Apunte Longitud de arco.pdf

(1)

Funci´

on Longitud de Arco

Si al extremo final de la curva L(t) =

t R

a

kf0_(t)kdt _{se deja variable, entonces el l´ımite superior de la}

integral depende del par´ametrot, y se tiene que la longitud de arco de una curva es funci´on de la variable

escalar t o sea L(t) =

t R

a

kf0(t)kdt entonces L(t) define un nuevo par´ametro parac al que se denomina

par´ametro de longitud de arco. Es decir si tenemos una curva c=f(t) y ¯f(t) es una reparametrizaci´on dectal que la rapidez con que ¯f(t) recorre aC es constante igual a 1 es decirkf(t)k= 1∀t∈I, por lo tanto

L f¯(t)

=

Z b

a

kf0(t)kdt=

Z b

a

1dt=b−a

por lo que ¯f sera una reparametrizaci´on tal que la longitud de la curva que describe es igual al tiempo que tarda en recorrerla.

Ejemplo: Seaf(t) = (rcost, rsint). Obtengamos la reparametrizacion por la longitud de arco.

s=L(t) =

Z t

0

kf0(t)kdt=

Z t

0

q

r2_(cos2_{(t) + sin}2_t)dt₌Z

t

0

rdt=rt

Entoncess=rt, por lo tanto s r =t.

Entonces el camino ¯f(s) = f(r

s) = (rcos( s r), rsin(

s

r)) es la reparametrizaci´on por la longitud de

arco.

Observe que kf¯0(s)k=k −rsin(s_r)1_r, rcos(s_r)1_rk=k −sin(s_r),cos(s_r)k= 1∀s∈I, como tenia que ocurrir.

Ejemplo: Reparametrice la h´elice r(t) = costˆi+ sintˆj+tˆkcon respecto a la longitud de arco.

Soluci´on.

s=s(t) =

Z t

0

kr2_(t)kdt₌Z

t

0

p

cos2_t_{+ sin}2_t_{+ 1dt}₌Z

t

0 √

2 dt=√2 t

⇒ s=√2 t Por lo tanto √s

2 =t ytesta en funci´on des.

Por lo tanto la parametrizaci´on requerida es

¯ r(t) =

cos

_s

√ 2

,sin

_s

√ 2

,√s 2

y

k¯r0(s)k=

s

−sin

_s

√

₁

√

2

+

₁

√ cos

_s

√

2

+

₁

√

2

(2)

s

1 2

cos2

_s

√ 2

+ sin2

_s

√ 2

+1 2 =

√

1 = 1 como tenia que ser.

Ejemplo: Obtenga la reparametrizaci´on de la catenariaf(t) = (t,cosh(t))

Soluci´on. Tenemos que:

f0(t) = (1,sinh(t)) por lo tanto kf0_(t)k ₌ q_{1 + sinh}2

(t) de la identidad cosh2(t)−sinh2(t) = 1 tenemos que:

kf0(t)k=

q

1 + sinh2(t) =

q

cosh2(t) = cosh(t)

⇒s=

Z t

0

kf0(t)kdt=

Z t

0

cosh(t) = sinh(t)−sinh(0) = sinh(t)

Por lo tanto s= sinh(t) y arcsin h(s) =t

| {z }

∗

Recordemos que sis= sinh(t), entonces:

s= e

t₋_e−t

2 ⇒ 2s=e

t₋_e−t_⇒ _2set₌_e2t₋₁_⇒ _e2t₋_2set₋_{1 = 0}

y resolviendo esta última como una ecuación cuadrática de 2do grado enet tenemos que:

et=2s √

4s2_{+ 4}

2 =s+

p

s2_{+ 1} _⇒ _es₌_s₊p

s2_{+ 1}

Por lo tanto s= lns+ps2_{+ 1} _⇒ _t_{= ln}_s₊p_s2_{+ 1}

Por lo tanto la reparametrizaci´on por longitud de arco es:

¯

f(s) =lns+ps2_{+ 1}_, _cosh_ln_s₊p_s2_{+ 1} y

kf−1_(s)k₌

1

s+√s2_{+ 1}

1 + 2s 2√s2_{+ 1}

, sinh



 ln

s+ps2_{+ 1}

| {z }

∗



 

₁

s+√s2_{+ 1} 1 + 2s

2√s2_{+ 1}

(3)

1

s+√s2_{+ 1}

"√

s2_{+ 1 +}_s √

s2_{+ 1}

#

, sinh(arcsin(s))

₁

s+√s2_{+ 1}

"√_s2_{+ 1 +}_s √

s2_{+ 1}

#

=

1 √

s2_{+ 1}, s √

s2_{+ 1}

=

r

1 s2_{+ 1} +

s2 s2_{+ 1} =

r

s2_{+ 1} s2_{+ 1} =

√ 1 = 1

Vector tangente unitario, Normal principal

y plano osculador

Dada una curva f(t), el vector unitario tangente T es otra funci´on vectorial asociada a la curva, y est´a definida por:

T(t) = f 0_(t)

kf0_(t)k siempre quekf

0_{(t)k 6= 0.}

Observese que:

kT(t)k=

f0(t) kf0_(t)k

= 1

kf0_(t)kkf

0_(t)k_{= 1}

T es de magnitud constante, por lo tantoT·T0 = 0. Si la direcci´on es linealT0 = 0.

SiT0 6= 0 el vector unitario que tiene la misma dirección queT0 se llamaNormal principal a la curva y se designa porN(t). Asi puesN(t) es una nueva función vectorial asociada a la curva y esta dada por la ecuación:

N(t) = T 0_(t)

kT0_(t)k siempre que kT

0_{(t)k 6= 0}

Cuando los dos vectores unitariosT yN est´an trazados por el punto de la curvaf(t), determinan un plano llamado osculador de la curva.

El plano osculador es el plano que mejor se adapta a la curva en cada uno de sus puntos. Si la curva es plana, el plano osculador coincide con el plano de la curva.

Ejemplo: Consideremos el caminof :_R→_R3 _{dado por:}

f(s) =

cos

_s

√ 2

,sin

_s

√ 2

,√s 2

el cual es dos veces diferenciable parametrizado por longitud de arco y que describe una h´elice circular enR3. Obtenga la ecuaci´on del plano osculador en el puntof(

√

2 π) = (0,1, π).

f0(s)

−√1

_s

√

₁

√

_s

√

₁

√

(4)

yT(√2π) = (0,−_√1 2,

1 √

2), por otro lado:

N(s) = T 0_(s)

kT0_(s)k =

−√1 2cos _s √ 2 1 √ 2

,−√1 2 ₁ √ 2 sin _s √ 2 ,0 (2) = = −cos _s √ 2,

,−sin

_s √ 2 ,0

yN(√2π) = (1,0,0). Ahora realizamosT(√2π) xN(√2 π) =

=

ˆ_i ˆ_j _kˆ

−1 √ 2sin s √ 2 1 √ 2cos s √ 2 1 √ 2 −cos√s

2

−sin√s 2 0 = ₁ √ 2sin _s √ 2

,−1√ 2cos

_s

√ 2

,√1 2

al evaluar en √2 π nos queda (0,√1 2,

1 √

2). Por lo tanto la ecuaci´on del plano osculador en P = (0,1, π) es:

(x−0, y−1, z−π)·

0,√1 2, 1 √ 2 = 0

⇒ √1

2(y−1) + 1 √

2(z−π) = 0 ⇒y+z=π−1

Un tercer vector definido medianteB =TxN recibe el nombre deVectror binomial. Los tres vectores unitarios T, N y B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientaci´on derecha llamadoTriedo de Frenet.

El plano generado por T y N se denomina plano osculador. El plano generado por N y B se llama plano normal, mientras que el plano generado porT yB se llama plano rectificador.

Ejercicio: Obtenga las ecuaciones del plano normal y del plano rectificador del ejercicio anterior y en el mismo punto.

Soluci´on. Para el plano normal tenemos P = (0,1, π) y T(√2 π) = (0,√−1 2,

1 √

2) por lo tanto la ecuaci´on es:

(x−0)0− √1

2(y−1) + 1 √

2(z−π) = 0 ´o −y+z=π−1

Para el plano rectificador tenemosP = (0,1, π) yN(√2π) = (1,0,0), por lo tanto la ecuaci´on es:

(5)

La recta Tangente es (x, y, z) = (0,1, π) +t(0,−√1 2,

1 √

2). La recta Normal es (x, y, z) = (0,1, π) +t(1,0,0).

La recta Binormal es (x, y, z) = (0,1, π) +t(0,√1 2,

1 √

2).

En Resumen:

La ecuaci´on del plano Normal es ... (q−f(s))·T(s) = 0

La ecuaci´on del plano Rectificador es ... (q−f(s))·N(s) = 0

La ecuaci´on del plano Osculador es ... (q−f(s))·B(s) = 0

La ecuaci´on de la recta Tangente es ...q=f(s) +tT(s)

La ecuaci´on de la recta Normal es ...q=f(s) +tN(s)

La ecuaci´on de la recta Binormal es ...q=f(s) +tB(s)

En una recta, el vector unitario tangenteT no cambia su dirección y por tantoT0 = 0. Si la curva no es una linea recta, la derivadaT0 mide la tendencia de la tangente a cambiar su diracción. El coeficiente de variación o derivada de la tangente unitaria respecto a la longitud de arco se denominavector curvatura de la curva. Se designa pordT /dsdonde s representa la longitud de arco.

La regla de la cadena y la f´ormulas0(t) =kf0_(t)k_{permite relacionar el vector curvatura}_{dT /ds}_{con la} derivadaT0 respecto al tiempo mediante la ecuaci´on:

dT ds =

dT dt

dt ds =T

0 1

ds dt

=T0 1 kf0_(t)k

y puesto queT0(t) =kT0_(t)kN_{(t), obtenemos:}

dT ds =

1 kf0_(t)kkT

0_kN_(t)

que dice que el vector curvatura tiene la misma direcci´on que la normal principalN(t). El factor de escala que multiplica aN(t) es un n´umero no negativo llamado curvatura de la curva ent, y se designa pork(t).

Asi la curvatura de k(t) definida como la longitud del vector curvatura esta dado por la f´ormula siguiente:

k(t) = kT 0_(t)k

(6)

Ejemplo: Curvatura de una circunferencia. Para un c´ırculo de radio a dado por la ecuaci´on r(t) = (acost, asint) tenemos:

r0(t) = (−asint, acost) y T(t) = (−sint,cost) y T0(t)(−cost,−sint)

Por lo tantokT0_(t)k_{= 1, por lo tanto} _{k(t) =} 1

a.

Esto prueba que una circunferencia tiene curvatura constante y el reciproco de la curvatura es el radio de la circunferencia cuando k(t)6= 0, su inverso se denomina radio de curvatura y se designa porρ.

Teorema.- Dada una funci´on vectorial f(t), designamos por n(t) la rapidez en el instante t u(t) = kf0_{(t)k. Entonces el vector aceleraci´}_on_a _{es una combinaci´}_{on lineal de}_T _y_T0 _{dada por la f´}_ormula a(t) =u0(t)T(t) +u(t)T0(t). SiT0(t)6= 0, tambi´en tenemosa(t) =u0(t)T(t) +u(t)kT0_(t)kN(t).

Demostraci´on: La f´ormula del vector tangente unitario nos da:

f0_(t) kf0_(t)k =

f0_(t) u(t) =T

Por lo tantof0(t) =T·u(t), derivando esto obtenemos:

f00(t) =T0u(t) +u0(t)T(t) =kT0kN(t)u(t) +u0(t)T(t)

Teorema.- Dada una funci´on vectorialf(t) con vector velocidadv(t), rapidezu(t) =kf0_{(t)k, aceleraci´}_on a(t) y curvatura k(t).

Tenemosa(t) =u0(t)T0+k(t)kf0_(t)k2_N_(t).

Demostraci´on: Como

k(t) = kT 0_(t)k

kf0_(t)k ⇒ kT

0_(t)k₌_k(t)kf0_(t)k

y de

T0(t)

kT0_(t)k =N(t) tenemos que T

0_{(t) =}_kT0_{(t)kN(t) =}_k(t)kf0_(t)kN(t)

y de la ecuaci´ona(t) =u0(t)T(t) +u(t)T0(t) se tiene quea(t) =u0(t)T(t) +u2(t)k(t)N(t). Tomandoa(t) =u0(t)T(t) +k(t)u2(t)N(t) yv(t) =u(t)T(t).

Efectuamos

a(t) xv(t) =u0(t)T(t) +k(t)u2(t)N(t) xu(t)T(t)

(7)

=u0(t)u(t)T(t)

| {z }

0

xT(t) +k(t)u3(t)N(t) xT(t)

⇒ a(t) xv(t) =k(t)u3(t)N(t) xT(t) y por lo tanto

ka(t) xv(t)k=kk(t)k ku3_{(t)k kN(t)k kT}_{(t)k k}_sinπ 2

k

ka(t) v(t)k=k(t)u3(t) Por lo tanto

k(t) =ka(t) xv(t)k u3_(t)

Definici´on.- El radio de curvatura esρ= 1_k el reciproco de la curvatura, el c´ırculo de curvatura o circulo osculador en un punto P sobre una curva plana donde k6= 0 es el circulo en el plano de la curva que:

i) Es tangente a la curva en P.

ii) Tiene la misma curvaturaque la curva en P.

iii) Se encuentra hacia el lado concavo o interior de la curva.

iv) El radio de la curvatura de la curva P es el radio del c´ırculo de curvatura o c´ırculo osculador.

Asi el centro del c´ırculo osculador (llamado centro de curvatura) debe estar en:

c(t) =f(t) + 1 k(t)N(t)

Para el caso especial de una curva plana con ecuacióny=f(x) podemos escogerxcomo el parámetro y escribirr(x) =xî+f(x)ˆj entonces r0(x) = î+f0(x)ˆj y r00(x) =f00(x)ˆj y al efectuar:

r0(x) xr00(x) =

ˆ_i ˆ_j ˆ_k

1 f0(x) 0

(8)

Por lo tantokr0_{(x) x}_r00_(x)k₌_kf00_(x)k.

Por otro ladokf0_(x)k₌p

1 + [f0_(x)]2_{. Por lo tanto, para una curva plana}

k(x) = kf 00_(x)k

_p

1 + [f0_(x)]23/2

Ejemplo: Determine los vectoresT yN, la curvaturaky el centro de la curvatura de la par´abolay=x2 en el punto (1,1)

Soluci´on. Si la par´abola esta parametrizada porx=ty pory=t2_{, entonces su vector de posici´}_on es f(t) = (t, t2_{), por lo tanto} _f0_{(t) = (1,}_2t)_{⇒ kf}0_(t)k ₌ √_{1 + 4t}2_{, y} _f00_{(t) = (0,}_{2), por lo} tanto:

T(t) =√(1,2t)

1 + 4t2 T(1) =

1 √

5, 2 √ 5

N(t) =

−2 √

5, 1 √ 5

perpendicular aT,

k= kf 00_(t)k

_p

1 + [f0_(t)]23

= _√ 2

1 + 4t23 k(1) =

2

5√5 ⇒ ρ= 5√5

2

Por lo tanto el centro de la curvatura es

c(t) =f(1,1) + 1₂ 5√5

₋₂

√ 5,

1 √ 5

=

−4,7 2

Y la ecuaci´on del c´ırculo osculador a la par´abola es, por tanto:

(x+ 4)2+

y−7 2

2

= 5

√ 5 2

!2

= 125 4

Ejemplo: Calcule la curvaturakde la h´elicex(t) =acos(wt),y(t=asin(wt)),z(t) =bt

f0(t) = (−wasin(wt), awcos(wt), b) ⇒ kf0(t)k=pa2_w2₊_b2 Por lo tanto

T = (−awsin(wt), awcos(wt), b)√ 1 a2_w2₊_b2 Por lo tanto

k=kT 0_k

kf0_k =k −aw

2_cos(wt),_−aw2_sin(wt),_0k_√ 1

(9)

=

q

(aw2₎2_(cos2_{(wt) + sin}2

(wt)) √ 1

a2_w2₊_b2 =

aw2 √

a2_w2₊_b2 En resumen:

ˆ

B= ˆT x ˆN y por tanto −Bˆ = ˆN x ˆT ˆ

N = ˆB x ˆT −Nˆ = ˆT x ˆB ˆ

T = ˆN x ˆB −Tˆ= ˆB x ˆN

Dado que B(s) =T(s) xN(s) se tiene queB0(s) =T0(s) xN(s)

| {z }

∗

+T(s) xN0(s)

* Este sumando es igual a cero ya queT0(s) =f00(s) es un vector en la direcci´on de N(s) y por tanto son colineales por lo que su producto cruz es cero, por lo tantoB0(s) =T(s) xN0(s).

Ahora como B0(s) es un vector ortogonal a T(s) podemos concluir que B0(s) es un vector en el plano osculador.

Por lo que si B0(s) es un vector paralelo a N(s), entonces existe un escalar z(s) tal queB0(s) = z(s)N(s).