DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
ECUACIONES DIFERENCIALES
MIREYA GARCÍA – GUÍA Nº 4
Tema: Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
Contenido:
Trayectorias Ortogonales.
Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden.
Objetivos:
Encuentra trayectorias ortogonales a familias de soluciones.
Reconoce modelos matemáticos con ecuaciones diferenciales de primer orden.
Resuelve problemas de aplicación modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden.
Metodología:
Realizar una lectura de la guía con los temas dados. Estudiar los temas presentados en la guía.
Investigar por cuenta propia en otros textos acerca de los temas dados, para que estos sean ampliados.
Realizar los ejercicios propuestos al final de esta guía para así precisar el entendimiento de los temas presentados.
Realizar un trabajo más detallado al proceso de modelamiento con ecuaciones de primer orden. Graficación e un mismo plano de familias de soluciones de una ecuación diferencial.
Asistir a tutorías tanto presenciales como virtuales para aclarar dudas cerca de los temas dados.
Introducción: Muchos procesos complejos pueden descomponerse en varias etapas y todo sistema se puede modelar describiendo las interacciones entre las distintas etapas. Tales sistemas se llaman sistemas por comportamientos y se exhiben en forma gráfica como diagramas de bloque. En esta guía miraremos algunos modelos con ecuaciones diferenciales de primer orden, y analizaremos algunos procesos sencillos que pueden controlarse mediante tal modelo. De igual manera que se estudiaran las trayectorias ortogonales a familia de funciones.
tangentes sean paralelas a los ejes coordenados, esto significa que la pendiente de una tangente es la recíproca negativa de la otra.
Cuando todas las curvas de una familia de curvas 𝐺 𝑥, 𝑦, 𝒸1 = 0 cortan ortogonalmente a todas las curvas de otra familia 𝐻 𝑥, 𝑦, 𝒸2 = 0, se dice que las familias son, cada una, trayectorias ortogonales de la otra. En otras palabras, una trayectoria ortogonal es una curva cualquiera que corta el ángulo recto a toda curva de otra familia.
Método para determinar trayectorias ortogonales: Para encontrar trayectorias ortogonales de una familia
de curvas dadas, se halla en primer lugar la ecuación diferencial 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦) que describe a la familia. La ecuación diferencial de la segunda familia, ortogonal a la familia dada es 𝑑𝑦𝑑𝑥 = −𝑓(𝑥,𝑦)1 .
Ejemplo: Halle las trayectorias ortogonales de la familia de hipérbolas rectangulares 𝑦 =𝑘𝑥
Solución
La derivada de 𝑦 =𝑘
𝑥 es 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −
𝑘
𝑥2 y despejamos a 𝑘 = 𝑦𝑥 , se obtiene la ecuación diferencial de la familia dada:
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −
𝑦 𝑥
En tal caso, la ecuación diferencial de la familia ortogonal es. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
−1 −𝑦/𝑥 =
𝑥 𝑦
Se resuelve esta última ecuación separable 𝑦𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 ⟹ 𝑦𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 entonces se obtiene familia de curvas ortogonales 𝑦2− 𝑥2= 𝐶
Modelos Con Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
1. Ley de Enfriamiento de Newton: En general, la temperatura de un cuerpo en proceso de enfriamiento cambia a una razón proporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo y la temperatura ambiente.
𝑇 𝑡 : Temperatura del cuerpo en cualquier instante 𝑡.
𝑇 𝑎 : Temperatura ambiente.
Modelo Matemático: 𝑑𝑇
𝑑𝑡 = 𝐾(𝑇 − 𝑇0) 𝐾 constante de proporcionalidad Solucionando la ecuación separable se tiene
1/(𝑇 − 𝑇0) 𝑑𝑇 = 𝐾𝑑𝑡
ln 𝑇 − 𝑇0 = 𝐾𝑡 + 𝐶 𝑇 − 𝑇0= 𝐶2𝑒𝐾𝑡 𝑇 𝑡 = 𝐶2𝑒𝐾𝑡 + 𝑇0
Ejemplo: Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300°𝐹 , después de 3 minutos 200℉. ¿En cuánto tiempo se enfriara hasta la temperatura de 100℉? Si la temperatura ambiente es de 70℉.
𝑇 𝑡 = 𝐶𝑒𝐾𝑡 = 70℉ Y 𝑡 0 = 𝑇 = 300℉ luego aplicando el modelo de la ley de enfriamiento 300 = 𝐶𝑒𝐾(0)+ 70 ⟹ 𝐶 = 300 − 70 = 230
𝑇 𝑡 = 230𝐶𝑒𝐾𝑡 + 70℉
Cuando 𝑡 = 3 ⟹ 𝑇 = 200℉ ahora determinamos el valor de 𝐾 200 = 230𝑒3𝐾+ 70 =130 230 = 𝑒
3𝐾
𝐾 =ln 13 23
3 = −0,19 ⟹ 𝑇 𝑡 = 230𝑒−0,19𝑡 + 70 𝑡 = 10,72
El pastel se enfriara a hasta una temperatura de 100℉ pasado aproximadamente 11 𝑠𝑒𝑔.
2. Se cometió un homicidio y la policía descubrió el cuerpo de la victima a las 3: 15 𝑎. 𝑚. En ese momento la temperatura del cadáver era de 32℃, después de consultar con la oficina de meteorología, se determina que la temperatura del cuerpo en el lugar del crimen era 10℃ entre las 10: 00 𝑝𝑚 y las
5: 00 𝑎. 𝑚. ¿A qué horas ocurrió el homicidio?
𝑇0= 10℃ (10: 00𝑝𝑚 𝑦 5: 00𝑎. 𝑚) , cuando 𝑡 = 0 𝑇 𝑡 = 32℃
Cuando 𝑡 = 1 𝑇 = 30℃
Hallando el valor de 𝐶, con el valor inicial 𝑡 = 0 𝑇 𝑡 = 32℃ se tiene que 𝑇 𝑡 = 22𝑒𝐾𝑡 + 10℃ ,
Luego, se determina el valor 𝐾 con el segundo valor dado 𝑡 = 1 𝑇 = 30℃
𝐾 = −0,09 Entonces 𝑇 𝑡 = 22𝑒−0,09𝑡 + 10℃ despejando de esta última ecuación el valor de 𝑡, se tiene 𝑡 = −2,27.
Entonces se concluye que la hora que murió fue las 12: 59𝑎. 𝑚 , ya que 3: 15 − 2,27 = 12: 59𝑎. 𝑚
3. Modelo de Población: ¿Cómo predecir crecimiento ó decrecimiento de una población? El crecimiento o decaimiento de una población es proporcional a la cantidad presente.
𝑃 𝑡 = La cantidad de la población en el instante 𝑡. 𝑑𝑃
𝑑𝑡 = Es proporcional a la cantidad de población
El Modelo es: 𝑑𝑃𝑑𝑡 = 𝑃. 𝐾, 𝐾: constante de proporcionalidad.
Resolviendo la ecuación separable, 𝑑𝑃𝑃 = 𝐾𝑑𝑡 integrando se obtiene ln 𝑃 = 𝐾𝑡 + 𝑐1 𝑃 = 𝐶𝑒𝐾𝑡
Ejemplo: La población de una comunidad crece a razón proporcional a la población, en cualquier momento 𝑡 su población inicial es de 500 y aumenta 15% en 10 años ¿Cuál será la población en 30 años?
Cuando 𝑡 = 0 , 𝑝 = 500 ; 𝑡 = 10 , 𝑝 = 575
𝑃 𝑡 = 500𝑒𝐾𝑡 575 = 500𝑒10𝐾
Despejado 𝐾 se tiene 𝐾 = 0,01 , luego 𝑃 𝑡 = 500𝑒0,01𝑡 es decir cuando 𝑡 = 30
𝑃 30 = 500𝑒0,01∙30= 675 ,la cantidad de población pasado 30 años es de 6756 personas.
4. Función Logística: La función logística es modelada mediante la ecuación 𝑃 𝑡 = 𝑀
𝑎𝑒−𝑏𝑡+1 cuando 𝑡 ⟶ 𝛼 y 𝑃 ⟶ 𝑀.
Solución:
𝑡 = 0 𝑃 = 50 𝑀 = 800 𝑡 = 1 𝑃 = 200
Reemplazando en la ecuación de la función logística se tiene:
50 =𝑎𝑒8000+1=𝑎+1800 ⟶ 50 𝑎 + 1 = 800 ⟶ 𝑎 = 15 Cuando 𝑡 = 1 𝑃 = 200 el valor de 𝑏 corresponde a 200 = 800
15𝑒−𝑏+1 ⟶ 15𝑒−𝑏 + 1 200 = 800
15𝑒−𝑏+ 1 = 4 ⟶ 𝑒−𝑏 =1
5 ⟶ 𝑏 = − ln 1
5 ⟶ 𝑏 = 1,6
𝑃 4 = 800
15𝑒−1,6(4)+ 1= 780
5. Problemas de Mezclas: El mezclado de dos soluciones de diferente concentración da lugar a una ecuación diferencial de primer orden para la cantidad de sal contenida en la mezcla. Si 𝐴(𝑡) denota la cantidad de sal (medida en libras) en el tanque en el momento 𝑡, entonces la rapidez a la que 𝐴(𝑡) cambia es una rapidez neta:
𝑑𝐴 𝑑𝑡 =
𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑎𝑙
− 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑎𝑙
= 𝑅𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑅𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
Ejemplo: Supóngase que un gran tanque de mezclado contiene inicialmente 300 galones de salmuera, otra solución de salmuera se bombea hacia el tanque a una rapidez de 3 galones por minuto, la concentración de la sal en este flujo de entrada es 2 libras por galón. Cuando la solución en el tanque está bien agitada. Se bomba a la misma rapidez que la solución entrante. Si al inicio se disolvieran 50 libras de sal en los 300 galones, cuánta sal se encuentra en el tanque después de un tiempo largo.
𝑅𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 2𝑙𝑏/𝑔𝑎𝑙 ∙ 3𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛 = 6𝑙𝑏/𝑚𝑖𝑛
𝑅𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 =𝐴 𝑡 300𝑙𝑏/𝑔𝑎𝑙 ∙ 3𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛 =𝐴 𝑡 100𝑙𝑏/𝑚𝑖𝑛 Entonces la rapidez neta está dada como: 𝑑𝐴
𝑑𝑡 = 6 − 𝐴 100 ,
𝑑𝐴 𝑑𝑡 +
𝐴 100= 6
𝐴 0 = 50 Condición inicial, resolviendo la ecuación diferencial se obtiene 𝑑 𝑑𝑡 𝑒
𝑡/100𝐴 = 6𝑒𝑡/100
𝐴 𝑡 = 600 − 550𝑒−𝑡/100
Se observa que 𝐴(𝑡) ⟶ 600 cuando 𝑡 ⟶ ∞.
6. Vida Media del Plutonio: Un reactor autorregenarador convierte el uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años se determina que se desintegró 0.043% de la cantidad inicial 𝐴0 de plutonio. Calcule la vida media de este isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad presente.
Solución: Sea 𝐴(𝑡) la cantidad de plutonio presente en el tiempo 𝑡. El modelo correspondiente es el de crecimiento y decaimiento 𝑑𝐴
𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒𝑘𝑡
Si 0,043% de los átomos de 𝐴0 se ha desintegrado, entonces aún queda 99,957% de la sustancia. Para hallar la constante de decaimiento 𝐾, se utiliza 0,99957𝐴0= 𝐴(15) es decir,
0,9957𝐴0= 𝐴0𝑒15𝑘
𝐾 = 1
15ln 0,99957 = −0,00002867
Por consiguiente, 𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒−0,0002867 𝑡 ahora la vida media es 𝐴 𝑡 =1
2𝐴0 ⟶ 1
2= 𝑒−0,00002867 𝑡
𝑡 =0,00002867ln 2 = 24180 años
Ejercicios
Resuelva los siguientes problemas
1. La población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la población presente en el tiempo 𝑡. La población inicial de 500 se incrementa 15% en diez años. Cuál será la población en 30 años? Qué tan rápido está creciendo la población en 𝑡 = 30?
2. Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa había disminuido en 3%. Si la rapidez de decaimiento es proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo 𝑡, determine la cantidad restante después de 24 horas.
3. Determine la vida media de la sustancia radiactiva que se describe anteriormente.
4. Una pequeña barra metálica, cuya temperatura inicial fue de 20℃, se sumerge en un gran recipiente de agua hirviendo. Cuánto tarda la barra en alcanzar 90℃ si se sabe que su temperatura aumenta 2℃ en un segundo? Cuánto le toma a la barra llegar a 98℃?
5. Un termómetro que marca 70℉ se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del horno. Un observador registra que después de medio minuto el termómetro marca 110℉ y luego de un minuto la lectura es de 145℉. Cuál es la temperatura del horno?
bien mezclada se bombea hacia fuera a la misma rapidez. Calcule la cantidad 𝐴(𝑡) de gramos de sal que se encuentran en el depósito en el tiempo 𝑡.
7. Un depósito grande se llena parcialmente con 100 galones de líquido en el disolvente 10 libras de sal. Se bombea al depósito salmuera que contiene media libra de sal por galón a razón de 6𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛. La solución bien mezclada se bombea con una rapidez de 4𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛. Calcule la cantidad de libras de sal en el depósito a los 30 minutos.
8. El número 𝑁(𝑡) de personas en una comunidad que están expuestas a un anuncio particular se rige mediante la ecuación logística. Al inicio, 𝑁 0 = 500 y se observa que 𝑁 1 = 1000. Determine 𝑁(𝑡) si se predice que el número límite de personas en la comunidad que verán el anuncio es 50000.
9. Determine las trayectorias ortogonales a la familia de funciones
a. 𝑦 = −𝑥 − 1 + 𝑐𝑒𝑥 b. 𝑦 = 1
𝑥+𝑘
c. 𝑦 = 𝑥2+ 𝑘 d. 𝑦 = 𝑘𝑥
BIBLIOGRAFÍA
1. Texto Guía: Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores En la Frontera, Nagle,Saff, Zinder, cuarta edición, Pearson Addison Wesley.
2. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Kreyzig, volumen II, Tercera edición, Limusa Wiey.
3. Ecuaciones Diferenciales, Braun Martin, Segunda edición, Grupo editorial Iberoamerica.
4. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelo, Dennis Zill, séptima edición, MATH LEARNING, Thomas.
5. Ecuaciones Diferenciales, Takeuchi, Ramiro – Ruiz, Segunda edición, Limusa.
