ClasesAlgebraLinealUnidad1

Presentaci´

on y Preliminares

Presentaci´on

Programa de la asignatura • Unidad 1: Matrices

• Unidad 2: Sistemas de ecuaciones lineales

• Unidad 3: Espacios Vectoriales

• Unidad 4: Transformaciones lineales

Bibliograf´ıa

• Algebra Lineal.´ K. Hoffman y R. Kunze.

• Algebra Lineal.´ Serge Lang.

• Introducci´on al ´Algebra Lineal. Howard Anton.

• Calculus II. Tom Apostol.

Evaluaciones

• Cuatro (4) evaluaciones escritas y un (1) recuperativo al finalizar el semestre. Todas las evaluaciones tienen el mismo valor.

Informaci´on de contacto • Sitio web del profesor:

www.hbracho.com

• Gu´ıas, materiales de estudio e informaci´on sobre calificaciones:

http://cursos.hbracho.com

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CLASE #2

´

Algebra Matricial

Matrices

Una matriz es un arreglo rectangular de n´umeros reales. A dichos n´umeros se les llama

elementosde la matriz.

Representaci´on en t´erminos de [aij]

El n´umero de filas y columnas determina el tama˜no de la matriz.

Si una matriz tiene m filas y n columnas entonces eltama˜no de la matriz es m×n. Sim =n entonces la matriz se dice cuadrada.

Dos matrices A= [aij] yB = [bij] son iguales si y s´olo si tienen el mismo tama˜no y aij =bij

para cada i y j.

Ejemplos.

Suma de matrices y multiplicaci´

on por escalar

Sean A = [aij] y B = [bij] matrices del mismo tama˜no y sea k un escalar. La suma de las

matrices A y B se define como sigue:

A+B = [aij +bij]

mientras que el producto de la matriz por un escalar se define como sigue:

kA= [kaij]

Ejemplos

Propiedades de las matrices

Sean A, B y C matrices del mismo tama˜no y seank y m escalares.

La suma es conmutativa: A+B =B+A

La suma es asociativa: (A+B) +C =A+ (B+C)

La multiplicaci´on por escalar es asociativa:k(mA) = (km)A

La multiplicaci´on por un escalar esdistributivacon respecto a la suma:k(A+B) =kA+kB

(Demostraciones en clase)

NOTA:_{Esto es s´}´ _{olo el bosquejo de las clases del profesor. Los detalles son explicados en las horas de clase. Por}

Matriz nula e inverso aditivo

Se llama matriz nula aquella matriz en donde todos sus elementos son ceros. Se denota −A al inverso aditivo deA y es la matriz (−1)A

Ejercicio

1. Sean

A1 =

1 2 4 3

A2 =

0 −5 1 7

A3 =

−1 4 0 −3

Calcular: 2A1−3A2+ 4A3

Combinaci´on lineal

Sean A1, A2. . . , Ak k matrices del mismo tama˜no y sean c1, c2, . . . , ck k escalares. La expresi´on

c1A1+c2A2+· · ·ckAk

CLASE #3

Producto de matrices

Sea Auna matriz de tama˜nom×n y seaB una matriz de tama˜non×r. El producto AB

es una matriz C de tama˜nom×r en el cual cada elemento cij es el producto del elemento

de la i-fila deA por el elemento de la j columna de B.

SiA = [aij] y B = [bij], entonces AB = [(ab)ij] =P_kaikbkj

El producto AB est´a bien definido si y s´olo si el n´umero de columnas deAes igual al n´umero de filas de B.

Ejemplos

Propiedades

Sean A, B y C matrices.

1. Si AB est´a definido, entonces BA puede o no estar definido. Si tanto AB como BA est´an definidos, las matrices no son necesariamente iguales. La multiplicaci´on de matrices no es conmutativa.

2. Si A(BC) esta definido, entonces (AB)C tambi´en est´a definido y A(BC) = (AB)C. La multiplicaci´on es asociativa.

3. Sea k un escalar. SiAB esta definido entonces k(AB) = (kA)B =A(kB).

4. Si A es una matriz de tama˜no m×n y B y C son de tama˜no n×q, entonces A(B+C) =

AB+AC

(Demostraciones en clase)

NOTA:_{Esto es s´}´ _{olo el bosquejo de las clases del profesor. Los detalles son explicados en las horas de clase. Por}

Transpuesta de una matriz

Si A es una matriz m×n, entonces se define la transpuesta de A, y se denota AT _como

aquella matrizn×mcuyas filas y columnas son las columnas y las filas, respectivamente, de

A.

SiA = [aij] entonces AT = [(aT)ij] = [aji]

Propiedades de la transpuesta de una matriz

Sean A y B matrices yk un escalar

1. (kA)T _=kAT

2. (AT₎T _=A

3. SiA+B est´a definida, entonces AT _+BT _{tambi´en esta definida y (A+B)}T _=AT _+BT

4. SiAB esta definida, entonces BT_AT _{esta definida y (AB)}T _=BT_AT

CLASE #5

Matrices sim´

etricas y anti-sim´

etricas

Una matriz A es sim´etrica siAT _=A

Una matriz A es anti-sim´etricasi AT _=−A

Ejemplos

Propiedades de las matrices sim´

etricas y anti-sim´

etricas

La suma de dos matrices sim´etricas del mismo tama˜no es sim´etrica.

La transpuesta de una matriz sim´etrica es sim´etrica.

Para cualquier matriz A, el producto AT_{A es una matriz sim´etrica.}

La suma de dos matrices anti-sim´etricas del mismo tama˜no es anti-sim´etrica.

La transpuesta de una matriz anti-sim´etrica es anti-sim´etrica.

(Demostraciones en clase)

NOTA:_{Esto es s´}´ _{olo el bosquejo de las clases del profesor. Los detalles son explicados en las horas de clase. Por}

Matrices con propiedades especiales

SiAes una matriz cuadrada, los elementosaii son llamados elementos de la diagonal principal.

Las siguientes definiciones asumen a las matrices como cuadradas.

Matriz identidad

Una matriz n×n con la propiedad que aii = 1 yaij = 0 con i6=j

Matriz triangular (superior e inferior)

Sea A una matriz cuadrada.

• Si todos los elementos por encima de la diagonal principal son ceros (0), entonces la matriz es llamadatriangular inferior.

• Si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son ceros (0), entonces la matriz es llamadatriangular superior.

Matriz diagonal

A es una matriz diagonal si aij = 0 para i 6= j. Esta matriz es al mismo tiempo triangular

superior e inferior.

Matriz escalar

Es un caso particular de una matriz diagonal donde aii =k para todo i.

Potencia de una matriz. Matriz idempotente An ₌Qn

k=1A

Las reglas algebraicas para exponentes se mantienen para potencia de matrices:

• (Ap₎k_=Apk

• Ap_Aq _=Ap+q

Una matriz A es idempotente si A2

=A

Traza de una matriz

Sea Auna matriz cuadrada n×n. Se define la traza de A, y se denotaTr(A), de la siguiente

manera:

Tr(A) = n

X

k=1

CLASE #7

Practicas y evaluaci´

on sobre Matrices

Ejercicios (modelo de examen)

1. Sean

A=

 

1 −4 2 5 3 7



 B =  

0 1 1 5 2 −1

 

Calcular:

a) A+B

b) AT _{y B}T

c) AT _+BT

d) (A+B)T

2. Probar que si AB est´a definida y tanto k como k′ _{son escalares, entonces (kA)(k}′_{B) =}

(kk′_)(AB)

3. Sean

A=

−1 4 2 −1

B = 3 2 1 0

Verificar que (A+B)T _=AT _+BT

4. Demuestre que (kA)T _=kAT _{para cualquier escalar k.}

5. Demuestre que la transpuesta de una matriz anti-sim´etrica es anti-sim´etrica.

NOTA:_{Esto es s´}´ _{olo el bosquejo de las clases del profesor. Los detalles son explicados en las horas de clase. Por}