Problemas resueltos

(1)

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano

LÍMITES DE SUCESIONES

PROBLEMAS RESUELTOS

1. ¿Cómo es la sucesión

1 3

  

n n

a_n : creciente o decreciente? Con la información obtenida

halla sus cotas inferior y superior. Solución:

Se restan a_n y a_n_₁.

) 1 )( 2 (

) 2 )( 3 ( ) 1 )( 4 ( 1 3 2

4 1

3 1

) 1 (

3 ) 1 (

1 _ _

                

   



n n

n n n

n n

n a

a_n _n =

=

) 1 )( 2 (

2

 



n

n , que toma valores negativos para todo n.

Por tanto, la sucesión es estrictamente decreciente.

Si es decreciente, el mayor término es 2 1 1

3 1

1 

  

a . Luego k = 2 es una cota superior.

Como el numerador de la fracción 1 3

 

n n

es siempre mayor que el denominador, n + 3 > n +1,

una cota inferior será 1; esto es 1 1 3

  

n n

.

2. Demuestra que la sucesión de término general

1 1 4

  

n n

a_n es creciente y halla una cota

inferior positiva (justificando que es una cota inferior). Solución:

Una sucesión (a_n) está acotada inferiormente si existe un número k tal que k a_n para

cualquier valor de n.

a) Una sucesión es creciente si a_n a_n_₁ para todo n.

1 ) 1 (

1 ) 1 ( 4 1

1 4

 

   



n n n

n _

2 3 4 1

1 4

   



n n n

n _

) 3 4 )( 1 ( ) 2 )( 1 4

( n n  n n 

 4 2 _7 _2_4 2 _7 _3

n n n

n  2  3

Como la última desigualdad es cierta también lo será la primera. Por tanto, la sucesión dada es creciente.

Al ser creciente, el primer término es el menor de todos. En consecuencia, una cota inferior es

2 3 1 1

1 4

1 _ 

 

a

3. Dada la sucesión

1 5 3

  

n n

a_n :

a) Demuestra que es decreciente y acotada inferiormente por k = 3.

b) ¿A partir de qué término se cumple que a_n 3,01? c) Halla su límite.

Solución:

(2)

1 5 3 1 ) 1 (

5 ) 1 ( 3

1 _

   

   



n n n

n a

a_n _n =

=

) 1 )( 2 (

2 )

1 )( 2 (

) 2 )( 5 3 ( ) 1 )( 8 3 ( 1

5 3 2

8 3

 

 

 

      

  



n n n

n

n n n

n n

n

expresión que siempre toma valores negativos.

Veamos que está acotada inferiormente por k = 3: an 3,

para cualquier valor de n.

En efecto, 3

1 5

3 _

  

n n

a_n para todo n, pues:

3n + 5  3(n +1), ya que 3n +5  3n + 3

b) 01a_n 3,  3,01 1

5

3 _

 

n

n _

3n + 5 < 3,01n + 3,01 

1,99 < 0,01n  n > 199.

A partir del término a₁₉₉ todos los siguientes valen menos de 3,01. Por tanto, entre 3 y 3,01

hay infinitos términos: Como, además, la sucesión es decreciente, cada vez su valor se acercará más a 3.

c) lim3 5 3 1

n n

 _  .

4. Demuestra que la sucesión

1 4

3

  

n n

a_n es creciente y acotada superiormente por k = 1/4.

Halla su límite. Solución: a)

) 1 4 )( 5 4 (

13 )

1 4 )( 5 4 (

) 5 4 )( 3 ( ) 1 4 )( 2 ( 1 4

3 5

4 2

1 _ _  _ _

 

  

       



n n

n n n

n a

a_n _n

expresión que siempre toma valores positivos. Por tanto la sucesión es creciente.

 Acotada:

4 1 1 4

3 _

  

n n

a_n para todo n, pues 4n – 12  4n +1, como resulta evidente.



 

3 3

1

3 1 0 1

lim : lim lim

4 1 1

4 1 ₄ 4 0 4

n

n _n _n _n

n

n n

n n n

 

 _ _ _ _  _

 _ _  .

5. Dada la sucesión {2, 3/4, 4/9, 5/16, 6/25,...}, halla:

a) Su término general y los términos décimo y vigésimo. b) A partir de qué término a_n 0,001

c) ¿Cuál es su límite? Solución:

a) Si se escribe 2 = 2/1, se observa los numeradores de las sucesivas fracciones son números consecutivos, empezando por 2; y los denominadores las potencias de 1, 2, 3, … Luego,

2

1

n n a_n   .

Por tanto:

100 11

10 

a y

400 21

20 

(3)

b) 001a_n 0,  ₂10,001

n n

 n + 1 < 0,001n2 n2 1000n10000  n 1001.

c) limn ₂1 0

n

  .

6. Considera las sucesiones: {an} = {1, 7, 13, 19, …} y {bn} = {5, 8, 11, 14, …}

a) Halla el término general de cada una de ellas. ¿Cuánto valen a300 y b35?

b) Halla la expresión de la sucesión

n n n

b a

c  y calcula su límite.

Solución:

a) Para {an} = {1, 7, 13, 19, …}, cada uno de los términos dados se obtiene sumando 6 al

anterior. Por tanto a_n 6n5; a₃₀₀ 1795.

Para {bn} = {5, 8, 11, 14, …}  sus términos se obtienen sumando 3 al anterior. Por tanto

2 3   n

b_n ; b₃₅ 107.

b)

2 3

5 6

   

n n b a c

n n

n .

6 5 5

6

6 5 6 0

lim lim lim 2

3 2 2

3 2 ₃ 3 0

n

n _n _n _n

n n

n n n

 _   _ 

   

 

 _{ } _ _ _

   

 _  _

  _ _ _ _ _ _

   

.

7. Indica el límite de las siguientes sucesiones:

a)

2 5

1 3 2 2

   

n n n

a_n b)

n n

n a_n

2 1 3

3 2

 

 c)

n n n a_n

 

 ₂2

4 5 5

Justifica el resultado del límite b). Solución:

a)

2

2 3 1

lim

5 2

n n

n

  _{ }

 . El grado del numerador es mayor que el del denominador.

b)

2

3

3 1

lim 0

2

n

n n

 

 . El grado del numerador es menor que el del denominador.

Dividiendo todos los términos por n3, queda:

2

2 ₃ ₃ ₃

3 3

2

3 3

3 1 3 1

3 1 0 0

lim lim lim 0

2 2

2 ₁ 1 0

n

n _n _n _n _n

n n

n

n n

 

 _ _ _  _

 

 _ _   

c)

2

5 5 5

lim

4 4

n

n n

 

 . Numerador y denominador tienen el mismo grado.

8. Indica el valor de los siguientes límites:

a) lim 2



n5



b) lim ₂6

1

n

n  c)

2

6 3

lim

2 7 1

n n

  

d) _{lim ( 1)}n 2 ₅

n n

   

  e) lim_{3 2}n_5_n f)

2 ₁

lim

2 7

n n

  

(4)

a) lim 2



n5



= . (Sucesión de tipo polinómico).

b) lim ₂6 1

n

n  = 0 . (El grado del numerador es menor que el del denominador)

c) lim 6₂ 2 3

2 7 1

n n



  = 2 6

= 3. (Numerador y denominador tienen el mismo grado)

d) _{lim ( 1)}n 2 ₅

n n

   

  no existe, tiende alternativamente a + y a –, según n tome valores

pares o impares. e) lim 5

3 2

n n



 = 2 1

 . (Numerador y denominador tienen el mismo grado)

f)

2 ₁

lim

2 7

n n

 

 = –. (El grado del numerador es mayor que el del denominador)

9. Halla el valor de los siguientes límites:

a) _lim 2 ₃

n  n b)

2 ₃

lim 2

n n

n



c)

2

3 2

lim

1

n n

 

d)

3 lim

2 1

n n

n



 e)

2

3 2

lim n

n n



 f)

2

4 3

lim

5

n

n n

  .

10. Calcula los límites siguientes:

a) lim 2 2

1

n n

n

 



 

 _ 

  b)

2 ₂ 2

lim

1 1

n n n

n n

 _ 



 

 _ _ 

  c)

2 2

lim

1 1

n n n

n n

 _ 



 

 _ _ 

 

Solución:

a)





2

lim 2

1

n n

n

 

    

 

 _ 

   (Operando) 

2 ₂

lim

1

n n

n

 _ 

 

 

 _ 

 

b)





2 ₂ 2

lim

1 1

n n n

n n

 _ 

    

 

 _ _ 

  . Operando se tiene:



2







2





2 2

2

2 1 1

2

lim lim

1 1 1

n n n n n

n n n

 _ _{ } _ 

  _ _ _ _

 

 _ _  _ _ _

  _ _ =

=





3 2 3 2

2

2 lim

1

n n n n n

n

 _ _ _ _ 

 

 _ 

 

= lim ₂2 0 1

n n

 _

 .

c) lim 2 2





1 1

n n n

n n

 _ 

    

 

 _ _ 

   (operando) 



2







2





2

1 1

lim

1

n n n n n

n

 _ _{ } _ 

 

 _ 

 

=





3 2 3 2 ₂

2 2

2 ₃

lim lim 3

1 1

n n n n n _n _n

n n

 _ _{ } _  _ _

 _{ } _{ }

 _  _

 

(5)

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 11. Halla:

a) _lim



2 ₁



n n  b) lim 2



n 2n22



c) lim



2n2 n n2n



Solución:

a) _lim



2 ₁



n n  = [∞ – ∞]  (operando) 











2 2

2

1 1

lim

1

n n n n

n n

   

  =

=





2 2

1 ₁

lim lim 0

1 1

n n

n n n n

  _

 

    .

b) _{lim 2}



₂ 2 ₂



n n  = [∞ – ∞]  (operando) 











2 2

2

2 2 2 2 2 2

lim

2 2 2

n n n n

n n

   

  =

=





2 2 ₂

2 2

4 2 2 ₂ ₂

lim lim

2 2 2 2 2 2

n n _n

n n n n

  _



    =

 

2

2 2

2 ₀

: lim

2 2 2 2

2

n n n

n n

 _ _{ } _

 _ _ 



 

 

.

c) _lim



₂ 2 2



n  n n n = [∞ – ∞]. Multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada

se tiene:



2 2



lim 2n  n n n =











2 2 2 2

2 2

lim

2

n n n n n n n n

n n n n

     

   =

=



 



2 2 ₂

2 2 2 2

2 ₂

lim lim

2 2

n n n n _n _n

n n n n n n n n

   _



      =

 

2

2 3 2 3

1 2 / 1

: lim

0

2 / 1/ 1/ 1/

n n

n n n n



   

  

12. Halla el valor de los siguientes límites:

a)

5

2 lim 1

n

n _n

 _ 

 

  b)

2

1 lim 1

n

n _n

 _ 

 

  c)

2

3 lim

2 n

n n

n 



 

 

 

Solución:

a)

10

5 /2

10

2 1

lim 1 1 lim 1 / 2

n n

n _n n _n e



 

 

 _  __{ }_  _  _

 

  _{  }   _

  _   _ .

b)

2 ( ) 2

2

1 1

lim 1 1 lim 1

( ) n n

n _n n _n e

 

 

 

 _ _ 

 _  __{  }_ _ _ _

 

  _{  } _ _

  _   _ .

c)

2

3 1

lim 0

2 2

n

n n

n







  _  _

   