per
MANUEL CASTELLET
Fa 10 anys, tornant d'un colloqui de geometria algebrica, a Ita-lia, on haviem assistit amb el Dr. Girbau i el Dr. Goni, la meva es-posa i jo vam passar uns dies de vacances a SuIssa i un vespre que plovia vam entrar per equivocacio en un cinema on projectaven la pellicula <<Meine Frau, these unbekannte Wese>> (La meva dona, aquest esser desconegut). Malgrat 1'opini6 dels marits joves que creiem coneixer-ho tot sobre la nostra muller, la pellicula oferia interessants aspectes de la psicologia femenina. Ja se que la majoria dels assistents aqui no s'han carat amb cap esfera, pero tot mate-matic, qui mes, qui menys, hi conviu, amb 1'esfera, i per aixo voldria, avui, parlar d'alguns aspectes geometries, potser no prou coneguts de tothom.
Parlar de l'esfera dona, pero, tema no per a una conferencia, sing per a tot un curs, i ja veieu que tenim un programa bastant atapeit que sols em concedeix 45 minuts i encara. Em limitare, doncs, a co-mentar-ne nomes algunes propietats.
* Conferencia feta per Manuel Castellet el 27-11-79 a la Societat Catalana de Ciencies Ffsiques, Qufmiques i Matematiques.
Jo podria comencar parlant de propietats metriques de l'esfera, donant-ne la definicio corn el subespai de R' els punts del qual equi-disten d'un de fixat, ja que no la puc definir corn el conjunt de punts tals que el quocient de distancies a dos de fixos es constant (el pla de simetria compleix tambe aquesta condicio; el pla, que d'altra Banda acompanya frequentment 1'esfera en propietats geometriques). Pero tambe podria definir-la com Tunica superficie de segon grau totes les seccions planes i contorns de la qual son circumferencies, que ens permet d'afirmar que la superficie de la terra es practica-ment una esfera, en observar la sombra en un eclipsi de lluna. 0 po-driem parlar del fet que l'esfera to amplada constant (podem moure-la tangencialment entre dos pmoure-lans parallels), be que aquesta propie-tat no la caracteritza.
0 podriem passar a propietats diferenciables de 1'esfera i de-mostrar que tots els punts son umbilicals (es a dir, les dues curva-tures principals coincideixen), propietat que la caracteritza entre les superficies de curvatura no nulla (si no, hem d'incloure-hi el pla), o passar a comentar que a116 que els alemanys anomenen la «Brenn-fliiche» de 1'esfera es redueix a un punt, propietat que no compleix cap altra superficie diferenciable. La Brennflache es ]a superficie des-crita pels centres de curvatura de les seccions normals corresponents a les curvatures principals.
Podriem tambe estudiar les geodesiques i demostrar que totes son tancades, o veure que d'entre els cossos d'igual superficie l'esfera to el minim de les curvatures mitjanes, o que to curvatura mitjana constant (positiva), propietat que tenen moltes altres superficies (les minimals tenen curvatura mitjana nulla! ), be que l'esfera es l'unica superficie diferenciable sense vora amb aquesta propietat. Tambe to l'esfera curvatura de Gauss positiva constant, propietat que la caracteritza si ens restringim a superficies sense vora.
Immersos ja en el mon de les varietats diferenciables compactes sense vora es facil veure que ]a funcio «altura» definida sobre l'esfe-ra Sn per h(xi, ..., xn, xn_,) = xn_i es diferenciable i to dos punts critics, els pols nord i sud. Sn admet, doncs, una funcio de Morse amb exactament dos punts critics. Un teorema molt bonic de Reeb estableix precisament el reciproc: «Tota varietat n-dimensional
com-pacta sense vora que admeti una funcio de Morse amb exactament dos punts critics es homeomorfa a 1'esfera S"» (No es cert, pero, que una tal varietat sigui difeomorfa a S De fet, Milnor va construir el 1956 7-varietats homeomorfes, pero no difeomorfes, a S').
Be, no acabariem mai.
Pero des del punt de vista d'un topoleg, les propietats mes boni-ques de l'esfera son les estrictament topologiboni-ques, es a dir, les que es deriven del fet que tot punt de I'esfera to un entorn homeomorf a un disc obert del pla euclidia. Les esferes, no sols son boniques, sino que a mes a mes llur estudi ha contribult eficacment at desen-volupament d'algunes branques de la topologia, per obra de molts dels millors matematics d'aquest segle.
Quan Leonhard Euler (a qui, per cert, els suisos acaben d'honorar dedicant-li un bitllet de 10 Fr) es proposa a mitjan segle xvIII d'es-tablir una classificacio dels poliedres mitjancant el nombre de cares i el de vertexs i explica en carta adrecada a Christian Goldbach el 14-11-1750 que v - a + c = 2, no podia imaginar-se la importan-cia que tindria Ia seva observacio per al desenvolupament de la en-cara no nata topologia. Seria bonic de repassar la historia del teorema d'Euler, des de la seva formulacio i demostracio inicials (ambdues falses), passant per les aportacions de Legendre i Cauchy, la fona-mental de Simon Lhuilier el 1813 en descobrir que no era valida per a tots els cossos que aleshores es tenien per poliedres, fins arri-bar a la formulacio i demostracio correctes de Christian von Standt el 1847 i la generalitzacio a mes dimensions de Ludwig Schlafli el 1850 en una memoria «Vielfache Continuitat>> que ultrapassa en valor cientific bona part del que s'havia fet fins aleshores en el camp de la geometria multidimensional.
Aquest numero 2 = v - a + c, que es diu ]a caracteristica d'Eu-ler de l'esfera (o d'Eud'Eu-ler-Poincare, desen del grau de germanofilia del qui parli), es va veure mes card, de la ma d'Henri Poincare, que era un invariant topologic de l'esfera. I encara mes, es un invariant del tipus d'homotopia: es a dir no s'altera per deformacions conti-nues. Quan R. H. Brahama inicia el 1921 el teorema de classificacio de les superficies compactes, la caracteristica d'Euler adquiri una significacio especial: Tota superficie es topologicament equivalent a
una esfera, a una suma convexa de tors o a una suma connexa de plans projectius, i 1'orientabilitat o no, juntament amb la caracteris-tica d'Euler, determina el tipus de superficie. Resultat: Tota super-ficie compacta de caracteristica 2 es homeomorfa a l'esfera.
S'havien plantejat al final del segle passat i al comencament d'aquest moltes preguntes relatives a 1'esfera. Vaig a tractar-ne acf tres, en ]a resolucio de les quals interve essencialment el fet que ]a caracteristica de l'esfera es, precisament 2.
a) Estudi de les singularitats d'un camp vectorial tangent sobre 1'esfera (ben resolt).
b) Estudi del nombre minim de colors que calen per a pin-tar un mapa sobre 1'esfera (resolt, pero potser no del tot satisfactoriament).
a)
c) Criteri per a determinar si un espai topologic es una esfera (no resolt).
L'estudi de singularitats de camps vectorials tangents sobre una varietat fou iniciat per Luitzen Brouwer, el qual demostra, mitjancant la introduccio del concepte de grau d'una aplicacio, que sobre 1'esfera no hi ha cap camp tangent sense singularitats. El treball de Brouwer fou completat per Heinz Hopf ]'any 1925 en demostrar que <la suma dels fndexs de les singularitats d'un camp vectorial sobre una varietat compacta orientable, que no-mes tingui un nombre finit de singularitats, es la carac-teristica d'Euler». Per tant, a l'esfera es 2.
La demostracio d'aquest resultat es a les arrels de la topologia algebrica, ja sigui seguint Hopf, projectant es-tereograficament el camp sobre un equador que no con-tingui cap singularitat des del pol nord i des del pol sud, ja sigui utilitzant metodes mes sofisticats,
1'6s dels grups d'homologia de 1'esfera.
b) L'any 1852 Francis Guthrie, que s'acabava de doctorar al University College de Londres, tot pintant un mapa d'Anglaterra va veure que n'hi havia prou amb 4 colors, pero debades intents de demostrar-ho. Ho comunica a] seu germs, Frederick, deixeble d'Augustus De Morgan i el problema rests enterrat fins que, l'any 1878, Arthur Cayley, en una reunio de la London Mathematical So-ciety, feu reviure 1'interes pel terra. Al cap d'un any, Alfred Kempe i P. G. Tait publicaren una demostracio que passa per bona (adhuc per a Klein) durant mes de 10 anys. La idea de la demostracio era la segiient: Es facil de veure que si hi ha un mapa que necessita 5 co-lors, aleshores hi ha un mapa normal (un pals no pot contenir un altre, ni mes de 3 paisos es tallen en un vertex) que necessita 5 colors. Tambe horn veu facil-ment que, si hi hagues un mapa normal que necessites 5 colors, n'hi hauria un de minimal, amb aquesta pro-pietat. Tot es reduia, doncs, a provar que no existia cap mapa normal minimal que necessites 5 colors. Kempe i Tait demostraren primer que tot mapa normal conte un pals amb 5 o menys veins. Aleshores demostraren que aixo no podia passar en un mapa normal minimal que necessites 5 colors. Pero la demostracio fallava en el cas d'un pais amb exactament 5 veins. La resolucio d'a-quest punt ha portat quasi 100 anys.
Fou Percy John Heawood qui troba el 1890 un mapa de 18 paisos en el qual no valia la demostracio de Kempe. Heawood generalitza el problema i estudia mapes sobre superficies compactes arbitraries. Demostra:
Teorema: Si x ^ 2, el nombre maxim de colors que es
7 + - 24X)
necessiten es [N] on N =
2
La demostracio es elemental, per induccio sobre el nom-bre de cares del mapa i no passa d'esser un exercici per als alumnes de 2n. o 3r. curs de la Ilicenciatura, igual
com demostrem que tota triangulacio d'una superficie de caracteristica x to com a minim N vertexs.
Per a X = 1, la superficie es el pla projectiu i es facil construir un mapa que necessiti exactament [N] = 6 colors.
Per a X = 0, la superficie es un for si es orientable, o una ampolla de Klein en cas contrari.
Sobre el for es facil de construir un mapa que necessiti exactament [N] = 7 colors.
En canvi Ringel demostra 1'any 1959 que tot mapa so-bre 1'ampolla de Klein es pot pintar amb 6 colors, pero que tot mapa sobre qualsevol altra superficie de carac-teristica X o 2 en necessita [N]. Aquest resultat es degut a Ringel i Woungs i es de 1'any 1968.
Be, pero, que ha passat, mentre, amb l'esfera? La for-mula de Heawood, la demostracio de la qual no val si x = 2, dona sorprenentment el resultat desitjat per a 1'esfera: [N] = 4. Durant tot aquest segle es desenvo-lupa la topologia combinatorial i l'estudi de grafos i es sistematitza l'us de l'ordenador per a resoldre proble-mes de grafos. L'any 1976, Kenneth Appel i Wolfgang Haken, de la Universitat de Michigan, anuncien que han resolt el problema dels 4 colors, analitzant els possibles casos mitjancant un programa d'ordenador molt elaborat i llarg. El treball ha estat publicat a l'Illinois journal of Mathematics de l'any 1977. Jo, amb perdo d'alguns ma-tematics aplicats, desitjo de tot cor que es trobi una demostracio teoretica del teorema dels 4 colors. c) Tota superficie 1-connexa es homeomorfa a 1'esfera. Si
sortim del camp de les superficies, ens podem preguntar condicions per tal que un espai sigui homeomorf a 1'es-fera. Tractar amb espais que no admetin una estructura de poliedre o quelcom semblant es quasi inaccessible, i buscar condicions d'homeomorfisme, tambe. Per aixo els topolegs es restringeixen usualment a la categoria dels CW-complexos, espais que a cada nivell es poden obtenir adjuntant celles al nivell anterior i es contenten a estu-diar quan dos CW-complexos poden esser del mateix ti-pus d'homotopia. La consideracio de 7t,(X) = [S', X] ja no es suficient, i conve fer us dels grups d'homotopia 7t„(X) introduits per Cech, sense massa fortuna, i per Hu-rewicz al Congres de Topologia de Zurich del 1935. Gros-so modo,
7tn(X) = [Sn, X]
Es immediat que, si f: X -* Y es una equivalencia ho-motopica, aleshores f indueix isomorfisme entre els grups d'homotopia . El reciproc no sols no es immediat sing
que no es cert. De tota manera, tenim el famos teorema de J. H. C. Whithehead que afirma que, en la categoria dels CW-complexos, si f: X -+ Y indueix f•: 7t°X - -nny V,,, aleshores f es una equivalencia homotopica. Que es pot dir, pero de 7t„ (S2 )?
his grups d'homotopia d'un espai son molt menys trac-tables que els d'homologia en no valdre-hi 1'axioma d'es-cissio, o equivalentment el teorema de la suspensio H„(X) - H„+1(SX) o equivalentment la successio exacta de Mayer-Vietoris. Espais amb homologia complicada (per ex. RP°°), tenen homotopia senzilla (Z/2, 0...0), i reciprocament. Els grups d'homologia de S2 son Z, 0, Z, 0..., i aixo ho sap calcular qualsevol estudiant que porti un parell de setmanes aprenent homologia, mentre que en necessitara moltes mes per a calcular els grups d'homotopia de S2. I tantes com en necessitara!
De primer, veura (ja ho sap) que 7t1(S2) = 0. Despres observara que 72(S2) - Z, com a consegiiencia del teore-ma del grau de Brouwer, segons el qual f, g: S2 -_> S2 f = gt-*f* = g*: H2(S2)-+ H2(S2).
La tercera cosa que aprendra el nostre estudiant es que
7t3(S2) = Z, ja que 7t3(S2) - 7t3(S3) - Z com a
consegUen-cia de la fibracio de Hopf (S--> )S3 -a S2 = CP' i la suc-cessio exacta d'homotopia associada a una fibracio.
7t;(S')-> 7ti(S3)--> 7ti(S2)-_> 7t,-1(S1) ...
d'on results nt;(S2) - 7t;(S3) V, > 3.
El calcul dels grups d'homotopia de S2 empren a partir del 7t3 dos camins diferents. L'un, a obtenir resultats locals concrets (deter-minar 7t4, its, ...); l'altre, a obtenir resultats globals parcials (la torsio de 7t; V;, ...).
Les tecniques emprades tant en un cami com en l'altre se sofis-tiquen cada vegada mes.
El teorema de la suspensio de Freudenthal, la successio espectral de Serre, la successio espectral d'Adams, els metodes de composicio de Toda, el producte de Whitehead..., son les eines emprades per a obtenir resultats locals concrets. Enumerare els 10 primers grups d'homotopia de Sz, be que avui dia hom ja en coneix molts mes: (1'any passat, 29! ).
Una de les eines mes utils en el camp global ha estat la descomposi-cio de Postnikov d'un espai
tal que cada X" -^ X"-' indueix isomorfisme entre els ^; i < n, ^t;(X") = 0 ^/; > n i cada X" -^ X"-' es una fibracio de fibs un
Per exemple, per a X = SZ, XZ = CP°° = K(Z, 2).
Mitjan^ant 1'us d'una descomposicio de Postnikov, no es dificil demostrar que
^;(S^) i > 3 es finit d;
En aquest sentit , el resultat global mes fort obtingut fins ara es degut a James, d'un costat (1960), i Selick , d'un altre (1979).
James demostra que tot element de la component 2-primaria de n;(S2) to ordre 2 o 4; es a dir, nomes poden apareixer Z2, Z2 Z2 o Z4, peto no ZK... Selick, en un treball publicat a Topology, 1978, demostra que per a tot p primer p ^ 2, tot element de la compo-nent p-primaria de 7t;(S2) i > 3 to ordre p. Es a dir, nomes poden apareixer Zr,, pero no Zp2.
Be, des del punt de vista d'un topoleg, l'esfera es un espai gairebe desconegut!
Ara be, si es bastant cert que molts geometres passen a ]a to-pologia, per necessitats de l'ofici, no ho es menys que molts topblegs passen, tambe per necessitats de l'ofici, a l'algebra. I jo em pregunto: Que es, en el context de l'algebra d'un topoleg, 1'esfera S2? ^Que es, mes concretament, en la teoria de grups, 1'esfera S2? Vaig a res-pondre'm a aquesta pregunta, i acabo.
Donat un grup, hi ha una unica manera d'associar-li un CW-complex de dimensio 2 simplement connex, de tal manera que ho-mologicament el grup i el CW-complex estiguin intimament Iligats. Sigui G un grup; aleshores existeix, llevat d'homotopies, un unit W-complex d'Eilenberg-MacLane X = K(G, 1) (ni X = G, ic; X = 0 i > 1). Per exemple, si G = Z, K(Z, 1) = S', si G = Z/2Z, K(Z/2Z, 1) = RP°°.
El 2-esquelet d'aquest K(G, 1) es un CW-complex de dimen-sio 2, amb grup fonamental G i grups d'homotopia superior ^ 0 en general. Per exemple, K(Z/2Z, 1) = RP2.
L'espai recobridor universal d'aquest K(G, 1)2 es un CW-com-plex de dimensio 2 simplement connex.
Aixi, si G = Z/2Z K(G, 1)2 = S2.
Des del punt de vista d'un topoleg que fica el nas a 1'algebra, l'esfera S2 es el grup Z/2Z. Aixo permet d'estudiar topologica-ment propietats homologiques del grup G (o mes generaltopologica-ment d'un sistema binari, ja que 1'estructura de grup no cal per a res), i in-troduir els grups d'homotopia de G com els de K(G, 1)2.
Aixi resulta que el sistema binari G es un grup si i nomes si 7t1 G = G (fa el paper de 1'associativitzat de G) i l'estudi dels grups it, G i > 2 dona (mes ben dit, pot donar, ja que tot just ha estat iniciat) informacio sobre el grup G.
