,algebra y factorización.doc

Índice

Colegio san Andrés Maipú Subsector: matemáticas

Módulo:

álgebra y

factorización

Integrantes:

-Jesús Espinoza

-Francisca Fuentes

Profesora: Marta Orias

Curso: 4ºmedio

-

Monomios, monomios semejantes y sumas de monomios. Pág.

3

- Producto de monomios y división de monomios.

Pág. 4

- Polinomios.

Pág. 5

- Suma y resta de polinomios y producto de polinomios. Pág.

6

- Factor común de polinomios.

Pág. 7

- División de polinomios.

Pág. 8

- Regla de Ruffini.

Pág. 9

- Ejemplo Regla de Ruffini.

Pág. 10

- División exacta y no exacta y divisores de forma ax – b

Pág. 11

- Factor común por aplicación de términos.

Pág. 12

- Trinomio cuadrado perfecto.

Pág. 13

- Diferencia de cuadrados.

Pág. 14

- Trinomio cuadrado perfecto por adicción y sustracción, trinomio de

la forma x

2

_{+ bx + c y Suma o diferencia de potencias a la}

_n.

Pág. 15

-

Trinomio de la forma ax

2

_{+ bx + c}

_{Pág. 16}

- Ejercicios.

Pág. 17

- Bibliografía.

Pág. 26

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. Con los monomios podemos realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

Los números reciben el nombre de coeficientes y las letras, con sus exponentes, son la parte literal.

 Cuando en un monomio hay una sola letra, su exponente es el grado del monomio.

 Cuando hay dos o más letras, el grado es la suma de todos los exponentes.

Ejemplo: Coeficiente

Parte literal Grado

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

Si dos monomios semejantes tienen coeficientes con signo contrario, se denominan monomios opuestos

Monomios semejantes -3x2 _{y 5x}2

Monomios no semejantes 6ab2 _{y 2a}2_b

Monomios opuestos -3x2 _{y 3x}2

Suma y resta de monomios

La suma o resta de dos o más monomios solo se puede realizar si los monomios son semejantes, es decir, tienen la misma parte literal.

Ejemplos:

-2X3 _X3

22 -2

3

El exponente 1 _no

se escribe: 6· X1 _{6· X}

Resta

Producto de monomios

Para efectuar productos de monomios no es necesario que sean semejantes.

El producto de dos monomios es otro monomio que tiene:

 Por coeficiente, el producto de los coeficientes.

 Por parte literal, el producto de las partes literales.

Ejemplo:

(2x

2

_y

4

_{)· (-3xy}

3

_{) = 2 · (-3)· x}

2

_{· x· y}

4

_{· y}

3

_{= 2 · (-3) · x}

2+1

_{· y}

4+3

₌

-6x

3

_y

7

Observamos que el grado del resultado es la suma de los grados de ambos factores.

División de monomios

Al igual que en el producto de monomios, no es necesario que dos monomios sean semejantes para poder realizar la división.

El cociente de dos monomios es otro monomio que tiene:

Suma

Monomios Coeficientes Parte literal

La suma y la resta de monomios semejantes siempre dan como resultado un monomio cero.

4x2 _{+ 4x}2 = _8x2

-4x2 _{+ 4x}2 _{= 0}

La suma y resta de

monomios no semejantes siempre da como resultado un polinomio.

 Por coeficiente, el cociente de los coeficientes.

 Por parte literal, el cociente de las partes literales

Ejemplo:

Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio; si contiene dos términos se llama binomio y si contiene tres términos, es un trinomio.

Polinomios

Los polinomios son una parte importante del álgebra.

Están presentes en todos los contextos científicos y tecnológicos: desde las computadoras y la informática, hasta la carrera espacial.

 Son una expresión algebraica formada por la suma de dos o más monomios. Los monomios que lo forman se llaman términos del polímero.

-La expresión Q(x) indica un polinomio de una variable, x. Ejemplo: Q(x) = 6x5 _{– 3x}4 _{– x}3 _{– 9x + 7}

-La expresión P(x,y) es un polinomio de dos variables, x e y.

Ejemplo: P(x,y) = 2x2_{y – 3xy}2 _{+ 7xy – 2}

o Decimos que un polinomio es reducido cuando no tiene monomios semejantes. Así el polinomio P(x) = 2x3 _{+ 3x}3 _{– 3x}2 ₊

5x2 _{– 1 lo podemos reducir sumando sus monomios semejantes:}

P(x) = 5x3 ₊

2x2 _{– 1}

o El grado de un polinomio reducido es el grado del término de mayor

grado.

Por ejemplo el grado de P(x) = 2x3 _{– 3x}2 _{– 1 es 3}

o El termino independiente de un polinomio reducido es el

monomio de grado 0. En el polinomio anterior el termino independiente es -1

-3x2_{y + 4x}3_y2 _–

3xy 4x

3

y2

Grado: 3 + 2 =

o Un polinomio de grado n es completo cuando contiene todos los monomios de grado inferior a n, y es ordenado cuando los monomios se expresan de forma creciente o decreciente.

Ejemplo: P(x) = 2x3 _{– 3x}2 _{+ 1 no es completo porque no contiene ningún}

monomio de primer grado.

o El polinomio opuesto de P(x) es –P(x) y se obtiene cambiando de signo todos los coeficientes de P(x).

Ejemplo: P(x) = x5 _{– 2x}3 _{+ 4x – 6 -P(x) = x}5 _{– 2x}3 _{+ 4x –}

6

Suma y resta de polinomios

 La suma de dos o más polinomios se calcula sumando los monomios semejantes. Para facilitar el cálculo, se pueden disponer los polinomios en columna, haciendo coincidir los monomios semejantes. Ejemplo:

P(x)= x3 _{+ x}2 _{+ x +1 x}3 _{+ x}2 _{+ x +1}

Q(x)= 2x2 _{- x - 3 + 2x}2 _{– x - 3}

X3 _{+ 3x}2 _-2

 Para restar dos polinomios se suma al minuendo el polinomio opuesto del sustraendo, es decir, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)).

Ejemplo:

P(x) = x2 _{– x + 2}

Q(x) = x3 _{+ 2x}2 _{- 5 -Q(x) =}

-x – 2x2 _{+ 5}

X2 _{– x + 2}

P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) + -x3 _{– 2x}2

+5

-x3 _{- x}2 _{– x + 7}

Producto de polinomios

El producto de dos polinomios se halla multiplicando cada u no de los monomios de uno de ellos por todos los monomios del otro, y sumando después los polinomios obtenidos en esas multiplicaciones.

Opuesto

P(x) + Q(x)

Opuesto También se puede sumar

o restar los polinomios sin necesidad de colocarlos en columnas agrupando

los monomios

Ejemplo:

R(x) = x3 _{+ x + 1 x}3 _{+ x +1}

R(x) · S(x) x 2x S(x) = 2x 2x4 _{+ 2x}2 _+2x

T(x) = 2x3 _{+ x + 1 2x}3 _{+ x + 1}

T(x) · S(x) x 2x2 _{+ x}

S(x) = 2x2 _{+ x 2x}4 _{+ x}2 _{+ x}

4x5 _{+ 2x}3 ₊

2x2

4x5 _{+ 2x}4 _{+ 2x}3 _{+ 3x}2 ₊

x

 El producto de polinomios puede realizarse utilizando la propiedad distributiva.

Ejemplo:

(2x2 _{+ x) · (2x}3 _{+ 1) = 2x}2 _{· (2x}3 _{+ 1) + x · (2x}3 _{+ 1)}

= (4x5 _{+ 2x}2_{) + (2x}4 _{+ x) = 4x}5 _{+ 2x}4 _{+ 2x}2 _{+ x}

Factor común

Es realizar la operación inversa de aplicar la propiedad distributiva.

¿Cómo se saca el factor común?

Ejemplo: 3x4_{yz – 6x}3_{y + 3x}2_y

1º nos fijamos en las letras que se repiten y tomamos las que aparecen con menor exponente.

El grado del polinomio resultante es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Recordemos la

propiedad distributiva: a·(b + c)=a· b + a· c a·(b - c)=a· b – a · c

X con menor exponente x2 _{Factor común:}

Y con menor exponente y x2_y

2º Tomamos el menor número que aparece en la expresión y vemos si es divisor de los demás, si lo es lo tomamos como factor común.

El menor número es el 3, que es divisor de 6 y de 3. El número 3 es también factor común de la expresión.

3º tomamos todos los factores comunes que hemos obtenidos de los pasos anteriores y dividimos cada sumando por esta expresión.

Factor común: 3x2_y

3x4_{yz – 6x}3_{y + 3x}2_{y = 3x}2_y(x2_{z – 2x + 1)}

División de polinomios

Para dividir dos polinomios es necesario que el grado del dividendo sea mayor o igual que el grado del divisor.

Se verifica que:

D(x) = c(x)

·

d(x) + R(x)

El grado del polinomio dividendo es igual a la suma de los grados de lo polinomios cociente y divisor. Además, el grado del polinomio resto es siempre menor que el del divisor.

1° El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor.

2° Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y, el resultado, se le resta al dividendo.

Dividend Coeficiente Diviso Resto

3° con el nuevo dividendo obtenido se repite el proceso hasta que el grado resulte menor que el del divisor.

Si el resto de la división P(x) ÷ Q(x), es el polinomio nulo, es decir, si R(x) = 0, se dice que la división es exacta, o que el polinomio P(x) es divisible por Q(x). En caso contrario hablamos de división entera de polinomios.

Ejemplo: (2x3 _{+ x}2 _{+ x + 1) ÷ (x}2 _{– 1).}

 Hallamos el cociente entre el monomio de mayor grado del dividiendo y el monomio de mayor grado divisor.

2x3 _{÷ x}2 _{= 2x 2x}3 _{+ x}2 _{+ x + 1 x}2 _{- 1}

2x

 Multiplicamos el monomio obtenido por el divisor y restamos el dividendo el resultado. Bajamos después el siguiente término del dividendo y repetimos el proceso con el nuevo dividendo.

2x3 _{+ x}2 _{+ x + 1 x}2 _{- 1}

2x

·

(x2 _{– 1)= 2x}3 _{– 2x -2x}3 _{+ 2x 2x}

X2 _{+ 3x + 1}

 Obtenemos el nuevo monomio del cociente y continuamos la división hasta obtener un polinomio de grado menor que el divisor, que será el resto de la división.

X2 _{÷ x}2 _{= +1 2x}3 _{+ x}2 _{+ x + 1 x}2 _{- 1}

-2x3 _{+2x 2x + 1}

X2 _{+ 3x + 1}

-x2 _{+ 1}

3x + 2 Resto

 El grado de 3x + 2 es menor que el del divisor (x2 _{+ 1): por tanto,}

hemos finalizado la división, obteniendo como cociente y resto: C(x) = 2x + 1 R(x) = 3x + 2

Regla de Ruffini

Opuesto

Es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma (x – a), siendo a un número entero.

Como P(x) = (x – a) · C(x) + R(x), el grado del cociente C(x) tiene que ser una unidad inferior al grado del dividendo.

Calculamos (x3 _{+ 1) ÷ (x – 2)}

X3 _{+ 1 = 1x}3 _{+ 0x}2 _{+ 0x + 1}

1 0 0 1

1 0 0 1 2

1 0 0 1 2

1

1 0 0 1 2 x2 2 x2 4 x2 8

1 2 4 9

Veamos cómo se aplica la Regla de Ruffini con un ejemplo

1° Escribimos los coeficientes de todos los monomios, desde el de mayor grado al término independiente del dividendo.

2° A la izquierda se coloca el término independiente del divisor cambiando de signo.

3° Copiamos el primer coeficiente de la fila de resultados.

Cociente Resto

 El último número de la fila de resultados es el resto, y lo demás números se corresponden con los coeficientes del polinomio cociente, cuyo grado es una unidad menor al del dividendo.

Los coeficientes del polinomio cociente son: 1, 2, 4 C(x) = x2 _{+ 2x}

+ 4

El resto es: 9.

Podemos comprobar x3 _{+ 1 = (x – 2) · (x}2 _{+ 2x +4) + 9}

P(x) esté expresado de forma completa, es decir, si es de grado n, debe contener los términos de grado menor o igual que n. si P(x) no es completo, como, por ejemplo: P(x) = x3 _–

3, lo consideramos de la forma: P(x) = x3 _{+ 0x}2 _{+ 0x –}

3.

División exacta y no exacta

Como P(x) = Q(x) · C(x) + R(x), y grado de R(x) < grado de Q(x), entonces:

Grado C(x) = grado P(x) – grado Q(x)

-El grado del cociente es igual a la diferencia de los grados del dividendo y divisor.

En el caso de que podamos aplicar la regla de Ruffini, como grado Q(x) = 1: Grado C(x) = grado P(x) – 1

Si la división es exacta (resto 0), podemos

descomponer el dividendo en factores: (x4 _{+ x}3 _{– x}2 _{+ 1)}

÷ (x + 1)

Cociente: x3 – x + 1 Resto: 0

Por tanto: x4 _{+ x}3 _{– x}2 _{+ 1 = (x}3 _{– x + 1)(x + 1)}

Divisores de la forma ax - c

La regla de Ruffini sólo se puede aplicar para divisores del tipo (x – a) o (x + a), es decir, para polinomios de grado 1, donde el coeficiente de x sea 1. Si el divisor fuese del tipo (-x - a) o (-x + a):

(X3 _{+ 2x}2 _{– 3x – 6) ÷ (-x + 2)= (-x}3 _{– 2x}2 _{+ 3x + 6) ÷ (x – 2)}

Para utilizar la regla de Ruffini es necesario que:

Obtenemos como divisor un polinomio del tipo (x – a) o (x + a), pudiendo entonces aplicar la regla de Ruffini.

Para utilizar la regla de Ruffini en una división en la que el divisor es de la forma (ax – b), dividimos del divisor por a:

(X2 _{+ 2x – 3) ÷ (2x – 6) (x}2 _{+ 2x – 3) ÷ (x – 3)}

Aplicamos la regla de Ruffini con el nuevo divisor:

1 2 -3 3 3 15

1 5 12 C(x) = x + 5

El cociente de la división inicial será el cociente de esta división dividido por el número por el que hemos dividido el divisor inicial:

Cociente: x + 5

El resto no varía. Resto: 12

Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

ab + ac + bd + dc = (ab + ac) + (bd + dc

= a(b + c) + d(b + c)

= (a + d)(b + c)

Un ejemplo numérico puede ser:

2y + 2j + 3xy + 3xj

Entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

= (2y + 2j) + (3xy + 3xj)

Aplicamos el primer caso (Factor común)

= 2(y + j) + 3x(y + j)

(2x-6)÷ 2= x - 3

= (2 + 3x)(y+j)

Trinomio cuadrado perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces

cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al

cuadrado.

(a + b)2 _{= a}2 _{+ 2ab + b}2

Y

(a – b)2 _{= a}2 _{– 2ab + b}2

Ejemplo 1:

(5x – 3y)2 _{= 25x}2 _{– 30xy + 9y}2 Ejemplo 2:

(3x + 2y)2 _{= 9x}2 _{+ 12xy + 4y}2 Ejemplo 3:

(x + y)2 _{= x}2 _{+ 2xy + y}2 Ejemplo 4:

4x2 _{+ 25y}2 _{– 20xy}

Organizando los términos tenemos

4x2 _{– 20xy + 25y}2 Extrayendo la raíz cuadrada del primer y

último término y agrupándolos en un paréntesis separado por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

(ay)2 _{– (bx)}2 _{= (ay – bx)(ay + bx)}

O en una forma más general para exponentes pares:

(ay)

2n

_{– (bx)}

2m

_{= ((ay)}

n

_{– (bx)}

m

_)((ay)

n

_{+ (bx)}

m

₎

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para

cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

(ay)

n

_{– (bx)}

m

_{= ((ay)}

_{- (bx) ) · ((ay) + (bx) )}

Ejemplo 1:

9y2 _{– 4x}2 _{= (3y)}2 _{– (2x)}2 _{= (3y + 2x)(3y – 2x)}

Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.

(2y)6 _{– (3x)}12 _{= ((2y) - (3x) )}

_·

_{((2y) + (3x) ) =}

((2y) - (3x) )

·

((2y) + (3x) )

·

((2y) + (3x) ) =

((2y)3/4 _{- (3x)}3

_{) ·}

_((2y)3/4 _{+ (3x)}3

_{) ·}

_((2y)3/2 _{+ (3x)}6₎

La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener la raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

x2 _{+ xy + y}2 _{= x}2 _{+ y}2 _{+ 2xy – xy = (x + y)}2 _{- xy}

Trinomio de la forma x

2

_{+ bx + c}

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al

cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:

a2 _{+ 2a – 15 = (a + 15)(a – 3)} Ejemplo:

x2 _{+ 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)} Ejemplo:

y2 _{+ 0y – 4 = (y + 2)(y – 2)}

Suma o diferencia de potencias a la

n

La suma de dos números a la potencia n, an _+bn _{se descompone en dos}

factores (siempre que n sea un número impar): Quedando de la siguiente manera:

xn _{+ y}n _{= (x + y)(x}n-1 _{– x}n-2_{y + x}n-3 _y2 _{- … + xy}n-2 _{– y}n-1₎ Ejemplo:

x3 _{+ 1 = (x + 1)(x}2 _{– x + 1)}

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Que dando de la siguiente manera:

Ejemplo:

x3 _{– 1 = (x - 1)(x}2 _{+ x + 1)}

a2 _{– b}2 _{= (a – b)(a + b)}

Trinomio de la forma ax

2

_{+ bx + c}

En este caso se tienen 3 términos: El primer término es un cuadrado perfecto, ósea que tiene raíz cuadrada exacta, el segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, ósea sin una parte literal, así:

4x2 _{+ 15x + 9}

Para factorizar una expresión de esta forma; primero se toma el término al lado de x2_{, (en este caso el 4) y se multiplica por toda la expresión, dejando}

el segundo término igual pero en paréntesis y dejando todo esto en una fracción. Usando como denominador el término que estamos multiplicando, multiplicándolo con el 1.

Luego separamos en dos fracciones el término

(x + 3)(4x + 3)

Y finalmente debemos proceder a eliminar las fracciones

Ejercicios

 Descomponer en dos factores las expresiones siguientes:

1. 64 + a 6

a)

(4 + a 2_{)(16 - 4a} 2 _{+ a} 4₎

b)

(4 + a 6₎2

c)

(-4 - a 2_{)(16 + 4a} 2 _{- a} 4₎

d)

(4 + a 2₎

e)

(4 + a 2₎6

2. 1 - a 3

a) (1 + a)(1 - a + a2₎

b) (1 - a)(1 + a + a2₎

c) (1 - a)3

d) (1 - a)(a + a2₎

e) (1 - a)(1 + a + a3₎

3. y3 + 1

a) ( y + 1)3

b) ( y + 1)( y2 _{+ 1)}

c) ( y - 1)( y2 _{- y + 1)}

d) ( y + 1)( y2 _{- y + 1)}

e) ( y - 1)( y2 _{- y - 1)}

4. x2 + 2ax - 15a 2

a) (x + 5ª)4

b) (x + 5a)(x + 3a)

c) (x + 5a)(3a)

d) (x + 5a)(x - 2a )

e) (x + 5a)(x - 3a )

5. 8x3 _{– 1}

a)

(2x - 1)(4x2₎

b)

(2x - 1)(4x2 _{+ 2x)}

c)

(2x - 1)(4x2 _{+ 2x + 1)}

d)

(2x + 1)(4x2 _{- 2x - 1)}

e)

(2x - 1)(4x2 _{+ 2x + 2)}

6. 1 - (a + b)3

a)

(-a-b)(1+a+b+a 2_+2ab+b 2₎

b)

(1-a-b)(1+a+b+a 2_+2ab+b 3₎

c)

(1-a+b)(1+a+b+a)

d)

(1+a-b)(1+a+b+a 2_+2ab+b 2₎2

7. x 2 - y 2

a)

(x + y )(x - y )

b)

(x + y )2

c)

(x - y )(x + y )

d)

(x + y2_{)(x - y )}

e)

(x + y )2_{(x - y )}2

8. 5 + 4x - x2

a)

(x + 1)(5 + x )

b)

(x + 1)(5 - x )

c)

(x - 1)(5 - x )

d)

(x + 1)(5 - x2 ₎

e)

(x + 1)(5 - x )2

9. a2 – 4

a) (a + 2)(a - 2)

b) (a - 2)(a - 2)

c) (a + 2)(a + 2)

d) (a - 2)(a + 2)

e) (a + 2)(a - 4)

10. x2y2 + xy – 12

a)

(xy + 4)(xy - 3)

b)

(xy - 4)(xy - 3)

c)

(xy + 4)(xy - 12)

d)

(xy + 4)(xy + 3)

e)

(xy + 4)(xy – 32₎

11. 4a2 _{– 9}

a)

(2a + 9)(2a + 3)

b)

(4a - 3)(2a - 3)

c)

(2a + 3)(2a - 3)

d)

(2a + 3)(3a - 3)

e)

(2a + 3)(2a - 3)2

12.

m 2 + mn - 56n2

a) (m + 7n )(m - 7n )

b) (m - 8n )(m - 7n )

c) (m - 8n )(m + 7n )

d) (m + 8n )(m + 7n )

e) (m + 8n )(m - 7n )

13. x6 - 6x3 – 7

a)

(x2 _{+ 7)(x}3 _{- 1)}

b)

(x3 _{- 7)(x}3 _{+ 1)}

d)

(x3 _{+ 7)(x}3 _{+ 1)}

e)

(x3 _{- 3)(x}3 _{+ 1)}

14. 16 - n2

a) (4 + n)(4)2

b) (4 - n)(2 - n)

c) (8 + n)(2 - n)

d) (4 + n)(4 - n)

e) (4 - n)(4 + n)

15. 1 - y 2

a) (1 + y )(2 - y )

b) (1 + y )(1 + y )

c) (1 + y )(1 - y )

d) (1 - y )(1 - y )

e) (1 - y )(1 + y )

16. 9 - b2

a) (3 + b)(3 - b)

b) (3 - b)(3 - b)

c) (3 + b)(2 + b)

d) (3 - b)(3 + b)

e) (3 + 2b)(3 - b)

17. 6x2 - 6 - 5x

a) (2x + 2)(3x - 3)

b) (3x - 2)(2x - 3)

c) (3x + 2)(3x - 3)

d) (3x + 2)(2x - 3)

e) (3x - 2)(2x + 3)

18. 12x2 _{- 7x – 12}

a) (4x - 4)(3x + 3)

b) (3x - 4)(4x + 3)

c) (3x - 3)(4x + 4)

d) (3x + 4)(4x - 3)

e) (2x - 4)(4x + 6)

19. 7x6 - 33x3 – 10

a) (7x2 _{- 2)(x}3 _{- 5)}

b) (7x3 _{- 2)(x}3 _{+ 5)}

c) (7x3 _{+ 2)(x}3 _{- 5)}

d) (7x2 _{- 2)(x}3 _{- 5)}

e) (7x3 _{+ 3)(x}2 _{- 5)}

20. 8a 2 _{- 14a – 15}

a) (2a + 5)(4a + 3)

b) (2a - 7)(4a + 2)

e) (2a - 5)(4a + 3)

21. a2_b8 _{- c}2

a)

(ab4 _{+ c )(ab}4 _{- c )}

b)

(ab2 _{+ c )(ab}2 _{- c )}

c)

(ab4 _{- c )(ab}4 _{- c )}

d)

(ab4 _{+ c )(ab}2 _{+ c )}

e)

(ab4 _{- c )(ab}4 _{+ c )}

22. 3x2 _{- 5x – 2}

a) (3x - 1)(x + 2)

b) (3x + 1)(x - 2)

c) (3x + 1)(2x - 2)

d) (3x + 1)(3x + 2)

e) (3x + 1)(x + 2)

23. a 3 _{+ 27}

a) (a + 9)(a 2 _{- 3a + 3)}

b) (a + 9)(a 3 _{- 3a - 3)}

c) (a + 3)(a 2 _{- 3a + 9)}

d) (a - 3)(a 2 _{- 3a + 9)}

e) (a + 3)(a 2 _{+ 3a + 9)}

24. m 3 _{- n} 3

a)

(m + n )(m 2 _{- mn - n} 2₎

b)

(m - n )(m 3 _{- mn + n} 2₎

c)

(m - n )(m 3 _{+ mn + n} 3₎

d)

(m - n )(m 2 _{+ mn + n} 2₎

e)

(m + n )(m 3 _{- mn + n} 2₎

25.

1 + a 3

a)

(1 - a )(1 - a + a3₎

b)

(1 + 2a )(1 - a + a2₎

c)

(1 - a )(1 - a + a3₎

d)

(1 + 2a )(1 + a + a2₎

e)

(1 + a )(1 - a + a2₎

26. a 3 _{– 125}

a)

(a - 5)(a 3 _{+ 5a - 25)}

b)

(a - 5)(a 2 _{+ 5a + 25)}

c)

(a - 5)(a 2 _{+ 5a - 15)}

d)

(a - 10)(a 3 _{+ 5a + 25)}

e)

(a + 5)(a 2 _{+ 5a + 25)}

27.

8x3 + y3

b)

(4x + y )(4x3 _{- 2xy + y}2₎

c)

(2x + y )(4x2 _{- 2xy - y}2₎

d)

(2x + y )(4x3 _{- 2xy + y}3₎

e)

(4x + 3y )(4x2 _{- 2xy + y}2₎

28. x3 _{– 27}

a)

(x - 3)(x2 _{+ 3x + 9)}

b)

(3x - 3)(x2 _{+ 3x + 9)}

c)

(x - 3)(x3 _{+ 3x + 9)}

d)

(x + 3)(x2 _{+ 3x + 9)}

e)

(x + 3)(x2 _{- 3x - 9)}

29.

a2 - 2ab + b2

a)

(a - b)4

b)

(a - b)

c)

(a - b)2

d)

(a + b)2

e)

(2a - 2b)

30.

x 2 - a2 + x - a2x

a)

(x + a 4_{)(x + 1)}

b)

(x + a 2_{)(x - 1)}

c)

(x - a 4_{)(x + 1)}

d)

(x + a 2_{)(x + 1)}

e)

(x - a 2_{)(x - 1)}

31.

a 2 _{– 1}

a)

(a - 1)(a - 1)

b)

(a + 1)(a - 1)

c)

(2a + 1)(a + 1)

d)

(a - 2)(a - 1)

e)

(a + 2)(a + 1)

32. 12 - 7x - 10x2

a)

(3x + 4)(4 - 5x )

b)

(2x - 3)(4 + 4x )

c)

(2x + 3)(4 - 5x )

d)

(2x2 _{+ 2)(4 + 10x )}

e)

(2x2 _{+ 3)(4 - 5x )}

33.

21x2 - 29xy - 72y2

a)

(3x - 8y )(7x + 9y )

b)

(3x + 8y )(7x + 9y )

c)

(3x - 7y )(3x - 9y )

34.

12x2 - x - 6

a)

(4x + 2)(4x + 3)

b)

(3x - 4)(4x - 3)

c)

(3x + 2)(3x2 _{- 3)}

d)

(3x - 2)(3x - 3)

e)

(3x + 2)(4x - 3)

35.

a)

b)

c)

d)

e)

36.

14x4 _{- 45x}2 _{– 14}

a)

(7x2 _{- 7)(2x}2 _{+ 2)}

b)

(2x2 _{+ 7)(7x + 2)}

c)

(2x2 _{+ 7)(7x}2 _{- 2)}

d)

(2x2 _{- 7)(7x}2 _{+ 2)}

e)

(7x2 _{- 2)(7x}2 _{- 2)}

37. 6x4 _{+ 5x}2 _{– 6}

a)

(3x4 _{- 2)(2x}4 _{- 3)}

b)

(6x2 _{- 2)(2x}2 _{- 3)}

c)

(3x2 _{- 2)(2x}2 _{+ 3)}

d)

(3x2 _{+ 2)(2x}2 _{- 3)}

e)

(3x4 _{- 2)(2x}2 _{+ 3)}

38. ab – bc

a)

2b(a - c)

b)

b(a - c)

c)

(a - c)2

d)

b(a + c)

e)

b(2a - c)

39. b + b2

a)

b(1 + b)

b)

2b(1 + b)

c)

b(1 - b)

d)

(1 + b)2

40. 30 + 13a - 3a 2

a)

(5a + 3)(6 + a )

b)

(3a + 5)(6 - a )

c)

(30a + 5)(1 - a )

d)

(3a - 5)(6 + a )

e)

(3a + 5)(6 - 2a )

41. a2 _{+ ab}

a)

2a(a - b)

b)

2(a + b)

c)

a(a - b)2

d)

2a(a + b)2

e)

a(a + b)

42. x 2 _{+ x}

a)

(x - 1)2

b)

(x + 1)2

c)

x (x - 1)

d)

x (x + 1)

e)

(2x + 1)

43. a(a + 1) + 3(a + 1)

a)

(2a - 1)(a + 3)

b)

(a2 _{+ 1)(a - 3)}

c)

(a + 1)(a + 3)

d)

(2a2 _{+ 1)(a + 3)}

e)

(a - 1)(a - 3)

44. 16m + 15m 2 _{– 15}

a)

(3m + 5)(5m - 3)

b)

(3m2 _{- 5)(5m - 3)}

c)

(3m - 5)(5m + 3)

d)

(3m + 1)(5m - 15)

e)

(3m2 _{+ 15)(5m - 1)}

45. 7x2 _{- 44x – 35}

a)

(7x2 _{+ 5)(x + 7)}

b)

(5x + 7)(x - 7)

c)

(7x - 5)(x + 7)

d)

(7x2 _{- 5)(x - 7)}

e)

(7x + 5)(x - 7)

46. x = ?

(1)

a) (1) Por sí sola. b) (2) Por sí sola.

c) Ambas juntas, (1) y (2). d) Cada una por si sola, (1) ò (2). e) Se requiere información adicional.

47. Para que la ecuación de segundo grado ax2 _{+ bx + c = 0 tenga sus raíces o} soluciones iguales debe cumplirse necesariamente que:

(1) b2 _{– 4ac = 0}

(2) El trinomio ax2 _{+ bx + c debe se necesariamente un trinomio cuadrado perfecto con} coeficientes enteros.

a) (1) por sí sola b) (2) por si sola.

c) Ambas juntas, (1) y (2). d) Cada una por si sola, (1) ò (2). e) Se requiere información adicional.

48. Si a y b son dos números distintos, el valor de a 4 _{– b} 4 _{se puede determinar si:} a2 _{+ b}2

(1) (a + b)(a – b) = 5

(2) a + b = 5

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

49. Las soluciones de la ecuación de segundo grado: ax 2 _{+ bx + c = 0, se pueden}

determinar si:

(1) b = - 7a y c = 12

(2) b 2 _{– 4ac = 1}

a) (1) Por sí sola.

b) (2) Por sí sola.

c) Ambas juntas, (1) y (2).

d) Cada una por si sola, (1) ò (2).

e) Se requiere información adicional.

50. Se puede concluir que x es un número negativo si se sabe que :

(1) 4x es negativo. (2) x – 3 es negativo.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

Claves

1. A 41. E

2. B 42. D

3. D 43. C

4. E 44. A

5. C 45. E

6. E 46. A

7. A 47. D

8. B 48. A

9. A 49. D

10.A 50. A

Bibliografía

 Enciclopedia de Matemáticas.

 http://es.wikipedia.org/wiki/FactorizaciC3%B3n

 Facsimile Santo Tomas matemáticas

 Modelo de prueba PSU. 2009

 Ensayos PSU.

 Imágenes: google

 http://www.sectormatematica.cl/psu/