INTRODUCCION AL ALGEBRA.

INTRODUCCION AL ALGEBRA.

1- LOGICA SIMBOLICA.

Apuntes de la Cátedra.

Alberto Serritella.

Colaboraron: Vanesa Bergonzi Cristian Mascetti.

Edición Previa – CECANA – CECEJS – CET – Junín – 2010.

UNNOBA

Universidad Nacional de Noroeste de la Pcia. de Bs. As.

LOGICA SIMBOLICA:

Un resumen.

Durante el desarrollo de la materia utilizaremos algunos símbolos y formas de escrituras tomadas de la lógica simbólica. Comenzaremos introduciendo dichos símbolos como si se tratara de abreviaturas, luego aclararemos algo más su significado y las formas en que serán usados.

Símbolo: Se lee: Uso Denominación:

∼ “No” ∼ p Negación Lógica

∧ “y” p ∧ q Conjunción

∨ “o” p ∨ q Disyunción Inclusiva

⇒ “Implica” _{p ⇒ q} Implicación

⇔ “Equivale” p ⇔ q Equivalencia

∃ “Existe” ∃ x : P( x ) Cuantificador Existencial

∀ “Para todo” ∀ x : [ P ( x ) ⇒ Q ( x ) ] Cuantificador Universal

Tenemos que comenzar recordando al menos, el significado de cada símbolo, o sea, las dos primeras columnas.

La última columna nos suministra la denominación “académica” del símbolo. Como quien dice “su nombre elegante”. Aunque no le prestemos atención es probable que al final la terminemos recordando.

Aunque no es imprescindible nos resultará de mucha ayuda llegar a entender la tercer columna de la tabla (uso). Lo intentaremos. Comenzaremos con un análisis reducido, luego lo ampliaremos.

Las letras “p” y “q” que figuran en dicha tercer columna representan “afirmaciones”, es decir, frases que aseguran algo. (el nombre correcto es: “proposiciones”)

Ejemplos de posibles “afirmaciones que podrían representar “p” o “q”:

p

= la manzana es roja

q

= la manzana es redonda

Si tal fuera el caso entonces sería:

∼

p

=

No la manzana es redonda = La manzana no es redonda

=

∧

q

p

La manzana es roja

∧

la manzana es redonda = La manzana es roja y la manzana es redonda = La manzana es roja y redonda

Ejercicios:

a) Tomando como p y q las mismas proposiciones anteriores traducir:

p ∨

q

;

p ⇒

q

;

p ⇔

q

b) Si los significados de “p” y “q” fueran:

p

= camino

q

= canto Traducir:

∼

p

;

p ∧

q

;

p ∨

q

;

p ⇒

q

;

p ⇔

q

c) Hacer lo mismo si los significados de “p” y “q” fueran:

p

= Juan es hijo de María

q

= Juan es hermano de Pedro

d)

p

= Llueve

q

= Hay nubes

e)

p

= Estudio

q

= Apruebo

Utilizar los símbolos que hemos visto nos puede parecer una complicación. Es cierto que en lugar de emplearlos podríamos usar palabras. Pero los símbolos tienen la ventaja de poder escribir todo mucho más sencillo, más sintético. Y abarcar más cosas en su solo golpe de vista. En realidad las matemáticas son una forma de decir con pocos símbolos lo que nos llevaría muchas palabras. Y sabemos que cuando hay muchas palabras las ideas se suelen volver oscuras y confusas.

Son necesarias un montón de aclaraciones: por ejemplo que en el lenguaje cotidiano hay muchas formas de decir lo mismo. Por tal motivo analizaremos a continuación más en detalle cada uno de los símbolos y sus usos.

Proposiciones:

Muchas veces en la vida cotidiana hacemos afirmaciones simples: Ejemplo:

“La remera de Vanesa es amarilla”.

A este tipo de afirmaciones simples las llamaremos: proposiciones. Por comodidad las simbolizaremos con una letra.

p = “La remera de Vanesa es amarilla”. Otros ejemplos de proposiciones:

q = “Camino” ( Es una abreviatura de: “Yo camino” ) r = “Juan es el padre de Pedro”

s = “Existen manzanas verdes” t = “Todo cambia”

u = “El agua de mar tiene 3 % de sales”

Todas las proposiciones vistas son simples. Pero a partir de proposiciones simples se pueden elaborar otras compuestas. Comencemos con el caso más sencillo:

Negación Lógica:

A partir de una afirmación simple (proposición) se puede se puede generar una nueva proposición realizando la afirmación contraria. Esta nueva afirmación (que no la consideraremos simple) la llamaremos negación lógica:

no p = no “La remera de Vanesa es verde” Este " no " lo simbolizaremos con: ~ : ~ p = La remera de Vanesa no es verde. Otros ejemplos:

p: la remera de Solange es verde

~ p: no la remera de Solange es verde = La remera de Solange no es verde. q: llueve

~ q : no llueve

Conjunción:

Hay otras formas de generar proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples:

p = “La remera de Vanesa es amarilla”

q = “El pantalón de Vanesa es blanco”

“La remera de Vanesa es amarilla y su pantalón es blanco”. O sea: “La remera de Vanesa es amarilla” y “El pantalón de Vanesa es blanco” p y q

Para no dejar dudas sobre este uso del y utilizaremos el símbolo: ∧ p ∧ q = “La remera de Vanesa es amarilla y su pantalón es blanco”.

Diremos que una afirmación compuesta de este tipo es una conjunción lógica.

p q p ∧q

V V V ← Esta línea caracteriza esta tabla V F F

F V F F F F

Disyunción Inclusiva:

El símbolo: ∨ usualmente es interpretado como “o”.

A las proposiciones compuestas formadas conectando proposiciones con un ∨ las llamaremos disyunciones inclusivas.

p q p ∨ q

V V V V F V

F V V

F F F ← Esta línea caracteriza esta tabla

Disyunción Exclusiva:

Pero hay otro significado para el “o”: Un chico puede decir al padre:

”Papá quiero ir al cine y a la cancha”. Y el papá le dice:

No, vos vas a ir al cine ó a la cancha.

Es evidente que le prohibe ir a la vez al cine y a la cancha. Es decir: una alternativa excluye la otra.

Cuando en el lenguaje corriente utilizamos " o " con este significado solemos acentuarlo levemente. El uso del " o " aquí descripto recibe el nombre de: disyunción exclusiva.

∨

es usualmente interpretado como " ó " (exclusivo). p ó q

p

∨

q

p q p

∨

q V V F

V F V ← Esta es una de las líneas que caracteriza esta tabla F V V ← Esta es la otra línea que caracteriza esta tabla F F F

Implicación:

El símbolo ⇒ es usualmente interpretado como: " Implica ". A partir del hecho de que:

Llueve razonando concluyo”hay nubes” (aunque no pueda ver el cielo). Llueve implica nubes

Llueve ⇒ nubes

La forma usual en nuestro lenguaje habitual es: Si llueve entonces hay nubes.

Cuando una proposición compuesta es formada con el símbolo ⇒ recibe el nombre de implicación.

p q p ⇒ q V V V

V F F ← Esta línea caracteriza esta tabla F V V

F F V

Son admisibles los siguientes casos: Que llueva (V) y haya nubes (V): V Que no llueva (F) y haya nubes (V): V Que no llueva (F) y no haya nubes (F): V El único caso que no puede darse es: Que llueva (V) sin nubes (F): F

Antecedente y Consecuente:

En una implicación: p ⇒ q

la primer proposición se suele decir que es el antecedente. y la segunda el consecuente. Antecedente ⇒ Consecuente

Equivalencia:

El símbolo: ⇔ se lo interpreta como: " equivale ". Estudiar equivale a aprobar

Estudiar ⇔ aprobar

Una proposición compuesta formada de esta manera recibe el nombre de equivalencia. p q p ⇔ q

V V V ← Esta es una de las líneas que caracteriza esta tabla V F F

F V F

F F V ← Esta es la otra línea que caracteriza esta tabla

Esta tabla de la equivalencia es lo contrario de la tabla de la disyunción exclusiva: resulta ser V cuando las proposiciones son ambas V o ambas F.

En nuestro lenguaje usual las afirmaciones como la anterior suelen expresarse así: -Apruebo cuando y sólo cuando estudio.

En un lenguaje algo más " matemático " diremos: -Apruebo si y sólo si estudio.

Y en un lenguaje que suena fuertemente a científico:

-Estudiar es una condición necesaria y suficiente para aprobar.

Esta última variante nos resulta algo extraña. Como la utilizaremos a menudo aclararemos mejor su significado.

Condiciones necesarias - Condiciones suficientes:

Según nuestros conocimientos consideramos que la existencia de nubes es una condición necesaria para que llueva.

Pero si llueve ello es suficiente para que razonando podamos concluir que hay nubes.

Llueve ⇒ nubes

Condición suficiente ⇒ Condición necesaria

Veremos luego que una equivalencia puede ser vista como una doble implicación, una implicación de " ida y vuelta ":

p ⇔ q es lo mismo que: ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p ) o sea: p ⇒ q p ⇐ q

Por lo tanto como q ⇒ p

p es una condición necesaria para q pero como también p ⇒ q

a la vez p es una condición suficiente para q. Por tal razón cuando p ⇔ q

diremos que p es una condición necesaria y suficiente para q. Recíprocamente: q es una condición necesaria y suficiente para p.

El concepto de variable en Lógica y Matemáticas:

El concepto de variable es el de un casillero vacío:

x

=

Así la expresión:

( )

x

=

x

2

+

5

x

+

3

f

tiene el significado

f

( )

=

2

+

5

+

3

La regla es que siempre que escribimos algo en un casillero debemos escribirlo también en todos.

Si ponemos un 2 en el casillero debemos escribirlo en todos.

( )

2 = 22 + 5⋅ 2 + 3 = 22 +5⋅2 +3 = 4 +10 +3 =17

f

Si hubiera dos variables:

(

x

y

)

x

y

y

f

;

=

2

+

3

−

3

se nos crea el problema de diferenciar los casilleros. Podríamos unir con un trazo los que deben ser llenados en forma simultánea, pero para más de dos variables sería muy confuso.

Una solución es ponerles nombres a los casilleros. Por ejemplo a unos casilleros lo llamamos

Pedro y a los otros María:

(

_{Pedro María}

)

_{Pedro María María}

f

;

=

2

+

3

−

3

En los casilleros Pedro podemos colocar un número y en los María otro.

Pero también como nombres le podemos poner una simple letra, por ejemplo x e y,

x como alias de Pedro e y como sobrenombre de María:

(

x y

)

x y y

f

;

=

2

+

3

−

3

La regla será que siempre que escribimos algo en un casillero debemos escribirlo también en todos los que tengan el mismo nombre.

Tomando: 2

=

x

;

y

=

3

(

x y

)

x y y f 2

;

3

=

22

+

33

−

3

⋅

3

( )

2;3 = 22 +33 −3⋅3 f

Volviendo al primer ejemplo con una sola variable podemos también ponerle nombre a los casilleros como acabamos de hacer con más variables:

x =

_x

Así la variable

x

es un casillero vacío que lleva

"

x

"

como nombre. La expresión:

( )

x

=

x

2

+

5

x

+

3

f

tiene entonces el significado:

f

( )

_x

=

2_x

+

5 _x

+

3

La regla seguirá siendo que siempre que escribimos algo en un casillero debemos escribirlo también en todos los que tengan el mismo nombre. (en este caso todos tienen el mismo nombre).

Si ponemos un 2 en el casillero _x debemos escribirlo en todos.

(

2

_x

)

= 22_x +5⋅2_x +3 =22 +5⋅2+3= 4+10+3=17

Funciones Proposicionales:

Debe observarse que entre los ejemplos de “afirmaciones” (“proposiciones”) vistas hubo casos como el de “la manzana es roja” que es una frase en la que se dice que algún objeto tiene alguna propiedad o característica (El “ objeto “ manzana tiene la “ propiedad “ de ser roja). También podría haber sido alguna característica de una persona. (“Pablo es inteligente”).

Pero igualmente vimos como ejemplo el caso de afirmar que alguien está realizando algo (“camino”)

o de relaciones entre objetos o personas (“Juan es el hijo de María”).

Vemos entonces que las “afirmaciones” pueden tener distintos tipos de “estructuras internas”.

Son afirmaciones con una estructura similar:

La manzana es roja La uva es roja El durazno es rojo

En general estamos afirmando de algo determinado que es rojo.

O sea:

x es rojo.

Podría simplificar la expresión diciendo:

Rojo (x) o simplemente: R (x)

Pero tenemos que saber quien es el x para poder decir si la afirmación es verdadera o falsa.

Las tres afirmaciones anteriores suenan a verdaderas, pero en cambio:

R(limón) = El limón es rojo

Se nos antoja falso.

Llamaremos funciones proposicionales a las expresiones del tipo:

P(x) Q(x)

En las cuales se asigna una característica P (o Q ) a elementos no explicitados.

Las funciones proposicionales se convierten en proposiciones cuando las “ variables “ se reemplazan por “ constantes “.

Los “operadores”:

∀

y

∃

nos suministran otros caminos de analizar internamente las afirmaciones y convertir las funciones proposicionales en proposiciones.

( )

=

∃x :P x Existen objetos

( )

x

que tienen la propiedad “ P ”

( )

=

∀x :Q x Todos los objetos

( )

x

tienen la propiedad “ Q ” Ejemplo:

( )

x x

P = es un ser humano ∃x :P

( )

x = existen seres humanos

Cuantificador existencial:

El símbolo: ∃ tiene el significado de: “Existe” y recibe el nombre de Cuantificador Existencial. Hay nubes Existen nubes

Existe x : x es nube.

∃ x: N(x)

Cuantificador universal:

El símbolo ∀ tiene el significado de: “para todo” y recibe el nombre de cuantificador universal.

Usualmente suele ser utilizado delante de proposiciones compuestas, siendo lo lo más común que dichas afirmaciones compuestas sea implicaciones.

Es habitual que el operador

∀

aparezca junto con el símbolo

⇒

_.

Es que no es fácil realizar afirmaciones simples acerca de todo.

Ej: " Todos los enamorados tienen mariposas en sus ojos " =

Para todo x: Si x está enamorado/a entonces x tiene mariposas en sus ojos.

E(x) = x está enamorado/a

M(x)= x tiene mariposas en sus ojos.

∀ x:[ E (x) ⇒ _{M (x)]}

( )

x x

E = está enamorado (o enamorada) M

( )

x = x tiene mariposas en los ojos.

( )

( )

[

⇒

]

=

∀ x : E x M x ∀x : [ x está enamorado/a ⇒ x tiene mariposas en los ojos ] = = Todos los enamorados tienen mariposas en sus ojos

Lo que ocurre es que en estos casos el cuantificador universal está siendo aplicado a una función proposicional compuesta del tipo:

( )

x

[

E

( )

x

M

( )

x

]

H

₌

⇒

_{o sea:}

_∀

_x

_:

_H

( )

_x

₌

_∀

_x

_:

[

_E

( )

_x

⇒

_M

( )

_x

]

Veremos más adelante algunas reglas de razonamiento con cuantificadores.

Un clásico: Todos los hombres son mortales. Todos los griegos son hombres.

Por lo tanto: Todos los griegos son mortales.

∀ x:[ H(x) ⇒ M(x)] Todos los hombres son mortales. ∀ x:[ G(x) ⇒ M(x)] Todos los griegos son hombres. ---

∀ x:[G(x) ⇒ M(x)] Todos los Griegos son mortales.

Una variante también clásica:

∀x:[ H(x) ⇒ M(x)] Todos los hombres son mortales. H(s) Sócrates es hombre.

---

M(s) Sócatres es mortal.

Hasta aquí hemos efectuado una presentación intuitiva rápida de la lógica simbólica tanto en sus variantes con proposiciones o con funciones proposicionales. Veremos ahora, sin llegar aun a una presentación axiomática, como se pueden realizar razonamientos formales en ambas variantes. A tal efecto consideraremos las 19 reglas utilizadas por I. Copi para el cálculo proposicional y las 4 por dicho autor planteadas para razonamientos con funciones proposicionales. A las mismas hemos agregado algunas muy útiles como la idempotencia.

Reglas de Inferencia:

De las líneas superiores se deduce la que está debajo del trazo: _____ en cada uno de los casos.

1) MODUS PONENS: M.P.

q

p

q

p ⇒

2) MODUS TOLLENS: M.T.

p

q

q

p

∼

∼

⇒

3) SILOGISMO HIPOTÉTICO: S.H.

r

p

r

q

q

p

⇒

⇒

⇒

4) SILOGISMO DISYUNTIVO: S.D.

q

p

q

p

∼

∨

5) DILEMA CONSTRUCTIVO: D.C.

(

) (

)

s

q

r

p

s

r

q

p

∨

∨

⇒

∧

⇒

6) ABSORCION: Absr:

q

p

p

q

p

∧

⇒

⇒

7) SIMPLIFICACION: Simp.

p

q

p ∧

8) CONJUNCIÓN: Conj.

q

p

q

p

∧

9) ADICIÓN: Ad.

q

p

p

∨

Reglas de Reemplazo:

Las siguientes expresiones separadas por:

≡

pueden reemplazarse mutuamente:

10)TEOREMAS de DE MORGAN: De M. a)

∼

(

p

∧

q

)

≡

∼

p

∨

∼

q

b)

∼

(

p

∨

q

)

≡

∼

p

∧

∼

q

11)CONMUTACIÓN: Conm. a)

p

∧

q

≡

q

∧

p

b)

p

∨

q

≡

q

∨

p

12)ASOCIACIÓN: Asoc. a)

(

p

∧

q

)

∧

r

≡

p

∧

(

q

∧

r

)

b)

(

p

∨

q

)

∨

r

≡

p

∨

(

q

∨

r

)

13)DISTRIBUCIÓN: Dist. a) p∧

(

q∨ r

) (

≡ p∧q

) (

∨ p∧r

)

b)

p

∨

(

q

∧

r

) (

≡

p

∨

q

) (

∧

p

∨

r

)

14)DOBLE NEGACIÓN: D. N.

p

≡

∼

∼

p

15)TRANSPOSICIÓN: Transp. p ⇒ q _{≡ ∼} q ⇒ ∼ p

16)DEFINICIÓN DE IMPLICACIÓN: Imp.

p

⇒

q

≡

∼

p

∨

q

17)DEFINICIÓN DE EQUIVALENCIA: Equiv. a)

p

_⇔

q

_≡

(

p

⇒

q

) (

_∧

q

⇒

p

)

b)

p

⇔

q

≡

(

p

∧

q

) (

∨

∼

p

∧

∼

q

)

18)EXPORTACIÓN: Expor.

(

p

_∧

q

)

⇒

r

_≡

p

⇒

(

q

⇒

r

)

Reglas de Inferencia Cuantificada:

De la línea superior de cada caso se deduce la inferior; pero se debe conservar en el contexto como fue ejemplificada cada variable.

20) EJEMPLIFICACIÓN UNIVERSAL: E. U.

( )

( )

z P x P x : ∀

Las variables ejemplificadas universalmente admiten ambas generalizaciones.

Es posible usar una misma variable en más de una G.U. o variables empleadas en E.E. 21) GENERALIZACIÓN UNIVERSAL: G. U.

( )

( )

x P x z P : ∀

Sólo se puede generalizar universalmente lo ejemplificado universalmente. 22) EJEMPLIFICACIÓN EXISTENCIAL: E. E.

( )

( )

u P x P x : ∃

Las variables ejemplificadas existencialmente solo se pueden generalizar existencialmente No es posible utilizar una misma variable en más de una E.E.

23) GENERALIZACIÓN EXISTENCIAL: G. E.

( )

( )

x P x u P : ∃

Cualquier variable ejemplificada o cualquier constante se puede generalizar existencialmente

24) EJEMPLIFICACIÓN CONSTANTE: E. C. Son variantes de las ejemplificaciones E.U. y E.E.

a)

( )

( )

c P x P x : ∀

En este caso es posible usar más de una vez la misma constante.

b)

( )

( )

c P x P x : ∃

En este caso no se puede usar más de una vez la misma constante. Las constantes no se pueden generalizar universalmente.

La aclaración hecha de que se debe conservar en el contexto la información de cómo fue ejemplificada una variable significa adoptar algún tipo de convención del tipo de usar letras del comienzo del abecedario (a, b, c, d) para las constantes, del final (x, y, z) para las variables ejemplificadas universalmente y del medio o casi del medio (u, v) para las ejemplificadas existencialmente.

Otra forma, menos usada pero más precisa, sería colocar cuantificadores como subíndices a las variables provenientes de E.U. (

x

_∀,

z

_∀ ) o E.E. (

x

_∃,

u

_∃ ).

Reglas de Reemplazo Cuantificado:

25) NEGACIÓN DE LA CUANTIFICACIÓN UNIVERSAL: N. U.

( )

x

x

P

( )

x

P

x

≡

∃

∼

∀

∼

:

:

26) NEGACIÓN DE LA CUANTIFICACIÓN EXISTENCIAL: N. E.

( )

x

x

P

( )

x

P

x

≡

∀

∼

∃

METODOS DE DEMOSTRACION:

Los métodos en Lógica y en Matemáticas para demostrar la validez de una proposición general son básicamente tres:

1) Método Directo 2) Método Indirecto

3) Método de Demostración por el Absurdo. (También llamado: "Por reducción al absurdo" ).

Para demostrar en cambio que una proposición general no es válida basta con dar un ejemplo en el cual se vea que para un caso particular no se cumple. En esta alternativa se dice que se ha dado un contraejemplo.

Método Directo:

Es muy sencillo en su fundamentación, simplemente se parte de la

hipótesis

y razonando por medio de reglas, definiciones y axiomas lógicos o matemáticos se llega a la

tesis

: p ----> q

quedando así establecido: p ⇒ q

Método Indirecto:

De manera similar al Método Directo se parte de la negación de la

tesis

y razonando por medio de reglas, definiciones y axiomas lógicos o matemáticos se llega a la negación de la

hipótesis

∼ q ----> ∼ p

quedando así establecido: ∼ q ⇒ ∼ p

Pero por Transposición: ∼ q ⇒ ∼ p

≡

p ⇒ q

Con lo cual resulta equivalente al Método Directo.

Contraejemplos:

Adelantaremos la consideración de los contraejemplos para luego centrar toda nuestra atención en la consideración del tercer método.

Los ejemplos en lógica o en matemáticas no sirven para demostrar nada en general.

Pero para demostrar que algo en general (para todos los casos) no se cumple basta con demostrar que en un caso no se cumple. Ello resulta coherente con las fundamentaciones epistemológicas de Karl Popper sobre validación y refutación.

Método de Demostración por el Absurdo:

El método de demostración por el absurdo tradicionalmente se lo ha entendido en base al siguiente esquema:

1°) Dentro del marco de una teoría que tiene como válidas una cantidad de proposiciones que tanto pueden constituir

axiomas

como

teoremas

se pretende demostrar que el agregado de una nueva

hipótesis

conduce a una

tesis

.

2°) Cuando el razonamiento no se ha conseguido efectuarlo por el método directo se procede a afirmar la y

hipótesis

negar la

tesis

que se quiere demostrar.

3°) A partir de lo descripto se razona y se llega a negar la proposición (

axioma

o

teorema

) aceptada en la teoría.

4°) Se argumenta que dicha situación de afirmar y a la vez negar una proposición es absurda.

Y que dicho absurdo se origina en haber negado la

tesis

.

Corresponde por lo tanto considerar válida la afirmación de la

tesis

.

Este método de razonamiento no siempre resulta convincente a pesar de ser universalmente aceptado.

Trataremos de encontrar para el mismo una justificación lógica precisa. La misma será suministrada por el siguiente teorema

(en realidad un "metateorema" lógico).

Supongamos que en una teoría se encuentran demostradas una serie de proposiciones: Dos de ellas son p y q . ( q a su vez puede no ser simple sino una proposición compuesta formada por una cantidad de proposiciones).

Supongamos que H es una

hipótesis

que agregamos a la teoría y que T es la

tesis

a demostrar.

Teorema:

[

( ( p ∧ q ) ∧ H ) ⇒ ( ∼ T ⇒ ∼ p )

]

≡

[

( p ∧ q ) ⇒ ( H ⇒ T )

]

Interpretación:

La expresión a la izquierda del símbolo de reemplazo se toma con el siguiente significado: Se considera que siendo válidas dentro de la teoría la proposición p y el conjunto de

proposiciones q ( q podríamos tomarla como: q = p1 ∧ p 2 ∧ ... ∧ p n ∧ ... ) .

Y agregándose a la teoría la nueva proposición H se tiene que si se niega la tesis T se llega razonando a negar la proposición p ya aceptada en la teoría.

Es decir la expresión de la izquierda describe el método usual de demostración por el absurdo.

La expresión a la derecha del símbolo de reemplazo se considera así: p y q son las proposiciones consideradas válidas dentro de una teoría.

La validez de las mismas implica que si se adiciona una nueva hipótesis H esta a su vez implica la validez de la tesis T.

Demostración:

Se efectúa apelando a una cadena de expresiones equivalentes en la cual cada eslabón de la misma constituye una regla de reemplazo.

Supongamos que se cumple en una teoría: (Método de demostración por el absurdo):

[

( ( p ∧ q ) ∧ H ) ⇒ ( ∼ T ⇒ ∼ p )

]

≡

Por Transposición

≡

≡

[

( ( p ∧ q ) ∧ H ) ⇒ ( p ⇒ T )

]

≡

Por Asociación

≡

≡

[

( p ∧ ( q ∧ H ) ) ⇒ ( p ⇒ T )

]

≡

Por Conmutación

≡

≡

[

( ( q ∧ H ) ∧ p ) ⇒ ( p ⇒ T )

]

≡

Por Exportación

≡

≡

[

[ ( ( q ∧ H ) ∧ p ) ∧ p ] ⇒ T )

]

≡

Por Asociación

≡

≡

[

[ ( q ∧ H ) ∧ ( p ∧ p ) ] ⇒ T )

]

≡

Por Equipotencia

≡

≡

[

[ ( q ∧ H ) ∧ p ) ] ⇒ T )

]

≡

Por Conmutación

≡

≡

[

[ p ∧ ( q ∧ H ) ] ⇒ T )

]

≡

Por Asociación

≡

≡

[

[ ( p ∧ q ) ∧ H ) ] ⇒ T )

]

≡

Por Exportación

≡

≡

[

( p ∧ q ) ⇒ ( H ⇒ T )

]

En resumen:

[

( ( p ∧ q ) ∧ H ) ⇒ ( ∼ T ⇒ ∼ p )

]

≡

[

( p ∧ q ) ⇒ ( H ⇒ T )

]

que es lo que queríamos demostrar. Corolario:

Utilizando exportación en ambos lados de la regla de reemplazo, conmutando, asociando convenientemente, aplicando una regla de compresión de expresiones al lado izquierdo y suprimiendo algunos paréntesis; en el teorema se llega a:

[

( p ∧ q ∧ H ∧ ∼ T ) ⇒ ( p ∧ ∼ p )

] ≡

[

( p ∧ q ∧ H ) ⇒ T

]

Previamente a la demostración del Corolario debemos hacer algunas consideraciones particulares.

En primer lugar que es conveniente efectuar un apéndice a las reglas de reemplazo.

La regla (19) (tautología) es una regla que usada de derecha a izquierda permite simplificar expresiones.

Vamos a agregar otras que permiten realizar un trabajo similar: 19 b) IDEMPOTENCIA: p

≡

p ∧ p

Se demuestra en forma inmediata a partir de la tautología. 19 c) REGLAS DE COMPRESION: c1) ( p ∨ ∼ p ) ∧ q

≡

q c2) ( p ∧ ∼ p ) ∨ q

≡

q además es de utilidad el siguiente:

Lema: ( p ∧ r ) ⇒ q

≡

( p ∧ r ) ⇒ ( p ∧ q )

Demostración del lema:

( p ∧ r ) ⇒ ( p ∧ q )

≡

Def. Implicación

≡

≡

∼ ( p ∨ r ) ∨ ( p ∧ q )

≡

De. Morgan

≡

≡

( ∼ p ∨ ∼ r ) ∨ ( p ∧ q )

≡

Conmutación

≡

≡

( ∼ r ∨ ∼ p ) ∨ ( p ∧ q )

≡

Asociación

≡

≡

∼ r ∨ [ ∼ p ∨ ( p ∧ q ) ]

≡

Distribución

≡

≡

∼ r ∨ [ ( ∼ p ∨ p ) ∧ ( ∼ p ∨ q ) ]

≡

Conmutación

≡

≡

∼ r ∨ [ ( p ∨ ∼ p ) ∧ ( ∼ p ∨ q ) ]

≡

Compresión

≡

≡

∼ r ∨ ( ∼ p ∨ q )

≡

Asociación

≡

≡

( ∼ r ∨ ∼ p ) ∨ q

≡

De Morgan

≡

≡

∼ ( p ∧ r ) ∨ q

≡

Def. Implicación

≡

≡

( p ∧ r ) ⇒ q En resumen: ( p ∧ r ) ⇒ ( p ∧ q )

≡

( p ∧ r ) ⇒ q

Que por simetría de las reglas de reemplazo podemos escribir : ( p ∧ r ) ⇒ q

≡

( p ∧ r ) ⇒ ( p ∧ q )

Demostración del Corolario:

Aplicando exportación a ambos lados del teorema nos queda:

[

[ ( ( p ∧ q ) ∧ H ) ∧ ∼ T ] ⇒ ∼ p

]

≡

[

[ ( p ∧ q ) ∧ H ] ⇒ T

]

Aplicando propiedad Asociativa y suprimiendo paréntesis que no son imprescindibles por la propiedad asociativa:

[

[ p ∧ ( q ∧ H ∧ ∼ T ) ] ⇒ ∼ p

]

≡

[

( p ∧ q ∧ H ) ⇒ T

]

A la expresión anterior le aplicamos el lema en su lado izquierdo tomando: p del lema como p de la expresión

r del lema como q ∧ H ∧ ∼ T de la expresión. q del lema como ∼ p de la expresión; nos queda:

[

[ p ∧ ( q ∧ H ∧ ∼ T ) ] ⇒ ( p ∧ ∼ p )

]

≡

[

( p ∧ q ∧ H ) ⇒ T

]

Suprimiendo paréntesis no imprescindibles se llega finalmente a:

[

( p ∧ q ∧ H ∧ ∼ T ) ⇒ ( p ∧ ∼ p )

] ≡

[

( p ∧ q ∧ H ) ⇒ T

]

que es el enunciado del Corolario.

 Alberto Serritella, 2010.

[email protected] Para Mensajes: [email protected] 25-julio-2010.∼