B3 0Análisis GRÁFICAS FUNCIONES

(1)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

0. Estudio y Gráfica de una función

La gr áf i c a d e u n a fu n c i ón es t á f or mad a p o r el co n ju n to de p u n t o s (x , y) c u an d o x var í a en el d o min i o D. G r áf i c a (f ) = {(x, f (x)) / xD}

1 . Do min i o d e u na f u n ci ó n . 2 . Si met rí a.

3 . Per io d ic i d ad.

4 . Pun t o s d e c or te c o n l o s ej es. 5 . A sí nt o t as.

6 . Ramas p ar ab ó lic as .

7 . Cr ec i mi en to y Dec r ec i mi en t o . 8 . Máx i mo s y míni mo s .

9 . C on c avi d ad y co n vexi d ad . 1 0 . Pun t o s d e in flex i ó n .

1. Dominio de u na función

E l d o mi ni o d e un a f u n c ió n est á f o r mad o p or t o dos l o s el emen t o s q u e ti enen i magen . D = {x / f (x)}

1 . 1 . Do mi ni o d e l a fu n c i ón p o li n ó mi c a : 

1 . 2 . Do mi ni o d e l a fu n c i ón r ac i o n al : f (x)= P/Q - {men o s val o r es Q (x)= 0 }. 1 . 3 . Do mi ni o d e l a fu n c i ón r ad i c al d e índ i c e i mp ar : .

1 . 4 . Do mi ni o d e l a fu n c i ón r ad i c al d e índ i c e p ar :

E l d o min io e st á f orm ad o p o r to d o s lo s valo re s qu e hace n q ue el ra d ican do se a mayor o igu al q u e ce ro .

;

(2)

1 . 5 . Do mi ni o d e l a f u n ci ó n l o garí t mi c a : t o d o s lo s val o r es q u e h ac en q u e el r ad i c and o sea ma yo r q u e c er o .

;

1 . 6 . Do mi ni o d e l a fu n c i ón exp on en c i al : D =  1 . 7 . Do mi ni o d e l a fu n c i ón s eno : D = .

1 . 8 . Do mi ni o d e l a fu n c i ón co sen o : D = . 1 . 9 . Do mi ni o d e o per ac i o n es c on f u n cio n es

;

2. Simetría de una función

2 . 1 . Si met r í a PA R (r e sp e ct o a l eje OY ): f(- x ) = f (x)

2 . 2 . Si met r í a I MPA R (re sp e ct o al o r ige n O): f (- x ) = - f (x )

3.-Periodicidad de Funciones

Un a f un c ió n e s p erió d i c a cu an do :

T / f (x+ T )=f (x), xDo mi n io

La f un ció n se re p it e d e T en T, sien d o T el p er ío d o .

E n e l caso de la fu nció n se no T = 2 π

4. Puntos de corte con los ejes

(3)

5. Asíntotas: rec t as a l as c u al es l a f u n c i ó n s e va ac er c an d o i n d efi n id amen t e s i n l l egar nu n c a a co r tar l as .

5 . 1 . A sí n t ot as h or izo n t al es (A H): 𝐥𝐢𝐦

𝒙→±∞𝒇(𝒙) = 𝒌 ⟹ 𝒚 = 𝒌

5 . 2 . A sí n t ot as ver t ic al es (A V):

lim

x→a

f(x)= ±∞ ⇒x=a

a s o n l o s p un t o s qu e n o p er t en ec en al d o mi n io d e l a f un c i ó n (en la s

f u n cion e s racio n a les).

5 . 3 . A sí n t ot as o bl i cu as (A O ): y= mx + n ; Do n d e: m=lim

x→±∞ f(x)

x y n=limx→±∞ [f(x)-mx];

6. Ramas parabólicas

La s r amas p ar ab ó li cas se e stu d ian só lo si: lim

x→±∞f(x)=±∞

6 . 1 . Rama p ar ab ó l i ca en l a di r ec c ió n d el ej e O Y: lim

x→±∞ f(x)

x = ±∞

E st o q u iere d e cir qu e la gráf ica se com p o rta co m o un a pa rá b o la d e e je ve rt ical.

6 . 2 . Rama p ar ab ó l i ca en l a di r ec c ió n d el ej e O X:

lim x→±∞

f(x) x =0

E st o q u iere d e cir qu e la gráf ica se com p o rta co m o un a pa rá b o la d e e je ho rizo nt al.

7. Crecimiento y decrecimiento

7 . 1 . C r ec i mi ent o en u n p u nt o : f '(a) > 0 7 . 2 . Dec r ec i mi en to en u n p u nt o : f '(a) < 0

7 . 3 . I nt er val o s d e cr ec i mi en t o y d ec r eci mi en t o

P ar a h allar e l c r ecimi en t o y d ec r ec i mi en t o se gu ire mo s lo s sigu ie n t es p aso s:

1 . Der i var l a fu n ci ón .

2 . Ob t en er l as r aí c es d e l a d er i vad a pr imer a, h a c ie n do : f '(x) = 0 .

3 . F o r mamo s i n t er val o s ab i er t o s c o n los c er o s (raíce s) d e l a d er i vad a p r i mer a y lo s p u nt os d e di s c o nt in u id ad (si lo s hu b ie se )

4 . T o mamo s u n val o r d e c ad a in t er val o , y h al l amo s el s i gn o q u e t i en e en l a d eri vad a p ri mer a.

Si f '(x) > 0 es cr ec i en t e. Si f '(x) < 0 es d ec r ec i ent e.

(4)

8. Extremos relativos : Máximos y mínimos

Par a q u e exi s t an ex t r emo s r el at i vo s en u n a f u nc i ón s e h an d e c u mp l ir l as s i gu i en t es d o s c o n di c i on es :

a ) f '( x0) = 0; b) Si f ''( x0) ≠ 0 .

8 . 1 . Máxi mo s r el ativo s: a ) f '(x0) = 0 ; b) Si f ''(x0) < 0 .

La f un ció n p asa d e cr ec i en t e a d ec r ec i en t e .

8 . 2 . Mí n i mo s r el ativo s: a ) f '(x0) = 0 ; b) Si f ''(x0) > 0 .

La función pasa de dec rec i en t e a cr ec i en t e .

9. Concavidad y convexidad :

Convexa:  S i f ''(a) > 0 ; Cóncava:  Si f''(a) < 0

Par a h al l ar l o s i n t erval o s d e c on c avi d ad y c o n vexi d ad , t endr emo s q u e:

1 . Res o l ve r f ’ ’ (x )= 0 y c al c u l amo s su s r aíc es .

2 . Fo r ma r i n t er val os ab i er t o s c o n l o s cer o s (r aí c es) d e l a f ’ ’ (x) y l o s p u n to s d e d i sco n ti nu i d ad (si l o s h u bi ese).

3 . T o mar u n val o r d e c ad a i n t er val o , y h al l amo s el s i gn o q u e t i en e en l a d eri vad a segu n d a :

Si f ''(x) > 0 es c o n vexa . Si f ''(x) < 0 es c ó nc ava .

4 . E s cr ib i r lo s i n t erval o s

10. Puntos de inflexión de una función

Si f ’ ’ (a) = 0 y f ’’ ’ (a) ≠ 0  x = a es un Punto de inflexión:

P ar a h a llar lo s pu n to s d e i n fl exi ó n , se gu ire m o s lo s sigu ie nte s p a so s:

1 . Res o l vemo s f ’’ (x)= 0 y c al cu l amo s s us r aí c es.

2 . C al c u l amo s en f ’ ’ ’ (x ) el s i gn o q u e t o man en el l a l o s c er o s d e d er i vad a s egu n d a y si: f '''(x) ≠ 0 T en emo s u n p un t o d e i n flex i ó n .

(5)

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

1. Representar la siguiente función:

Dominio:

Simetría:

P u n t o s d e c o r t e c o n l o s e j e s :

c o n O X: ; c o n O Y:

A s í n t o t a s

A s í n t o t a h o r i z o n t a l:

A s í n t o t a s v e r t i c a l e s:

A s í n t o t a o b l i c u a :

; ;