Informe sobre el Seminario de Geometría de Claude Gaulin (III parte) :: Números: revista de Didáctica de las Matemáticas

INFORME

SOBRE

EL

SEMINARIO

DE

GEOMETRIA

DE CLAUDE

GAULIN

Por MANOLO FERNANDEZ REYES

INICIACION EXPERIMENTAL A LAS REFLEXIONES (simetrías por reflexión) Dos son los objetivos más importantes que pretenden cumplir las ac-tividades relativas a este capítulo:

a) Iniciar experimentalmente al concepto de "eje de reflexión" de una figura en el plano.

b) Iniciar experimentalmente a la obtención, respecto a una recta del plano, de la "figura siméttica por reflexión" de una dada.

Para evitar ambiguedades emplearé siempre, siguiendo a Gaulin, las siguientes expresiones: "Eje de reflexión", en lugar de "eje de sime-tría"; "efectuar una reflexión", en vez de "efectuar una simetría"; "fi-gura simétrica por reflexión" y no, simplemente, "figura simétrica". Es-to Último en consideración de la existencia de simetrías por "trasla-ci6n'' y por ''rotaci6n".

Los alumnos deben disponer del siguiente material: Pequenos espe-jos, espejos transparentes (MIRAS), tijeras, hojas de papel, "gouache"

(pintura al aceite o al agua), algún objeto punzante, planchas con agu-jeros y clavijas de colores, geoplanos y bandas elásticas, lápices bien afilados y creyones.

Rese~aré a continuaci6n las actividades que realizamos -s6lo un número muy reducido de las que pueden llevarse a cabo- y algunas otras que, en conversaci6n posterior, tuvo el profesor Gaulin la gentileza de indicarme.

l. a) Se hace una mancha con "gouache" cerca del centro de una ho-ja de papel. Se dobla inmediatamente y se presiona. ¿Qué se observa al abrirla? Colocar un MIRA sobre la línea de doblez. Observar desde cada lado del espejo la imagen reflejada.

(Mediante este ejercicio el alumno debe llegar a la conclusi6n de que, tanto mirando desde un lado del espejo como desde el otro, la ima-gen reflejada es congruente (superponible) con la figura situada al otro lado. Se introduce así la idea de que la línea de doblez es un eje de reflexi6n de la figura).

b) Repetir el ejercicio en otra hoja. Inmediatamente después de abrirla, hacer un nuevo doblez perpendicular al anterior y presionar fuertemente. Verificar con el MIRA que las líneas de pliegue son ejes de reflexi6n.

c) Hacer ahora un dibujo con "gouache" pr6ximo a una de las es-quinas del papel. Doblar dos veces como en b). Comprobar, utilizando el MIRA, la existencia de dos ejes de reflexi6n.

(El espesor del MIRA da lugar a una imprecisi6n inevitable: una de las imágenes no aparece perfectamente superpuesta a la figura correspon-diente, sino un poco alejada del eje de reflexi6n. Es conveniente adver-tir esto al alumno) .

2. a) Doblar una hoja en dos. Recortar un dibujo cortando ambas partes a la vez. Desplegar y verificar con el MIRA que la línea de do-blez es un eje de reflexi6n de la figura recortada.

•

b) Plegar un papel en cuatro; de manera que las dos líneas de pliegue sean perpendiculares. Hacer un dibujo con tijeras cortando las cuatro partes a un tiempo. Desplegar y comprobar con el MIRA la existen-cia de dos ejes de reflexi6n.

44

3. Plegando y recortando, obtener estas figuras:

o

o

D

tJÜ

o

Qtj

D

o

4. a) Con una aguja o cualquier otro objeto punzante, perforar las dos partes de una hoja doblada haciendo una figura cualquiera. ¿La línea de pliegue representa un eje de reflexi6n? Averiguarlo mediante el MIRA.

b) Repetir el ejercicio, pero haciendo ahora dos pliegues per-pendiculares.

S. Obtener, haciendo uno o dos pliegues y perforando, las siguien-tes figuras:

:·

.

_...

:.· .

.

·

..

·.

·.

...

..

·

..

6. Para realizar esta actividad es necesario tener dispuestas plan-chas con agujeros y clavijas de colores. Deben llevar una línea roja que las divida, de arriba a abajo, en dos partes iguales.

Construir en una plancha de línea roja, con 6, 7 u 8 clavijas, una figura cualquiera en una de las mitades. Colocar un espejo en la línea divisoria y observar detenidamente la imagen obtenida. Tratar entonces de reproducir exactamente la figura en la otra mitad de la plancha, sin utilizar el espejo. Verificar el resultado con el espejo.

(Esta comprobación resulta más difícil que empleando el· MIRA. No obstante, ayudan bastante las líneas paralelas que forman los agujeros de la plancha).

7. un ejercicio similar al anterior, pero utilizando un geoplano: Mediante bandas elásticas, constru~r, por ejemplo, el paralelogra-mo (A,i), (&,{), (A.4), (P>.3) Unir los puntos (C,t), (C.5) del geopla-no con otro elástico. Colocar un MIRA sobre éste y observar la imagen del paralelogramo. Quitar el MIRA y tratar de reproducir exactamente dicha imagen. _{t 2 .3 lt 5}

A _{I /} /

•

e

D

E

8. ¿Son congruentes estas dos figuras? ¿Poseen un eje de reflexión?

Plegar el papel para determinar el posible eje de reflexi6n. Veri-ficar con un MIRA.

9. Trazar todos los ejes de reflexi6n de las siguientes figuras con un lápiz bien afilado.

Verificar si, en efecto, las líneas trazadas son -en todos los casos- ejes de reflexi6n, y si no falta alguno. ¡Cuidado, hay trampa!

10. Dibujar las imágenes de estas figuras respecto a la recta R.

D9E

(Puede hacerse colocando un espejo en R o plegando por R).

fi-guras obtenidas anteriormente.

12. Dibujar la imagen F'de F.

13. Utilizando papel de calco, papel carbón y un lápiz bien afila-do, dibujar la imagen del caballito respecto a las tres líneas.

14. Hacer un friso efectuando una serie de reflexiones respeqto a

los segmentos punteados.

15. ¿Cómo puede determinarse rápidamente el centro de un círculo?

No debe darse ninguna pista; se trata de "obligar" a utilizar las nociones, instrumentos y destrezas de las actividades anteriores .

16. ¿Dos de estas fotografías han sido obtenidas a partir de la

17. David y el espejo.

a) David se está tirando de su oreja derecha. Si la imagen de Da-Nid saliera del espejo y fuera al encuentro de David,¿chocarían los dos

brazos derechos?

b) David-real "pica" el ojo izquierdo a David-imagen. ¿Cómo le res-ponde éste?

c) Diego está frente a David y éste frente al espejo. David, de

broma, le da una torta a Diego en su carrillo derecho. ¿Qué parte de la

cara de Diego-imagen resulta alcanzada?

(Estas actividades, que propongo para animar al lector a buscar otras, son aqgo más que un juego. Revelan que en la "reflexión respecto

a un plano" las cosas no son tan simples como en la "reflexión respecto

a una recta del plano"rde la que hemos tratado hasta ahora).

REPRESENTACION PLANA DE CUERPOS

Las actividades relativas a este apartado tienden a:

a) Desarrollar una mayor capacidad de visualizaci6n en el espacio.

b) Desarrollar la capacidad de representar en dos dimensiones

ob-jetos de tres dimensiones e, inversamente, la de identificar cuerpos a partir de una representaci6n plana.

c) Utilizar de manera no formalizada conceptos geométricos tales

como la congruencia de figuras, la reflexión de una figura respecto a

una recta, la de un sólido en un espejo, la rotaci6n de una figura con

relación a un punto, la rotación de un sólido, etc.

Se trata, pues, de ejercitar y acrecentar ciertas capacidades, no

de exponer conocimientos nuevos.

Para realizarlas se necesita el material siguiente: Juegos STRUC

-TURO y SOMA, espejos y papel de cuadrícula grande (a ser posible, de

1 cm. x 1 cm.).

El STRUCTURO consiste en 53 cubos de 3 cm. de arista, en los que cada par de caras opuestas tiene un color diferente; por ejemplo, rojo, azul y verde, que indicaré, respectivamente, R, A y

v

.

63 pares de tarjetas: unas, con representaciones en tres dimensiones, a

las que me referiré con T.3; otras, las T.2, con las correspondientes

representaciones en el plano de las vistas frontal (rojo), lateral

El SOMA comprende el tricubo y seis de los ocho tetracubos posi-bles que, para facilitar la lectura de este trabajo, reproduciré en el momento de tratar de los ejercicios con este juego.

Algunas de las actividades que pueden realizarse con el STRUCTURO. l. Utilizando como máximo 12 cubos, hacer sencillas construcciones donde el frente sea rojo, los costados azules y la parte superior verde.

(Son simples ejercicios de familiarización con los bloques¡ debe dejarse actuar libremente al nino).

2. Se entrega al alumno una T.3 de entre las numeradas 5, 6, 10, 11, 15, 16, 20, 21, 25, 26 y se le pide que:

1°) Diga cuántos cubos cree que necesita para construir lo representado. 2º) Realice la construcción.

3°) Intercambie su tarjeta con un companero y repita el ejercicio.

3.

lº) Construir el sólido ilustrado en una de las tarjetas de la activi-dad anterior.

2°) Dibujar en papel cuadriculado y colorear la vista de delante (R), la de la izquierda (A) y la de encima (V).

3°) Verificar la solución en la T.2 correspondiente, que le entregará entonces el profesor.

4°) Intercambiar tarjetas hasta que cada alumno del grupo haya trabaja-do con los nueve pares citados en la actividad 2.

(Antes de pasar a otra actividad, el profesor debe sondear la opi-nión de los alumnos respecto al significado de los trazos continuos y discontinuos que aparecen en algunas T.2 e indicarles que, antes de emi-tirla, observe cada uno detenidamente su pareja de tarjetas T.3 y T.2).

Lo que sigue corresponde al par 25:

----4.

lº) Construir el cuerpo representado así (T.3,20):

2°) Observar las vistas correspondientes (T.2,20):

3°) Hágase notar que:

a) Las caras de los dos cubos frontales izquierdos están en el mis

-mo plano y que no hay el mismo número de. bloques detrás de cada

uno de ellos (uno detrás del inferior; ninguno detrás del supe-rior).

b) Los bloques situados en la parte izquierda del costado izquierdo (donde hay un hueco) no están en el mismo plano.

c) Lo mismo ocurre al mirar desde arriba: hay un cubo que no está en el mismo plano que los otros tres.

4º) Pídase de nuevo a los alumnos que intenten interpretar los trazos

mirando el cuerpo y las vistas.

5°) Antes de seguir adelante, el profesor debe aclarar en qué consiste

el convenio de trazos que le ha pedido descubrir y que se seguirá en todas las actividades posteriores. Los alumnos deben tener desde ahora muy en cuenta que para dibujar cada vista han de seguir estos

pasos:

a) Dibujar el contorno.

dos caras de los dos bloques correspondientes.

c) Si dichas dos caras ESTAN EN EL MISMO PLANO, puede ocurrir:

- Que detrás de cada cara haya el mismo número de bloques, en cuyo caso no se dibujará trazo alguno.

- Que dicho número no coincida y, entonces, se dibujará un

tra-zo discontinuo.

Si las dos caras ESTAN EN DISTINTO PLANO, debe hacerse un trazo continuo.

d) Proceder igual con todos los pares posibles de c.uadrados adya -centes.

El siguiente esquema, que conviene tenga siempre a la vista el alumno, resume el criterio:

nº de bloques

Mismo plano y

{

mismo nº

distinto

de bloques

Distinto plano

5. El ejercicio siguiente requiere un mayor esfuerzo de visualiza-ción. Y esto es lo realmente importante, más que la actividad en sí. Se trata de, dadas solamente dos vistas, construir el mayor número posible de cuerpos correspondientes, Al parecer, los alumnos llegan, con la

práctica, a encontrar todas las posibilidades y a tener seguridad en sus respuestas.

¿Qué sólidos pueden construirse a partir de esta vista frontal y de ésta lateral izquierda? {T.2,61):

He aquí cuatro de los seis posibles. Anímese el lector a construir los otros.

6. Dibujar en papel cuadriculado las tres vistas correspondientes

a los siguientes sólidos, sin construirlos: '

Estas son las soluciones

8 8

7. Un miembro del equipo construye un sólido con 7 u 8 bloques co

-mo máxi-mo. Lo muestra durante un cierto tiempo a los otros y lo oculta.

Pide entonces a sus companeros que dibujen las tres vistas, comparen

resultados y, a la vista de la solución del profesor, analicen errores.

8. ¿Cuál de las cuatro figuras de la derecha constituye, en cada caso, una vista del sólido ilustrado a la izquierda? (Tomado del artí-culo "Los puntos de vista", de J.J. Walder, aparecido en el ndmero de Mayo, 78, en "MATH ECOLE").

A

B

e

o

1

~

[b

[p

[p

OJ

2

.

rr@

[p

[p

[b

[p

3

clD

DJ

Q]

9J

ca

r§J

c0-

c:5"1

B

,

E:3

4

5

~

_D::íJ

d1 db

c[b

6

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_{5 J}

~

_e7":J

Q;J

7

29

LJ~[g]8

8

~

[fj

~

c8

[B

9

~

[[7

.

[Y

~

[fr

10

'

~

~

~

~

Algunas soluciones: 1-A; 3-A; 6-C; 9-B.

9. ¿Qué conjunto de vistas (A, B,

e

los sólidos ilustrados? (Adaptación de un ejercicio sacado de "Seefng shapes", de E. Ranucci, Creative Publications Inc., Palo Alto, 1973).

r

~EJ

DJ

EJ

EJ

~

E3

~

E3

c:::::J

E3

c:::::J

E3

r:::3

A

B

C

O

.

~

EJ

~

EJ

EJ

,.

~bd

.

bd6dbd

A

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O

t?I

ffio

~o ~o ~o

I¡

~

rn

o

rn

B

ls.

[1

O

[1

g

[1

g

[1rn

A

B

C

O

5

1 111 1

1 111 1

1 1 1 1

1 111 1

UBUB UBUD

A

B

C

o

Al 1, por ejemplo, corresponde el conjunto

c.

Ejemplos de actividades con el SOMA.

Antes de realizar ejercicios es necesario que el estudiante se

1

2

3

4

5

6

7

l . Construir este "podium" utilizando s6lo dos piezas del SOMA.

2. Construir la siguiente "piedra angular".

3. Construir un "muro en w" como el siguiente:

(Es ésta una buena oportunidad para hacer ver que una ilustración

en dos dimensiones es, en ocasiones, enga~osa. ¿La ilustración dada re

-presenta realmente un muro regular?)

4.

2º) Hacer una representaci6n por pisos: a) Para un observador colocado en A. b) Para un observador en B.

Soluci6n para A:

7 7 1 7

7 1 1 5

2 2 2 2

6 6

5 4

3 4

5 6 4 5 '6 4 3 3 3

3°) Apoyar el cubo sobre uno de sus costados. Tratar de encontrar la re

-presentación por pisos en esta nueva posición ••• ¡Pero partiendo de

las representaciones obtenidas anteriormente! Verificar luego el re

-sultado observando el cubo.

(Este último ejercicio, que tiene numerosas soluciones, es parti-cularmente importante por el esfuerzo de visualización espacial que

su-pone).

INICIACION EXPERIMENTAL A LAS TRASLACIONES Y ROTACIONES

Con esta Última parte del curso "EXPLORACIONES GEOMETRICAS I" -cuya

breve síntesis termino en la presente edici6n de NUMEROS, con el deseo de que· resulte útil- se introducen experimentalmente:

a) Las nociones de figuras congruentes y de figuras con la misma

orientaci6n en el plano.

b) La transformaci6n geométrica consistente en trasladar una figura

en el plano, dados una direcci6n y un sentido.

c) La rotaci6n de una figura en torno a un punto dado del plano. d) El concepto de figuras simétricas por reflexi6n, rotaci6n o

traslación.

El alumnado debe disponer del material siguiente: Cart6n, reglas,

papel carbón y de calco, lápices, creyones, tijeras, trozos de cuerda

resistente de 60 cm., papel de 50 cm. x 50 cm., planchas agujereadas y clavijas de colores, gepplanos y bandas elásticas, chinchetas, compa -ses y cubos STRUCTURO.

Son muy variadas y numerosas las actividades a realizar.

Describi-ré algunas:

A) CONGRUENCIA

l. Colocar sobre una mesa una serie de objetos como, por ejemplo,

libros, cajas de cigarrillos, monedas, sólidos construidos con minicu-bos, etc. Pedir al alumno que:

lº) Senale parejas de objetos donde considere que al menos una cara de

uno es congruente con una del otro.

2°) Diga por lo menos dos maneras de verificar si realmente hay con -gruencia.

3°) Indique dos caras de un objeto que a su juicio sean congruentes, y

diga cómo puede averiguar si está o no en lo cierto.

2. Construir una plantilla de cartón con la cual sea posible

re-producir las figuras congruentes que se adjuntan. Verificar con ella la congruencia.

Calcar con un lápiz bien afilado una de las F anteriore~ y obtener luego, mediante papel cart6n, cinco copias.

3. Hacer un calco del delfín y reproducirlo luego ·en distintas po-siciones.

4. (De "Géométrie Dynamique", Editions Julienne).

Utilizando papel de calco, averiguar si existe congruencia entre cada par de figuras:

O.O

5. (Idem).

6. Completar el dibujo de la derecha (izquierda) para que resulte congruente con el de la izquierda (derecha).

)

B) ORIENTACION EN EL PLANO

Este concepto es fundamental para entender el de traslación. Es ne -cesario advertir previamente a los alumnos de que suele hablarse de orientación empleando expresiones vagas o ambiguas e, incluso, confun-diendo situación con orientación. Se dice, por ejemplo, "este edificio está orientado hacia el Norte", en lugar de "la entrada principal de este edificio •.. " Es necesario, pues, dar la orientación con referencia a una parte determinada del objeto en cuestión. Los lados marcados X de estos dos polígonos nos hacen ver su diferente orientación en el plano.

+

l. Recortar los 8 cuadrados y colocarlos en un casillero de 9.cel-.

das de forma que los situados en una misma fila o en una misma columna

o en una misma diagonal, tengan orientaciones diferentes.

sos?

~~~~

~~~~

2. ¿Cuántas orientaciones diferentes hay en cada uno de estos fri

-{.

....

·.~·..

.

..

/

.... 1. .

.

,;:)·

.

.

..

··

·

··

··/ ..

~

B

8

B

a

·

B

8

B

8

88888888

B

8

B

8

B

8

B

-

8

3. Colorear cada una de las losetas, respetando estas dos condi -ciones:

a) dos losetas que tengan la misma orientaci6n han de tener el mismo color;

b) dos de orientaci6n diferente, por el contrario, llevarán color distinto.

4, Todas las mariposas son congruentes. Colorear según las orien-taciones.

C) TRASLACION

El ejercicio que si~ue (1) tiene por finalidad que el alumno vea con claridad que:

lº) En toda traslación intervienen una distancia, una dirección y un sentido.

2°) La figura trasladada es congruente con la original y posee su misma

orientación.

l. Hacer una plantilla en cartón del dibujo adjunto. Mediante ella, reproducirlo con lápiz en una hoja grande (de al menos 50 cm. x 50 cm.)

de papel y designar la figura con F.

Hacer pasar una cuerda de unos 60 cm. por los agujeros A y C de la

plantilla y superppner ésta a la figura F. Entonces, mientras un alumno

mantiene bien tensa la cuerda en la dirección AC, otro desliza la

plan-tilla una cierta distancia en un sentido u otro. Se dibuja el camión

en la posición resultante y se marca la nueva figura con F'. A

continua-ción, dar los siguientes pasos:

68

a) Verificar que F y F' tienen exactamente la misma orientación. b) Calcar F y, con una aguja, marcar unos puntos a, b, c, d, e en

su interior. Superpone• el calco a F', dibujar los puntos

ante-riores, designándolos ahora a', b', etc. Trazar entonces los

•

2. a) Utilizando de 8 a 10 clavijas de colores diversos, construir

una figura F en la parte alta derecha de una plancha con agujeros.

b) Imagínese que los puntos de F se desplazan, por ejemplo, así: 1°) Avanzan 7 unidades hacia abajo y 5 unidades a la izquierda. 2°) A continuación, 4 hacia arriba y 1 a la izquierda. 3°) Finalmente, 3 a la derecha y 2 hacia abajo.

Constrúyase en la plancha, sin destruir la anterior, la figura imagina-da F'.

c) Pídase a los alumnos que sugieran procedimientos para com-probar que cada punto de F se ha desplazado la misma distancia y en

igual dirección y sentido, esto es, que F se ha trasladado.

3. Construir un cuadrilátero en un geoplano y trasladarlo luego

con el siguiente criterio

/

4. Usando papel de calco, trasladar la figura en la dirección y sentido de las flechas y una distancia igual a las respectivas longi-tudes.

/

O) ROTACION

•

plantilla en el punto X.

•

X

b) Dibujar con lápiz el contorno de la plantilla. Hacer girar

ésta en torno a X un determinado ángulo y trazar en rojo el contorno en la nueva posición. Desde la posición inicial, efectuar otro giro en sen-tido opuesto y dibujar ahora el contorno en azul.

c) Retirar la chincheta y la plantilla. Marcar cuatro puntos A,

B, C, D en el interior del primer dibujo. Luego, trazar círculos con-céntricos en X y que pasen, respectivamente, por los puntos anteriores.

Mediante calco, marcar los puntos correspondientes A', B', e', D' y A'', a'', e ' ' , D' ' en los dibujos rojo y azul.

d) Unir con regla el punto X con los doce puntos marcados. Se pedirá entonces a los alumnos que estudien detenidamente el tra-bajo hecho y anoten sus observaciones.

(Se trata de que lleguen a descubrir las principales característi-cas de la rotación plana respecto a un punto, a saber:

cada punto de la figura se desplaza a lo largo de una circunferen-cia de centro X (centro de rotación)

todos los puntos giran un mismo ángulo todos lo hacen en el mismo sentido

las imágenes (F', F'', ••• ) son congruentes con la figura F pero, en general, poseen otra orientación).

2. Construir una figura en el geoplano y las imágenes que resulten al efectuar, alrededor de un clavo, una rotación de:

lº) un cuarto de vuelta en el sentido de las agujas del reloj

2º) media vuelta en sentido contrario

3°) tres cuartos de vuelta en sentido horario.

E) EJERCICIOS RESUMEN

l. a) ¿Es t la imagen de ! por reflexión? En caso afirmativo,

di-bújese el eje. Si no, explíquese por qué.

b) ¿Puede obtenerse i mediante una traslación de .t. ? Si sí,

dibujar la flecha de traslación. Si no, dar la razón.

c) ¿Se obtiene i. por rotación de 3 en torno a un punto? Si la

respuesta es afirmativa, precísese el centro de rotación y el sentido

y ángulo de giro.

2. ¿Dónde está el tesoro? (Este es uno de los curiosos ejercicios

que aparecen en "Géométrie Dinamyque" - livre 1: Calquage, congruence

liQIAS.•

72

--

--1

...

...

-~~e

:

>

\

1~rotation

~

--

-~\

₃

2) translauon 3) réflexion

\ \

w··

-RJ;

.

:

:///1

La S.C.P.M. está estudiando la posibilidad de que el profesor Claude Gaulin imparta el curso "EXPLORACIONES GEOMETRICAS II".

Entre tanto, anímate a poner en experimentaci6n el resumen de

"EXPLORACIONES GEOMETRICAS I", cuyas primera y segunda partes

aparecen en NUMEROS 1 y 2.

Envíanos, para su publicación, otras actividades que se te ocu

-rran. Así mismo, no dudes en consultarnos las dudas que te sur

-jan en el estudio de esta síntesis.

Debes permanecer atento a la salida de NUMEROS 4. Incluirá el informe de un interesante seminario sobre resoluci6n de

proble-mas, que dirigió el profesor Gaulin en nuestras IV Jornadas.

III JORNADAS.