Convergencia

Resumen. En este escrito estudiamos uno de los temas de mayor relevancia para la teor´ıa de la probabilidad. Nos interesa conocer las propiedades de convergen-cia de una sucesi´on de variables aleatorias{Xn}n∈N. Una sucesi´on de variables aleatorias es por supuesto una sucesi´on de funciones, y naturalmente podemos hablar de convergencia puntual en el sentido ordinario. Ahora bien, los concep-tos de medida de probabilidad, esperanza y funci´on de distribuci´on, dan lugar a nuevas formas de convergencia diferentes a la ordinaria. La importancia de estos conceptos de convergencia radica en que no dependen, necesariamente, de propiedades puntuales de las variables aleatorias, sino de sus caracter´ısticas es-toc´asticas. Aqu´ı estudiaremos las relaciones que guardan los distintos modos de convergencia y sus diferencias.

Modos de convergencia

En todo momento consideraremos un espacio de probabilidad (Ω,F,P), una

sucesi´on{Xn}n∈Nde variables aleatorias definidas en este espacio yXuna variable

aleatoria definida tambi´en en este espacio.

1. Convergencia puntual

Como sabemos, toda variable aleatoria es una funci´on con una propiedad partic-ular (que la imagen inversa de todo boreliano enRes un elemento de laσ-´algebra

F), entonces los primeros dos tipos de convergencia que analizaremos son dos formas ordinarias de convergencia de funciones, es decir, l´ımites puntuales, cuyo sentido nos remite poco a alg´un concepto probabil´ıstico.

Definici´on 1.1(Convergencia). Decimos que la sucesi´on {Xn}n∈N convergea X,

si para cada > 0y cadaω ∈ Ω existe N = N(, ω) ∈ _N(n´umero natural cuya elecci´on depende quiz´as tanto de como deω) tal que

|Xn(ω)−X(ω)|< ,

para toda n≥N. O equivalentemente,

lim

n→∞Xn(ω)=X(ω).

Usamos la notaci´on

Xn →X.

En algunas ocasiones, para referirnos a este tipo de convergencia agregaremos el adjetivo “ordinaria”. As´ı, nos referiremos a ella comoconvergencia ordinaria. En esta primera definici´on, el significado de la palabra “convergencia” se hace sentir de forma muy directa y precisa como l´ımite puntual.

Ejemplo 1.1. SeaΩ = (0,1),F = B((0,1))y sea_Pla medida uniforme sobre el intervalo(0,1). Definimos Xn :Ω→Rcomo Xn(ω)=ωn, para todaω∈Ωy toda

n∈_N. Tenemos,

lim

n→∞Xn(ω)=n→∞lim ω n _=0,

para todaω∈Ω. Luego, Xn →X ≡0.

El lector recordar´a de sus cursos elementales de c´alculo esta definici´on, y segu-ramente sabr´a que existe un modo de aproximaci´on puntual mucho m´as general.

Definici´on 1.2 (Convergencia Uniforme). Decimos que la sucesi´on{Xn}n∈_N con-verge uniformemente a X, si para cada > 0 existe N = N() ∈ _N(n´umero natural cuya elecci´on depende exclusivamente de) tal que

|Xn(ω)−X(ω)|< ,

para todaω∈Ωy toda n≥N. La notaci´on usada es

Xn u − →X.

Ejemplo 1.2. Sea(Ω,F,P) como en el ejemplo anterior. Definimos ahora Xn ≡

1/n, para toda n∈_N. Entonces Xn u −

→ X≡ 0. En efecto, para >0existe N ∈_N

(el cual depende solo de) tal que1/N< . Por consiguiente

|Xn(ω)−X(ω)|=

1 n < , para todaω∈Ωy toda n≥N.

Teorema 1.1. Si la sucesi´on{Xn}n∈_Nconverge uniformemente a X, entonces tambi´en converge a X en el sentido ordinario.

La demostraci´on de este hecho es inmediata y el lector puede comprobarla sin ninguna dificultad. El siguiente ejemplo demuestra que la implicaci´on contraria no es v´alida en general.

Ejemplo 1.3. SeaΩ =[0,1], F = B([0,1])y consideremos la medida uniforme_P sobre el intervalo[0,1]. Definimos las variables Xn≡nI[1−1/n,1−1/(n+1)],para toda

n ∈_N. Siω ∈ [0,1), entonces existe N ∈ _Ntal queω <1− 1

n, para toda n ≥ N. Luego

(1) lim

n→∞Xn(ω)=0.

Por otra parte, Xn(1)=0para toda n∈N. De modo que la ecuaci´on(??)es v´alida

tambi´en paraω = 1. Sin embargo, esta convergencia no es uniforme. Si fijamos =1, entonces para cada n´umero N>1(N∈_N) existeω0en[0,1]tal que

1− 1

N < ω0 <1− 1 N+1, de donde

En este escrito actualizaremos un cuadro que ilustrar´a de manera esquem´atica las relaciones v´alidas en general, que guardan los distintos tipos de convergencia. El primer cuadro queda como sigue

C.u.=⇒C.o.

2. Convergencia casi segura

En probabilidad el t´ermino “casi seguro” refiere un evento cuya ocurrencia es de probabilidad uno, o equivalentemente, cuya no ocurrencia es de probabilidad cero. Esta situaci´on no es equivalente a suponer que tal evento es el ´unico evento posible. Imaginemos, por ejemplo, que del intervalo cerrado [0,1] elegimos un punto al azar. Evidentemente, la probabilidad de que dicho punto est´e en el intervalo abierto (0,1) es uno, y sin embargo no podemos descartar la posibilidad de que el punto elegido sea 1 ´o 0. De modo que el evento “el punto elegido est´a en (0,1)” es un evento casi seguro, aunque no es el ´unico posible, y mucho menos es el evento total

Ω.

En t´erminos de aproximaci´on, ˆA¿c´omo ajustamos este concepto? Intuitiva-mente, el t´erminoconvergencia casi segura significa que la sucesi´on de variables aleatorias{Xn}n∈_Nconverge puntualmente a otra variable aleatoriaXen “casi todo”

Ω, excepto quiz´as sobre un subconjunto deΩmuy “peque˜no” (en sentido estricto, con probabilidad cero). Veamos un ejemplo para aclarar estas ideas.

Ejemplo 2.1. Sea (Ω,F,P) como en el Ejemplo ??. Si definimos las variables

X₁ ≡1y

Xn(ω)=                         

0 siω∈h0,1₂ −1_n,

n2ω+n1− n₂ siω∈h1₂ −1_n,1₂,

−n2ω+n1+ n₂ siω∈h1₂,1₂+ 1_n,

0 siω∈h1₂ +1_n,1,

n siω=1,

para toda n≥2, entonces

lim

n→∞Xn(ω)=       

0 siω,1/2yω,1,

∞ siω=1/2 ´oω=1.

Es decir, {Xn}n∈_N converge a X ≡ 0excepto en el conjunto{1/2,1}, el cual tiene probabilidad0. De modo que{Xn}n∈Nconverge casi seguramente a X≡0.

Definici´on 2.1(Convergencia casi segura). Decimos que la sucesi´on{Xn}n∈N

con-verge casi seguramente (o con probabilidad 1) a X, si existe A ∈ F tal que

P[A]=0(es decir, A es nulo) y

lim

n→∞Xn(ω)=X(ω),

para todaω∈Ac. Y en tal caso usamos la notaci´on

Xn c.s. −−→X.

Existe una definici´on alternativa para este modo de convergencia, ´util en la soluci´on de algunos problemas pr´acticos y te´oricos.

Proposici´on 2.1. La sucesi´on{Xn}n∈Nconverge casi seguramente a X si y s´olo si

P

ω∈Ω: lim

n→∞Xn(ω)=X(ω)

Primero debemos mostrar que el enunciado de la proposici´on es coherente.

Lema 2.1. Sea{Xn}n∈Nuna sucesi´on de funciones reales definidas sobre un

con-juntoΩy sea X una funic´on real definida sobre el mismo conjuntoΩ. Entonces

(2)

ω∈Ω: lim

n→∞Xn(ω)=X(ω)

=

∞ \

k=1

∞ [

n=1

∞ \

m=n

{ω∈Ω:|Xm(ω)−X(ω)|<1/k}.

En particular, si(Ω,F,P)es un espacio de probabilidad, y Xn y X son variables

aleatorias, entonces

ω∈Ω: lim

n→∞Xn(ω)= X(ω)

∈F.

Demostraci´on. Es evidente, dado queXn(ω)→X(ω) si y s´olo si, para todak≥ 1,

existe un npumero naturaln, tal que|Xm(ω)−X(ω)|<1/ksim≥n.

Demostraci´on de la Proposici´on. Supongamos convergencia casi segura, y sea en-toncesA∈Fel evento nulo tal que la sucesi´on converge aXenAc. Entonces

Ac ⊆

ω∈Ω: lim

n→∞Xn(ω)=X(ω)

.

De donde,

(3) P

ω∈Ω: lim

n→∞Xn(ω)=X(ω)

=1.

Inversamente, si suponemos cierta la igualdad anterior, podemos definirA=nω∈Ω: lim

n→∞Xn(ω)=X(ω)

oc

. EntoncesP[A]=0 y la sucesi´on converge aXenAc, por hip´otesis.

Ejemplo 2.2. Sea(Ω,F,P)como en elEjemplo??. Definimos Xn(ω) = ωn, para

todaω∈Ωy n∈_N. Entonces

lim

n→∞Xn(ω)=       

0 siω∈[0,1) 1 siω=1.

Luego,

P

ω∈Ω: lim

n→∞Xn(ω)= X(ω)

=P[0,1)=1.

Por lo tanto Xn c.s.

−−→X ≡0.

Teorema 2.1. Si{Xn}n∈Nconverge a X entonces converge casi seguramente a X.

Demostraci´on. SeaA=∅, entoncesP[A]=0, y por hip´otesis

lim

n→∞Xn(ω)=X(ω),

para todaω∈Ω =Ac. Luego, la sucesi´on converge casi seguramente aX.

Sin embargo, la implicaci´on contraria es falsa.

Ejemplo 2.3. Sea(Ω,F,P) como en elEjemplo ??. Si definimos Xn ≡ nI[0,1/n], para toda n∈_N, entonces

lim

n→∞(ω)=

      

0 siω∈(0,1], y

En efecto, seaω∈(0,1]y N∈_Ntal que0< 1

n < ωpara toda n> N, entonces Xn(ω)=0.

Por consiguiente

lim

n→∞Xn(ω)=0,

para cadaω∈(0,1]. Por otra parte

Xn(0)=n,

para toda n∈_N. En consecuencia

lim

n→∞Xn(0)=∞.

De este modo,{Xn}n∈Nconverge casi seguramente a X ≡0, pero no converge a X

en todoΩ, pues existeω=0en donde el l´ımite de Xn(ω)es infinito.

Como corolario, la convergencia uniforme implica la convergencia casi segura en todos los casos, pero tal situaci´on es inv´alida en el sentido inverso. La actual-izaci´on de nuestro esquema queda de la siguiente manera

C.u. =⇒ C.o. ⇓

C.c.s.

Si una sucesi´on {Xn}n∈_N converge puntualmente (ya sea uniformemente o en forma ordinaria) tanto a X como a Y (ambas variables aleatorias por supuesto) entonces X ≡ Y, esto es, X(ω) = Y(ω) para todaω ∈ Ω. Sin embargo, en caso de que la convergencia sea casi segura, entonces no es posible afirmar queX(ω) = Y(ω) para toda ω ∈ Ω. Por ejemplo, si en elEjemplo??consideramosY = I{1}

entonces tendremos que Xn c.s.

−−→ Y (lo cual es sencillo probar), y sabemos que

Xn c.s.

−−→ X ≡ 0, no obstante 1 = Y(1) , X(1) = 0. De hecho, en este ejemplo

notamos que el evento (X , Y) solo consiste del elementoω = 1, por elloP[X ,

Y] = 0, o lo que es equivalente,P[X = Y] = 1. El resultado siguiente afirma que

esta situaci´on es cierta en todo caso.

Proposici´on 2.2. Si la sucesi´on de variables aleatorias{Xn}n∈_Nconverge casi se-guramente a dos variables X y Y, entonces_P[X =Y]=1.

Demostraci´on. Definimos los eventos

CX =

ω∈Ω: lim

n→∞Xn(ω)=X(ω)

y CY =

ω∈Ω: lim

n→∞Xn(ω)=Y(ω)

.

Siω∈CX∩CYentonces

X(ω)= lim

n→∞Xn(ω)=Y(ω),

3. Convergencia en probabilidad

Podemos considerar una variable aleatoria Y como buena aproximaci´on para otra variable aleatoriaXsi para un n´umero >0 cualquiera, la probabilidad

P[|Y−X|> ]

es “muy peque˜na”. Esta idea podemos aplicarla para definir un nuevo modo de convergencia.

Definici´on 3.1(Convergencia en probabilidad). Decimos que la sucesi´on{Xn}n∈_N

converge en probabilidada X, si para cada >0, lim

n→∞P[|Xn−X|> ]=0.

Usamos la notaci´on

Xn

P

−→X.

Ejemplo 3.1. Sea X ≡ 0 y consideremos las variables aleatorias absolutamente continuas Xncuya funci´on de densidad est´a dada por

fn(x)=             

n2x+n si x∈[−1/n,0),

−n2x+n si x∈[0,1/n),

0 en otro caso.

Para > 0existe un n´umero natural N tal que0< 1/n < , para toda n ≥ N. Por lo tanto[−1/n,1/n]⊂[−, ]. Entonces, para toda n≥N,

1=P[−1/n≤Xn≤1/n]≤P[− ≤Xn≤]=P[|Xn| ≤]≤1,

de dondeP[|Xn|> ]=0. En consecuencia,

lim

n→∞P[|Xn−X|> ]=n→∞lim P[|Xn|> ]=0.

La convergencia en probabilidad es menos fuerte que los anteriores modos de convergencia.

Teorema 3.1. Si la sucesi´on {Xn}n∈_N converge casi seguramente a X entonces tambi´en converge en probabilidad a X.

Demostraci´on. Por hip´otesis existe A ∈ F nulo tal que lim

n→∞Xn(ω)= X(ω) para

todaω∈Ac. Sea >0 y definimos enFla sucesi´on creciente de subconjuntos

Dn={ω∈Ω:|Xm(ω)−X(ω)| ≤, m≥n},

para todan∈_N. SiD=

∞ [

n=1

DnentoncesAc ⊆D, y por lo tanto

P[Ac]=P[D]= lim

n→∞P[Dn]=1.

Por otra parte, sin ∈_Ny siωes tal que|Xn(ω)−X(ω)|> , entoncesω ∈Dcn,

luego

de donde

lim

n→∞P[|Xn−X|> ]=0.

La implicaci´on contraria es falsa en general.

Ejemplo 3.2. Supongamos que {Xn}n∈N es una sucesi´on de variables aleatorias

independientes definidas sobre un mismo espacio de probabilidad(Ω,F,P) tales

que

P[Xn= x]=           

1

n si x=1, 1− 1

n si x=0.

Tenemos entonces que dicha sucesi´on converge en probabilidad a X ≡ 0, pero no converge casi seguramente a X. En efecto, para cada ∈(0,1)tenemos que

P[|Xn−X|> ]=P[Xn =1]=

1 n. Y cuando ≥1, entonces

P[|Xn−X|> ]=P[Xn > ]=0.

En cualquier caso

lim

n→∞P[|Xn−X|> ]=0.

Ahora definimos

C=nω∈Ω: lim

n→∞Xn(ω)=0=X(ω)

o

,

y para >0fija y arbitraria tambi´en definimos los subconjuntos

B(n, )={ω∈Ω:|Xm(ω)−X(ω)|= Xm(ω)< , m≥n}, para toda n∈N.

Sea B()la uni´on (sobre n) de estos subconjuntos. Siω∈C entonces existe n₀∈_N

(que depende tanto decomo deω) tal que Xm(ω)< , para toda m≥n0.Esto es, ω∈B(n0, ). Por lo tanto C⊆ B(). Ahora bien,

P[B(n, )]= ∞ Y

m=n

P[Xm< ]

= ∞ Y

m=n

P[Xm=0]

= ∞ Y

m=n

1− 1

m

!

= lim

n≤k→∞ k Y

m=n

m−1 m

!

,

pero

k Y

m=n

m−1 m

!

= n−1

n ·

n+1−1 n+1 · · ·

k−1

k =

de donde

P[B(n, )]=0,

para cada n∈_N. Luego

P[C]=P[B()]=0,

y entonces la sucesi´on no converge casi seguramente a X≡0.

Como corolario podemos decir que los dos modos de aproximaci´on puntual (or-dinaria y uniforme) implican necesariamente convergencia en probabilidad, mien-tras que la implicaci´on contraria es falsa en general. As´ı, podemos actualizar el esquema de modos de convergencia como sigue

C.u. ⇒ C.o. ⇓

C.c.s.

w

C.P.

La importancia real de la convergencia en probabilidad radica en el siguiente resultado.

Teorema 3.2. Si{Xn}n∈Nconverge en probabilidad a X, entonces existe una

sub-sucesi´on{Xnk}k∈Nque converge casi seguramente a X.

Demostraci´on. Si Xn converge en porbabilidad a X, entonces para cada k ≥ 1,

existenk ≥1 tal que

P

|Xnk−X|> 1 k

< 1 k2. De donde

∞ X

k=1

P

|Xnk −X|> 1 k < ∞ X

k=1 1 k2 <∞.

Entonces, seg´un el lema de Borel-Cantelli,

P         ∞ \

k=1

∞ [

m=k

|Xnm −X|> 1 m        = 0, o equivalentemente, P         ∞ [

k=1

∞ \

m=k

|Xnm −X| ≤ 1 m        = 1.

Siω∈S∞ k=1

T∞ m=k

|Xnm −X| ≤ 1

m

, entonces para alg´unk≥1,

|Xnm(ω)−X(ω)| ≤ 1

m, para todom≥k, de donde, lim

k→∞Xnk(ω)= X(ω). En consecuencia,

P

lim

k→∞Xnk = X

=1.

Ahora un resultado an´alogo a laProposici´on??.

Proposici´on 3.1. Si la sucesi´on{Xn}n∈Nconverge en probabilidad a dos variables

aleatorias X y Y, entoncesP[X=Y]=1.

Demostraci´on. Para toda >0,

0≤_P[|X−Y|> ]≤_P

|Xn−X|>

2

+P

|Xn−Y|>

2

,

entonces

0≤_P[|X−Y|> ]≤ lim

n→∞P

|Xn−X|>

2

+ lim

n→∞P

|Xn−Y|>

2

=0,

4. Converegencia enr-media

Hemos estudiado ya un modo de aproximaci´on que involucra el concepto de medida de probabilidad, toca el turno para estudiar un modo de aproximaci´on que involucra el otro concepto fundamental en probabilidad, esperanza. La idea es pr´acticamente an´aloga y puede escribirse como sigue. Supongamos que X y Y son dos variables aleatorias (definidas sobre un mismo espacio de probabilidad); si E(|X−Y|) existe y es muy peque˜no, o incluso cero, entonces de cierta forma

las variables aleatoriasXyY son “muy parecidas” (de hecho, puede probarse que

P(X = Y) = 1 siE(|X−Y|) = 0). Esta idea intuitiva da origen a un modo m´as de

convergencia.

Definici´on 4.1 (Convergencia en r-media). Sea r > 0 y supongamos que las variables aleatorias{Xn}n∈_N y X tienen r-´esimo momento finito. Decimos que la sucesi´on{Xn}n∈Nconverge enr-media(oenLr) a X, si

lim

n→∞E[|Xn−X| r

]=0.

Usamos la notaci´on

Xn r −

→X o tambi´en Xn Lr

−−→X.

Ejemplo 4.1. Para cada n ∈ _N sea Xn una variable aleatoria con distribuci´on

uniforme sobre el intervalo(−1/n,1/n), y sea X ≡0. Entonces, si r>0,

E[|Xn−X|r]=E[|Xn|r]

=Z 1/n −1/n

|x|rn

2dx

=n

Z 1/n

0

xrdx

= n

r+1x

r+1

1/n

0

= 1

(r+1)nr.

Luego,

lim

n→∞E[|Xn−X| r_]=0.

Esto es Xn r −

→X≡0.

Ahora analizaremos las relaciones que guarda este modo de convergencia con el resto.

delEjemplo??y X≡0. Tenemos que para toda n∈_N,

E[|Xn−X|r]=E[Xnr]

=1r·_P[Xn=1]+0r·P[Xn =0]

= 1

n, de donde,

lim

n→∞E[|Xn−X| r_]=0.

Sin embargo, sabemos (Ejemplo??) que no hay convergencia casi segura.

Podemos deducir que la convergencia en r-media no implica ninguno de los modos de convergencia puntual (la ordinaria y la uniforme).

Ejemplo 4.3. Este ejemplo demuestra ahora que la convergencia puntual no im-plica la convergencia en r-media. Consideremos la sucesi´on{Xn}n∈_Nsobre el espa-cio de probabilidad delEjemplo??. Sabemos, por dicho ejemplo, que tal sucesi´on converge a X ≡ 0. Ahora, si r > 0, entoncesE[|Xn−X|r] = nr−1. Por lo tanto, si

escogemos r>1,

lim

n→∞E[|Xn−X| r

]=∞.

Sin embargo, el modo de convergencia en r-media no se resiste al modo de convergencia uniforme.

Teorema 4.1. Si la sucesi´on de variables aleatorias{Xn}n∈N converge

uniforme-mente a X, y cada Xn tiene r-´esimo momento finito (r > 0), entonces tambi´en

converge en r-media a X.

Demostraci´on. Sea > 0. Por hip´otesis existeN = N() (depende solo de) tal que

|Xn(ω)−X(ω)|< ,

para todaω∈Ωy todan> N. Entonces, dado que la esperanza es mon´otona,

E[|Xn−X|r]<E[r]=r

para todan> N. Por consiguiente,

lim

n→∞E[|Xn−X| r

]=0.

La convergencia en probabilidad es m´as d´ebil que el modo enr-media.

Teorema 4.2. Si la sucesi´on de variables aleatorias{Xn}n∈Nconverge en r-media

(r>0) a X entonces converge en probabilidad a X.

Demostraci´on. Sea > 0. Definimos los subconjuntos An = {ω ∈ Ω : |Xn(ω)−

X(ω)| > } y consideramos las funciones indicadoras IAn, para todan ∈ N. En-tonces para todaω∈Ωy todan∈_N,

|Xn(ω)−X(ω)|r≥ |Xn(ω)−X(ω)|r·IAn(ω)≥

r

luego,

E[|Xn−X|r]≥rE[IAn],

pero

E[IAn]=P[An],

de donde

1

r ·E[|Xn−X|]≥P[An].

Ahora, por hip´otesis, lim

n→∞P[|Xn−X| r

]=0, entonces

lim

n→∞P[|Xn−X|> ]=0.

Finalmente, con el siguiente ejemplo mostramos que la implicaci´on contraria del ´ultimo teorema es falsa en general.

Ejemplo 4.4. Sea r > 0. Definimos la sucesi´on {Xn}n∈N de variables aleatorias

tales que

P[Xn= x]=               

1

n2 si x=n 3/r_,

1− 1

n2 si x=0,

y consideremos la variable aleatoria X ≡0. Para cada >0, existe N ∈_Ntal que n3/r > , para toda n≥N. Entonces

P[|Xn−X|> ]=P[Xn> ] =P[Xn=n3/r]

= 1

n2,

para n≥ N. Luego

lim

n→∞P[|Xn−X|> ]=0.

Sin embargo,

E[|Xn−X|r]=E[Xrn]

=(n3/r)r·_P[Xn=n3/r]+0·P[Xn=0]

= n3

n2

=n,

para toda n∈_N. De donde

lim

n→∞E[|Xn−X| r

Con todo lo anterior, podemos armar el cuadro de modos de convergencia sigu-iente.

C.u. =⇒ C.o.

⇓ ⇓

C.Lr C.c.s.

u w

C.P.

El l´ımite en r-media tambi´en es estoc´asticamente ´unico, como los modos de convergencia casi segura y en probabilidad.

Proposici´on 4.1. Si la sucesi´on{Xn}n∈Nconverge en r-media a dos variables

aleato-rias X y Y,

entonces_P[X =Y]=1.

Demostraci´on. La convergencia enr-media, implica la convergencia en probabili-dad, por laProposici´on??, se sigue el resultado.

Existe un criterio para determinar cuando una sucesi´on de variables aleatorias converge enr-media a otra variableX.

Teorema 4.3. Si{Xn}n∈Nconeverge en r-media a X, entonces

lim

n→∞E[|Xn| r

]=E[|X|r].

Demostraci´on. Supongamos primero quer ∈(0,1]. Tenemos que

E[|Xn|

r

]−_E[|X|r] =

E[|Xn|

r

− |X|r]

≤_Eh |Xn|

r_{− |}

X|r i

≤_Eh

|Xn| − |X| ri

≤_E

|Xn−X|r|,

de donde se sigue el resultado. Cuandor >1, el resultado se sigue de la

desigual-dad de Minkowsky.

Sin embargo, lejos de lo que podr´ıa intuirse, la implicaci´on contraria es falsa.

Ejemplo 4.5. Consideremos (Ω,F,P) y {Xn}n∈N como en el Ejemplo ??. Sea

adem´as X ≡1. Entonces

lim

n→∞E[|Xn|]=n→∞lim n·

1

Sin embargo,

E[|Xn−X|]=E[|Xn−1|] =1·_P|

Xn−1|=1+(n−1)·P|Xn−1|=n−1 =1·_P[Xn=0]+(n−1)·P[Xn=n]

=1− 1

n + n−1

n

=2 1−1

n

!

,

de donde,

lim

n→∞E[|Xn−X|]=2.

5. Convergencia en distribucion´

Ahora estudiamos el ´ultimo y m´as simple tipo de convergencia, el cual remite al tambi´en importante concepto defunci´on de distribuci´on.

Definici´on 5.1(Convergencia en distribuci´on o d´ebil). Sean{Xn}n∈Ny X variables

aleatorias, y{Fn}n∈_Ny F las respectivas funciones de distribuci´on. Decimos que la sucesi´on{Xn}n∈Nconverge en distribuci´on(od´ebilmenteoen ley) a X si

lim

n→∞Fn(x)=F(x),

para todo punto x de continuidad de F. En tal caso usamos la notaci´on

Xn D

−→X o tambi´en Fn D −→F.

Ejemplo 5.1. Este ejemplo muestra que la convergencia en distribuci´on se veri-fica s´olo en los puntos de continuidad de la distribuci´on F. Sea Xn una variable

aleatoria con distribuci´on uniforme sobre el intervalo(0,1/n), para cada n∈_N, y consideremos la variable aleatoria constante X ≡0. Entonces

Fn(x)=             

0 si x<0, nx si0≤ x<1/n, 1 si x≥1/n.

Y por otra parte,

F(x)=

      

0 si x<0, 1 si x≥0.

Si x<0, entonces Fn(x)=0, para toda n∈N, y en consecuencia

lim

n→∞Fn(x)=0=F(x).

Si x > 0, entonces para alguna N ∈ _N,0 < 1/n < x, para toda n ≥ N. Conse-cuentemente Fn(x)=1para toda n≥N. De donde,

lim

n→∞Fn(x)=1=F(x).

Entonces Xn D

−→X≡0. Sin embargo, Fn(0)=0para toda n∈Ny por lo tanto

lim

n→∞Fn(0)=0,1=F(0).

El ejemplo m´as importante de este tipo de convergencia es elteorema de l´ımite central. Ahora probaremos que este modo de convergencia es el m´as d´ebil.

Teorema 5.1. Si la sucesi´on {Xn}n∈N converge en probabilidad a X, entonces

tambi´en converge en distribuci´on a X.

Demostraci´on. Sea >0. Sixes un punto de continuidad deF, entonces existen x₀yx₁,x₀ <x₁, tales quex∈(x₀,x₁) y adem´as

Por otra parte, tenemos que

Fn(x)=P[Xn≤ x]

=P[Xn≤ x,X≤ x1]+P[Xn≤ x,X >x1]

≤_P[X≤ x1]+P[|Xn−X| ≥ x1−x],

por lo tanto

lim sup

n→∞

Fn(x)≤F(x1),

pues por hip´otesis lim

n→∞P[|Xn−X| ≥ x1−x]=0.

Der forma an´aloga,

F(x0)≤lim inf

n→∞ Fn(x).

De este modo,

F(x)− <F(x0)≤lim inf

n→∞ Fn(x)≤lim sup_n→∞ Fn(x)≤F(x1)< +F(x),

luego, si ↓0, entonces

lim

n→∞Fn(x)=F(x).

Si embargo la implicaci´on contraria es falsa.

Ejemplo 5.2. SeaΩ = {ω₁, ω₂, ω₃, ω₄} un conjunto de cuatro elementos, y con-sideremos F = P(Ω) y la medida P : F → [0,1] uniforme sobre Ω (esto es P[{ωi}]= 1/4, i= 1,2,3,4). Definimos las variables X ≡ IA, con A ={ω3, ω4}, y Xn ≡IAc, para toda n∈_N. Entonces

F(x)=

                

0 si x<0, 1

2 si x∈[0,1), 1 si x≥1,

y tambi´en

Fn(x)=                 

0 si x<0, 1

2 si x∈[0,1), 1 si x≥1,

para toda n∈_N. De manera que Xn D

−→X. Por otro lado, sea∈(0,1). Tenemos,

lim

n→∞P[|Xn−X|> ]=1,

pues|Xn(ω)−X(ω)|=1, para todaω∈Ω, y para toda n∈N.

De lo anterior deducimos que cualquier modo de convergencia implica la con-vergencia en distribuci´on, pero la concon-vergencia en distribuci´on no implica ning´un otro modo de aproximaci´on. De ah´ı se justifica el nombre de convergenciad´ebil que recibe este tipo de aproximaci´on.

C.u. =⇒ C.o.

⇓ ⇓

C.Lr C.c.s.

u w

C._P.

⇓

C.D.

Un aspecto interesante que resalta en forma precisa el sentido de debilidad de este modo de convergencia, es que no es posible garantizar unicidad estoc´astica.

Ejemplo 5.3. Sea(Ω,F,P)como en elEjemplo??. Definimos las variables

aleato-rias X≡1[0,1/2)y Y ≡1[1/2,1]. Tenemos queP[X =Y]=P[∅]=0. Por otra parte,

FX(ξ)=FY(ξ)=             

0 siξ <0, 1/2 si0≤ξ <1,

1 siξ≥1.

Ahora, definimos los conjuntos An := [1/4− 1/n,3/4 +1/n] y las variables

Zn≡1An. Entonces,

Fn(ξ)=             

0 siξ <0, 1/2−2/n si0≤ξ <1,

1 siξ≥1.

Por lo tanto Zn D

−→X y Zn D −→Y.

Sin embargo, podemos hablar de otro tipo de unicidad para un l´ımite d´ebil (lla-mado comunmenteunicidad en ley) .

Teorema 5.2. Si la suceci´on de variables alatorias{Xn}n∈_Nconverge en distribuci´on a dos variables aletorias X y Y, entonces FX = FY, donde FX y FY son las