Un lenguaje claro y diáfano para la predicción
del precio de las acciones, mediante el modelo
ARIMA. El caso de Bancolombia
Héctor Javier Castro Torres
Resumen
Este trabajo desarrolla los pasos propios del modelo ARIMA, propuestos por Box
(Ljung, G. M., Ledolter, J. & Abraham, B., 2013) y Jenkins (1982), y los aplica para predecir el comportamiento del precio de las acciones de Bancolombia, como
quiera que sean series tipificadas de alta volatilidad e incertidumbre, lo cual lleva
al aseguramiento para encontrar un buen método de pronóstico para la toma de
decisiones.
La importancia de este trabajo radica en el lenguaje utilizado, puesto que al
estudiar los modelos ARIMA y en general temas de econometría, para la mayoría de estudiantes exigen una alta capacidad de comprensión e interpretaci ón, por esto el
presente estudio mejora la apropiación del conocimiento en aspectos teóricos y
prácticos de modelación y pronóstico de variables financieras de alta volatilidad.
Este trabajo forma parte de las actividades realizadas en el Semillero de
Investigación PRONOSTICAMOS, cuyo tema central es la aplicación de teorías y modelos a casos de pronósticos de variables de alta volatilidad.
Palabras claves: Volatilidad, estacionariedad, raíz unitaria, ruido blanco.
Introducción
Los agentes nos enfrentamos a disyuntivas. Este es un principio de la Economía
ampliamente conocido por quienes realizan un curso básico de la misma. En el
campo de las finanzas es particularmente válido este principio como quiera que el
agente deba elegir alternativas de inversión; cuando se sabe que las series
financieras presentan alta volatilidad, se debe recurrir a un excelente método para
identificar el comportamiento futuro del valor de los activos a través del tiempo.
Lo más grave que puede suceder en este aspecto es la afirmación de Santillán y
Fonseca (2013), al manifestar que ante la incertidumbre, los inversionistas se
comportan de acuerdo con la que podría describirse como conducta de rebaño.
Siendo entonces la decisión de inversión una verdadera disyuntiva en presencia
de incertidumbre.
En materia de predicción deberá realizarse la utilización de una correcta
modelación y sobre todo una visión y percepción del comportamiento de estos
activos, identificar el periodo de tiempo y las variables que han tenido más
impacto para el comportamiento de dichos activos.
Los modelos autorregresivos son unos instrumentos fundamentales para la
modelación de variables de alta volatilidad. Casas y Cepeda (2008) explican que
aglomeración, reversión a la media, asimetría en la volatilidad, influencia de
variables exógenas y exceso de curtosis, son algunas características de la
volatilidad de una serie. En tal sentido, los modelos ARIMA revelan el
comportamiento de una serie de tiempo, a través de su pasado. La expresión
ARIMA se inicia en 1970, cuando el inglés George Box y el galés Gwilym Jenkins desarrollaron el modelo que se denominó, de ahí en adelante, Box -Jenkins, el
cual serviría para pronosticar series financieras.
En este trabajo se utilizan en primer lugar los pasos del modelo ARIMA, para pronosticar el valor del Índice General de Bolsa de Valores. En segundo
lugar, se modela en diferencias logarítmicas el valor de la acción de
Bancolombia, en las que se establece que el valor de la acción depende de dicho
índice.
Con el enfoque de Box Jenkins se examinan unos pasos que van desde la
1. Identificación del tipo de serie a modelar 1.1. Prueba gráfica
Se trata de identificar gráficamente la existencia en la serie de datos de al menos uno de los
componentes de toda serie de tiempo, siendo por un lado la tendencia, la ciclicidad, la
estacionalidad o la irregularidad.
En la Gráfica 1 se observa que el valor de las acciones de Bancolombia y el Índice
General de Bolsa de Valores de Colombia, son graficas típicas de una serie no estacionaria,
siendo una serie cuyo valor de la media cambia a medida que transcurre el tiempo.
En el caso del precio de las acciones de Bancolombia, se observa que para 2009 a
2010 hay una tendencia creciente, luego notamos una tendencia decreciente desde el año 2010
hasta más allá de la mitad del 2011, y del año 2012 hasta el 2015 vemos periodos de
tendencia alcista y bajista en el precio de las acciones de Bancolombia. El Índice General de
Bolsa de Valores de Colombia también tiene componentes de tendencia.
Gráfica 1. Precio de la acción de Bancolombia e Índice General de Bolsa de Valores de Colombia, 2009-2015
Fuente: El autor
4,000 8,000 12,000 16,000 20,000 24,000 28,000 32,000
2009 2010 2011 2012 2013 2014
Se concluye, entonces, que la Gráfica 1 corresponde a series no
estacionarias. Es importante utilizar software especializado para descomponer
estos elementos de la serie de tiempo. Para nuestro caso, se recurre al Eviews, no
obstante para Kikut, Muñoz y Durán (1996), las características que deben tener al
extraer la tendencia de una serie son:
En primer lugar, que el componente de tendencia de la serie de interés que
se obtenga debe ser, aproximadamente, la curva que se dibujaría a mano alzada
sobre el gráfico de la serie original en función del tiempo.
En segundo lugar, que la tendencia de una serie dada debe ser una
transformación lineal de esa serie, y esta transformación propuesta debe ser la
misma que se utilice para todas las series.
En tercer lugar, que el tamaño de la muestra no debe alterar
significativamente el valor de las desviaciones cíclicas en una observación dada,
excepto posiblemente cerca del final del período muestral.
Por último, que el modelo debería estar bien definido, l ibre de juicio y ser
fácilmente reproducible.
1.2. Prueba del correlograma
Con esta prueba también se identifica si las series son o no estacionarias. El
correlograma es una representación del diagrama de dispersión entre los
coeficientes de correlación y su orden de rezago. Por tanto, si aumenta el orden de
rezago, el coeficiente de autocorrelación tiene tendencia hacia el cero. En la
Gráfica 2 se observa el correlograma de autocorrelación simple y parcial,
Gráfica 2. Correlograma, precios de las acciones de Bancolombia
Fuente: El autor
Este correlograma indica que la serie no es estacionaria; una man era rápida
de determinar, es ver si estos decaen lentamente a partir de la primera observación.
La Gráfica 3, que muestra el Índice General de Bolsa de Valores de
Colombia también decae suavemente, indica que se trata de una serie no
Gráfica 3. Correlograma, Índice General de Bolsa de Valores
Fuente: El autor
1.3. Prueba de raíz unitaria
Esta prueba fue desarrollada por Dickey y Fuller en 1979, siendo un contraste que
establece si el parámetro estimado es o no cero, al correr una regresión entre la
primera diferencia de una variable Yt y el primer rezago de Yt (Yt -1).
Si resulta una serie no estacionaria, es importante transformarla
adecuadamente para evitar la sobre diferenciación. El resultado de la prueba se
Tabla 1. Prueba de raíz unitaria. Precio de acciones de Bancolombia Null Hypothesis: Bancolombia has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=23)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.922947 0.1554 Test critical values: 1% level -3.964049
5% level -3.412748
10% level -3.128350
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Fuente: El autor
La anterior prueba indica que el precio de las acciones de Bancolombia tiene raíz
unitaria. Se trabaja con el siguiente criterio de las pruebas de hipótesis:
Ho: La serie de los precios de Bancolombia tiene raíz unitaria.
H1: La serie de los precios de Bancolombia no tiene raíz unitaria.
No se rechaza la Ho, por tanto esta serie tiene raíz unitaria, lo cual significa que la
serie no es estacionaria.
En la Tabla 2, se observan los resultados de la prueba de raíz unitaria para el Índice
General de Bolsa de Valores.
Tabla 2. Prueba de raíz unitaria. Índice General de Bolsa de Valores Null Hypothesis: IGBC has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=23)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.115279 0.5363 Test critical values: 1% level -3.964041
5% level -3.412744
10% level -3.128347
La anterior prueba indica que el Índice General de Bolsa de Valores tiene
raíz unitaria. Se trabaja con el siguiente criterio de las pruebas de hipótesis:
Ho: La serie del Índice General de Bolsa de Valores de Colombia, tiene raíz
unitaria.
H1: La serie del Índice General de Bolsa de Valores de Colombia, no tiene
raíz unitaria.
No se rechaza la Ho, por tanto esta serie tiene raíz unitaria, lo cual significa
que la serie no es estacionaria.
2. Transformación de las series anteriores en estacionarias
El paso siguiente es eliminar tanto la tendencia de la serie como su volatilidad. Es
importante diferenciar las series para convertirlas en series estacionarias. En tal
sentido, se comprueba mediante la primera diferencia y por cada uno de los
métodos anteriores que las series ya se corrigieron y por lo tanto se pueden
modelar.
Como se estableció que el precio de las acciones de Bancolombia depende
del comportamiento del Índice General de Bolsa de Valores, se deberá pronosticar
este índice. En primer lugar, se realiza la transformación en diferencias1.
Si se realiza la prueba gráfica a la serie en primeras diferencias, se obtiene
la Gráfica 4. Esta indica que se trata de una serie estacionaria. Su tendencia se ha
eliminado, como puede observarse utilizando el filtro Hodrick Prescott, en la
Gráfica 5, cuya tendencia es cero.
Este filtro es utilizado para descomponer la tendencia y ciclicidad de toda
serie, puesto que las series económicas presentan fluctuaciones recurrentes
respecto a una tendencia, lo cual significa unas desviaciones respecto de su
camino.
1
Grafica 4. Índice General de Bolsa de Valores, en primeras diferencias
Fuente: El autor
Gráfica 5. Índice General de Bolsa de Valores, en primeras diferencias. Filtro Hodrick-Prescott
Fuente: El autor
Se recurre a una prueba formal para detectar si la serie es estacionaria,
luego de haberla transformado. -800
-600 -400 -200 0 200 400 600
2009 2010 2011 2012 2013 2014
DIGBC
-800 -400 0 400 800
-800 -400 0 400 800
2009 2010 2011 2012 2013 2014
DIGBC Trend Cycle
Ahora, mediante la prueba de raíz unitaria, se puede observar la Tabla 3.
La serie del Índice General de Bolsa es estacionaria en primeras difer encias.
Tabla 3. Prueba de raíz unitaria. Índice General de Bolsa de Valores Null Hypothesis: DIGBC has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=23)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -36.06910 0.0000 Test critical values: 1% level -3.964041
5% level -3.412744
10% level -3.128347
*MacKinnon (1996) one-sided p-values. Fuente: El autor
3. Identificación del modelo
Para identificar el modelo que será utilizado para pronosticar el valor del Índice
General de Bolsa, se procede a realizar el correlograma en primeras diferencias. Para
esta parte del modelo y de aquí en adelante el Índice General de Bolsa de Valores de
Colombia se escribirá como IGBC.
En la Gráfica 6 se muestra que la observación uno, el valor se sale de las bandas
de confianza, por lo cual los modelos posibles para pronosticar son:
D (IGBC) AR(1) MA(1) D (IGBC) MA(25)
D (IGBC) AR(1) D (IGBC) AR(1) MA(25)
Gráfica 6. Bandas de confianza del correlograma
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
|* | |* | 1 0.085 0.085 10.994 0.001 | | | | 2 0.068 0.061 18.092 0.000 | | | | 3 -0.021 -0.032 18.777 0.000 | | | | 4 -0.035 -0.035 20.640 0.000 | | | | 5 -0.042 -0.033 23.337 0.000 | | | | 6 -0.033 -0.023 24.999 0.000 | | | | 7 -0.007 0.001 25.077 0.001 | | | | 8 -0.014 -0.013 25.397 0.001 | | | | 9 0.008 0.007 25.499 0.002 | | | | 10 0.044 0.042 28.491 0.002 | | | | 11 0.003 -0.007 28.509 0.003 | | | | 12 -0.002 -0.010 28.518 0.005 | | | | 13 -0.034 -0.032 30.358 0.004 | | | | 14 -0.015 -0.006 30.694 0.006 | | | | 15 0.034 0.044 32.494 0.006 | | | | 16 0.001 -0.004 32.494 0.009 | | | | 17 0.011 0.003 32.676 0.012 | | | | 18 -0.016 -0.017 33.065 0.016 | | | | 19 0.014 0.015 33.381 0.022 | | | | 20 -0.029 -0.029 34.661 0.022 | | | | 21 0.013 0.017 34.936 0.029 | | | | 22 0.000 0.002 34.936 0.039 | | | | 23 -0.002 -0.001 34.942 0.053 | | | | 24 0.028 0.028 36.184 0.053 |* | | | 25 0.075 0.068 44.869 0.009 | | | | 26 -0.013 -0.030 45.117 0.011 | | | | 27 0.040 0.036 47.633 0.008 | | | | 28 0.014 0.019 47.961 0.011 | | | | 29 -0.012 -0.014 48.187 0.014 | | | | 30 -0.026 -0.019 49.261 0.015 | | | | 31 -0.001 0.008 49.262 0.020 | | | | 32 0.008 0.013 49.353 0.026 | | | | 33 -0.019 -0.018 49.938 0.030 | | | | 34 0.028 0.025 51.189 0.029 | | | | 35 0.013 0.008 51.439 0.036 | | | | 36 0.022 0.016 52.189 0.040
Fuente: El autor
Se comparan los valores criterios Akaike, Schwarz, Hannan y Quinn para
escoger el mejor de ellos.
Estos criterios fueron propuestos por Akaike en 1973, Schwarz en 1978 y
Hannan & Quinn en 1979. Para Ramírez (2000), dichos criterios comparan la gracia de
tener más información en términos de la reducción de la varianza de las innovaciones,
con el costo de obtener dicha gracia en términos de la pérdida de grados de libertad en
De acuerdo a los resultados de las pruebas realizadas, en la Tabla 4, se establece
que el mejor modelo para pronosticar el valor del Índice General de Bolsa es AR(1)
MA(25).
El pronóstico del índice, una vez realizados los pasos anteriores, arroja un
pronóstico de 11.038,58 puntos. Con base en este valor, ahora se procede a pronosticar
el precio de la acción de Bancolombia.
Los rendimientos de una acción se calculan sobre rendimientos continuos, y
además se establece que la rentabilidad de la acción de Bancolombia depende del
rendimiento del mercado. Se formula entonces un modelo:
K (Bancolombia) = f K(IGBC) + µ donde K son rendimientos continuos,
calculados en términos de diferencias logarítmicas.
Al correr el modelo con intercepto, se espera que su parámetro no sea
estadísticamente significativo, por lo cual se acude a la realización de varias pruebas
que dan validez al modelo y que servirán para pronosticar el precio de la acción de
Bancolombia.
Tabla 4. Resumen criterios de información, selección de modelos
MODELO D(IGBC) AR(1) MA(1)
Variable Coefficient t-Statistic Prob.
Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat Ruido Blanco en Errores Ruido Blanco en Errores al cuadrado
AR(1) 0.374358 1. 553889 0.1204
12. 50774 12. 51470 12. 51033 2. 014113 SI NO MA(1) -0.286348 -1. 150241 0.2502
MODELO D(IGBC) AR(1)
Variable Coefficient t-Statistic Prob.
Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat Ruido Blanco en Errores Ruido Blanco en Errores al cuadrado
MODELO D(IGBC) MA(1)
Variable Coefficient t-Statistic Prob.
Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat Ruido Blanco en Errores Ruido Blanco en Errores al cuadrado
MA(1) 0.074852 2. 937170 0.0034 12. 50838 12. 51185 12. 50967 1. 988410 SI NO
MODELO D(IGBC) AR(1) MA(25)
Variable Coefficient t-Statistic Prob.
Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat Ruido Blanco en Errores Ruido Blanco en Errores al cuadrado
AR(1) 0.084362 3. 310596 0.00
12. 50406 12. 51102 12. 50665 2. 009028 SI SI MA(1) 0.07 2. 809071 0.01
MODELO D(IGBC) MA(25)
Variable Coefficient t-Statistic Prob.
Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat Ruido Blanco en Errores Ruido Blanco en Errores al cuadrado
MA(1) 0.07 2. 831339 0.0034 12. 50927 12. 51275 12. 51056 1. 830690 SI NO
Fuente: El autor
Entre dichas pruebas se mencionan las de hipótesis individuales, prueba del
efecto ARCH, prueba de homocedasticidad, prueba de autocorrelación, la prueba de
especificación del modelo.
Prueba de hipótesis individuales:
Esta situación se observa en la Tabla 5, en la que el parámetro no es estadísticamente
significativo. Las hipótesis de la prueba son:
H0: βeta =0
Con una probabilidad del 24.83 %, no se rechaza Ho, por tanto es un parámetro
estadísticamente no significativo.
Tabla 5. Modelo de Bancolombia f (IGBC) con intercepto Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.000341 0.000295 1.155043 0.2483 DLOG(IGBC) 0.813755 0.030474 26.70281 0.0000 R-squared 0.317607 Mean dependent var 0.000508 Adjusted R-squared 0.317161 S.D. dependent var 0.013997 S.E. of regression 0.011566 Akaike info criterion -6.080116 Sum squared resid 0.204955 Schwarz criterion -6.073160 Log likelihood 4665.449 Hannan-Quinn criter. -6.077528 F-statistic 713.0401 Durbin-Watson stat 2.358938 Prob(F-statistic) 0.000000
Fuente: El autor
Se corre, entonces, el modelo sin intercepto, como se observa en la Tabla 6.
Tabla 6. Modelo de Bancolombia f (IGBC) sin intercepto
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. DLOG(IGBC) 0.814498 0.030471 26.73024 0.0000 R-squared 0.317013 Mean dependent var 0.000508 Adjusted R-squared 0.317013 S.D. dependent var 0.013997 S.E. of regression 0.011568 Akaike info criterion -6.080550 Sum squared resid 0.205133 Schwarz criterion -6.077071 Log likelihood 4664.782 Hannan-Quinn criter. -6.079255 Durbin-Watson stat 2.356904
Fuente: El autor
La siguiente prueba está relacionada con la existencia del efecto ARCH; es decir, si la serie de rendimiento de la acción de Bancolombia incluye volatilidad o no. Para
Ho: No hay presencia del efecto ARCH.
H1: Hay presencia del efecto ARCH.
De acuerdo a los resultados obtenidos en la Tabla 7, no se rechaza la hipótesis
nula, por tanto el modelo no incluye el efecto ARCH.
Tabla 7. Prueba del efecto ARCH Heteroskedasticity Test: ARCH
F-statistic 2.266908 Prob. F(1,1531) 0.1324 Obs*R-squared 2.266513 Prob. Chi-Square(1) 0.1322
Fuente: El autor
La siguiente prueba está relacionada ahora con la homocedasticidad de la
varianza. En un modelo, al evaluar la varianza, se espera que sea constante.
Las hipótesis respectivas del modelo son:
Ho: El modelo presenta homocedasticidad.
H1: El modelo no presenta homocedasticidad.
Tabla 8. Prueba de Homocedasticidad Heteroskedasticity Test: White
F-statistic 4.409174 Prob. F(1,1532) 0.0359 Obs*R-squared 4.402261 Prob. Chi-Square(1) 0.0359 Scaled explained SS 16.09071 Prob. Chi-Square(1) 0.0001
Fuente: El autor
De acuerdo a los resultados obtenidos en la Tabla 8, no se rechaza la hipótesis
nula, por tanto el modelo presenta una varianza constante en sus residuos.
La siguiente prueba está relacionada con la existencia de autocorrelación; se
espera en este modelo que el término del error no debe estar relacionado con alguna
observación en la serie de tiempo.
Las hipótesis respectivas del modelo son:
Ho: No hay autocorrelación en el modelo.
Tabla 9. Prueba de autocorrelación
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic 1.914149 Prob. F(1,1531) 0.1667 Obs*R-squared 1.914256 Prob. Chi-Square(1) 0.1665
Fuente: El autor
De acuerdo a los resultados obtenidos en la Tabla 9, no se rechaza la hipótesis
nula, por tanto el modelo no tiene problemas de autocorrelación.
La siguiente prueba está relacionada con la correcta especificación del modelo.
Las hipótesis respectivas son:
Ho: El modelo está correctamente especificado.
H1: El modelo no está correctamente especificado.
Tabla 10. Prueba de especificación del modelo Ramsey RESET Test:
F-statistic 0.978502 Prob. F(1,1532) 0.3227 Log likelihood ratio 0.979466 Prob. Chi-Square(1) 0.3223
Fuente: El autor
De acuerdo a los resultados obtenidos en la Tabla 10, no se rechaza la
hipótesis nula, por tanto el modelo está bien especificado.
Por último, se interpretan los resultados obtenidos del modelo que aparecen
en el Tabla 6. El coeficiente 0.81 indica que cuando el rendimiento del mercado
aumenta en un 1 %, el rendimiento de la acción de Bancolombia aumenta en un
0.81 %.
Al interpretar el coeficiente de determinación, se establece que del ri esgo
total, el 31.7 % corresponde al riesgo del mercado, mientras que el 68.3 % al
activo defensivo; es decir, que la acción de Bancolombia se mueve menos que el
mercado.
4. Pronóstico
El precio de la acción de Bancolombia caerá entre dos límites. Estos límites están
demarcados por el RMSE2. Por tanto, el valor verdadero del precio de la acción de Bancolombia caerá entre 26.710,04 y 27.354,7, con una probabilidad del 99 %.
Un manera de saber el grado de ajuste del pronóstico, es mediante una prueba
gráfica, en la que se observa que tanto el pronóstico y el valor real se mueven en la
misma dirección. Tal situación se observa en la Gráfica 7.
Gráfica 7. Precio pronosticado y precio real de la acción de Bancolombia. Ajuste
Fuente: El autor
Conclusiones
1. En el desarrollo de este trabajo, se aprecia que las series de precios de las
acciones de Bancolombia se pueden modelar a partir de los datos de series
históricas.
2 RMSE: Root Mean Squared Error. Raíz del error medio cuadrático. Es un estimador que mide la
diferencia entre el valor real y el pronosticado, y los eleva al cuadrado.
8,000 12,000 16,000 20,000 24,000 28,000 32,000
2009 2010 2011 2012 2013 2014
2. Utilizando los modelos ARIMA se puede determinar que se obtuvo un buen
resultado de pronóstico para el precio de las acciones de Bancolombia.
3. Es de advertir que el pronóstico obtenido por este método es de corto plazo,
dada la volatilidad del precio de las acciones, lo cual indica que de manera
permanente se debe calcular su valor futuro.
4. La metodología Box-Jenkins permitió una aproximación alta al valor verdadero
del precio de la acción de Bancolombia; sin embargo, no es la única manera de
pronosticar las series financieras. Es necesario conocer los anuncios del emisor
del título para identificar qué tanto impactará en el comportamiento del precio de
la acción.
Referencias
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Kikut V., A. C., Muñoz S, E. & Duran V, R. (1996). Análisis de la curva de rendimientos y su efecto sobre la actividad económica en Costa Rica. Banco Central de Costa Rica. Consultada el 3 de febrero
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Bibliografía recomendada
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