles regulares (se podría decir sin peso) como el promedio móvil con decaimiento 39.

(40) II – 03 (2) 15. exponencial, más conocido por sus siglas en inglés EWMA, para la estimación de la matriz anteriormente mencionada. Por su lado, el segundo método emplea modelos generalizados de autorregresión condicional heteroscedástica. Estos modelos difieren de los modelos de promedios móviles entre otras cosas debido a que intentan representar un comportamiento a largo plazo mediante una reversión a la media. Por último el tercer método empleado se aparta del estudio de la matriz de covarianza como instrumento para estimar el VAR y emplea otro método también bastante conocido llamado Simulación de MonteCarlo y aproximaciones de segundo orden. Este método se basa en la generación de variables aleatorias para simular los movimientos de los factores de riesgo en un tiempo determinado. La diferencia metodológica con los otros dos estudios es que anteriormente no se ha tratado, mientras que los otros dos son la continuación de estudios que anteriormente se han llevado a cabo y corresponden a una parte especifica de un proceso completo de la estimación del Valor en Riesgo.. División vertical: Conformación de portafolios y perfiles de riesgo Los TES poseen diferentes características tales como duración, variabilidad o correlación con otros bonos. Basado en estas características se pueden generar diferentes escenarios representados en portafolios con características que les permita diferenciarse de otros. La idea principal de poder generar diferentes escenarios es la de ver la incidencia que tiene la conformación de un portafolio en el Valor en Riesgo. Para la conformación de los portafolios de trabajo se siguieron varios pasos descritos a continuación. Primero que todo se buscó los TES que se estaban tranzando en el mercado, los cuales son de tipo TFI – T, esto quiere decir que se negocia tanto el cupón como el principal y cuyo plazo se registra en años.. 40.

(41) II – 03 (2) 15. Para encontrar los datos históricos se utilizó como fuente el Banco de la República y el sistema de información financiera BLOOMBERG. Se identificaron 18 bonos TES en pesos con cupón a tasa fija. De estos se determinó una población de 15 con la cual se va trabajar. Con la ayuda de las series de precios encontradas en el Banrep y de Javier Gómez se obtuvo esta población como base para realizar los cálculos de las características que se consideraron pertinentes para el análisis. Los 15 bonos finalmente seleccionados como la “bolsa” de posibilidades fueros escogidos de tal manera que todos tuvieran la misma cantidad de datos, ya que algunos presentaban series incompletas debido a eran bonos que empezaban o maduraban a mitad de camino entre enero de 2002 y septiembre de 2003. Por otra parte se discutió con el grupo de trabajo y con personas cercanas o que trabajan en el medio financiero y se llegó a la conclusión de que las características más importantes serían las siguientes: Volatilidad, liquidez, duración, convexidad y correlación entre bonos. Todas estas características son medidas a partir de las series de precios que se obtuvieron de las fuentes anteriormente mencionadas. El cálculo, definición y desarrollo de estas se presentarán más adelante. Ya habiendo definido los métodos a utilizar y los escenarios a estudiar se proseguirá a probar independientemente las diferencias en el Valor en Riesgo para diferentes portafolios. Lo que se desea con esto es poder encontrar los factores de los TES que más afectan el riesgo y que por consiguiente generan perdidas probables más altas. Pero adicionalmente, abordar los problemas con diferentes metodologías aunque en los mismos portafolios permite encontrar e identificar las propiedades de cada metodología para poderlas entender mejor y más 41.

(42) II – 03 (2) 15. adecuadamente con respecto a sus respectivos supuestos. El valor agregado de enfrentar estos problemas con la misma metodología de trabajo es la facilidad comparativa de los métodos, la definición de conclusiones con respecto a los métodos y propiedades de los portafolios estará más sustentada en resultados comparativos. Características de los bonos y su medición Los siguientes fueron los bonos que se utilizaron para conformar los portafolios: Tabla 1 Bonos seleccionados NÚMERO. MNEMOTÉCNICO. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14. TFIT02081003 TFIT03171003 TFIT03160404 TFIT02060504 TFIT03250604 TFIT05040205 TFIT03110305 TFIT05081105 TFIT05030506 TFIT05250706 TFIT05140307 TFIT07220808 TFIT07120209 TFIT10250112. 15. TFIT10260412. No. FECHA INICIO EMISIÓN FECHA PAGO PLAZO VIGENCIA DCV 44178 8/10/01 8/10/03 2 42857 17/10/00 17/10/03 3 43615 16/4/01 16/4/04 3 45003 6/5/02 6/5/04 2 43818 25/6/01 25/6/04 3 41987 4/2/00 4/2/05 5 44888 11/3/02 11/3/05 3 42980 8/11/00 8/11/05 5 43692 3/5/01 3/5/06 5 43968 25/7/01 25/7/06 5 44822 14/3/02 14/3/07 5 44013 22/8/01 22/8/08 7 44629 12/2/02 12/2/09 7 44577 25/1/02 25/1/12 10 44895. 26/4/02. 26/4/12. 10. CUPÓN 13 15 15 12 15 15 13 15 15 15 15 15 15 15 15. De los 18 bonos que se tranzaban a la fecha del 9 de Septiembre de 2003 (fecha escogido como referencia para todos los cálculos), se tomaron estos 15 bonos debido a que se tenía la misma cantidad de información acerca de ellos. Todos estos bonos se tranzaron desde Diciembre de 2002 y se conoce su precio día a día desde esa fecha.. 42.

(43) II – 03 (2) 15. A cada uno de estos bonos se le calcularon las características anteriormente mencionadas. Cada una de ellas se explica a continuación:. 1. Liquidez Este es un indicador de la participación en volumen de un instrumento financiero que se tranza en el mercado. Este indicador es importante debido a que muestra la facilidad con que se puede negociar un título en el mercado. Un instrumento líquido quiere decir que se tranza bastante en el mercado y es fácil de negociar. Para el cálculo de esta variable se utilizó la fórmula propuesta por. Corfinsura y Suvalor8: Qx Lx = n d Qi ∑ i =1 d L x es la liquidez del instrumento x. Q x es el volumen tranzado en pesos del instrumento x durante el periodo de tiempo analizado. d es el número de días hábiles en el que se tranzó el instrumento para un. horizonte de tiempo que en este caso es de 3 meses.. n es el número de instrumentos, para este caso 15. Estos son los indicadores de liquidez calculados con base en los montos de transacción Q promedio en pesos en el mercado.. 8. “INDICE REPRESENTATIVO DEL MERCADO DE DEUDA PÚBLICA INTERNA (I- TES)”, Investigaciones Económicas Suvalor y Corfinsura. 43.

(44) II – 03 (2) 15. Tabla 2 Cálculo de Liquidez NÚMERO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15. TÍTULO Q PROMEDIO LIQUIDEZ TFIT02081003 $408.333.333 0,000656 TFIT03171003 $0 0,000000 TFIT03160404 $1.908.333.333 0,003066 TFIT02060504 $4.683.333.333 0,007524 TFIT03250604 $4.950.000.000 0,007953 TFIT05040205 $691.666.666 0,001111 TFIT03110305 $49.079.166.666 0,078852 TFIT05081105 $0 0,000000 TFIT05030506 $150.000.000 0,000241 TFIT05250706 $182.645.833.333 0,293444 TFIT05140307 $195.325.000.000 0,313815 TFIT07220808 $4.191.666.666 0,006734 TFIT07120209 $1.900.000.000 0,003053 TFIT10250112 $163.979.166.666 0,263454 TFIT10260412 $12.508.333.333 0,020096 Total $622.420.833.333. % 0,066 0,000 0,307 0,752 0,795 0,111 7,885 0,000 0,024 29,344 31,382 0,673 0,305 26,345 2,010. 2. Volatilidad Esta es una medida de dispersión que en este caso corresponde a la desviación estándar del precio del bono. Para el cálculo de esta se usó la siguiente fórmula:. ∑ (P − P ) n. σk =. i =1. 2. i. n −1. σ k es la desviación del instrumento k. Pi es el precio del bono en el día i.. P. es el precio promedio del bono en el horizonte de tiempo determinado. En. este caso se tomó la serie histórica de precios desde diciembre de 2002.. n es el número datos en la serie de precios. Las desviaciones estándar calculadas para los bonos son las siguientes:. 44.

(45) II – 03 (2) 15. Tabla 3 Cálculo de Volatilidad NÚMERO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15. TÍTULO TFIT02081003 TFIT03171003 TFIT03160404 TFIT02060504 TFIT03250604 TFIT05040205 TFIT03110305 TFIT05081105 TFIT05030506 TFIT05250706 TFIT05140307 TFIT07220808 TFIT07120209 TFIT10250112 TFIT10260412. DESVIACIÓN ESTÁNDAR 2,193 2,311 5,045 3,629 4,704 4,896 3,878 4,829 3,393 4,564 4,680 5,277 5,779 6,191 3,523. 3. Duración El precio de un bono esta definido como. TasaCupon × ValorFacial ValorFacial + (1 + r ) i (1 + r ) T i =1. i =T. P=∑. La duración de un bono hace parte de la sensibilidad del precio frente a variaciones en el rendimiento y se entiende como el momento del tiempo en el cual se podrían llevar todos los flujos manteniendo el mismo valor presente neto.. D=. 1 ⎡ i =T TasaCupon × ValorFacia l × i ValorFacia l × T ⎤ ∂P (1 + r ) + ⎢∑ ⎥=− i T P P ⎣ i =1 ∂r (1 + r ) (1 + r ) ⎦. La tasa de descuento, r, corresponde a la TIR del bono. Para calcular la duración es conveniente fijar desde ya la fecha del estudio del portafolio, la cual es el 9 de septiembre de 2003. La tasa de descuento, r, es 45.

(46) II – 03 (2) 15. obtenida de la curva cero cupón a la fecha de estudio del portafolio, dependiendo de la madurez del bono. Los resultados de estos cálculos son los siguientes Tabla 4 Cálculo de Duración MNEMOTECNICO. TFIT02081003 TFIT03171003 TFIT03160404 TFIT02060504 TFIT03250604 TFIT05040205 TFIT03110305 TFIT05081105 TFIT05030506 TFIT05250706 TFIT05140307 TFIT07220808 TFIT07120209 TFIT10250112 TFIT10260412. FECHA ACTUAL. FECHA PAGO. RESTANTE EN DÍAS. RESTANTE EN AÑOS. TASA DE CUPÓN. TASA DESCUENTO. 9/09/03 9/09/03 9/09/03 9/09/03 9/09/03 9/09/03 9/09/03 9/09/03 9/09/03 9/09/03 9/09/03 9/09/03 9/09/03 9/09/03 9/09/03. 8/10/03 17/10/03 16/04/04 6/05/04 25/06/04 4/02/05 11/03/05 8/11/05 3/05/06 25/07/06 14/03/07 22/08/08 12/02/09 25/01/12 26/04/12. 29 38 220 240 290 514 549 791 967 1050 1282 1809 1983 3060 3152. 0.0795 0.1041 0.6027 0.6575 0.7945 1.4082 1.5041 2.1671 2.6493 2.8767 3.5123 4.9562 5.4329 8.3836 8.6356. 13% 15% 15% 12% 15% 15% 13% 15% 15% 15% 15% 15% 15% 15% 15%. 7.29% 7.35% 8.45% 8.56% 8.82% 9.86% 10.01% 10.88% 11.40% 11.62% 12.15% 13.03% 13.25% 14.10% 14.15%. DURACIÓN. 0.0806 0.1056 0.6028 0.6583 0.7944 1.2774 1.3932 1.8073 2.2912 2.5180 2.8270 3.8466 3.8329 4.9378 5.1867. 4. Convexidad La convexidad es una medida de la curvatura relativa de la curva preciorendimiento para un precio y un rendimiento dados, la derivada de segundo orden. ⎡ i =T TasaCupon × ValorFacial × i (1 + i ) ValorFacia l × T (1 + T ) ⎤ − 1 ∂ 2 P 1 C= + ⎢∑ ⎥= 2 P (1 + r ) 2 ⎣ i =1 (1 + r ) i (1 + r ) T ⎦ P ∂r. La convexidad mide que tan arqueada es la curva de precio-rendimiento. Entre más grande sea la convexidad de un bono mayores serán sus ganancias y menores sus perdidas para cambios absolutos en el rendimiento.. 46.

(47) II – 03 (2) 15. 5. Correlación Es una medida estadística de la relación existente entre las series de retornos de los TES. Una correlación positiva significa que los retornos se mueven generalmente en la misma dirección, una correlación negativa significa variaciones inversas. Generalmente la correlación se calcula como. R = D −1 / 2. ( X − µ )' ( X − µ ) −1 / 2 D n −1. D-1/2 es una matriz en cuya diagonal se encuentra el inverso de la desviación estándar de la siguiente forma. D −1 / 2. 0 ⎡1 / σ 1 ⎢ 0 1/ σ 2 =⎢ ⎢ M M ⎢ 0 ⎣ 0. 0 ⎤ L 0 ⎥ ⎥ O M ⎥ ⎥ L 1/ σ n ⎦ K. De esto se puede reconocer que la también se puede expresar la correlación como. R = D −1 / 2 Cov( X ) D −1 / 2 Por lo que se puede concluir que la correlación es una especie de estandarización de la covarianza de los datos. Según esto la matriz de covarianza seria igual a:. 47.

(48) II – 03 (2) 15. Tabla 5 Matriz de Covarianza 1. 1. 2. 4.84. 5.08. -7.53. 3. -4.41. 4. -3.95. 5. 5.37. -8.04. 10. 11. 12. 13. 14. 15. -1.60. 6. -3.31 10.29. 7. 8. -3.28. 9. 3.41. -3.41. 8.22. -0.90. 1.28. -4.63. -3.46 10.84. -3.58. 3.61. -3.56. 8.68. -0.89. 1.38. -4.98. 4.91 -19.06. -5.47. 2. 5.08. -4.74. -4.11. -1.61. 3. -7.53. -8.04 25.59 13.20. 3.19. -2.28. 4. -4.41. -4.74 13.20 13.24. 4.38. -4.85. -0.08 -11.98 11.39. 5. -3.95. -4.11. 3.19. 4.38 22.24. -8.40. -6.15 -10.35. 6. -1.60. -1.61. -2.28. -4.85. -8.40 24.10. 7. -3.31. -3.46. 5.27. -0.08. -6.15. 8. 10.29 10.84 -17.98 -11.98 -10.35. 9. -3.28. 10. 3.41. 11. -3.41. 12. 8.22. 13. -0.90. 14. 1.28. 15. -4.63. -3.58 11.70 11.39 3.61 -11.80 -3.56. 4.91. -7.76 -1.76. 8.68 -19.06 -13.38 -0.89 1.38. -5.47. -7.97. -7.41 -12.00 -13.75. -1.45. 0.65 24.65 25.27. 3.23. 8.20 15.12. -5.21. 0.74. -7.70 16.44. -5.21 23.45. -8.81. 8.04. -4.40 19.28. -8.81 11.57. -7.63. -0.36 -11.44. -7.63 20.94. -7.37 13.95. -3.21. 1.07. 3.85. -4.10. -7.70. 8.04. -7.97 10.15 16.44. -4.40. 0.65. -1.45. 3.23. -0.36. -7.37 22.02. -6.30 19.28 -11.44 13.95. -8.46 -12.00 24.65 11.40. 7.68. 7.68. -4.10 10.15. 0.74. -7.41. -8.46 -11.52. -2.76. -2.76. 3.85. -1.76 -13.38. 1.07. 1.24. 1.24. -7.76. -9.89 12.86. 8.20. -9.89 -11.52 -13.75 25.27. -4.98 12.86. 5.27 -17.98 11.70 -11.80. -6.30 11.40. 8.69. 4.45. 4.06. 9.04. -9.90. -5.41. -7.73. 8.12. -0.61. -8.10. -5.43 14.48 12.14. 4.62. -5.43 27.99. 3.61. 8.36 -11.30. 4.06. -5.41. -3.21 14.48. 3.61 33.58 29.13. 2.15. 8.69. 9.04. -7.73. -0.61 12.14. 8.36 29.13 38.53. 0.73. 4.45. -9.90. 8.12. -8.10. 4.62 -11.30. 2.15. 0.73 12.48. Y la matriz de correlación Tabla 6 Matriz de Correlación 1. 1. 2. 1.00. 1.00. -0.68. 3. -0.55. 4. -0.38. 5. 6. 7. -0.15. -0.39. 8. 9. 0.97. -0.44. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 0.34. -0.33. 0.71. -0.07. 0.09. -0.60. 2. 1.00. 1.00. -0.69. -0.56. -0.38. -0.14. -0.38. 0.97. -0.45. 0.34. -0.33. 0.71. -0.07. 0.10. -0.61. 3. -0.68. -0.69. 1.00. 0.72. 0.13. -0.09. 0.27. -0.73. 0.68. -0.51. 0.21. -0.71. -0.19. -0.32. 0.72. 4. -0.55. -0.56. 0.72. 1.00. 0.26. -0.27. -0.01. -0.68. 0.92. -0.47. -0.10. -0.70. -0.40. -0.51. 0.60. 5. -0.38. -0.38. 0.13. 0.26. 1.00. -0.36. -0.34. -0.45. 0.08. 0.18. -0.36. -0.30. -0.44. -0.47. -0.09. 6. -0.15. -0.14. -0.09. -0.27. -0.36. 1.00. 0.43. 0.05. -0.17. -0.18. 0.44. 0.02. 0.87. 0.83. 0.19. 7. -0.39. -0.38. 0.27. -0.01. -0.34. 0.43. 1.00. -0.28. 0.06. -0.43. 0.90. -0.31. 0.51. 0.36. 0.32. 8. 0.97. 0.97. -0.73. -0.68. -0.45. 0.05. -0.28. 1.00. -0.53. 0.36. -0.19. 0.75. 0.14. 0.30. -0.58. 9. -0.44. -0.45. 0.68. 0.92. 0.08. -0.17. 0.06. -0.53. 1.00. -0.49. -0.02. -0.64. -0.27. -0.37. 0.68. 10. 0.34. 0.34. -0.51. -0.47. 0.18. -0.18. -0.43. 0.36. -0.49. 1.00. -0.34. 0.58. -0.12. -0.02. -0.50. 11. -0.33. -0.33. 0.21. -0.10. -0.36. 0.44. 0.90. -0.19. -0.02. -0.34. 1.00. -0.22. 0.53. 0.42. 0.28 -0.60. 12. 0.71. 0.71. -0.71. -0.70. -0.30. 0.02. -0.31. 0.75. -0.64. 0.58. -0.22. 1.00. 0.12. 0.25. 13. -0.07. -0.07. -0.19. -0.40. -0.44. 0.87. 0.51. 0.14. -0.27. -0.12. 0.53. 0.12. 1.00. 0.81. 0.10. 14. 0.09. 0.10. -0.32. -0.51. -0.47. 0.83. 0.36. 0.30. -0.37. -0.02. 0.42. 0.25. 0.81. 1.00. 0.03. 15. -0.60. -0.61. 0.72. 0.60. -0.09. 0.19. 0.32. -0.58. 0.68. -0.50. 0.28. -0.60. 0.10. 0.03. 1.00. Conformación de los portafolios Una vez se tuvieron medidas las características se procedió a conformar los portafolios de trabajo. Se decidió conformar 5 portafolios a los cuales se les va a medir el valor en riesgo para diferentes horizontes de tiempo. Todos los 48.

(49) II – 03 (2) 15. portafolios tienen un valor nominal de 1000 y están compuestos por 5 o 4 bonos TES que participan cada uno en la misma proporción dentro del portafolio. El primer portafolio (Es 1) está compuesto por los 5 títulos más líquidos del mercado: Tabla 7 Conformación del Portafolio 1 NÚMERO 11 10 14 7 15. TÍTULO LIQUIDEZ TFIT05140307 0,313815 TFIT05250706 0,293444 TFIT10250112 0,263454 TFIT03110305 0,078852 TFIT10260412 0,020096 0,969661. % 31,382 29,344 26,345 7,885 2,010. Se puede observar que estos 5 títulos manejan más del 96% del volumen en pesos transados. El segundo portafolio (Es 2) está compuesto por lo bonos que tienen la desviación estándar más alta, es decir que tienen la mayor dispersión con respecto a su precio promedio: Tabla 8 Conformación del Portafolio 2 NÚMERO. TÍTULO. DESVIACIÓN ESTÁNDAR. 14 13 12 3 6. TFIT10250112 TFIT07120209 TFIT07220808 TFIT03160404 TFIT05040205. 6,191 5,779 5,277 5,045 4,896. Este portafolio se podría decir que corresponde a un perfil de riesgo bastante alto ya que es donde más se producen cambios en el precios de los instrumentos que lo conforman. El tercer portafolio (Es 3) corresponde. a un portafolio de bonos altamente. correlacionados, donde el coeficiente de correlación entre los bonos es mayor 49.

(50) II – 03 (2) 15. de 0.7. Esta es otra manera de definir un portafolio con un perfil de riesgo elevado. Los bonos que lo componen son los siguientes: Tabla 9 Conformación del Portafolio 3 NÚMERO 1 2 8 12. TÍTULO 1 2 8 TFIT02081003 1 TFIT03171003 0,9975556 1 TFIT05081105 0,9660477 0,9661905 1 TFIT07220808 0,7060296 0,7075208 0,7524647. 12. 1. El cuarto portafolio (Es 4) tiene como objetivo lograr un lata madurez pero con la menor volatilidad posible. Este tipo de portafolio se pensaría que una entidad como un fondo de pensiones desea obtener este perfil de riesgo. Es decir, bajo riesgo a largo plazo para lograr un rentabilidad pequeña pero segura. Tabla 10 Conformación del Portafolio 4 NÚMERO 7 8 9 10 11. TÍTULO DURACIÓN TFIT03110305 1,3932 TFIT05081105 1,8073 TFIT05030506 2,2912 TFIT05250706 2,5180 TFIT05140307 2,8270. DESVIACIÓN ESTÁNDAR 3,878 4,829 3,393 4,564 4,680. Se puede ver que para este caso el plazo más largo es de casi tres años, lo que en realidad no representa un largo plazo, sino más bien un mediano plazo. Por último, el portafolio (Es 5) que se decidió componer fue uno en donde los instrumentos estuvieran lo menos correlacionados posibles, de tal manera que se lograr una diversificación y se disminuyera el riesgo. Se intentó que los bonos tuvieran un bajo coeficiente de correlación o si no que la correlación fuera negativa:. 50.

(51) II – 03 (2) 15. Tabla 11 Conformación del Portafolio 5 NÚMERO 3 6 8 10. TÍTULO 3 6 8 TFIT03160404 1 TFIT05040205 -0,091899 1 TFIT05081105 -0,734169 0,0451266 1 TFIT05250706 -0,509981 -0,182567 0,3628529. 10. 1. Por último para mayor comprensión se muestra un tabla que resume los títulos que componen cada portafolio: Tabla 12 Resumen Conformación de los Portafolios Portafolio 1 11 10 14 7 15. Portafolio 2 14 13 12 3 6. Portafolio 3 1 2 8 12. Portafolio 4 7 8 9 10 11. Portafolio 5 3 6 8 10. 5.2. “MAPEO”9 O FRACCIONAMIENTO DE FLUJOS DE EFECTIVO Para “mapear” cada uno de los bonos que conforman los portafolios se siguieron los pasos descritos en la sección donde se explican los modelos y se tuvo en cuenta la matriz de cupón cero, que contiene los precios de los bonos de cupón cero y en las filas presenta las fechas y en las columnas los nodos estándar, que para este caso fueron 11 (1d 1m 3m 6m 1a 2a 3a 4a 5a 7a 9a).. 5.3. APLICACIÓN DEL MÉTODO GARCH Con la curva de cupón cero para los nodos estándar para el periodo de estudio (2 de Enero de 2002 hasta el 29 de Agosto del 2003), se procedió a calcular los retornos de la siguiente manera: 9. rt = (Pt – Pt-1)/ Pt-1 , con lo que se obtuvo. Término utilizado por la metodología de RiskMetrics 51.

(52) II – 03 (2) 15. una matriz de 199 filas por 11 columnas y luego se calculó la matriz de varianza covarianza así:. σ2 = (Xm´Xm)/(n-1) , donde Xm es la matriz de medias. Pero en vista de que el modelo a usar era el GARCH(1,1) que es univariado y se tiene una matriz, se usó el GARCH ortogonal que mediante el análisis de componentes principales reduce la información para luego trabajar con el GARCH(1,1) y así obtener la matriz de varianza en el tiempo t (σt).. 5.4. CALCULO DEL VAR Con la matriz σt y con los portafolios “mapeados”, se calcula el VaR para un 95% y para un 99% de confianza así VaRt = α(tMσtM´)1/2. 52.

(53) II – 03 (2) 15. 6. RESULTADOS Con los valores de la curva de cupón cero en precios para los nodos estándar (1d 1m 3m 6m 1a 2a 3a 4a 5a 7a 9a 10a 15a 20a 30a) se calculó la matriz de varianza-covarianza para el día 9 de Septiembre de 2003, se observa en el siguiente gráfico que presenta un comportamiento aleatorio y para los nodos de 9, 6 y 4 meses presenta picos, es decir valores bastante altos o bajos comparados con los demás. Además se buscó la distribución que se ajustará mejor a los datos, se encontró que la Weibull es la que más se acerca y luego la Normal, por esta razón se asumió que los datos tenían una distribución Normal.. Gráfico 7 Rendimientos de la curva de cupón cero 0,08. 0,06. 0,04. 0,02. 0,00. -0,02. -0,04. -0,06. -0,08 1dia. 1mes. 3meses. 6meses. 1año. 3años. 4años. 5años. 7años. 9años. 2años. 53.

(54) II – 03 (2) 15. A continuación se presenta la matriz de varianza covarianza obtenida luego de efectuar la siguiente operación (X´X) / (n-1), donde X es la matriz de los retornos de la curva de cupón cero. Se ajusta por n-1 ya que es una muestra bastante grande.. Tabla 13 Matriz de Varianza-Covarianza de los retornos (Septiembre 9) 2a. 3a. 4a. 5a. 7a. 1d. 4,17E-10. 1d. 1,09E-08. 1m. 2,40E-08. 3m. 2,93E-08. 6m. 1,51E-08. 1a. -1,84E-08. -2,45E-08. -1,51E-08. -3,91E-09. -5,96E-10. -3,43E-08. 9a. 1m. 1,09E-08. 2,84E-07. 6,35E-07. 7,88E-07. 4,49E-07. -4,32E-07. -6,53E-07. -4,67E-07. -2,02E-07. -7,09E-08. -8,14E-07. 3m. 2,40E-08. 6,35E-07. 1,45E-06. 1,89E-06. 1,31E-06. -6,69E-07. -1,47E-06. -1,36E-06. -9,26E-07. -4,00E-07. -1,31E-06. 6m. 2,93E-08. 7,88E-07. 1,89E-06. 2,65E-06. 2,41E-06. 5,67E-08. -1,62E-06. -2,19E-06. -2,01E-06. -8,02E-07. -7,61E-08. 1a. 1,51E-08. 4,49E-07. 1,31E-06. 2,41E-06. 3,76E-06. 3,39E-06. 1,29E-06. -5,05E-07. -1,18E-06. 9,56E-07. 6,10E-06. 2a. -1,84E-08. -4,32E-07. -6,69E-07. 5,67E-08. 3,39E-06. 1,01E-05. 1,41E-05. 1,61E-05. 1,72E-05. 1,91E-05. 2,21E-05. 3a. -2,45E-08. -6,53E-07. -1,47E-06. -1,62E-06. 1,29E-06. 1,41E-05. 2,89E-05. 4,12E-05. 4,92E-05. 5,24E-05. 4,19E-05. 4a. -1,51E-08. -4,67E-07. -1,36E-06. -2,19E-06. -5,05E-07. 1,61E-05. 4,12E-05. 6,51E-05. 8,25E-05. 9,17E-05. 6,91E-05. 5a. -3,91E-09. -2,02E-07. -9,26E-07. -2,01E-06. -1,18E-06. 1,72E-05. 4,92E-05. 8,25E-05. 1,09E-04. 1,30E-04. 1,05E-04. 7a. -5,96E-10. -7,09E-08. -4,00E-07. -8,02E-07. 9,56E-07. 1,91E-05. 5,24E-05. 9,17E-05. 1,30E-04. 1,85E-04. 1,97E-04. 9a. -3,43E-08. -8,14E-07. -1,31E-06. -7,61E-08. 6,10E-06. 2,21E-05. 4,19E-05. 6,91E-05. 1,05E-04. 1,97E-04. 3,05E-04. También se calculó la matriz de correlación mediante la operación (XZ´XZ) / (n1), donde la matriz XZ es la resultante de restar cada una de las posiciones de la matriz X por su media y luego dividirla por su desviación.. Tabla 14 Matriz de Correlación de los retornos (Septiembre 9) 1d. 1m. 3m. 6m. 4a. 5a. 7a. 9a. 0,9980. 0,9773. 0,8805. 0,3806. -0,2842. -0,2236. -0,0919. -0,0184. -0,0022. -0,0963. 0,998. 1. 0,9887. 0,9083. 0,4343. -0,2553. -0,2280. -0,1086. -0,0363. -0,0098. -0,0874. 0,977. 0,9887. 1. 0,9605. 0,5581. -0,1745. -0,2273. -0,1403. -0,0736. -0,0244. -0,0621. 0,9605. 1. 0,7618. 0,0110. -0,1847. -0,1669. -0,1184. -0,0363. -0,0027. 0,5581. 0,7618. 1. 0,5497. 0,1238. -0,0323. -0,0582. 0,0363. 0,1800. -0,1745. 0,0110. 0,5497. 1. 0,8231. 0,6260. 0,5172. 0,4422. 0,3982. -0,2280. -0,2273. -0,1847. 0,1238. 0,8231. 1. 0,9496. 0,8768. 0,7170. 0,4466. -0,1086. -0,1403. -0,1669. -0,0323. 0,6260. 0,9496. 1. 0,9790. 0,8372. 0,4907. -0,018. -0,0363. -0,0736. -0,1184. -0,0582. 0,5172. 0,8768. 0,9790. 1. 0,9154. 0,5752. 7a. -0,002. -0,0098. -0,0244. -0,0363. 0,0363. 0,4422. 0,7170. 0,8372. 0,9154. 1. 0,8310. 9a. -0,096. -0,0874. -0,0621. -0,0027. 0,1800. 0,3982. 0,4466. 0,4907. 0,5752. 0,8310. 1. 1d. 1. 1m 3m 6m. 0,880. 0,9083. 1a. 0,381. 0,4343. 2a. -0,284. -0,2553. 3a. -0,224. 4a. -0,092. 5a. 1a. 2a. 3a. 54.

(55) II – 03 (2) 15. A continuación se aplicó el análisis de componentes principales a la matriz de varianza-covarianza y se obtuvieron 11 componentes principales debido a que la matriz es de 11 x 11. Se usó el paquete estadístico SAS y se obtuvieron los valores y vectores propios que se muestran a continuación.. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. Eigenvalues of the Covariance Matrix Eigenvalue Difference Proportion 0.00057001 0.00045545 0.8017 0.00011456 0.00009692 0.1611 0.00001764 0.00001047 0.0248 0.00000717 0.00000563 0.0101 0.00000155 0.00000152 0.0022 0.00000003 0.00000003 0.0000 0.00000000 0.00000000 0.0000 0.00000000 0.00000000 0.0000 0.00000000 0.00000000 0.0000 0.00000000 0.00000000 0.0000 0.00000000 0.0000. Cumulative 0.8017 0.9629 0.9877 0.9978 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000. Se escogieron los tres primeros componentes principales porque están explicando el 98.77% de la varianza total (0.0007109687). El primer componente principal está explicando el 80.17% de la varianza total, mientras que el segundo componente está explicando el 16.11% de la varianza que no alcanzó a explicar el primero, y el tercero está explicando el 2.48% de la varianza que no puedo explicar el segundo y así sucesivamente. Por la escogencia de los tres primeros componentes principales, sólo se tienen en cuenta sus vectores propios, estos son los que conformarán la matriz A.. und unm. Prin1 -.000060 -.001616. Eigenvectors Prin2 Prin3 0.000040 -.001782 -.000246 -.042222 55.

(56) II – 03 (2) 15 tresm seism una dosa tresa cuatroa cincoa sietea nuevea. -.003681 -.003692 0.007848 0.068707 0.162165 0.269447 0.376729 0.557317 0.666155. -.007126 -.023207 -.037791 0.073645 0.280009 0.444385 0.491519 0.163138 -.669680. -.068887 -.013211 0.240776 0.595444 0.523974 0.205922 -.149526 -.453772 0.188544. A continuación se presenta una gráfica donde se encuentran los vectores propios de los tres componentes principales, ahí se observa que son ortogonales y que además presentan valores pequeños al principio y por debajo del cero, mientras que al ir avanzando los valores se hacen más distantes y la mayoría se encuentran por encima del cero.. Gráfico 8 Representación gráfica de los Componentes Principales. Eigenvectores (A) 0,8 0,6 0,4 0,2 -0,1 -0,3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. -0,5 -0,7 -0,9. a1. a2. a3. Luego se le aplicó a cada uno de los vectores propios el GARCH(1.1) y se obtuvo lo siguiente:. Tabla 15 Resultados aplicación GARCH. ω α. 0,000057 0,285700. 0,000000 0,063900. 0,000000 0,186800 56.

(57) II – 03 (2) 15. β Persistencia. ε2 t σ2t. σ2t+1. 0,630600 0,916300. 0,931300 0,995200. 0,810500 0,997300. 0,112862 0,000680 0,032731. 0,022687 0,000002 0,001452. 0,003495 0,000058 0,000700. Se estimaron los valores de ω, α y β para cada uno de los vectores propios y se calculó la persistencia (α + β), mostrando que la velocidad de convergencia es menor e igual a 1, por lo tanto no hay problemas. Con los valores de ω, α y β se calculan las tres varianzas y se forma la matriz D que es una matriz diagonal de 3x3. A partir de estos resultados se calculó la matriz. σ2t para el 10 de Septiembre mediante la operación (A´DA). En este punto se calculó el “mapeo” de los flujos de efectivo para cada uno de los portafolios, fraccionando los flujos de cada uno de los bonos que los conforman. El resultado fue el siguiente:. Tabla 16 Matriz de “Mapeo” Portafolio 1 2 3 4 5. 1d. 1m. $0 $0 $0 $0 $ 156.871 $ 241.710 $0 $ 15.007 $0 $ 15.007. Portafolio 1 2 3 4 5. 3ª $ 134.849 $ 30.756 $ 21.138 $ 173.162 $ 78.691. 3m 6m $ 10.722 $ 53.541 $ 26.798 $ 128.618 $ 10.658 $ 2.433 $ 4.736 $ 47.579 $ 13.628 $ 117.749 4a $ 50.385 $ 29.004 $ 11.500 $ 32.899 $0. 5a $ 22.444 $ 114.489 $ 54.690 $0 $0. 1a 2ª $ 115.981 $ 96.955 $ 131.020 $ 64.102 $ 25.928 $ 94.195 $ 117.930 $ 201.199 $ 121.340 $ 135.187 7a $ 37.646 $ 29.960 $0 $0 $0. 9ª $ 47.243 $ 21.642 $0 $0 $0. 57.

(58) II – 03 (2) 15. Teniendo listo el mapeo y la matriz de varianza condicional (A´DA) se estimó el VaR del 10 de Septiembre para cada uno de los portafolios mediante la siguiente expresión VaRt = α(tMσtM´)1/2 a un nivel del 95% y del 99%.. Tabla 17 Cálculo del VaR Portafolio 1 2 3 4 5. VaR95 $ $ $ $. 31.712 27.782 10.586 19.186 $ 9.410. Porcentual 0,005566 0,048199 0,017098 0,032380 0,016800. VaR99 $ $ $ $ $. 44.821 39.266 14.962 27.116 13.300. Porcentual 0,078666 0,068124 0,024166 0,045765 0,023800. 58.

(59) II – 03 (2) 15. 7. COMPARACION CON OTROS METODOS. Este capítulo introduce una comparación entre diferentes métodos para calcular el Valor en Riesgo de un portafolio de bonos. Todos estos métodos son descritos en el capitulo 1 en la parte de la estimación de Valor en Riesgo. 7.1. MODELO VARIANZA La pérdida esperada para cada uno de los portafolios luego de aplicar el modelo de varianza fue: Tabla 18 Estimación de VaR usando Varianza-Covarianza Portafolio 1 2 3 4 5. VaR95 0,007571 0,006736 0,002588 0,005016 0,002400. VaR99 0,010700 0,009520 0,003658 0,007090 0,003400. 7.2. MODELO EWMA10 La pérdida esperada para cada uno de los portafolios luego de aplicar el modelo EWMA fue: Tabla 19 Estimación de VaR usando EWMA Portafolio 1 2 3 4 5. 10. VaR95 0,003861 0,003499 0,001707 0,002367 0,001701. VaR99 0,005083 0,004606 0,002247 0,003116 0,002239. Modelo trabajado por Camilo Serrano en su trabajo de Grado 59.