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CONTRIBUCIÓN AL ESTUDIO
DE DOS CONCEPTOS BÁSICOS
DE LA LÓGICA FUZZY
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RESUMEN
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ABSTRACT
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ÍNDICE
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Índice
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INTRODUCCIÓN
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Introducción
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Introducción
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Verdad e inferencia
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Introducción
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Introducción
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Introducción
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Introducción
Definición II
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Introducción
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Introducción
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Introducción
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Representación de predicados vagos
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P P
56E 9@X>7E6E MS5696E LD7D 6O5>C>7 :D >KL7>E@PC 9> P R4> M>Z67 M69>:@A> D: L7>9@AD96 B $E<F E> NDC A6CE@9>7D96 A7@5>7@6E @C9@X@94D:>E 6 A6:>A5@X6EF A6M6F L67 >Z>ML:6F P
Introducción
A7@5>7@6E 9> >KL>756E R4> XD:67DC 9@;>7>C5>E E@54DA@6C>E lHmHnF A7@5>7@6E >E5D9<E5@A6E ODED96E >C M4>E57>6 Q 7>A4>C56 9> ;7>A4>CA@DE liinF 5SAC@ADE 9> E@M4:DA@PCF L76A>E6E 9> DCV:@E@E 9> D:5>7CD5@XDEF L76A>E6E 9> D9DL5DA@PCF ;7>A4>C5>E >C @C=>C@>7<D 9> A6C576:F >: L76A>E6 L76L4>E56 L67 d`$(, >C lHmmnF >5AB +D 6O5>CA@PC 9> P >E 4C L76A>E6
;4C9DM>C5D:M>C5> :6AD:F >C >: E>C5@96 9> R4> 9>L>C9> >C =7DC M>9@9D 9>: 4C@X>7E6 R4> E> A6CE@9>7> LD7D >: L7>9@AD96 PB
": AD7VA5>7 :6AD: 9> :D E>:>AA@PC 9> P C6 >E >: [C@A6 R4> DLD7>A> >C :P=@AD ;4??QF A6M6 E> 7>;:>ZD >C lInB +D >:>AA@PC 9> :DE A6C>A5@XDE 5DMO@SC L4>9> 9>L>C9>7 9>: L76O:>MD R4> E> >E5S A6CE@9>7DC96B "C =>C>7D:F :D :P=@AD ;4??Q 9@EL6C> 9> 4C eD7E>CD:f 9> 6L>7DA@6C>E R4> L4>9>C 7>L7>E>C5D7 A6C>A5@XDE A6M6 :D A6CZ4CA@PCF :D 9@EQ4CA@PCF :D C>=DA@PC 6 :D @ML:@ADA@PCB "Z>ML:6E 9> ;4CA@6C>E R4> E> 45@:@?DC NDO@U 54D:M>C5> E6C :DE 5UC67MDE Q 5UA6C67MDE lrF IHnF :DE ;4CA@6C>E 9> D=7>=DA@PC lhsnF :DE ;4CA@6C>E 9> @ML:@ADA@PC lsqnF :DE ;4CA@6C>E 9> C>=DA@PC lqmnF >5AB
"C :D L7>E>C5> M>M67@D E> ND L:DC5>D96 >CA6C57D7 4C MS5696 LD7D :D 6O5>CA@PC 9> :D ;4CA@PC 9> L>75>C>CA@D =>C>7D:@?D9DF PF LD7D A@>756 L7>9@AD96 PF R4> L49@>E> A4ML:@7 96E 6OZ>5@X6E8 >C L7@M>7 :4=D7F :D A6CE574AA@PC 9> 4CD ;67MD E@E5>MV5@AD 9> P QF >C E>=4C96F L:DC5>D7 4C MS5696 LD7D >:>=@7 A6C>A5@XDE D9>A4D96E DE6A@D96E D: L7>9@AD96B -6C >::6 E> L>7E@=4> DO7@7 4CD X<D 9> @CX>E5@=DA@PC E6O7> >: AD7VA5>7 :6AD: 9> :D :P=@AD ;4??QF A6CE@9>7DC96 X@CA4:D96EF Q C6 E>LD7D96E ^A6M6 NDE5D >: M6M>C56 E> A6CE@9>7DOD =>C>7D:M>C5> >C :P=@AD O6776ED^F :D 45@:@?DA@PC 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6EF M>ADC@EM6 9> 7>L7>E>C5DA@PC 9> L7>9@AD96E XD=6EF Q >: 4E6 9> A6C>A5@XDE :P=@ADEB
"C >: -DL<54:6 i E> L76L6C> 4C MS5696 LD7D :D 6O5>CA@PC 9> :D ;4CA@PC 9> L>75>U C>CA@D =>C>7D:@?D9D 9> 4C L7>9@AD96 O6776E6F A4DC96 A6C6A>M6E E4 4E6 M>9@DC5> 4C E@E5>MD 9> 7>=:DEF Q 9> D:=4C6E >:>M>C56E 9@E5@C=4@96E L76565<L@A6E 6 DC5@L76565<L@A6E 9>: L7>9@AD96B $ A6C5@C4DA@PC E> 9DC D:=4CDE ;67MDE 9> 6O5>C>7 A6C>A5@XDE :P=@ADE DE6A@D9DE D: L7>9@AD96 M>9@DC5> >: L76A>E6 L67 >: R4> E> ND 6O5>C@96 E4 ;4CA@PC 9> L>75>C>CA@DB
Introducción
+D >KL7>E@PC 9> 4C L7>9@AD96 O6776E6 DLD7>A> :@=D9D >C :P=@AD ;4??Q D 6576 A6CU A>L56 OVE@A6 9> :D 5>67<D8 >: A6CA>L56 9> XD7@DO:> :@C=v<E5@ADB /CD XD7@DO:> :@C=v<E5@AD >E 4CD XD7@DO:> R4> 56MD XD:67>E R4> E6C >KL7>E@6C>E :@C=v<E5@ADEB #67 >Z>ML:6Faltura E>7<D 4CD XD7@DO:> :@C=v<E5@AD A4DC96 A6CE@9>7DM6E A6M6 E4E L6E@O:>E XD:67>E alto, bajo, mediano, no muy altoF >5ABW >: M@EM6 ADE6 >E >: 9> edadF A6C XD:67>E A6M6viejo 6 jovenW 6 >: 9> verdad, A6C verdadero, falso, muy verdaderoF >5AB
+6E ADE6E >KL4>E56E 9> XD7@DO:>E :@C=v<E5@ADE 5@>C>C 4C 7DE=6 >C A6M[CF E4E XD:67>E L4>9>C A6CE574@7E> M>9@DC5> 4C L7>9@AD96 L7@CA@LD:F >C :6E >Z>ML:6E L697<D E>7 altoF joven Q verdaderoF 7>EL>A5@XDM>C5>W L67 E4 DC5PC@M6F bajo, viejo Q falsoW Q L67 A6C>A5@XDE Q M69@;@AD967>E :@C=v<E5@A6EF R4> DLD7>A>7<DC >C >KL7>E@6C>E 9>: 5@L6ni muy alto ni muy bajoB !>O@96 D >E5D AD7DA5>7<E5@AD >C >: -DL<54:6 J E> >E549@D 4CD 7>L7>U E>C5DA@PC >C :P=@AD O6776ED 9> :6E DC5PC@M6E Q E@CPC@M6EF 6O5>C@>C96 C4>X6E 7>E4:U 5D96EB $9>MVEF E> AD7DA5>7@?DC :6E D456M67;@EM6E 9>: @C5>7XD:6 lmFHn A4DC96 E> A6CE@9>7DC E6O7> S: 96E 6L>7DA@6C>EF 9D9DE L67 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCD Q E4 94D:B #67 [:5@M6F E> >E549@D A4VC96 >K@E5> 4C D456M67;@EM6 R4> 57DCE;67MD 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 >C 6576 >C 4C 4C@X>7E6 ;@C@56F A6CE@9>7DC96 :D 5UC67MD Min Q E4 94D: MaxB
CAPÍTULO 1. ESTADOS LÓGICOS BORROSOS
1.1. Definición y propiedades básicas
1.2. Preórdenes elementales
1.2.1. Identidad de preórdenes elementales
1.2.2. Relación de equivalencia entre estados lógicos
Introducción
"C >: L7>E>C5> ADL<54:6 E> DO679D >: >E549@6 9> D:=4CDE A4>E5@6C>E E6O7> >E5D96E :P=@A6E O6776E6E Q >C LD75@A4:D7 E4 7>:DA@PC A6C :6E L7>P79>C>E >:>M>C5D:>EB !>EL4SE 9> 4CD @C57694AA@PC E6O7> :6E A6CA>L56E OVE@A6E R4> E> 45@:@?DC Q E6O7> D:=4C6E 7>E4:5D96E QD A6C6A@96EF E> >E549@D A4VC96 96E E4OA6CZ4C56E O6776E6E 9DC :4=D7 D: M@EM6 L7>67U 9>C >:>M>C5D:F A6CE@9>7DC96 :D 5UC67MD M<C@M6 Q :DE 5UC67MDE D7R4@M>9@DCDEB /CD X>? 9>EA7@5DE :DE A6C9@A@6C>E C>A>ED7@DE Q E4;@A@>C5>E LD7D R4> >E56 6A477DF E> DCD:@?D APM6 >E L6E@O:> 6O5>C>7 4C 7>L7>E>C5DC5> ADCPC@A6 9> :D A:DE> 9> :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E R4> 9DC :4=D7 D: M@EM6 L7>679>C O6776E6B "E5> 7>E4:5D96 L>7M@5> Z4E5@;@AD7F >C M4AN6E ADE6EF :D >:>AA@PC 9> 7>L7>E>C5DC5>E C67MD:@?D96E >C :D A:DE>B #D7D ;@CD:@?D7 >: ADL<54:6 E> 6O5@>C>C A6C9@A@6C>E C>A>ED7@DE Q E4;@A@>C5>E LD7D R4> 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 E>D 4C TU>E5D96 :P=@A6 9> 4C L7>679>C >:>M>C5D:B +D AD7DA5>7<E5@AD ;4C9DM>C5D: 9> :6E >E5D96E :P=@A6E >E R4> 9DC :4=D7 D: M@EM6 L7>679>C E6O7> :6E >:>M>C56E 9>: 4C@X>7E6 9> 9@EA47E6B
1.1. Definición y propiedades básicas
/CD >E574A547D 7>:DA@6CD: O6776EDF @C>KDA5D 6 ;4??QF >E 4C LD7 yXFRz ;67MD96 L67 4C A6CZ4C56 XF 9>C6M@CD96 4C@X>7E6 9>: 9@EA47E6 6 A6CZ4C56 ODE>F R4> L4>9> >E5D7 965D96 9> D:=[C 5@L6 9> >E574A547D D:=>O7D@AD Q 9> 4CD ;4CA@PC R8X{XAlmFHn9>C6U M@CD9D 7>:DA@PC O6776EDB ": XD:67 Rybuaz E> @C5>7L7>5D A6M6 >: =7D96 9> 7>:DA@PC >C57> :6E >:>M>C56E 9>: LD7 yaFbzB -6M6 ADE6 LD75@A4:D7 E> A6CE@9>7DC :DE >E574A547DE 7>:DA@6CD:>E A:VE@ADE yXFzF 96C9> :D 7>:DA@PC >E O@XD:4D9DF >E 9>A@7F E4 ;4CA@PC 9> L>75>C>CA@D R 56MD EP:6 XD:67>E >C }mFH~B
2> 9>C6M@CD yXz5lmFHnX D :D A:DE> 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6E 9>: 4C@X>7E6 X @9>C5@;@AVC96:6E L67 E4 ;4CA@PC 9> L>75>C>CA@D =>C>7D:@?D9D B| yXz5 }mFH~X7>L7>U E>C5D7V A6M6 >E NDO@54D:F D: E4OA6CZ4C56 9> yXz ;67MD96 L67 :DE ;4CA@6C>E AD7DA5>U 7<E5@ADE 9> :6E E4OA6CZ4C56E A:VE@A6EB
Definición 1.1.1
2> 9@7V R4> 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 |D yXz >E 4C TU>E5D96 :P=@A6 9> yXFRzF E@>C96 T 4CD 5UC67MD yvidB $LSC9@A>z2F LD7D :D >E574A547D 7>:DA@6CD: yXFRzF E@ E> X>7@;@AD :D E@=4@>C5> A6C9@A@PC8
LD7D 5696 B
Ty |yaz FRybuaz z)|ybz F aFbDX
g 2@ C6 E> @C9@AD :6 A6C57D7@6F E> >C5@>C9> >C >E5> >E549@6 5UC67MD A6M6 5UC67MD A6C5@C4DB
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
-6M6 >E ;VA@: 9> A6ML76OD7F :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E A6CE5DC5>EF 9>;@C@96E A6M6 LD7D 5696 F Q F E@>ML7> E6C >E5D96E :P=@A6E LD7D A4D:R4@>7
|yaz _ aDX _ DlmFHn
>E574A547D 7>:DA@6CD: Q A4D:R4@>7 5UC67MDB !>C6M@CD7>M6E >E5D96E :P=@A6E L76L@6E D :6E >E5D96E :P=@A6E C6 A6CE5DC5>E Q 9>C65D7>M6E M>9@DC5> TyXFRz D: A6CZ4C56 9> TU >E5D96E :P=@A6E 9> :D >E574A547D 7>:DA@6CD: yXFRzB
+D 9>M6E57DA@PC 9> :DE E@=4@>C5>E L76L@>9D9>E OVE@ADE 9>: A6CZ4C56 TyXFRz L4>9> >CA6C57D7E> >C lHrF rmnB
Teorema 1.1.2
HB TyXFRz >E 4C E4O7>5<A4:6 9>: 7>5<A4:6 y yXz FMinFMaxzF D9>MVE E@ >E 4CD 5UC67MD A6C5@C4DF >C56CA>E >: E4O7>5<A4:6 >E A6ML:>56B T
gB 2@ T )TF >C56CA>E TyXFRz T yXFRzB hB 2@ R )R >C56CA>E TyXFRz TyXFR zB
Ejemplos 1.1.3
1.#D7D 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 A4D:R4@>7D |D yXzF E> 9>;@C>C :DE E@=4@>C5>E 7>:DU A@6C>E O6776EDE E4;@A@>C5>M>C5> A6C6A@9DE >C :P=@AD ;4??Q lrmn8
R|KDybuaz MaxyH |yaz F |ybz z
R|Wybuaz Maxy H |yaz FMiny|yaz F |ybzzz
R|rybuaz H |yaz |yaz |ybz F
9>C6M@CD9DE @ML:@ADA@6C>E 9> w:>>C>U!@>C>EF k@::M65 Q %>@AN>CODANF 7>EL>A5@XDU M>C5>B -6CE@9>7DC96 :D 5UC67MD 9> +4YDE@>j@A?F WyxFyz Maxy m Fx y HzF C6 >E
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
9@;<A@: A6ML76OD7 lrHn R4> |DWyXFR|KDzEWyXFR B $9>MVEF 9>O@96 W
| zEWyXFR
r
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D :D 9>;@C@A@PC 9> :D 5UC67MD WF LD7D A4D:R4@>7 6576 d D yXz E> A4ML:> R4>8
E@ Q EP:6 E@
d DWyXFR|KDz dyaz dybz)H Maxy H |yaz F |ybz z
Miny |yaz F H |ybz z F
d DWyXFR|Wz E@ Q EP:6 E@ dyaz dybz)Miny |yaz FMaxy H |yaz F H |ybz z z F
d DWyXFR|KDz E@ Q EP:6 E@ dyaz dybz)|yaz y H |ybz z F
LD7D 5696 LD7 9> >:>M>C56E aFb 9> XB $ M696 9> >Z>ML:6 XDM6E D AD:A4:D7 :6E WU >E5D96E :P=@A6E 9> R|KD LD7D 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 | R4> D:ADCA> :6E XD:67>E m Q HB
+6E E4OA6CZ4C56E A:VE@A6E l |n_ 9> X 7>L7>E>C5D7VC :6E _UA675>E 9> 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 | Q E> 9>;@C>C A6M68
": E4OA6CZ4C56 9> E>7V >: E6L675> 9> 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 F Q E> 9>;@C> l |n_ }xDX8 |yxz* _~B
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R4> |ybz mB "X@9>C5>M>C5>F 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 | C6 5@>C> L4C56E E@ E4 A6ML:>M>C5D7@6F 9>;@C@96 A6M6 | yxz Ny |yxz z FE@>C96 N 4CD ;4CA@PC 9> C>=DU A@PCF 5@>C> L4C56EB
Proposición 1.1.4
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
2>D | 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 R4> 5@>C> Q C6 5@>C> L4C56EF :DE A6C9@A@6C>E E@U =4@>C5>E E6C C>A>ED7@DE Q E4;@A@>C5>E LD7D R4> 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 d L>75>C>?AD D WyXFRKD 8
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iii) LD7D 5696 >:>M>C56 x 9> X E> X>7@;@AD |yxz y H _dz) dyxz)|yxz `dB
Demostración. &6MDC96 d DWyXFR|KDzF E> L74>OD R4> :DE 57>E A6C9@A@6C>E E6C C>A>ED7@DEB
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Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
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Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
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Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
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Proposición 1.1.5
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Demostración.
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Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
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Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
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Estados lógicos; Definición y propiedades básicas
I*(b/a)=sup{ze[0,l]:T(na,z)<nb} =
=sup{z€ [0,1] :hS~l) (h(fia) + h(z)) < nb}
T Las dos posibilidades siguientes permiten calcular la expresión de / :
— si \ia < \kb , entonces h(iia) >h(¡xb) y h(\iá) +h(z) ^ h{¡ib) para todo
z. Por tanto, /i("1}(h(na)+h(z))<h(~l)(h(ixb))=fjLb para todo z,
luego /M(fc/a) = l;
— si, en cambio, \ia> ¡xb , será h{¡xa) < h([xb) y h(nb) -h(fia) E
(0,/*(0)], puesto que h{ixb)-h{ixa)^h(¡xb)<h(Q). Entonces es
I (b/a)=h(~l\h(ixb)-h(iia)). En efecto, en primer lugar se cumple
que I*(b/a)>h(-l)(h(nb)-h(na)), ya que
¿( _ 1 ) (¿(/xa) +(h(h^l)(h(iib) -h(¡xa)))) =
=/i(_1) (/i(/xa) +¿(M¿>) -Hua)) = /J( _ 1 ) (*(/*&)) =
teniendo en cuenta que h(h^~1^ (JC)) =x cuando x G [0,h(0)].
Por otra parte, para todo z>hS~v>(h(nb)-h(ná)) tendremos h(z)<
h(h(-l) (h(nb) - hbia)) = h(iib) -h(fia). Así,
h(na)+h(z)< hifib)^ h(0)
y aplicando /t(_1), h{-l\h(na)+h(z))> h{-l)(h(nb))= \íb .
Con todo ello se cumplirá que
lT(hla\A 1 si iia <nb =
^K°'a) \hS-l)(h{vLb)-h{na)) si \».a>\ib
=h{-1\Max(0Mfib)-h(na))) =
=h(-lHh(ixb)eh(na))),
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
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Teorema 1.1.6
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Teorema 1.1.7
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Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
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Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
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Ejemplos 1.1.8
1. -6CE@9>7>M6E :D >E574A547D 7>:DA@6CD: 9>;@C@9D >C >: L4C56 J 9> :6E >Z>ML:6E HBHBhB +D 7>:DA@PC 9>;@C@9D >E A:VE@AD QF L67 5DC56F E> L4>9> DCD:@?D7 APM6 E6C E4E >E5D96E :P=@A6E A:VE@A6EB "C L7@M>7 :4=D7F :6E _UA675>E 9> | l |nF _F E6C >E5D96E :P=@A6E 9> yXFIpzF LD7D 5696 _ DlmFHnF QD R4>F E@ aDl |n_ Q I|ybuaz HF E> A4MU L:@7V R4> _ )|yaz) |ybz Q bDl |n_B
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2> 9@A> R4> 4C E4OA6CZ4C56 A:VE@A6 V >E A>77D96 ODZ6 | E@ >: XD:67 `V E> D:ADC?D >C VF >E 9>A@7F E@ >K@E5> 4C >:>M>C56 a 9> V 5D: R4> |yaz `VB
2@ 4C E4OA6CZ4C56 V >E A>77D96 ODZ6 F E> X>7@;@AD7V R4>| VDLyXFI|z E@ Q EP:6 E@ B #D7D A6ML76OD7 >E5D D;@7MDA@PC ODE5D A6CE@9>7D7 >C L7@M>7 :4=D7 R4> E@ V l |n`
V
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
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Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
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Ejemplo 1.1.9
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Estados lógicos: Definición y propiedades básicas