Integral de Riemann. Capítulo Sumas inferiores y superiores Particiones de un intervalo Sumas inferiores y superiores

(1)

148 – Matem´aticas 1 : C´_{alculo integral en R}

Cap´ıtulo 10

Integral de Riemann

La teor´ıa de la Integral de Riemann o Integral Definida, como también se denomina en contraposición con el cálculo de primitivas o búsqueda de “antiderivadas”, tiene su origen en el uso práctico de la integral y es con una aplicación como se introduce y motiva su construcción. No es hasta que se obtienen los teoremas clave que puede relacionarse ésta integral con las primitivas.

Las funciones implicadas en ello deben cumplir dos preceptos para poder construir estas integrales: tener un dominio acotado (o estar restringidas a uno) y ser funciones acotadas es ese dominio. Si una de las dos reglas se incumple no podremos hablar de integrales en el sentido que vamos a construir, y diremos de ellas que son integrales impropias y las trataremos sucintamente en la ´ultima secci´on del tema.

10.1 Sumas inferiores y superiores

10.1.1 Particiones de un intervalo

Definici´on 273.- Se llama partici´on de un intervalo [a, b] a un conjunto finito de puntos P = {x0, x1, . . . , xn}

tales que a = x0< x1< · · · < xn = b . Una partición divide al intervalo en intervalos más pequeños, es decir,

[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [xn−2, xn−1] ∪ [xn−1, b] = n

∪

i=1[xi−1, xi]

La longitud de estos subintervalos se denomina incremento de xi y se representa por ∆xi= xi− xi−1.

Denotaremos por P[a, b] al conjunto de todas las particiones del intervalo cerrado [a, b] . Considerando en el conjunto la relación de orden de inclusión, diremos que P2 es más fina que P1, si P1⊆ P2.

Como P2 tiene todos los puntos de P1 y quizás alguno más, cada subintervalo obtenido con P2 está

contenido en alguno de los dados por P1, es decir, la partici´on dada por P2 es m´as fina que la dada por P1.

Ejemplo En [0, 1] , P = n0,1₄,2₄,3₄, 1o es una partici´on de [0, 1] , que lo “parte” en 4 trozos [0, 1] = [0,1₄] ∪ [1₄,2₄] ∪ [2₄,₄3] ∪ [3₄, 1] , de igual longitud ∆xi=14, para i = 1, 2, 3, 4 . La partici´on P1=

n

0,1₄,1₃,2₄,3₄, 1o es m´as fina que P y la partici´on P2=

n

0,2₄, 1o es menos fina que P . Es decir, P2⊆ P ⊆ P1.

En [a, b] , la partici´on P = na, a + b−a_n , a + 2(b−a)_n , . . . , a + (n−1)(b−a)_n , bo divide al intervalo [a, b] en n subintervalos de longitud b−a

n : [a, b] = n ∪ k=1 h a +(k−1)(b−a)_n , a +k(b−a)_n i. ₄

10.1.2 Sumas inferiores y superiores

Definici´_{on 274.- Sea f : [a, b] −→ R acotada y P ∈ P[a, b]. En cada [x}i−1, xi] , considemos el inferior y el

superior de f en ´el: mi= inf

n f (x) : xi−1≤ x ≤ xi o y Mi= sup n f (x) : x ∈ [xi−1, xi] o . Llamarenos suma inferior de f para la partici´on P al valor L(f, P ) =

n P i=1 mi(xi− xi−1) = n P i=1 mi∆xi

y llamaremos suma superior de f para la partici´on P a U (f, P ) =

n P i=1 Mi(xi− xi−1) = n P i=1 Mi∆xi.

Si la función es positiva, una suma inferior significa una cota por defecto del valor del área que encierra la función con el eje de abcisas (suma de áreas de rectángulos de base ∆xi y altura mi),

y una suma superior una cota por exceso del valor del área. En la figura de la derecha, la suma inferior es el área de la zona gris oscuro y la suma superior el de dicha zona más las áreas de los rectángulos superiores. Puede observarse como en cada intervalo la curva, y por tanto, el área que encierra, está entre ambos valores.

a _b

m M

(2)

149 – Matem´aticas 1 : C´_{alculo integral en R} 10.2 Integral de una funci´on real de variable real

Ejemplo 275 Si tomamos f : [0, 1] −→ R donde f (x) = 2x , y la partici´on P = n 0,1₃,2₃, 1o, se tiene que [0, 1] = [0,1₃] ∪ [1₃,2₃] ∪ [₃2, 1] y que ∆x1= ∆x2= ∆x3= 1₃. Luego m1= inf{2x : x ∈ [0,1₃]} = 0 M1= sup{2x : x ∈ [0,1₃]} = 2₃ m2= inf{2x : x ∈ [1₃,2₃]} = 2₃ M2= sup{2x : x ∈ [1₃,2₃]} = 4₃ m3= inf{2x : x ∈ [2₃, 1]} = 4₃ M3= sup{2x : x ∈ [2₃, 1]} = 2 L(f, P ) = 0 ·1₃+2₃·1 3+ 4 3· 1 3 = 2 3 U (f, P ) = 2 3· 1 3+ 4 3· 1 3+ 2 · 1 3 = 4 3

Como el área encerrada por la función es 1 (es el área de un triángulo de altura 2 y base 1 ), se verifica que L(f, P ) = 2

3≤ 1 ≤ 4

3 = U (f, P ) . 4

Propiedades 276.- Sea f : [a, b] −→ R una funci´on acotada. a) Para toda P ∈ P[a, b] , se verifica que L(f, P ) ≤ U (f, P ) . b) Para todas P1, P2∈ P[a, b] con P1⊆ P2, se verifica que

L(f, P1) ≤ L(f, P2) y U (f, P2) ≤ U (f, P1) .

c) Para cualesquiera P, Q ∈ P[a, b] , se verifica que L(f, P ) ≤ U (f, Q) . _. De las propiedades a) y b) anteriores, es f´acil deducir que L(f, P1) ≤ L(f, P2) ≤ U (f, P2) ≤ U (f, P1) ,

por lo que resulta evidente el siguiente corolario

Corolario 277.- Sean f : [a, b] −→ R una funci´on acotada y P0∈ P[a, b] . Entonces, para toda P ∈ P[a, b] con

P0⊆ P , se verifica que

0 ≤ U (f, P ) − L(f, P ) ≤ U (f, P0) − L(f, P0)

10.2 Integral de una funci´

on real de variable real

Si tomamdo particiones más finas las sumas inferiores van en aumento y las superiores en disminución es razonable desear que acaben encontrandose (cuando las sumas inferiores y superiores significan cotas por defecto y exceso del área encerrado, encontrarse significa precisamente el valor exacto de dicho área).

Pero para formalizar estos deseos con construcciones matemáticas sólidas, necesitamos expresar de manera más rigurosa la situación que describimos:

Si f : [a, b] −→ R est´a acotada, los conjuntos de n´umeros reales

A =L(f, P ) : P ∈ P[a, b] y B =U (f, P ) : P ∈ P[a, b]

son no vac´ıos y, por la propiedad c) de 276, el conjunto A est´a acotado superiormente (cualquier suma superior es cota superior de A ) y el conjunto B est´a acotado inferiormente (cualquier suma inferior es cota inferior de B ). En consecuencia, el conjunto de las suma inferiores tiene un extremo superior, que llamaremos integral inferior, I , y el conjunto de las sumas superiores tiene un extremo inferor, que llamaremos integral superior, I , y se cumple

sup A = supnL(f, P ) : P ∈ P[a, b]o = I ≤ I = infnU (f, P ) : P ∈ P[a, b]o= inf B Lo que nos lleva a la siguiente definici´on

Definici´_{on 278.- Sea f : [a, b] −→ R una función acotada. Se dice que f es integrable si y sólo si I = I .} El valor I = I = I , se denomina integral de Riemann de la función f en [a, b] , y se representa por

I = Z b a f ´o I = Z b a

f (x) dx (si se quiere poner ´enfasis en la variable usada)

Teorema 279.- (Condici´on de integrabilidad de Riemann)

Una funci´_{on f : [a, b] −→ R acotada es integrable Riemann si, y s´olo si, para todo ε > 0 existe una partici´on} Pε∈ P[a, b] tal que

(3)

Propiedades 280.- Sean f, g: [a, b] −→ R integrables en [a, b], λ ∈ R y a < c < b. Entonces 1.- f + g es integrable en [a, b] y Z b a (f + g) = Z b a f + Z b a g . 2.- λf es integrable en [a, b] y Z b a λf = λ Z b a f .

3.- f integrable en [a, b] si, y s´olo si, f es integrable en [a, c] y [c, b] . En ese caso, Z b a f = Z c a f + Z b c f . _.

Definici´on 281.- Por convenio,

Z a a f (x) dx = 0 ; Z a b f (x) dx = − Z b a f (x) dx .

Como consecuencia de esta definici´_{on la propiedad (3) puede generalizarse a cualquier c ∈ R, siempre que} la funci´on sea integrable en los intervalos correspondientes, es decir:

Proposici´_{on 282.- Sea [a, b] ⊂ R y c ∈ R. Entonces}

Z b a f (x) dx = Z c a f (x) dx + Z b c f (x) dx, siempre que las integrales existan (es decir, que f sea integrable en los intervalos correspondientes) Demostraci´on:

Sea a ≤ b ≤ c (an´alogamente si c ≤ a ≤ b ). Si f es integrable en [a, c] , por la propiedad (3), Z c a f (x) dx = Z b a f (x) dx + Z c b f (x) dx, luego Z b a f (x) dx = Z c a f (x) dx − Z c b f (x) dx = Z c a f (x) dx + Z b c f (x) dx.

10.2.1 Sumas de Riemann

∗

Antes de seguir, un peque˜no inciso que comentaremos una vez veamos la siguiente definici´on

Definici´_{on 283.- Sea f : [a, b] −→ R una función acotada. Para cada partición P ∈ P[a, b] elijamos un conjunto} E = {e1, e2, . . . , en} tal que ei∈ [xi−1, xi] para todo i = 1, . . . , n . Se llama suma de Riemann de la función

f para la partici´on P y el conjunto E al n´umero

S(f, P, E) =

n

X

i=1

f (ei)∆xi.

Observaci´on: Es claro que para cualquier partici´on P y cualquier conjunto E elegido en ella, se verifica que

L(f, P ) ≤ S(f, P, E) ≤ U (f, P ),

pues en cada uno de los subintervalos [xi−1, xi] , se cumple que

mi≤ f (ei) ≤ Mi para cualquier elemento ei∈ [xi−1, xi] que

elijamos. La evidencia anterior de que las sumas de Riemann y las sumas inferiores y superiores tienen una relaci´on muy estrecha, se hace notoria en la prueba de las condiciones de integrabilidad que aborda el resultado siguiente:

Mi

f (ei)

mi

Fig. 10.1 Sumas de Riemann Proposici´_{on 284.- Sea f : [a, b] −→ R una función acotada. Entonces f es integrable en [a, b] y el valor de} su integral es I si y sólo si para cada ε > 0 existe Pε ∈ P[a, b] tal que para toda P más fina, Pε ⊆ P , y

(4)

Este resultado nos indica que podemos definir la integral tanto con las sumas superiores e inferiores como con estas sumas de Riemann, y de manera bastante análoga. Sin embargo es mucho más intuitiva la construcción propuesta por Darboux que nosotros hemos hecho, que la construcción de Riemann asumiendo que el “parecido” de las sumas de Riemann con el área deben llevar necesariamente a la integración.

No obstante, la construcci´on de Riemann es previa a la de Darboux y es de ella de quien deriva la notaci´on usada: de n P i=1 f (ei)∆xi pasamos a Z b a

f (x) dx si pensamos en que al final “dividimos” el intervalo en trocitos unipuntuales, como expresa esta notaci´on.

10.2.2 Otras propiedades de la integral

Proposici´_{on 285.- Sea f : [a, b] −→ R integrable en [a, b] y tal que f ≥ 0 en [a, b], entonces} Z b

a

f ≥ 0 . Demostraci´on:

Es claro, pues para cualquier P ∈ P[a, b] se tiene que 0 ≤ L(f, P ) ≤ I = Z b

a

f .

Corolario 286.- Sean f y g integrables en [a, b] tales que f ≤ g en [a, b] . Entonces Z b a f ≤ Z b a g. Demostraci´on: Como 0 ≤ (g − f ) , se tiene 0 ≤ Z b a (g − f ) = Z b a g − Z b a f . Luego Z b a f ≤ Z b a g .

Proposici´on 287.- Sea f integrable en [a, b] , entonces |f | es integrable en [a, b] y se verifica que Z b a f (x) dx ≤ Z b a |f (x)| dx . _.

Corolario 288.- Sea f : [a, b] −→ R integrable en [a, b]. Para cualesquiera c, d ∈ [a, b] se verifica que Z d c f (x) dx ≤ Z d c |f (x)| dx Demostraci´on:

En efecto, si c ≤ d es la proposicion 287. Si d ≤ c , se tiene

− Z c d |f (x)| dx ≤ Z c d f (x) dx ≤ Z c d |f (x)| dx =⇒ Z d c |f (x)| dx ≤ − Z d c f (x) dx ≤ − Z d c |f (x)| dx, luego Z d c f (x) dx ≤ Z d c |f (x)| dx .

Proposici´on 289.- Si f y g son integrables en [a, b] , entonces f g es integrable en [a, b] . _.

10.2.3 Algunas funciones integrables

Proposici´_{on 290.- Sea f : [a, b] −→ R una función monótona. Entonces f es integrable en [a, b].} Demostración:

Supongamos que f es monótona creciente (análogo para decreciente). Entonces, para cualquier partición P ∈ P[a, b] se tiene que mi = f (xi−1) y Mi= f (xi) , para todo i = 1, 2, . . . , n . En particular, si Pn es

Pn=a, a + b−an , a + 2 b−a n , . . . , a + (n − 1) b−a n , a + n b−a n = b

(5)

152 – Matemáticas 1 : C´_{alculo integral en R} 10.3 Integración y derivación son U (f, Pn) = n P i=1 f (xi)∆xi y L(f, Pn) = n P i=1

f (xi−1)∆xi, con xi= a + ib−an y ∆xi =b−an , luego

U (f, Pn) − L(f, Pn) = n X i=1 f (xi) − f (xi−1) b − a n = b − a n n X i=1 f (xi) − f (xi−1) = b − a n f (b) − f (a).

Luego tomando n suficientemente grande para que b−a_n < _{f (b)−f (a)}ε , entonces

U (f, Pn) − L(f, Pn) = b − a n f (b) − f (a)< ε f (b) − f (a) f (b) − f (a)= ε.

Teorema 291.- Sea f : [a, b] −→ R una funci´on continua en [a, b]. Entonces f es integrable en [a, b].

Teorema 292.- Sea f : [a, b] −→ R una funci´on acotada en [a, b] y continua en [a, b] salvo acaso en una cantidad numerable de puntos de dicho intervalo. Entonces f es integrable en [a, b] .

10.3 Integraci´

on y derivaci´

on

Teorema 293.- Sea f : [a, b] −→ R integrable en [a, b], con a < b, y m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b]. Entonces m ≤ 1 b − a Z b a f (x) dx ≤ M. Demostraci´on:

Por ser m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b] , se tiene que Z b a m dx ≤ Z b a f (x) dx ≤ Z b a M dx, entonces (ver ejercicio 10.242) m(b − a) ≤ Z b a f (x) dx ≤ M (b − a) , luego m ≤ 1 b−a Z b a f (x) dx ≤ M

Nota: Como _b−a1 Z b

a

f (x) dx = _a−b1 Z a

b

f (x) dx , tambi´en es cierto que m ≤ _a−b1 Z a

b

f (x) dx ≤ M .

Teorema de la media 294.- Sea f : [a, b] −→ R una funci´on continua en [a, b], entonces existe ξ ∈ [a, b] tal que

Z b

a

f (x) dx = f (ξ)(b − a). Demostraci´on:

Al ser f continua en [a, b] , alcanzará el m´ınimo y el máximo en [a, b] . Sean éstos m y M respectivamente. Por el teorema anterior 293, m ≤ _b−a1

Z b

a

f (x) dx ≤ M y, por ser f continua, toma todos los valores entre el m´ınimo y el m´aximo; por consiguiente, existe ξ ∈ [a, b] tal que f (ξ) = _b−a1

Z b

a

f (x) dx.

Definici´_{on 295.- Sea f : [a, b] −→ R integrable en [a, b]. La funci´on F : [a, b] −→ R definida de la forma} F (x) =

Z x

a

f (t) dt recibe el nombre de funci´on integral de la funci´on f .

Teorema 296.- Sea f : [a, b] −→ R integrable en [a, b]. Entonces su funci´on integral es continua en [a, b]. Demostraci´on:

Como f est´_{a acotada en [a, b] , existe M ∈ R tal que |f (x)| ≤ M , para todo x ∈ [a, b].}

Sea entonces x ∈ [a, b] , la funci´on F estar´a definida en todos los puntos de la forma x + h siempre que a < x + h < b , luego F (x + h) − F (x) = Z x+h a f (t) dt − Z x a f (t) dt = Z x+h x f (t) dt.

(6)

153 – Matemáticas 1 : C´_{alculo integral en R} 10.3 Integración y derivación

Como −M ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b] , por el teorema 293 y la observaci´on posterior, se tiene que −M ≤ 1 h Z x+h x f (t) dt ≤ M, y, por tanto, |F (x + h) − F (x)| = |h| 1 h Z x+h x f (t) dt ≤ M |h| .

Tomando l´ımites, cuando h → 0 , l´ım

h→0

F (x + h) − F (x)= 0 y F es continua en cada x ∈ [a, b] .

Teorema fundamental del C´_{alculo Integral 297.- Sea f : [a, b] −→ R integrable y F (x) =} Z x

a

f (t) dt su funci´on integral. Si f es continua en [a, b] , entonces

a) F es derivable en [a, b] .

b) F0(x) = f (x) , para todo x ∈ [a, b] . Demostraci´on:

Sea x ∈ (a, b) . La funci´on F estar´a definida en todos los puntos de la forma x + h siempre que a < x + h < b , entonces l´ım h→0 F (x + h) − F (x) h = l´ımh→0 Z x+h x f (t) dt h = l´ımh→0 f (ξ)h h = l´ımh→0f (ξ) = f (x),

ya que, por el teorema de la media 294, ξ es un punto comprendido entre x y x + h ; y f es continua en [a, b] . As´ı pues F es derivable para todo x ∈ (a, b) y F0(x) = f (x) .

Como F y f son continuas en [a, b] , F es derivable “por la derecha” en a y “por la izquierda” en b , verific´andose que F0(a) = f (a) y F0(b) = f (b) .

Regla de Barrow 298.- Sea f : [a, b] −→ R integrable en [a, b]. Si G: [a, b] −→ R es una primitiva de f en [a, b] , entonces Z b a f (x) dx = G(b) − G(a) _. Ejemplo Z 3 0

2x dx es el área del triángulo de vértices (0, 0) , (3, 0) y (3, 6) , pero también, por la regla de Barrow, puede calcularse como:

Z 3 0 2x dx =x2i 3 0= 3 2_{− 0}2_{= 9} 4 Teorema del Cambio de variable 299.- Sean f : [a, b] −→ R continua en [a, b] y x = φ(t) siendo φ(t) y φ0(t) funciones continuas en [α, β] (´o [β, α] ), con φ(α) = a y φ(β) = b . Entonces:

Z b a f (x) dx = Z β α f (φ(t))φ0(t) dt. Demostraci´on:

f (φ(t))φ0(t) es tambi´en continua, luego las funciones F (x) = Z x a f (u) du y G(t) = Z t α f (φ(v))φ0(v) dv son respectivamente primitivas de f (x) y f (φ(t))φ0(t) .

Ahora bi´en, como F es una primitiva de f , F (φ(t)) es tambi´en una primitiva de f (φ(t))φ0(t) , luego F (φ(t)) = G(t) + C , para todo t ∈ [α, β] .

Para t = α se tiene F (φ(α)) = G(α) + C , y como F (φ(α)) = F (a) = 0 y G(α) = 0 , entonces C = 0 . Y para t = β se tiene F (φ(β)) = G(β) , es decir,

Z b a f (x) dx = Z β α f (φ(t))φ0(t) dt.

Ejemplo Para calcular Z 7

0

3

√

1 + x dx hacemos el cambio 1 + x = t3_{, de donde} √3_{1 + 0 = 1 y} √3_{1 + 7 = 2 ,}

y se tiene que Z 7 0 3 √ 1 + x dx = Z 2 1 3 √ t3_3t2_{td =} Z 2 1 3t3₌3t4 4 i2 1 = 3 4(16 − 1) = 45 4 4

(7)

154 – Matem´aticas 1 : C´_{alculo integral en R} 10.4 Integrales impropias

10.4 Integrales impropias

En las secciones anteriores hemos construido la integral de Riemann con las premisas de acotaci´on ? Dom(f ) = [a, b] es un conjunto acotado.

? f : [a, b] −→ R est´a acotada en [a, b].

Si no se cumple la primera, nos encontraremos con Integrales impropias de primera especie, y si la que falla es la segunda hablaremos de integrales impropias de segunda especie.

10.4.1 Integrales impropias de primera especie

Definici´_{on 300.- Sea f : [a, +∞) −→ R integrable en [a, t], para todo t ≥ a. De} Z +∞ a f (x) dx = l´ım t→+∞ Z t a f (x) dx se dice integral impropia de primera especie

De forma an´_{aloga se definen para funciones f : (−∞, b] −→ R integrables en [t, b], para todo t ∈ R, por} Z b −∞ f (x) dx = l´ım t→−∞ Z b t f (x) dx O, con el cambio x = −y , transform´andola en una de las anteriores

Z b −∞ f (x) dx = l´ım t→−∞ Z b t f (x) dx = l´ım t→−∞ Z −b −t −f (−y) dy = l´ım t→−∞ Z −t −b f (−y) dy = Z +∞ −b f (−y) dy Es evidente entonces que el estudio para las primeras tendr´a un espejo en las segundas, pero que no repetiremos.

Definici´on 301.- Si l´ım

t→+∞

Z t

a

f (x) dx existe y es finito diremos que la integral impropia es convergente y que l´ım t→+∞ Z t a f (x) dx = Z +∞ a f (x) dx es su valor.

Si el l´ımite anterior es infinito, a ∞ ´o −∞ , se dice que la integral impropia es divergente (hacia ∞ ´o hacia −∞ ), y si no existe el l´ımite se dice que es oscilante

Ejemplo La integral Z ∞ 1 x dx es divergente, pues l´ım t→+∞ Z t 1 x dx = l´ım t→+∞ x2 2 it 1 = l´ım t→+∞ t2 2 − 1 2 = +∞ 4 Ejemplo Z ∞ 0

cos x dx es oscilante, pues l´ım

t→+∞ Z t 0 cos x dx = l´ım t→+∞(sen x] t 0= l´ım_t→+∞sen t que 6 ∃ ₄ Ejemplo Z 0 −∞ 1 1+x2dx = π 2, pues _t→−∞l´ım Z 0 t 1 1+x2dx = l´ım t→−∞(arctg x] 0 t = l´ım_t→−∞arctg 0 − arctg t = − −π 2 4

Ejemplo 302 Estudiar el car´acter de Z ∞

1 dx

xα, para α ∈ R.

Como la funci´on tiene primitivas distintas para α = 1 y α 6= 1 , las estudiamos por separado: Si α = 1 , l´ım t→+∞ Z t 1 1 xdx = l´ımt→+∞ ln xi t 1= l´ımt→+∞(ln t − ln 1) = l´ımt→+∞ln t = +∞, luego diverge Si α 6= 1 , l´ım t→+∞ Z t 1 x−αdx = l´ım t→+∞ x−α+1 −α + 1 t 1 = l´ım t→+∞ t−α+1 −α + 1− 1−α+1 −α + 1 = l´ım t→+∞ t1−α_{− 1} 1 − α = −1 1−α, si α > 1 +∞, si α < 1 Resumiendo, Z ∞ 1 dx

xα diverge si α ≤ 1 y converge si α > 1 . En este ´ultimo caso,

Z ∞ 1 dx xα = 1 α−1. 4

(8)

Definición 303.- Diremos que dos integrales impropias tienen el mismo carácter, y lo representaremos por “ ∼ ”, si son simultáneamente convergentes, divergentes u oscilantes.

Propiedades 304.- Sean f, g: [a, +∞) −→ R integrables en [a, t] para todo t ≥ a. 1.- Para cualquier b ≥ a , se tiene que

Z +∞ a f (x)dx ∼ Z +∞ b f (x)dx

2.- Para cualquier λ ∈ R − {0}, se tiene que

Z +∞ a f (x) dx ∼ Z +∞ a λf (x) dx 3.- Si Z +∞ a f y Z +∞ a

g convergen, entonces converge

Z +∞ a f +g y Z +∞ a f +g = Z +∞ a f + Z +∞ a g Demostraci´on: 1.- Como l´ım t→+∞ Z t a f (x) dx = l´ım t→+∞ Z b a f (x) dx + Z t b f (x) dx ! = Z b a f (x) dx + l´ım t→+∞ Z t b f (x) dx

el l´ımite de la izquierda es finito, infinito o no existe si el l´ımite de la derecha es finito, infinito o no existe respectivamente. Y viceversa. 2.- Como l´ım t→+∞ Z t a λf (x) dx = λ l´ım t→+∞ Z t a

f (x) dx , ambos son simult´aneamente finitos, infinitos o no existen

3.- Cierto, pues l´ım t→+∞ Z t a (f+g)(x) dx = l´ım t→+∞ Z t a f (x) dx+ l´ım t→+∞ Z t a

g(x) dx , si los segundos l´ımites existen.

Ejemplo La integral Z ∞ 2 x+2 x3 dx es convergente, ya que x+2 x3 = 1 x2 + 2 1

x3 y por las propiedades 304

anteri-ores, Z ∞ 2 1 x2 dx (P.1) ∼ Z ∞ 1 1 x2dx y Z ∞ 2 2_x13dx (P.2) ∼ Z ∞ 2 1 x3dx (P.1) ∼ Z ∞ 1 1

x3 dx , que son ambas convergentes

(ejemplo 302). Luego por la propiedad (P.3) la integral Z ∞

2 x+2

x3 dx es convergente por ser suma de integrales

convergentes y Z ∞ 2 x+2 x3 dx = Z ∞ 2 1 x2dx + Z ∞ 2 2_x13dx ₄

Proposici´_{on 305.- Sea f : [a, +∞) −→ R integrable en [a, t] para todo t ∈ [a, +∞). Si} l´ım

x→+∞f (x) = L 6= 0

entonces Z ∞

a

f (x) dx diverge. _.

Observación 306.- Como consecuencia de este resultado, si una función tiene l´ımite en +∞ , su integral sólo puede ser convergente cuando el l´ımite es cero. (Si el l´ımite no existe no se puede asegurar nada.)

El rec´ıproco de la proposici´on 305 no es cierto, una integral puede ser divergente, aunque su l´ımite sea 0 . Contraejemplo

Z ∞

1 dx

x diverge (ver ejemplo 302) y sin embargo, _x→+∞l´ım 1 x = 0 .

10.4.2 Criterios de comparaci´

on para funciones no negativas

Teorema 307.- Sea f : [a, +∞) −→ R integrable y no negativa en [a, t], ∀t ∈ R. Z +∞

a

f (x) dx es convergente ⇐⇒ F (t) = Z t

a

f (x) dx est´a acotada superiormente. _.

Nota: En consecuencia, para funciones no negativas, Z +∞

a

(9)

Primer criterio de comparaci´_{on 308.- Sean f, g: [a, +∞) −→ R integrables en [a, t] para todo t ≥ a y} supongamos que existe b > a tal que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para todo x ≥ b . Entonces:

a) Si Z +∞ a g(x) dx converge ⇒ Z +∞ a f (x) dx también converge. b) Si Z +∞ a f (x) dx diverge ⇒ Z +∞ a g(x) dx también diverge. Demostración: Por la propiedad 1 de 304, Z +∞ a f ∼ Z +∞ b f y Z +∞ a g ∼ Z +∞ b

g, luego basta probarlo en [b, +∞) . Y como 0 ≤ f (x) ≤ g(x) , tambi´en se tendr´a F (t) =

Z t b f (x) dx ≤ Z t b g(x) dx = G(t) a) Si Z +∞ b

g converge, G(t) est´a acotada superiormente y F (t) que es menor tambi´en; luego Z +∞ b f converge b) Si Z +∞ b

f diverge, F (t) no est´a acotada superiormente y G(t) tampoco, luego Z +∞ b g diverge Ejemplo Z ∞ 1 1 x2₊₁dx es convergente, pues en [1, +∞) , 0 < x 2_{< x}2_{+ 1 de donde 0 <} 1 1+x2 < 1 x2. Luego Z ∞ 1 1 x2₊₁dx ≤ Z ∞ 1 1

x2 dx y como la mayor es convergente, la menor tambi´en. ₄

Ejemplo Z ∞

1 1

x+1dx es divergente, pues en [1, +∞) , 0 < x + 1 < x + x = 2x de donde 0 < 1 2x < 1 x+1. Luego Z ∞ 1 1 2 1 xdx ≤ Z ∞ 1 1

x+1dx y como la menor es divergente, la mayor tambi´en lo es. 4

Segundo criterio de comparaci´_{on 309.- Sean f, g: [a, +∞) −→ R integrables en [a, t], para todo t ≥ a y no} negativas. Supongamos que existe l´ım

x→+∞ f (x) g(x) = L . Entonces: a) Si 0 < L < +∞ =⇒ Z +∞ a f (x) dx ∼ Z +∞ a g(x) dx . b) Si L = 0 , se tiene: [i] si Z +∞ a g(x) dx converge =⇒ Z +∞ a f (x) dx converge. [ii] si Z +∞ a f (x) dx diverge =⇒ Z +∞ a g(x) dx diverge. c) Si L = +∞ , se tiene: [i] si Z +∞ a f (x) dx converge =⇒ Z +∞ a g(x) dx converge. [ii] si Z +∞ a g(x) dx diverge =⇒ Z +∞ a f (x) dx diverge. _. Ejemplo Z ∞ 2 1

x2₋√_xdx es convergente, pues [2, +∞) es positiva y l´ım

x→+∞ 1 x2 −√x 1 x2 = l´ım x→+∞ x2 x2₋√_x = 1 6= 0 . Luego Z ∞ 2 1 x2₋√_xdx ∼ Z ∞ 2 1 x2dx que converge. ₄

Observación: Aunque los criterios dados son válidos únicamente para funciones positivas en un entorno de +∞ , teniendo en cuenta que

Z +∞

a

f ∼ Z +∞

a

−f , para las funciones negativas basta estudiar el car´acter de Z +∞

a

(10)

10.4.3 Convergencia absoluta

Definici´_{on 310.- Sea f : [a, +∞) −→ R integrable en [a, t] para todo t ≥ a. Diremos que} Z +∞ a f (x)dx es absolutamente convergente si Z +∞ a |f (x)|dx converge.

Teorema 311.- Sea f : [a, +∞) −→ R integrable en [a, t] para todo t ≥ a. Si Z ∞ a |f (x)|dx converge, entonces Z +∞ a f (x)dx converge. En otras palabras, si una integral impropia converge absolutamente entonces converge. Demostraci´on:

Para todo x ∈ [a, +∞) se tiene −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| , luego 0 ≤ f (x) + |f (x)| ≤ 2|f (x)| . Entonces, si Z +∞

a

|f (x)|dx converge se tiene que Z +∞

a

(|f (x)| + f (x)) dx es convergente y, por tanto, aplicando al propiedad 3 de 304, se tiene que Z +∞ a f (x)dx = Z +∞ a (f (x) + |f (x)|) dx − Z +∞ a |f (x)|dx converge.

Nota: El rec´ıproco no es cierto, pues Z ∞

π sen x

x dx es convergente pero no converge absolutamente

10.4.4 Integrales impropias de segunda especie

Cuando la funci´on no est´a acotada en el intervalo, tenemos estas integrales de segunda especie: Definici´_{on 312.- Sea f : (a, b] −→ R integrable en [t, b], para todo t ∈ (a, b], y no acotada. De}

Z b a+ f (x)dx = l´ım t→a+ Z b t f (x) dx se dice integral impropia de segunda especie

An´alogamente se definen las integrales impropias de segunda especie en intervalos de la forma [a, b) , para fun-ciones f : [a, b) −→ R integrables en [a, t], ∀t ∈ [a, b) y no acotadas

Z b− a f (x)dx = l´ım t→b− Z t a f (x) dx ´o Z b− a f.

Observaciones 313.- Los distintos tipos de integrales impropias tienen, en realidad, el mismo comportamiento y cumplen condiciones similares

1.- En efecto, con el cambio x = a + b − t , se tiene que

Z b−

a

f (x)dx = Z b

a+

f (a+b−t)dt y todas las integrales de segunda especie pueden ser del mismo tipo

2.- pero tambi´en el cambio x = a + 1

t, produce que Z b a+ f (x)dx = Z +∞ 1 b−a f (1 t+a)

t2 dt y que todas las

integrales impropias de segunda especie se transformen en una de primera especie

3.- Es claro por las definiciones y por estas observaciones anteriores, que las caracterizaciones de convergencia, divergencia y oscilanci´on sean id´enticas en las de segunda especie; lo mismo que el comportamiento de las integrales impropias para funciones no negativas, as´ı como en la convergencia absoluta

4.- De hecho los criterios de convergencia de integrales impropias de segunda especie para funciones no negativas son id´enticos (pero acomomodados a estas) a los de primera especie:

(11)

Primer criterio de comparaci´_{on 314.- Sean f, g: (a, b] −→ R integrables en [t, b], para todo t ∈ (a, b], y no} acotadas. Supongamos que existe c ∈ (a, b] tal que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) , para todo x ∈ (a, c] , entonces

a) Si Z b a+ g(x)dx converge =⇒ Z b a+ f (x)dx tambi´en converge. b) Si Z b a+ f (x)dx diverge =⇒ Z b a+ g(x)dx tambi´en diverge.

Segundo criterio de comparaci´_{on 315.- Sean f, g: (a, b] −→ R integrables en [t, b], para todo t ∈ (a, b], no} negativas y no acotadas. Supongamos que existe y es finito l´ım

x→a+ f (x) g(x) = L . Entonces: a) Si L 6= 0 entonces, Z b a+ f (x)dx ∼ Z b a+ g(x)dx . b) Si L = 0 , se tiene: [i] Si Z b a+ g(x)dx converge =⇒ Z b a+ f (x)dx tambi´en converge. [ii] Si Z b a+ f (x)dx diverge =⇒ Z b a+ g(x)dx tambi´en diverge.

Teorema 316.- (Convergencia absoluta.)

Sea f : (a, b] −→ R integrable en [t, b], ∀t ∈ (a, b], y no acotada. Si Z b a+ |f (x)|dx convergente =⇒ Z b a+ f (x)dx es convergente.

Para usar esos criterios son muy ´utiles las familias de integrales impropias de segunda especie siguientes:

Ejemplo 317 Estudiar el car´acter de Z b a+ dx (x−a)α y de Z b− a dx (b−x)α, para los α ∈ R. Soluci´on: Si α = 1 , l´ım t→a+ Z b t dx x − a= l´ımt→a+ ln |x − a|i b t = l´ım t→a+ ln |b − a| − ln |t − a|= +∞ l´ım t→b− Z t a dx b − x= l´ımt→b− − ln |b − x|i t a = l´ımt→b− ln |b − a| − ln |b − t|= +∞ Si α 6= 1 , l´ım t→a+ Z b t dx (x − a)α= l´ım_t→a+ ₁ 1 − α 1 (x − a)α−1 b t = l´ım t→a+ 1 1 − α ₁ (b − a)α−1 − 1 (t − a)α−1 = 1 (1−α)(b−a)α−1, si α < 1 +∞, si α > 1 l´ım t→bb Z t a dx (b − x)α= l´ım_t→b− ₋₁ 1 − α 1 (b − x)α−1 t a = l´ım t→b− 1 α − 1 ₁ (b − t)α−1 − 1 (b − a)α−1 = 1 (1−α)(b−a)α−1, si α < 1 +∞, si α > 1

luego converge si α < 1 y diverge si α ≥ 1 .

An´alogamente se hace la segunda, y se obtiene que Z b−

a dx

(b−x)α converge si α < 1 y diverge si α ≥ 1 . ₄

Cuando se reunen en una sola integral varias impropiedades, la ´unica manera de resolver el problema es separar la integral en varias integrales impropias que tengan con una sola impropiedad. Esto es precisamente lo que aparece recogido en las siguientes definiciones:

(12)

159 – Matem´aticas 1 : C´_{alculo integral en R} 10.5 Ejercicios

Definici´_{on 318.- Sea f : R −→ R integrable en todo intervalo cerrado [t}1, t2] ⊂ R, diremos que

Z +∞

−∞

f (x) dx es convergente si para alg´_{un c ∈ R las dos integrales}

Z c −∞ f y Z +∞ c son convergentes. Y en ese caso: Z +∞ −∞ f (x) dx = Z c −∞ f (x) dx + Z +∞ c f (x) dx

Definici´_{on 319.- f : (a, b) −→ R integrable en cada [t}1, t2] ⊂ (a, b) . La

Z b−

a+

f es convergente si para alg´un c ∈ R las dos integrales

Z c

a+

f y Z b−

c

f son convergentes. Y en ese caso Z b− a+ f = Z c a+ f + Z b− c f

Definici´_{on 320.- f : (a, ∞) −→ R integrable en cada [t}1, t2] ⊂ (a, ∞) . La

Z ∞

a+

f es convergente si para alg´un c ∈ R las dos integrales

Z c

a+

f y Z ∞

c

f son convergentes. Y en ese caso Z ∞ a+ f = Z c a+ f + Z ∞ c f

10.5 Ejercicios

10.242 Comprobar que la funci´on f (x) = k , donde k es constante, es integrable en cualquier intervalo [a, b] de R y calcular el valor de la integral.

10.243 Comprobar que la funci´on f (x) = 1, si x ∈ [0, 1]

2, si x ∈ (1, 2] es integrable Riemann en [0, 2] . (Utilizar la condici´on de integrabilidad de Riemann.)

10.244 Justificar razonadamente la falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) U (f, P1) = 4 para P1= {0, 1,3₂, 2} y U (f, P2) = 5 para P2= {0,1₄, 1,3₂, 2} . b) L(f, P1) = 5 para P1= {0, 1,3₂, 2} y L(f, P2) = 4 para P2= {0,1₄, 1,3₂, 2} . c) Tomando P ∈ P[−1, 1] , (i) L(f, P ) = 3 y U (f, P ) = 2 . (ii) L(f, P ) = 3 y U (f, P ) = 6 y Z 1 −1 f (x) dx = 2 . (iii) L(f, P ) = 3 y U (f, P ) = 6 y Z 1 −1 f (x) dx = 10 . 10.245 Se sabe que Z 1 0 f (x) dx = 6 , Z 2 0 f (x) dx = 4 y Z 5 2

f (x) dx = 1 . Hallar el valor de cada una de las siguientes integrales: a) Z 5 0 f (x) dx b) Z 2 1 f (x) dx c) Z 5 1 f (x) dx. 10.246 Sean f derivable y F (x) = Z x a

f (t) dt . ¿Es cierto que F0(x) = Z x a f0(t) dt ? ¿Por qu´e? 10.247 Sea f (x) = Z x a 1

1+sen2_tdt . ¿Cual es su dominio? Calcular f0(x) y f00(x) , indicando sus dominios de

definici´on.

10.248 Hallar f0(x) , indicando su dominio de definici´on, para

a) f (x) = Z x3 a 1 1+sen2_tdt. b) f (x) = Z x a 1 1+sen2_tdt 3 . c) f (x) = Z sen x a 1 1+sen2_tdt. d) f (x) = Z _R_x a 1 1+sen2 tdt a 1 1+sen2_tdt.

(13)

10.249 Hallar el dominio y la expresi´on de f0(x) para cada una de las siguientes funciones:

a) f (x) = Z 47 1 x 1 tdt b) f (x) = Z sec x x2 1 tdt c) f (x) = Z cos x x3 sen(t2_{) dt}

10.250 Si f es continua, calcular F0_{(x) , siendo F (x) =}

Z x

0

xf (t) dt .

10.251 Obtener el dominio y la expresi´on concreta de su funci´on integral F (x) = Z x

a

f (t) dt , para cada una de las funciones siguientes:

a) La funci´on f (t) = t2 _{para a = −1 . Repetirlo, tomando ahora a = 1 , ¿porque son iguales/distintas?}

b) La funci´on f (t) = 0, si t < 0

2, si t ≥ 0 y a = 0 c) La funci´on f (t) = |t| y a = 0

d) La funci´on f (t) = −2t, si t ≤ 1

1, si t > 1 , para a = 1 y tambi´en para a = 0 Comprobar que se cumplen las tesis de los teoremas 296 y 297 anteriores.

10.252 _{Sea f : R −→ R estrictamente creciente y continua, con f (0) = 0. Calcular los extremos de la funci´on}

Z (x+3)(x−1)

0

f (t) dt .

10.253 Dada la funci´_{on f estrictamente creciente en R, con f (0) = 0, y continua, estudiar el crecimiento,} decrecimiento y los extremos de F (x) =

Z x3−2x2+x

1

f (t) dt .

10.254 Encontrar los valores de x para los que la funci´on F (x) = Z x

0

te−t2dt alcanza alg´un extremo.

10.255 _{Sea f : [a, b] −→ R de clase 1, tal que f (a) = f (b) = 0 y} Z b a f2(x) dx = 1 . Probar que Z b a xf (x)f0(x) dx = −1 2. 10.256 Sean f y g funciones reales continuas en [a, b] que verifican que

Z b a f (x) dx = Z b a g(x) dx. Demostrar que existe un punto c ∈ [a, b] tal que f (c) = g(c) . 10.257 Calcular Z +∞ 0 e−xdx e Z 0 −∞ ex_dx 10.258 Calcular el valor de Z +∞ −∞ dx 1+x2

10.259 Definici´_{on: Si f es integrable en cualquier [a, b] de R, se llama valor principal de} Z +∞ −∞ f (x) al l´ımite l´ım t→+∞ Z t −t

f (x)dx y si la integral impropia es convergente el valor principal es el valor de la integral

Comprobar que el VP Z +∞

−∞ dx

1+x2 coincide con el valor de la integral obtenido en el ejercicio anterior

10.260 Probar que Z +∞

−∞

sen x dx no es convergente, pero que s´ı existe el V P Z +∞

−∞

(14)

10.261 Estudiar el car´acter de Z +∞ −∞ 2x−1 1+x2dx y hallar V P Z +∞ −∞ 2x−1 1+x2dx .

10.262 Estudiar el car´acter de las integrales siguientes:

a) Z ∞ 0 (2 + sen x)dx b) Z ∞ 0 e2x(2x2−4x)dx c) Z ∞ −∞ e−xdx d) Z ∞ 1 1 ch xdx e) Z ∞ −∞ e−x2dx f) Z 0 −∞ e2x_(2x2_+4x)dx _g) Z 0 −∞ x2₊₁ x4₊₁dx h) Z ∞ 0 xe−x2dx i) Z ∞ 0 sen3_x 1+cos x+exdx j) Z ∞ 1 x 1+x4dx k) Z ∞ 0 dx √ x l) Z ∞ 0 x ln x (1+x2)2dx

a) Z 0 −1 x−1 (x+1)2dx b) Z 1 0 dx √ x(1−x) c) Z 1 0 sen x+cos x_√ x(1−x) dx d) Z π 0 dx 1−cos x e) Z 1 0 ex ex₋₁dx f) Z π2 0 ex √ sen xdx 10.264 Probar que Z +∞ 0 dx

xα diverge para cualquier α ∈ R.

10.265 Estudiar el car´acter de las siguientes integrales, seg´un los valores de α a) Z +∞ α sen2x x2 dx b) Z +∞ α dx ln x, para α > 1

a) Z 1 0 sen x x2 dx b) Z π 0 sen22x x2 dx c) Z ∞ 1 ln x x4_−x3_−x2_+xdx d) Z √ 2 0 x (x2₋₁₎45 dx e) Z 2 1 dx x ln x f) Z ∞ 0 dx x+(x3₊₁₎12 g) Z +∞ 1 sen2 1 xdx h) Z 1 0 ln x ln(x + 1)dx i) Z ∞ 0 ex ex₊₁dx.

a) Z π4 0 (1−tg x) sen x (π 4−x) 3 2x32 dx b) Z √ 2 2 0 π 4−arcsen x x12(_√1 2−x) 3 2 dx c) Z ∞ 0 ex ex₊₁− ex ex₋₁dx d) Z ∞ 1 arctg(x−1) 3 √ (x−1)4 dx e) Z 1 0 sen3_(x−1) x ln3_x dx f) Z ∞ 0 √ x sen 1 x2 ln(1+x) dx g) Z π₄ 0 1−e−x2 x2_{cos x} − 1 dx h) Z π₂ π 4 1−e−x2 x2_{cos x} − 1 dx i) Z π 0 1+x 2− x2 8− √ 1+sen x x72 dx

10.268 Encontrar los valores de β , para que las integrales siguientes sean convergentes.

a) Z π₂ 0 1−cos x xβ dx b) Z ∞ 2 _βx x2₊₁− 1 2x+1 dx c) Z ∞ 0 1−e 1 √ x xβ dx d) Z ∞ 0 x−sen x xβ dx e) Z ∞ 0 dx x1−β 3√_1−x2 f) Z ∞ 0 1 √ 1+2x2 − β x+1 dx g) Z ∞ β sen2_x x2₋₁dx h) Z ∞ β xβ x4₋₁dx