2- Sistemas de Fuerzas

2- Sistemas de Fuerzas

2.5 Fuerzas en el espacio. Componentes rectangulares. Fuerza definida en términos de su magnitud y dos puntos de su línea de acción. Suma de fuerzas concurrentes en el espacio. Equilibrio de una partícula en el espacio.

2.6 Cuerpos rígidos. Sistemas de Fuerzas equivalentes. Fuerzas externas e internas. 2.7 Principio de transmisibilidad. Fuerzas equivalentes.

2.8 Momento de una fuerza alrededor de un punto.

2.9 Teorema de Varignon. Componentes rectangulares del momento de una fuerza.

2.10 Momento de una fuerza alrededor de un eje. Momento de un par de fuerzas. Pares equivalentes. Suma de pares. 2.11 Descomposición de una fuerza dada en una fuerza en un punto O y un par. Reducción de un sistema de fuerzas en una fuerza y un par. Torsores.

Caracterizadas por su punto de aplicación, dirección y magnitud [N  1kg*m/s ]. Debido a que es un vector, se rige por las operaciones del álgebra vectorial.

Cuando muchas fuerzas concurren en un punto, se puede hacer la suma (determinar la fuerza resultante) usando la ley del paralelogramo:

F

F

P

Q

P

F

γ

β

F

F

Para determinar las componentes (Ley de senos)

En muchas operaciones, es conveniente expresar el vector fuerza en componentes. Eje 1

F

F

F

Para determinar las componentes (Ley de cosenos)

𝐹₂2 = 𝐹₁2 + 𝐹2 − 2 ∗ 𝐹 ∗ 𝐹₁∗ cos⁡(𝜃) 𝐹₁2 = 𝐹₂2 + 𝐹2 − 2 ∗ 𝐹 ∗ 𝐹₂∗ cos⁡(𝛾)

y θ

F

F

F

F

_F

F

y x z

F

F

F

F

Nota: Los cosenos directores se miden desde la parte positiva del eje

y

x

F

A

Proporcionalidad vector posición – vector fuerza

F

F

F

F

F

La partícula se encuentra en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula (fuerzas concurrentes) es igual a cero

fuerzas a lo largo de su eje axial. Determine la tensión del cable AC para que el elemento BC no falle. Además, determine la fuerza resultante de las tres fuerzas en el nodo C. C A B 50 kN 75 kN 65° 25° 35°

2 m

40 kN

α

β

B (3, -2, 4) C (-6, 5, 8) A (10, 2, 0) D (10, 8, 0) x y z

Del extremo D de la barra rígida AD, la cual se encuentra empotrada en A, cuelga un elemento de peso 70 kN. Además, se han instalado los cables BD y

CD para evitar grandes

deflexiones en la barra.

Si las tensiones en los cables son 𝑇_𝐵𝐷 = 30⁡𝑘𝑁 y 𝑇_𝐶𝐷 = 50⁡𝑘𝑁 , determine la fuerza resultante en D.

Determine además, los cosenos directores de la resultante.

TAD = 50 kN TAB = 100 kN D (-10, 5, 24)

D

Determine la resultante de las tensiones TAB y

TAD en el punto A.

La torre AO permanece en su posición vertical; apoyada por medio de 3 cables; el cable AB, está sometido a una fuerza de 3900 N; el cable AC se somete a una fuerza de 5250 N. La longitud de los dos cables es de

19.5 y 21.6 metros,

respectivamente.

La altura de la torre es de 16.8 m. Se requiere que la resultante de las tres fuerzas actuando en el punto A, sea vertical.

Determinar la magnitud del ángulo α que define la posición del cable AD.

¿Es posible determinar la

magnitud de la tensión en el cable AD? D B C A α 50˚ O FAB = 3900 N FAC = 5250 N LAB = 19.5 m LAC = 21.6 m LAO = 16.8 m α = ? 20˚ x y

Datos:

- Peso barra OB: 600 N

- Peso Q: 800 N - Barra OB homogénea y de sección prismática - Q O B D E (0, 0.6, -0.3) 𝑂𝐵 = 2.0⁡𝑚 y

F

_F

F

_F

Pint Qint Rint

F

F’

¿El vector fuerza es deslizante?

F

es equivalente a

F’

Limitaciones del Principio (Cuerpos Rígidos vs Cuerpos Deformables)

A

T B T T A T B A B

A

T B T

F

r

M

F

r

M

F’

r

M

Por lo tanto, se establece que dos fuerzas son equivalentes, sí y solo sí, tienen la misma magnitud y dirección, y, además, tienen momentos iguales con respecto a un punto 0.

F

r

M

R

r

M

El momento con respecto a un punto 0 de la resultante de varias fuerzas es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto 0.

F

F

F

F

r

M

M

u

F

r

M

u

r

a) El momento de la fuerza ejercida por la cadena en B respecto al punto A.

b) La magnitud y el sentido de la fuerza vertical aplicada en C que produce el mismo momento respecto de A

c) La fuerza mínima aplicada en B que produce el mismo momento respecto de A. 1.35 m 0.95 m 60° A F E B D _C 2 m

Calcule el momento total de los pares respecto al eje AD.

A C B 4m 8m C1 C2

Determinar el momento y la fuerza resultante en A.

de su eje vertical, se ha instalado un cable AB.

Determine la presolicitación (tensión) que debe tener el cable para evitar el giro de la grúa.

Peso brazo O’C= 1500 kN (en D) Peso brazo O’F= 500 kN (en E) O’E= 5m; EF= 5 m

O’D= 9 m; AC= 6m Fw1=50 kN

Fw2=40 kN

Asuma que Fw se aplica a 30 m de altura respecto del suelo.

En la figura se muestra un mástil y aparejos de un velero.

Determinar momento de la fuerza F1 respecto del punto O.

Además, determine el ángulo entre EF y EC.

- Tensión en la cuerda = 250 N

- F1= -10 i + 20 j – 30 k {N}

- CD y EF están en un mismo plano. - 𝐶𝐷 = 7.5⁡𝑚

 CD y eje y = 45°

 𝜃 = 10°

Modificado de [Beer & Jonhston, 8va edición]

respecto del punto O.

Además, determine el ángulo entre EF y EC.

- Tensión en la cuerda = 250 N

- F1= -10 i + 20 j – 30 k {N}

- CD y EF están en un mismo plano. - 𝐶𝐷 = 7.5⁡𝑚

 CD y eje y = 45°

 𝜃 = 10°

mediante una rótula (esta permite rotaciones respecto a los ejes x, y,

y z). En D existe una pequeña holgura respecto al piso.

La tensión en el cable AE es de 110 N. La tensión en el cable EG es igual al valor absoluto de la tensión en EF proyectada en EG. a) Determine el momento de la resultante en E respecto del punto A.

b) Con el fin de impedir la rotación del marco respecto al eje y, se colocará un puntal en C (el puntal solo trabaja a compresión o a tensión). Determine las coordenadas x y z del extremo del puntal de modo tal que la fuerza en este sea mínima y que el marco no rote respecto al eje y.

(x, 7.5, z)

Puntal, L= 6ft

http://elmodernoprometeo.blogspot.com/2012/02/articulaciones.html

F

M

F

M

¡El momento de un par es un vector libre!

d

F

F

M=F

d

M

M

𝑀

= 𝑟

× 𝐹 + 𝑟

× −𝐹

= (𝑟

− 𝑟

) × 𝐹

http://www.ingenieria.unam.mx/~deptoestructuras/labmateriales/flexionycortantematII.htm

Par de Fuerzas: Aplicación en el

A B

F

F

F

F

Q

Q

3m P/2 P/2 P P 1.5m 1.5m 45˚ M 4m P/2

¿Cuáles de los sistemas son equivalentes al par en (a)? y 4𝑚 3𝑚 𝐹 x z 4𝑚 3𝑚 𝐹 x z 4𝑚 3𝑚 𝐹 x z y 4𝑚 3𝑚 𝐹 x z 4𝑚 3𝑚 𝐹 x z 4𝑚 3𝑚 𝐹 x z 60⁡𝑘𝑁⁡ 75⁡𝑘𝑁⁡ 75⁡𝑘𝑁⁡ 75⁡𝑘𝑁⁡ 75⁡𝑘𝑁⁡ 100⁡𝑘𝑁⁡ 100⁡𝑘𝑁⁡ 75⁡𝑘𝑁⁡ 45⁡𝑘𝑁⁡ 45⁡𝑘𝑁⁡ _{75⁡𝑘𝑁⁡} 45⁡𝑘𝑁⁡ 45⁡𝑘𝑁⁡ 50⁡𝑘𝑁⁡ 50⁡𝑘𝑁⁡ (a) (d) (c) (b) (e) (f) 60⁡𝑘𝑁⁡

a) Determine el par resultante en la placa cuando T= 9 lb.

b) Si únicamente se usa la cuerda, ¿en qué dirección debería jalarse para generar el mismo par que en (a), pero con la mínima tensión?

c) ¿cuál es el valor de la tensión mínima?

Tomado de [Beer & Jonhston, 8va edición]

2.5 lb 2.5 lb 11.4 in 15.2 in T T

La placa mostrada en la figura está sometida a la acción de múltiples fuerzas y un momento

concentrado. Reemplace el sistema de fuerzas (incluyendo el momento) que actúan en la placa por: a) Un vector par

o A

F

F

F’

F’

M

F

o A

F

M

F

o A

M

F

F

F’

A

F

¿El sistema se puede reducir a una fuerza?

J

K

o o

R

o o

R

M

R

d

M

R =

F*d

Fuerza-Par

F

F

F

F

F

r

R

M

Cada fuerza genera un sistema fuerza-par en o

(Fi y Mi, perpendiculares entre sí)

M

M

M

M

no puede ser reducido a una fuerza equivalente o a un solo par, pero… _o

R

M

R

M

M

M

M

M

R

M

R

x y z A E D B C

sobre la cual reposan 5 columnas.

Sabiendo que la resultante de las fuerzas actúa en el punto (4, 4.5, 0), en dirección vertical, determine la magnitud de las fuerzas axiales que transmiten las columnas D y C. 5.5m 4.5m _7m 3m

P

= 400 kN

P

= 450 kN

P

= ¿? kN

P

= ¿? kN

P

= 300 kN

AB=2m, BO=4m, OO'=2m, CO'=1.5m, DO'=1.5m

Si el viento ejerce una fuerza de 20 N (en dirección −𝒋 ) en A, y si se sabe que la resultante de las fuerzas sobre la lámpara

A y la barra rígida ABO, incluyendo la

tensión en los cables, es una fuerza 𝑹 que

actúa en O, determine la tensión en los

Un sistema fuerza-par consiste en la fuerza resultante R=600i + 1400j + 700k (N) y en un vector par MR= -800i + 500j + 600k (N-m).

Transformar el sistema anterior en una fuerza única o en una llave de torsión y determinar la posición de su línea de acción.

la figura.

Reemplace las tres fuerzas por una llave de torsión equivalente.

Determine el punto donde el eje de la llave de torsión interseca al plano xy.

Expresar la resultante de las fuerzas como un sistema llave-torsión. 6𝑚 5𝑚 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻 100⁡𝑘𝑁 20⁡𝑘𝑁 65⁡𝑘𝑁 x z y 50⁡𝑘𝑁 − 𝑚 80⁡𝑘𝑁

Una placa semicircular está sostenida, en forma inclinada con los ejes x y y 20° y 15° respectivamente por un tubo vertical soldado a ella en el punto o.

El peso por unidad de área de la placa es W=0,08 N/cm²

Determine el momento resultante del peso de la placa y del elemento Q (que cuelga en el punto A), respecto del punto o.

Datos:

R= 50 cm (radio de la placa con centro en C) oC= 15cm

oA= 15 cm CG= 8 cm Q= 150 N

El cable que sostiene el elemento Q parte de

A a un ángulo de 48° con HI y se descuelga en el borde de la placa en B.

HI es paralela a DE

G es el centro de gravedad de la placa

Q I E A H D B C G F 48° e d _20° 15° o X Y Z