Álgebra Lineal Ma843

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Álgebra Lineal

Ma843

Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico

Departamento de Matemáticas

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El Problema Claves . . . gaussiana . . . combinaci ´on . . . generado . . . dependencia . . . r/e . . . base . . . transformaci ´on . . . de regreso Conclusiones

Problema Fundamental

El problema fundamental del álgebra lineal es el de

resolver sistemas de ecuaciones lineales.

A x ₌ b

Por ello es que casi la totalidad del curso debe

estar centrado en este problema:

Los conceptos importantes se introducirán en su relación al problema fundamental.

O bien son una aplicación relevante del problema fundamental.

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Conceptos Clave/Aplicaciones

El curso de Algebra Lineal gira en torno a conceptos que surgen en los sistemas de ecuaciones lineales: ■ eliminación gaussiana ■ combinación lineal ■ espacio generado ■ dependencia/independencia lineal ■ base-dimensión ■ transformación lineal

O bien son una aplicación relevante del Álgebra Lineal.

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Eliminación Gaussiana

■ En general, los mejores métodos de solución

están basados en reducir la matriz aumentada mediante operaciones elementales de renglón.

[a

1 a2 · · · ak|b]

■ El algoritmo de eliminación gaussiana es el

algoritmo número uno para resolver un sistema de ecuaciones lineal general.

■ Todo sistema de cómputo matemático

razonablemente bueno trae implementado un método de reducción de matrices: normalmente rref es el nombre del comando. Row Reduced Echelon Form.

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Combinación Lineal

■ Resolver [a 1 a2 · · · ak|b]

equivale a buscar escalares c, c₂, . . . ,ck tales que

c₁ a

1 + c2 a2 + · · · + ck ak = b

(Los ci son los valores de las incógnitas!)

■ Un sistema de ecuaciones lineales es

consistente si y sólo si el vector de constantes es una combinación lineal de las columnas de la

matriz de coeficientes.

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Espacio Generado

■ El sistema de ecuaciones lineales [a

1 a2 · · · ak|b]

tiene solución si y sólo si

b _∈ _Gen ₍a

1, a2, . . . , ak)

El espacio generado por las columnas de la matriz de coeficientes.

■ Un espacio generado por un conjunto de

vectores equivale al conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones lineales homogéneo.

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Dependencia/Indepencia Lineal

■ Si el sistema [a 1 a2 · · · ak|b] es consistente: [a 1 a2 · · · ak|b]

tiene dos soluciones diferentes si y sólo si

[a

1 a2 · · · ak|0]

tiene otra solución diferente de solución 0_.

Es decir, si y sólo si las columnas de la matriz de coeficientes forman un conjunto linealmente

dependiente.

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Reducción-Extensión

■ Si a_k es combinación lineal de a 1, a2,. . . ,ak −1 entonces Gen (a 1, . . . , ak) = Gen (a₁, . . . , ak₋₁)

Es decir, es posible reducir el conjunto

generador y seguir generando el mismo espacio cuando el conjunto es linealmente dependiente.

■ Si {a 1, a2, . . . , ak₋₁} es linealmente independiente y si a_k _∈_/ _Gen ₍a 1, . . . , ak −1) entonces {a 1, a2, . . . , ak} es un conjunto

linealmente independiente. Es decir, es posible

extender un conjunto linealmente independiente

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Base-Dimensión

■ Los procesos de solución basados en la

aumentada requieren un ordenamiento en las variables: los conceptos de base y de dimensión permiten entender las diferencias y

coincidencias de las soluciones generales

encontradas cuando se resuelve un sistema con diferentes ordenamientos de las incógnitas.

■ El conjunto de soluciones a un sistema de

ecuaciones lineales se describe minimalmente mediante una base del espacio generado

asociado: el número mínimo de vectores requeridos para construir mediante una

combinación lineal es la dimensión del espacio de solución.

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Transformación lineal

■ El conjunto de soluciones a un sistema de

ecuaciones lineales tiene solución si y sólo si el vector de constantes pertenece al rango de la transformación lineal. Siendo consistente, tiene solución única si y sólo si la transformación lineal es inyectiva.

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Conclusiones hacia atrás

■ La forma escalonada reducida de una matriz es

única: pues ella representa si cada columna es o no combinación lineal de las columnas

anteriores y en caso de serlo indica cuáles son los coeficientes de la combinación lineal.

■ El ordenamiento en las incógnitas en el proceso

de solución de un sistema no afecta las

conclusiones generales del análisis del sistema: La argumentación relacionada con los conceptos de espacios generados y espacios vectoriales y sus propiedades da una referencia teórica para la conmutatividad.

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Conclusiones esperadas

■ La teoría del álgebra lineal enriquece el solución

y análisis de un sistema de ecuaciones lineales.

■ El uso de matrices y sus aplicaciones en

diferentes áreas de ingeniería es algo valioso: permite una formulación simple y a la vez

poderosa para dar solución a problemas, aunado a eso se tiene fácil acceso a diferentes

instrumentos de manipulación de matrices como programas o calculadoras.

■ La herramienta teórica del álgebra lineal tiene la

belleza, fortaleza y uso de una columna dórica de la Grecia Clásica o un arco parabólico de Gaudí.