POSIBILIDADES DIDACTICAS DE PROBLEMAS CURIOSOS
José Conrado (Jacobo) González García 1, IllTRODUCCION
El objeto del presente trabajo es hacer patente mediante varios ejemplos prácticos c6mo, de la vida diaria, de la Historia de la Ciencia y de las propias experiencias de clase se pueden extraer episodios que tienen para nuestros alum-nos un interés mayor que el puramente anecd6tico,
En la mayoría de los casos se trata de problemas interniveles, es decir, que pueden utilizarse 9ráctica.mente desde una 2ª etapa de EGB,hasta un primer curso de carrera universitaria, Naturalmente, lo que cambia en c';;.da nivel es el méto¡l.o empleado en presentar el problema así como los objetivos y generalizaciones que se pretendan alcanzar,
En la.presentaci6n de estos problemas a los alumnos suelo, en general, dis-tinguir varias fases, La introducci6n depende, naturalmente, del tipo de proble-ma; a veces es una introducci6n hist6rica que los motiva, porque son ideas gene-rales que ya el alumno conoce, En la exposici6n del problema en sí, suelo darles pocas pistas para que ellos mismos vayan creando e investigando en qué consiste el problema y el modo de atacarlo, Una vez llegada la etapa de las conclusiones provisionales ac'ostumbro a darles una ampliaci6n te6rica (que, a veces, es la ;creaci6n de una teoría), Generalmente se termina con una propuesta de problemas
paralelos.
Esto que digo es variable en cada problema, pero es lo más general. Natu-ralmente hay que contar con el tiempo que se dispone y, a veces, un problema de este tipo no se puede investigar a fondo, Otra cosa de interés es que no es ne-cesario "agotar" el problema en una sesi6n, Se puede "enunciar" en los cinco 111-timos minutos de una clase y volver a él al cabo de cierto tiempo, En fin, las posibilidades son muchas, Paso a enumerar algunos de los que tengo seleccionados,
2, EL PROBLEMA DEL ESCURREPLATOS ("Me encanta la lluvia,.," MAY O 'NESSA ) He aquí un problema que se origin6 realizando yo una sencilla tarea
tica, la de fregar unos cuantos platos. Es ésta una muestra de que, donde menos se lo espera uno, salta el problema curioso.
Tenemos un escurreplatos donde hemos colocado desde el primer hueco y de un modo ordenado 3 platillos de café, 4 de postre, 5 hondos y 4 llanos. No hemos dejado ningi1n hueco entre ellos. Supongamos que tenemos un plato llano sin colo-car. ~i.Cuál sería el mínimo nrunero de movimientos a realizar para colocarlo orde-nado? Es claro que basta un movimiento. Si, en vez de 1, fueran 2, 3, 4, etc. platos llanos, bastarían 2, 3, 4, etc. movimientos.
Supongamos que es un plato hondo el que queremos colocar. Hay una soluci6n "bruta" que consiste en trasladar todos los llanos un puesto a la derecha y lue-go colocar el hondo en el hueco que queda. En total 5 movimientos. Sin embarlue-go, basta con pasar,el pri:ner plato llano al final de. los mismos y luego meter el hondo en el hueco obtenido; son s6lo 2 movimientos.
Ya se va vislumbrando el problema general. Introduzcamos un "lenguaje" para nuestro problema. Definamos una funci6n f: NxNxNxN--+N que actúe sobre cuater-nas de nruneros naturales y cuya imagen sea, precisamente, el nrunero mínimo de movimientos. Así, por ejemplo, tenemos que:
f(1,o,o,o) f(0,5,0,0) f(a,b,c,d)
nº de movimientos 6ptimo para colocar un plato de café, id. para colocar 5 platos de postre,
id. para colocar!! de café,
11.
de postre, .2. hondos y ~ llanos. Una generalizaci6n mayor del problema consistiría en suponer mayor variedad de clases de platos y asignar nruneros naturales generales para los platos colo-cados en principio.Posiblemente este problema esté ya resuelto en alguna parte, y si no el mis-mo, uno que sea "isomorfo" a él. El profesor CLAUDE GAULIN me indic6 que un caso parecido se daba en la introducci6n de nueva informaci6n en las memorias de los
ordenadores.
Para mí es un problema que desconocía y, en todo caso, estoy más interesa-do actualmente en sus posibilidades didácticas qu.3 en la soluci6n general del mismo.
Por de pronto, enumero a continuaci6n algunas de las propiedades particu-lares de esta funci6n:
1) f(O,O,O,d) = d 2) f(O,O,c,O)
t
= 2c, c 4 8= c+B, C> 8 3) f(O,b,O,O) 3b, b46 4) f(a,o,o,o) 4a, a.; 4 5) f(a,a,c,d) a+b+c+d ( 4+6+8)
de calcular f(a,b,c,d), \/a,b,c,d es, en realidad, el objetivo científico. Sin embargo, desde un punto de vista didáctico, puede ser propuesto en cualquier ni-vel de enseñanza con una letra.., unos objetivos adecuados, A la hora de redactar estas líneas tengo algunos grupos de alumnos diversos (l• de BUP, COU y l• de Arquitectura Técnica) trabajando sobre él, naturalmente con una diversificaci6n de objetivos. Por citar algunas motivaciones, puedo hacer las siguientes:
1) Necesidad ~ de trabajar con una funci6n de ~ variables. 2) Aparente linealidad de la funci6n que se rompe en un momento dado (véanse las propiedades 2•, 3• y 4• anteriores),
3) Procesos de simulaci6n para estudiar el problema en casos particula-res, C·omo el modelo real es inc6modo, hey alumnos que trabajan con trozos de papel marcados con las iniciales de los platos (C, P, H, L) para mejor visuali-zar el problema.
3. INVESTIGACIÓN DE UNA TABLILLA DE ARCILLA
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La tabla es una copia de las inscripciones de una tablilla de barro cocido encontrada en Babilonia y de una antigiledad de 3000 años.
Se trata de enfrentar a la clase con dicha tablilla y que sean ellos, en plan arqueol6gico, los que investiguen la_ misma llegando a conclusiones
intere-sante~~ca de lafma~mática de los babilonios.
Utilizando el m6todo heurístico, los alumnos van descubriendo paulatinamen-te que
a) la primera columna expresa los diez primeros números, b) la unidad es una cuña vertical y la decena una horizontal,
c) en la segunda columna se observan los m~ltiplos de 9, por lo que la tablilla sería una tabla de multiplicar por 9,
d) en la operaci6n 7x9 = 63 observan que la cuña separada de las otras tres representa al 60, con lo que descubren que esta era la base del sistema de numeraci6n babilonio.
Añadiendo ahora un par de ideas (ya estilli motivados, pues han descubierto cosas) se les puede explicar rápidamente la suma, y la resta llevando unidades. Tambi6n saber pasar números grandes en babilonio a decimal y viceversa. En esta operaci6n se les puede hacer_ver la equivalencia con la conversi6n de horas, mi-nutos y segundos en segi.indos.
4. INVESTIGACION DE Ull PAPIRO EGIPCIO
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La figura representa un dibujo en un papiro. Se trata, como en el problema anterior, de adivinar qué representa y, con ello, sacar conclusiones acerca de la aritmética egipcia.
Por un proceso análogo al problema anterior se puede llegar (llegan ellos con una adecuada direcci6n) a que se trata de una tabla de multiplicar por·5 por el sencillo método de duplicar uno. cantidad (
11).,
volver a duplicarClllf)
y su-mar la cantidad inicial con la ~ltima. Obsérvese c6mo en el proceso queda paten-te la verdadera esencia de la multiplicaci6n como suma de 5 veces la misma can-tidad. La tachadura de la l:!nea media queda justificada por ser una operaci6n intermedia. Este problema se puede generalizar preguntando a~ alumno c6mo harían los egipcios la multipl~caci6n por 6 6 7 6 9, etc.5. ;,CUANTOS MINUTOS TIENE UN MINUTO?
Cuando dice alguno que la respuesta es 1, digo que no. Que busquen otra interpretaci6n a la letra del problema. El juego está en las dos acepciones de la pala~ra minuto. Se les puede llevar sutilmente a la soluci6n del problema: 1 minuto tiene -recorre- J60y.
Cuando llegan a la soluci6n les planteo la segunda parte: ¿Cuántos minutos por minuto recorre el minutero del reloj? Naturalmente éste es para casa. Siem-pre hay algunos que lo traen resuelto. Claro, ya tienen la pista. Aquí lo que realmente busco es la diferenciaci6n entre conceptos que tienen. el mismo nombre pero que son totalmente diferentes.
Por ~ltimo: ¿Cuántos segundos por segundo recorre el minutero del reloj? La comparaci6n del resultado de esta parte con el resultado anterior es, para ellos, verdaderamente curiosa.
6. ;CUANTOS METROS TIENE UN l.ffiTRO CUADRADO?
un cuadrado de 1 metro de lada. Les haga ver que este. cuadrada de 1 m~ de
super-~. invierte 4 m. de perímetro. Cortando el cuadrada por una paralela media y uniendo las partes, tenemos"'Un rectángula de medidas 2x0,5 que sigue teniendo 1 m~ de superficie pero ahora tiene 5 m. de perímetro. Prosiguiendo la operaci6n vemos que la longitud del perímetro puede hacerse tan grande coma se quiera. In-cluso, con algunas cortes adecuados al cuadrada inicial, pueden obtenerse trián-gulos rectángulas de iguales áreas y perímetros diferentes.
Por Último, les hago ver que la circunferencia que encierra un área de 1 m• tiene un perímetro a~ menar que el del cuadrado inicial que parecía la mejor saluci6n.
Obs~rvese la cantidad de conceptas que se repasan con este "tonto" proble-ma: unidades lineales y de superficie, teorema de Pitágoras (la necesitaremos al hallar el perímetro de los triángulos), área y longitud de la circunferencia. Y lo mejor de todo es que san ellos los que, inclusa, intentan recordar las fórmu-las o aplicar fórmu-las teoremas. Es 16gico: están motivadas. Cuando hemos terminado, la ampliaci6n del problema es inevitable: ¿Cuántos metros cuadrados hay en un metro cúbico? La hemos liado. A repasar y rebuscar f6rmulas de figuras en el es-pacio. Este problema es para casa. Pero hay varios que lo traen resuelto para distintos casas de paralelepípedos, alg~ cona y cilindro y la~· Algunos concluyen que la ~ es la que invierte menor área para encerrar un metro cú-bico. Les digo que sí, pero que la·demostraci6n rigurosa es difícil.
7. UN PROBLEMA DE EDGAR ALLAN POE
A partir de un problema medio detectivesca se puede hacer un interesante trabajo. Tenemos el siguiente criptograma que queremos descifrar: "Jpgrmr frg ypfk ••• rhpmkpbrekr". Para ello hacemos la suposici6n de que cada letra signi-fica~~tra. Como sospechamos que el original está en castellano, deberemos cal-cular la frecuencia relativa de cada letra en el criptograma original. Ahora en-tran en trabajo los equipos a los que se les pide la informaci6n de calcular las letras que más se repiten en el idioma español. Cada equipo deberá escoger pági-nas al azar de distintos libros (no necesariamente de texto), págipági-nas de peri6-dicos y realizar el estudio frecuencial de las letras. Aparecerá en primer lugar la "E" seguida de la "A". Luego, hay una especie de empate entre las, I, N, L,
o.
Habrá que acudir a otro sistema. Por de pronto, ya tenemos localizadas la E y la A que corresponden, respectivamente, a la R y la P del criptograma. Al sus-·tituir estas letras, ya el panorama está un poco más claro. Si observamos lafrecuencia de las palabras mono, bi y trisílabas que aparecen en el criptograma
la A ni la E toda vez que éstas se establecieron ya. Aparece demasiadas veces para ser la U o la Y, y la I no puede ser pues ésta no aparece nunca como letra suelta. Por tanto, es la
