La Circunferencia de Mohr (Incorrectamente llamado Círculo de Mohr, ya que no se trabaja con un área sino con el perímetro) es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.
Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918).
El círculo de Mohr es una técnica usada eningen ierí a para el cálculo de momentos de inercia, deformacionesy esfuerzos, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortantemáxi mo absoluto y la deformación máxima absoluta. Este método fue desarrollado hacia1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918
Circunferencia de Mohr para esfuerzos
Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa al esfuerzo normal y
el eje vertical representa al esfuerzo cortante , los valores del círculo quedan
representados de la siguiente manera:
Círculo de Mohr para momentos de inercia[editar]
Caso bidimensional
En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:
NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.
Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial para cada uno de los planos
anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera: Centro del círculo de Mohr:
Radio de la circunferencia de Mohr:
Las tensiones máxima y mínima vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:
Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:
Caso tridimensional
En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 circulos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3
circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.
Circunferencia de Mohr para momentos de inercia
Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:
Centro de la circunferencia:
Radio de la circunferencia:
Las ecuaciones desarrolladas en los puntos anteriores pueden reescribirse para formar una ecuación de circunferencia :
Se tiene que :
x’ = ( x + y )/2 + (( x - y )/2 (cos 2)) + xy (sen 2)
x’y’ = xy (cos 2) - (( x - y )/2 ) (sen 2)
La primera ecuación se acomoda de la siguiente forma :
Elevando al cuadrado se tiene :
(x’ - (x + y)/2)2 =(x - y)2/4 (cos 2)2 + (x - y) (cos 2) xy (sen 2) +
xy2 (sen 2)2
Elevando al cuadrado la segunda ecuación se tiene :
x’y’2 = xy2 (cos 2)2 - xy (cos 2) (x - y) (sen 2) + (x - y)2/4 (sen 2)2
Sumando ambas expresiones :
(x’ - ( x + y )/2)2 +
x’y’2 = xy2 + (( x - y )2/2)2
Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, se tiene entonces :
xy2 + (( x - y )2/2)2 = b2
( x + y )/2 = a
Reescribiendo queda :
(x’ - a)2 +
x’y’2 = b2
Si los ejes son :
x = x’
y = x’y’
Tenemos :
( x - a )2 + y2 = b2
Que representa a una circunferencia con centro en x = a ; y = 0 con un radio r = b
Esta circunferencia se denomina Círculo de Mohr (Otto Mohr 1895) que en definitiva tiene las siguientes características :
Centro en : x = ( x + y )/2 ; y = 0
Radio de : r2 =
xy2 + (( x - y )2/2)2
5. Círculo de Mohr
5.1. Tensiones en una barra al considerar secciones oblicuas al eje de la misma.
Sea una barra, sometida a una carga P.
Si cortamos a la barra por la sección 1-1 y nos quedamos con la parte de la izquierda, nos aparecen unas fuerzas por unidad de superficie (tensiones) que van a ser uniformes y a las que vamos a llamar σx porque van en la dirección del eje x.
σx = P / A
La máxima tensión se produce en los puntos de la sección normal al eje de la barra. Esta máxima tensión vale σx.
En una sección inclinada la tensión es menor que en el caso de la sección recta y vale σxcos φ.
5.2. Descomposición de en una tensión normal y en otra tangencial o cortante.σ
Vamos a descomponer la tensión σ en otras dos: una en la dirección de la normal a dicha sección, llamada tensión normal σn y la otra en dirección paralela a la sección, llamada
tensión cortante . En figura vemos que: σn = σ cos φ = σx cos φ
= sen = x sen cos = ( x / 2 ) sen 2
5.3. Efectos que producen la tensión normal y la cortante.
Los esfuerzos internos sobre una monda, son una sección plana y se definen como un conjunto de fuerzas y momentos estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones internas sobre el área de esa sección. Así, por ejemplo, los esfuerzos sobre una sección transversal plana de una viga es igual a la integral de las tensiones t sobre esa área plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la sección de la viga (o espesor de la placa o lámina) y los tangentes a la sección de la viga (o superficie de la placa o lámina):
Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales, es decir, perpendiculares, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal.
Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones cortantes, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
5.4. Convenio de signos de la tensión normal.
La tensión tangencial, por otro lado, son los esfuerzos cortantes y el momento torsor que implican la existencia de tensiones tangenciales.
5.5. Convenio de signos de la tensión cortante.
La tensión cortante es aquella que, fijado un plano, actúa tangente al mismo. Se suele denotar por la letra griega tau . En piezas prismáticas las tensiones cortantes aparece en caso de aplicación de un esfuerzo cortante o bien de un momento torsor.
5.6. Círculo de Morh para la tracción simple.
El circulo de Morh es un circulo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que existen en una sección inclinada cualquiera de la barra.
El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.
El circulo de Mohr se construye de la siguiente forma:
Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras perpendiculares definen un diámetro del circulo de morh.
Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones perpendiculares son iguales y de sentido contrario.
Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detalles:
- El sentido de giro del ángulo j en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano AB en la realidad.
- El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario.
