3.7 Operaciones aritméticas.
Procedimientos de Cómputo
3.7.1. Introducción
La palabra algoritmo es el término utilizado para denotar un procedimiento mecánico, a ejecutar paso a paso. En esta sección, utilizaremos el término en un sentido mucho más amplio, que abarcará no sólo los procedimientos computacionales típicos al calcular por escrito, sino también para referirnos a procedimientos mentales (algoritmos informales). Carpenter y Moser (1979) explicaron que tradicionalmente se ha enseñado a los niños con la intención de que primero dominasen las destrezas de carácter computacional antes de que empezaran a aplicarlas a situaciones y problemas prácticos. Se insiste en que adquieran destreza y soltura en el cálculo por escrito, independientemente de si comprenden o no los fundamentos de tales técnicas. Con la calculadora, por ejemplo, aparece el temor de que estos cálculos sean innecesarios y perniciosos. En este apartado analizaremos la naturaleza de los algoritmos típicos y sus riesgos en su enseñanza. También examinaremos las dificultades de los niños con tales métodos en función de los errores que cometen y la naturaleza de su
comprensión de estos procesos. Por último, expondremos algunas sugerencias sobre cómo adaptar los procedimientos computacionales escritos al objetivo de facilitar la comprensión y aprehensión del principio de valor relativo, y analizaremos los procesos de algoritmos
informales.
3.7.2. Problemas asociados al uso de los algoritmos típicos
Plunkett asegura que:
A casi todos los niños se les enseña los algoritmos típicos para el cálculo por escrito de las cuatro reglas aritméticas… que suelen presentarse más o menos así:
57 +38 95
41 57 - 38 19
57 X 8 456
Además, a la inmensa mayoría de los niños se les enseñan estos métodos como forma primaria de tratar los cálculos con números enteros (y con decimales): y para la mayoría, estos métodos son los únicos que les son enseñados.
Plunkett (1979) resalta que la mayor parte de los niños ignoran que tienen a su disposición una variedad de métodos, escritos en particular. También resalta que estos algoritmos típicos son universalmente enseñados, posiblemente, porque son el método más compacto y eficiente de manejar cálculos escritos. El método es aprendido primero, y aplicado después, a números cualesquiera grandes, pequeños, enteros o decimales. Plunkett critica que estos métodos son analíticos, ya que requieren de la descomposición en unidades, decenas, centenas…lo que exige que los dígitos sean manipulados separadamente, negando así la atención al aspecto global del número, lo que es totalmente extraño a la forma en que se desarrollan los
conceptos aritméticos de los niños y contrario a los métodos de cálculo de naturaleza intuitiva. Así mismo, critica que estos procedimientos son aprendidos sin justificación y no están
relacionados con otros conocimientos aritméticos.
Ginsburg corrobora esta idea afirmando que los niños suelen concebir las matemáticas como un juego aislado, con reglas de juego peculiares y sin ninguna relación evidente con la realidad. Lowry (1965) señala que normalmente cuando se enseña el cálculo de estos algoritmos se presupone que el niño lo racionalizará correctamente en el futuro. Sin embargo, es posible que esto sólo ocurra con los niños más capaces, pero los menos dotados operarán sin comprender. A menudo, los algoritmos clásicos le son presentados al niño en un estadio de su desarrollo en el que todavía no posee una adecuada comprensión de los conceptos subyacentes, como el del valor relativo. Williams (1963) afirma que es probable que el niño “medio” pierda la pista de lo que está ocurriendo en estos mecanismos calculatorios tan depurados y que es probable que el niño no se detenga a reflexionar en el cómo y el porqué del funcionamiento de un
determinado procedimiento si es esa la única opción que tiene disponible.
Uno de los mayores riesgos que comporta la preocupación por los algoritmos de cálculo por escrito es que concepto y algoritmo llegan a ser sinónimos; como por ejemplo describió Plunkett: “para enseñar la división se enseña un método, no una idea”.
3.7.5. Sugerencias para la enseñanza de algoritmos escritos
Suydam y Dessart (1976) han publicado un librito en el que ofrecen sugerencias para la enseñanza de algoritmos, basadas en ideas procedentes de la investigación en este campo. Suydam y Dessart señalan:
mucho más fácil al utilizar materiales concretos, seguidos de materiales semiconcretos (figuras, por ejemplo) y finalmente, por la presentación abstracta mediante símbolos. En la introducción de los algoritmos tiene la misma importancia el recurso a materiales concretos que el presentar los hechos básicos de la aritmética.
También señalan que la progresión “concreto semiconcreto abstracto” vale tanto para las ideas nuevas presentadas a nivel secundario como en el nivel primario.
Resnick subraya la importancia de establecer conexiones explícitas entre las representaciones concretas y el algoritmo escrito. Propone un método para utilizar los bloques Base 10 de Dienes.
Resnick subraya la importancia de conectar el procedimiento concreto con el algoritmo abstracto escrito, conexión que ha de establecerse en lo tocante:
a) A la “codificación” del valor posición; por ejemplo, ¿puede el niño establecer la debida correspondencia entre el número escrito y su representación concreta mediante bloques de base 10?
b) Al resultado; es decir, ¿espera el niño obtener el mismo resultado al manipular bloques y al manipular los números correspondientes? (Resnick da cuenta de varios niños del intervalo de edad siete a nueve años, que permanecieron impertérritos a pesar de obtener diferentes resultados en unos y otros casos).
c) A la operación; esto es, ¿sabe el niño traducir cada paso del algoritmo escrito a una acción concreta., y viceversa?
Lowry da el ejemplo de un niño de 10 años, que han comprendido la multiplicación de
números enteros como una repetición de sumas; por ejemplo, 3 X 6 significa sumar tres seises, 6 + 6 + 6. El niño conoce algunos hechos básicos de la multiplicación y ha multiplicado
múltiplos de diez por números de una cifra, como 3 X 40. Se considera que la etapa siguiente ha de consistir en hallar un método para habérselas con un producto como 3 X 23. El niño puede calcular su valor como 23 + 23 + 23, pero el objetivo ha de ser trascender de la adición para comprender la multiplicación como una operación por derecho propio.
Resultado al que – según Lowry – los alumnos pueden llegar por sí solos, y con seguridad casi completa si se les da una ligera indicación.
3.7.6. Algoritmos informales.
Ginsburg señala que los niños poseen una potente aritmética informal. Lo que comprenden y hacen a nivel intuitivo deja en pañales a lo que logran y comprenden en el nivel escrito simbólico del cálculo.
Por ejemplo:
Se le preguntó a Carolina, de 6 años: ´´Si has comprado 24 flores y 6 de ellas son tulipanes y el resto narcisos, ¿cuántos narcisos tienes?´´
Carolina respondió correctamente: `` dieciocho´´. `` ¿Sabrías escribir lo que has hecho de cabeza?´´
Carolina escribió: 6 entonces: 6
24 -24 Entonces, la niña dijo:"pero, ¿tendrían que ser 18, verdad?"
Ginsburg resalta la potencia de los métodos de recuento de que se valen los niños y afirma que constituyen el fundamento de métodos informales. Afirma también que casi todos los niños de 6 años que efectúan por medio de alguna estrategia de recuento.
La capacidad de los niños para crear sus propias estrategias antes de haber iniciado su instrucción formal fue investigada pos Carpenter y Moser en un estudio. Los principales hallazgos, dice:
La tremenda variabilidad entre niños y entre los procesos de resolución utilizados induce a pensar que antes de recibir instrucción formal, los niños pequeños no transforman los problemas en un único tipo ni aplican una única estrategia. Los
resultados indican que los niños disponen de un rico repertorio de estrategias y que se valen de muchas de ellas para resolver diversos tipos de problemas.
Todavía no está claro qué es lo que provoca el empleo de una estrategia determinada, pero parece verosímil que los niños resuelven directamente cada
tipo de problema, en lugar de reducirlos todos a uno mismo y aplicar sistemáticamente una estrategia única.
Ginsburg afirma que:
consiste en métodos inventados por ellos, métodos basados en parte en la aritmética escrita y codificada y en parte en el enfoque característico del niño. Con frecuencia, a los niños les resultan los métodos
inventados por ellos mucho más cómodos que los algoritmos enseñados en la escuela.
Ginsburg cita el caso de Lori, de 9 años, a quien se pidió que sumara 83, 5 y 294. ´´bien, 294 son casi tres centenas. Entonces, 5 más 299… ¿cuál es el otro número?´´ El entrevistador se lo dijo. Entonces ella dijo sería: ``serán 382´´.
Ginsburg ve esto como una hábil reordenación de los números. Lori sacó parido de ciertas propiedades que hicieron más fácil el cálculo mental.
También M. Brown da cuenta de que Tim, de 13, a quien se consideraba ``por debajo de la media´´, tenía métodos propios inventados para resolver las sumas y restas escritas en columnas.
Para 38
+27
Tim: la 1ª vez que la hice pensé en hacerla de cabeza... me dije, 3 más 2… 30 más 20 son 50, por lo que pasé a sumar 7 y 8. Entonces dije 8, 9,10; al quitar 2 del 7 son 5 y eso hace otro uno, o sea 6. Se da por hecho que hay que llevar, pero yo no siempre lo hago.
Para 51 -28
Tim: quitando 2 del 5 son 30, entonces dije si a 8 quitas1 te quedan 7, entonces dije, quitar 7 de 30 te quedan 23.
3.7.7. La naturaleza de los algoritmos mentales. Consecuencias
didácticas.
Muchos de los procedimientos de cálculo de invención propia descansan en tácticas de cálculo mental. Algunas de las características de los algoritmos mentales que han sido esbozadas por Plunkett son particularmente dignas de consideración, habida cuenta de que las ventajas que comportan para que el niño vaya desarrollando su propia comprensión del cálculo. A propósito de los algoritmos de cálculo mental, Plunkett enumera los siguientes puntos:
1- Son flexibles y adaptables a los números a operar. ¿Tiene el lector métodos diferentes para calcular 83-79,83-51, 83-7?
3- Se trata habitualmente de métodos holísticos, pues trabajan con los números complejos, en lugar de hacerlo con decenas y unidades por separado, por ejemplo: 4 X 35 = 2X70=140
4X28:4X30=120, -8, 112
4- Con frecuencia, son métodos constructivos, que parten de una de una parte de la pregunta y van avanzando hacia la solución; por ejemplo, 3+28:37, 47, 57, 67, 65 5- Exigen comprensión a lo largo de todo su desarrollo. El uso de estos métodos hace la
comprensión más completa y profunda.
6- Son icónicos. O bien se refieren a un icono tal como la representación de un número por una línea o un cuadrado, o se fundan en la enumeración serial.
7- No pocas veces dan una aproximación rápida del valor correcto. Sucede así porque lo primero que se calcula es la cifra de orden más alto del resultado, aunque siempre contemplando el número completo; por ejemplo, 145+37: 175, 182
34X4:120,136
Como es obvio, desde el punto de vista del maestro, los algoritmos mentales no carecen de ciertos inconvenientes. Para que éste pueda asegurarse de la naturaleza de las técnicas de cálculo mental de un niño tiene que pedir individualmente a cada uno que reflexione y manifieste en voz alta sus métodos. Y, como Plunkett señala, a causa de su naturaleza fugaz, con frecuencia resulta difícil capturarlos en palabras.
Al estimular al niño a aplicar procedimientos informales de cálculo se contribuye a desarrollar en él la apreciación del significado y estructura de las operaciones aritméticas. Plunkett propone un método de enseñanza de la aritmética elemental basado en el aserto anterior, compuesto de tres fases:
Fase 1: se ocupa de desarrollar la comprensión de los números y del principio de valor posicional. Empieza dedicándose en las tablas de multiplicación para luego dedicarse a las operaciones que pueden efectuarse mentalmente en un paso.
Por ejemplo: 135+100, 85-20, 5X30, 90:3.
Fase 2: provisto de base sólida con el trabajo de la fase 1, el niño se encuentra ahora en situación de hacer buen uso de calculadoras para atacar problemas más difícil, como: 592-276,931X768.
Fase 3: se centra en el desarrollo de métodos escritos formales. En opinión de Plunkett, existe una necesidad primaria de hacerlo así en cálculos con dinero, en los que puede ser necesario (si no se tiene a mano una calculadora) disponer de algún método escrito no estándar. Tales técnicas pueden ser adaptadas de algoritmos mentales, por ejemplo para hallar el total de 54,75 y 32,80 partimos desde la izquierda:
M. Brown refuerza la opinión de Plunkett:
Ashlock (1976) sugiere otros algoritmos “poco fatigosos” que funcionan sobre el principio de reducir la cantidad de información que el niño ha de retener a la vez en la mente. Entre ellos se cuentan:
Adición. Método de las decenas (sugerido por Fulkerson, 1963)
Sustracción. Método de “bajo esfuerzo” de Hutchings (tomado de Hutchings, 1975)
División. Método de duplicación (también conocido como “método del campesino ruso”)
Barclay (1980) informa que se ha usado con éxito un programa de ordenador, BUGGY, como instrumento de enseñanza. El programa fue preparado por J. S. Brown y Burton (1978), con el fin de simular los errores que cometen los niños en sus procedimientos de cálculo. A los niños les fueron presentados a través de una Terminal de ordenador, diversos ejemplos de cálculos defectuosos que contenían un error sistemático; se pedía a los niños que “detectasen el chinche”. El programa permitía a los niños proponer hipótesis y solicitar nuevos ejemplos. Se les pedía también que inventasen “chinches plausibles”. Aunque en esta actividad resulta particularmente idóneo sistema no pueda adaptarse a la pizarra o a las fichas de trabajo, como se hace en el libro de Ashlock (1976).
