Inecuación cuadrática con una
incógnita
Habilidades a desarrollar:
Al terminar el presente tema, usted estará en la
capacidad de:
1) Resolver inecuaciones cuadráticas con una
incógnita.
2) Modelar inecuaciones cuadráticas con una
incógnita en situaciones de contexto real.
Problema motivador
Un peluquero tiene un promedio de 120 clientes semanales a
un costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada
incremento de 75¢ en el precio, el peluquero perderá 10
clientes. Calcule el precio máximo que puede cobrarse de
modo que los ingresos semanales no sean menores que los
actuales.
Se llama
inecuación cuadrática
con una incógnita a
una expresión de cualquiera de los siguientes tipos:
donde , y son números reales, pero con .
¿Cómo resolver inecuaciones cuadráticas con una incógnita?
Teorema 1.
Si la expresión cuadrática
tiene , entonces la ecuación cuadrática
posee dos raíces reales diferentes: y , con .
Inecuación cuadrática con una incógnita
𝑟
1𝑟
2+¿
−
+
¿
− ∞
+
∞
Si
𝑟
1𝑟
2−
+
¿
−
− ∞
+
∞
Ejemplo 1 del Teorema 1. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces las raíces de la cuadrática son
Paso 3. Ubicamos las raíces de la cuadrática en la recta real.
Paso 4. Usando el Teorema 1 y seleccionando la solución.
Ahora bien, como se concluye que
-5 5
− ∞
+
∞
−
+ + -5 5− ∞
+∞
La expresión cuadrática es ,
con ello:
Ejemplo 2 del Teorema 1. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces las raíces de la cuadrática son
Paso 3. Ubicamos las raíces de la cuadrática en la recta real.
Paso 4. Usando el Teorema 1 y seleccionando la solución.
Ahora bien, como se concluye que
0 2/3
− ∞
+
∞
−
+ + 0 2/3− ∞
+∞
La expresión cuadrática es ,
con ello:
Ejemplo 3 del Teorema 1. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces las raíces de la cuadrática son
Paso 3. Ubicamos las raíces de la cuadrática en la recta real.
Paso 4. Usando el Teorema 1 y seleccionando la solución.
Ahora bien, como se concluye que
-1/2 1
− ∞
+
∞
−
+ + -1/2 1− ∞
+∞
La expresión cuadrática es ,
con ello:
Teorema 2.
Si la expresión cuadrática
tiene , entonces la ecuación cuadrática
tiene multiplicidad de raíces, es decir .
Inecuación cuadrática con una incógnita
𝑟
1+¿
+¿
− ∞
+
∞
Si
𝑟
1−
−
− ∞
+
∞
Ejemplo 1 del Teorema 2. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces las raíces de la cuadrática son
Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real.
Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución.
Ahora bien, como se concluye que
2
− ∞
+
∞
+ + 2− ∞
+∞
La expresión cuadrática es ,
con ello:
Ejemplo 2 del Teorema 2. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces las raíces de la cuadrática son
Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real.
Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución.
Ahora bien, como se concluye que
-3/2
− ∞
+
∞
+ + -3/2− ∞
+∞
La expresión cuadrática es ,
con ello:
Ejemplo 3 del Teorema 2. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces las raíces de la cuadrática son
Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real.
Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución.
Ahora bien, como se concluye que
1/3
− ∞
+
∞
+ + 1/3− ∞
+∞
La expresión cuadrática es ,
con ello:
Ejemplo 4 del Teorema 2. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces las raíces de la cuadrática son
Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real.
Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución.
Ahora bien, como se concluye que
−
1
− ∞
+
∞
+ +−
1
− ∞
+∞
La expresión cuadrática es ,
con ello:
Teorema 3.
Si la expresión cuadrática tiene , entonces la
ecuación cuadrática no tiene una sola raíz real, por tanto:
Si y
entonces
Si y
entonces
Ejemplo 1 del Teorema 3. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
no tiene raíces reales, ya que
Paso 3. Concluyendo
Ejemplo 2 del Teorema 3. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
no tiene raíces reales, ya que
Paso 3. Concluyendo.
