Estados lógicos de un T-preorden elemental

": A6C9@A@6CD: MD5>7@D: O6776E6F 6 L7>679>C >:>M>C5D:F DE6A@D96 D 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 F L>7M@5> 9>;@C@7 >: E@=4@>C5> L7>679>C >C57> >E5D96E :P=@A6E8|

E@ Q EP:6 E@

d | IdT*I

T

|B

": L7>679>C 9D7V :4=D7 D 4C 679>C LD7A@D: >C >: A6CZ4C56 A6A@>C5> TyXFRz u¾B +D 9>;@C@A@PC 9>: 679>C >E >R4@XD:>C5> L67 >: 5>67>MD HBHBq D :D A6C9@A@PC6

E@ Q EP:6 E@ B

d | d DTyXFI|Tz

!@AN6 679>C L7>E>C5D 4C >:>M>C56 M<C@M6F ;67MD96 L67 :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E A6CE5DC5>E | _F _ DlmFHnF QD R4> SE56E 9DC :4=D7 D: L7>679>C A6CE5DC5> I_T H Q E6C E@>ML7> >E5D96E :P=@A6EW Q C6 L6E>>F >C =>C>7D:F >:>M>C56 MVK@M6B #D7D X>7:6 A6CE@U 9>7>M6E >: E@=4@>C5> 5>67>MDF

Teorema 1.2.3.1

": 679>C LD7A@D: E6O7> TyXFRz u¾ 5@>C> >:>M>C56 MVK@M6 E@ Q EP:6 E@ R >E 4C L7>679>C >:>M>C5D:B

Demostración. 2@ >K@E5> |DTyXFRzu¾ A6C d | LD7D 5696 d DTyXFRzu¾F >C56CA>E >E R4> I_dT*I|T LD7D 5696 d DTyXFRz u¾ QF L67 >: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PCF

q _{"E 9>O@96 D R4> E> A4ML:> >E5D A6C9@A@PC L67 :6 R4> E> ND @CX>75@96 >: 679>C >C57> L7>P79>C>E >:>M>CU}

5D:>E D: 9>;@C@7 B

Estados lógicos de preorden elemental

": 7>A<L76A6 >E 5DMO@SC E>CA@::6F E@ >C56CA>EF LD7D 5696 F E>

R inf d DTyXFRz IT d I T | B R I|T d DTyXFRz u¾

X>7@;@AD7V R4> R IT F L67 E>7 >E5D96 :P=@A6B

| )I

T

d d

bDE5DF L67 A6CE@=4@>C5>F 56MD7 4C L7>679>C C6 >:>M>C5D: R LD7D R4> >: 679>C C6 5>C=D >:>M>C56 MVK@M6B "E >X@9>C5> R4> E@ d |F d >E @77>:>XDC5> >C >: AV:A4:6 9>: L7>679>C R D 57DXSE 9>: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PCB

+D >R4@XD:>CA@D >C57> d | Q d DTyXFI|Tz A6C94A> D >E549@D7 A6C9@A@6C>E 9> L>75>U C>CA@D D: A6CZ4C56 TyXFI|TzB "C >: ADE6 9> :D 5UC67MD '<C@M6 5>C>M6E >: E@=4@>C5> 7>E4:5D96 9> AD7DA5>7@?DA@PCB

Teorema 1.2.3.2

/C E4OA6CZ4C56 O6776E6 d L>75>C>A> D MinyXFI|Minz E@ Q EP:6 E@ E> X>7@;@ADC :DE 96E A6C9@A@6C>E E@=4@>C5>E8

i) E@ |a)|b >C56CA>E da) db Q

ii) E@ |a |b Q dadb >C56CA>E |b) dbF

LD7D 5696 LD7 9> L4C56E aFbDXB

Demostración.

Dz +DE A6C9@A@6C>E E6C C>A>ED7@DEB "C >;>A56F

^ E@ |a)|bF >C56CA>E I|Minybuaz H)I F :6 R4> 6A477> E@ Q EP:6 E@

Min d ybuaz W da) db ^ Q E@ |a |b Q dadbF E> 5>C97V R4> I|Minybuaz |b) I Min d ybuaz dbB is

Estados lógicos de preorden elemental

Oz +DE A6C9@A@6C>E E6C E4;@A@>C5>EB "C >;>A56F

^ E@ |a)|bF >C56CA>E MinydaFI|Minybuaz z da) db L67 iW

^ Q E@ |a |bF E> A4ML:@7V R4> MinydaFI|Minybuaz z MinydaF|bzW D: E>7 F >C56CA>E F E@ >C56CA>E

|a |b da* db da db MinydaF|bz) da db

Q E@ dadbF L67 :D A6C9@A@PC ii |b) dbW DE< MinydaF|bz) |b) dbB -6CE>A4>C5>M>C5> E@>ML7> d DMinyXFI|MinzB

+D A6C9@A@PC i9>: 5>67>MD D;@7MD R4> :6E >E5D96E :P=@A6E 5@>C>C >: M@EM6 AD7VAU 5>7 9> M6C656C<D R4> B !> N>AN6 E> X>7@;@AD7VC :DE E@=4@>C5>E A6C9@A@6C>E 9> M6C656U| C<D8

^ E@ | >E A6CE5DC5>F >C56CA>E d >E A6CE5DC5>F QD R4> E@ |a |b E> A4ML:@7VC

Q F A6C :6 R4> Q F QF L67 A6CE@=4@>C5>F F

|a)|b |a*|b da) db da* db da db

^ E@ | >E A7>A@>C5> >C56CA>E d >E C6 9>A7>A@>C5> Q ^ E@ | >E 9>A7>A@>C5> >C56CA>E d >E C6 A7>A@>C5>B

#67 657D LD75>F :D A6C9@A@PC ii D;@7MD R4> |a) daF E@>ML7> R4> >K@E5D 4C >:>M>C56 5D: R4> Q F :6 A4D: A6C::>XD R4> >E5V E@>ML7> L67 9>ODZ6

bDX |b |a dbda |

9> d ED:X6 R4@?V 96C9> |Fd D:ADCA>C E4E XD:67>E MVK@M6EB

": E@=4@>C5> 5>67>MD >E5DO:>A> :D 7>:DA@PC >K@E5>C5> >C57> >: C[A:>6 Q >: E6L675>F A6CU Z4C56E 9>;@C@96E >C :D LV=@CD HIF 9> 4C >E5D96 :P=@A6 d 9> I|MinB

Teorema 1.2.3.3

Estados lógicos de preorden elemental

2@ d DMinyXFI|Minz Q d &0 y>: E4OA6CZ4C56 O6776E6 @9SC5@ADM>C5> C4:6zF >C56CA>E E> X>7@;@ADC :DE E@=4@>C5>E A6C9@A@6C>E8

i) l|n_{_|}…ldn_{_} F

d

ii) y|z_m…ydzmB

Demostración. 2> A4ML:>C :DE 96E A6C9@A@6C>EB

i) 2@ l|n_{_|} ’ >C56CA>E >E 57@X@D:B 2>D aDl|n_{_|}F E> 5>C97V R4>

L67 E>7 >E5D96 :P=@A6F :4>=6 B

sup

b

MinydbFI|Minyaubz z sup

b MinydbFHz sup b d b) daF d aDldn_{_} d

ii)2>D aDy|z_m ^9> C4>X6 E@ y|z_m ’ E>7<D 57@X@D:^F E@ E> A4ML:> R4> aDldn_{_}

d

F >C56CA>E aDydz_mF L4>E56 R4> d &0B 24L6C=DM6E R4> aldn_{_} F :6 R4> @ML:@AD L67 i

d

R4> al|n_{_|}B -DO>C 96E L6E@O@:@9D9>E8 R4> l|n_{_|}& ’ QF L67 5DC56F >K@E5D bDl|n_{_|}…

F 5D: R4> Q F L67 :6 R4> F =7DA@DE D: 5>67>MD HBgBhBg Q ldn_{_}

d

|b |a dbda mÇ|a) da

>C A6CE>A4>CA@D aDydzmW 6 O@>C R4> l|n_| ’F >C A4Q6 ADE6 E> 9>;@C>C :6E E@=4@>C5>E A6CZ4C56E8

2> X>7@;@AD R4> F QD R4>F E@ @ML:@AD R4> QF L67 >: &>67>U y |z_|a }bDX8 |b |a~B

ydz_da…y |z_|a by |z_|a |b)|a

MD HBgBhBgF E> A4ML:@7V R4> db) daF A6C :6 R4> bydz_daB $: 5>C>7 R4> aldn_dF >C56CA>E ydz_da& ’ QF L67 5DC56F >K@E5@7V 4C bDydzda…y |z|aF :4>=6 |b |a Qdbda F A6C :6 R4> mÇ|a) daF >E 9>A@7F aDydz_mB

"C >: ADE6 9> :DE 5UC67MDE D7R4@M>9@DCDE :D AD7DA5>7@?DA@PC 9> :6E >E5D96E :P=@A6E 9> 4C L7>679>C >:>M>C5D: X@>C> 9D9D L67 >: E@=4@>C5>

Teorema 1.2.3.4

Estados lógicos de preorden elemental

/C E4OA6CZ4C56 O6776E6 d L>75>C>A> D TyXFI|TzF A6C T 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCDF E@ Q EP:6 E@ E> X>7@;@ADC :DE 96E A6C9@A@6C>E E@=4@>C5>E8

i) E@ |a)|bF >C56CA>E da) db Q

ii) E@ |a |b Q dadbF >C56CA>E hy |bz hy |az* hydbz hydazF LD7D 5696 LD7 9> L4C56E aFbDXB

Demostración. +D 9>M6E57DA@PC >E E@M@:D7 D :D 9>: 5>67>MD HBgBhBgF ED:X6 >C :6 R4> A6CA@>7C> D :D A6C9@A@PC iiF L>76 >E E4;@A@>C5> A6CE@9>7D7 R4> E@ |a |b Q dadbF >C56CA>EF 5DC56hy |bz hy |az A6M6 hydbz hydazF L>75>C>A>C D: @C5>7XD:6l m Fhy m z n F L4>E56 R4>

!> >E5D ;67MDF A4DC96 Q E> 5>C97V R4> E@ Q EP:6

hy |bz hy |az)sup b hy |bz hy |az)hysup b |bz hy |az)hy m z hy |az)hy m zB |a |b dadb I|Tybuaz) I T dybuaz

E@ hy Hz_{yhy |bz hy |az z) h}y Hz_{yhydbz hydaz z}F >E 9>A@7F E@ Q EP:6 E@ _{hy |bz} QD R4> >C >E> ADE6 B

hy |az* hydbz hydaz F hy Hz h H

$: X>7@;@AD7E> :D A6C9@A@PC i 5DMO@SC LD7D :DE 5UC67MDE D7R4@M>9@DCDEF :6E >E5D96E :P=@A6E A6CE>7XDC :D M6C656C<DB +D A6C9@A@PC ii) C6 DA:D7D E4;@A@>C5>M>C5> APM6 E6C :6E >E5D96E :P=@A6E LD7D :6E L7>P79>C>E >:>M>C5D:>E 9>;@C@96E D LD75@7 9> 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCDB ": E@=4@>C5> 5>67>MD 9D 4CD @9>D 9> E4 A6ML675DM@>C56B

Teorema 1.2.3.5

2@ | 5@>C> 4C C[A:>6 C6 XDA<6 Q __| HF >C56CA>E 5696E :6E >E5D96E :P=@A6E A6C L4C56E 9> I|T >E5VC L67 >CA@MDB

Demostración. 2@ d DTyXFI|TzF >C56CA>E l|nH…ldnH QD R4> E@ aDl|nH E> A4ML:> R4>

Estados lógicos de preorden elemental

QF L67 5DC56F B $L:@ADC96 :D A6C9@A@PC ii 9>: 5>67>MD HBgBhBiF 5>C97>M6E R4>

sup b TydbFI|Tyaubz z sup b TydbFHz sup b d b) da aDldn_H

LD7D 5696b 9> F A6CX |bÇ H Q dbÇ HF E> 9>O> A4ML:@7 R4> hy |bz hy |az* hydbz hydaz

A6C aDl|nH QF L67 A6CE@=4@>C5>F hy |bz*hydbzF:6 A4D: 6A477> E@ Q EP:6 E@ |b) dbB