— 1 —
Tema 1. MATRICES Y DETERMINANTES
Unidad de Trabajo.
EJERCICIOS.
1.
Dadas las matrices:
[
]
[
]
1 1 1 4 1 0 0 1 1 0 0 1 2 3 2 1 0 0 2 3 0 2 1 1 1 0 4 0 1 3 4 1 ´ 2 4 2 0 3 1 2 1 1 2 2 2 3 2 1 2 0 2 3 0 1 0 2 3 1 4 0 1 0 A B C D E F − − = = = = = = − − Calcular si es posible:A+B, 2A-B, C+D, CxD, DxC, (CxD)t , (DxC)t , CtxDt , DtxCt, C2 , D2, ExF, FxE, E2, F3.
Solución:
2
1
1
3
4
2
0
2
4
3
4
3
5
3
2
4
A B
+ =
−
1
2
2
9
2
5
0
2
2
5
0
2
0
4
3
1
4
A B
−
−
− =
−
−
−
no se puede
C
+
D
1
2
3
3
6
5
5 14 11
0
4
0
CxD
=
DxC
no se puede
1
3
5
0
(
)
2
6 14
4
3
5 11 0
CxD
′ =
(
DxC
) no se puede
′
D C
′ ′
=
(
CD
)
′
C
2no existe
2
7 10
9
0 16
0
6
4
10
D
=
[ ]
22
=
ExF
2
6
8
2
4 12 16
4
2
6
8
2
0
0
0
0
FxE
=
3 3no se puede
E y F
2.
Dadas las matrices:
2 1 1 0 2 1 0 1 A= − B= − −
. Calcular A
n, B
10y B
5.
Solución:
2
1
2
1
nA
=
−
−
10 2 5 2 11
0
0
1
n nB
B
I
B
B
−B
=
= =
=
=
— 2 —
3.
Calcular el cubo de las matrices diagonales:
1 0 0 8 0 0 0 3 0 0 2 0 0 0 5 0 0 4 A B = = − − .
Solución:
−
−
=
=
3 3 3 3 3 3 3)
4
(
0
0
0
)
2
(
0
0
0
8
5
0
0
0
3
0
0
0
1
B
A
4.
Sean las matrices A5x5, B5x5 y C5x5. Sabiendo que |A| = 7, |B|= - 2 y |C|= 2, calcular:
a)
4A
b)AB
c)2A
2
d)AB
′
e)( )
AB
′
′
f)3
2
B
g)(
A B
′ ′
)
′
h)C
−1( )
AB
′
i)( )
AB
′
C
j)1
A B
1C
−′
k)( )
AB −1C′Solución:
a)4A
=
4
5A
=
4
5x
7
=
7.168
b)AB
=
A B
= − = −
7( 2)
14
c)2A
7
2
=
A
=
|2A/2| d)AB
′
=
A B
′
=
A B
= −
14
e)( )
AB
′
′
=
BA
′
=
B A
= −
14
f) 5 53
3
3
( 2)
15.1875
2
2
2
B
B
=
=
− = −
g)(
A B
′ ′ =
)
′
BA
=
B A
= −
14
h)C
1( )
AB
C
1( )
AB
1
AB
A B
7
C
C
−′
=
−′
=
=
= −
i)( )
AB
′
C
=
C
5( )
AB
′
=
C
5A B
=
2 7( 2)
5− = −
448
j) 5 5 5 1 11
1
1
1
1
1
7
0,11
2
2
A B
A B
A
C
C
C
B
−
−
′
=
′
=
=
= −
−
k)( )
1 1 2 1 7( 2) 7 AB C C A B − ′ = = = − −5.
Sean las matrices A3x4 y B4x3. Sabiendo que |AxB| = 2 y |BxA| = - 3. Calcular si es posible:
a) |A| b) |B| c) |AtxB| d) |4(AxB)| e) |6(BxA)|
— 3 —
Solución:
a) |A|. No es posible. b) |B|. No es posible. c) |AtxB|. No es posible. d) |4(AxB)|= 43 2=128. e) |6(BxA)|= 64 (-3)= -3888. f) |AxBt|. No es posible. g) |(AxBt)t|. No es posible. h) |BtxAt|=|(AB)t|=|(AB)|=2. i) |(AxB)t|=2. j) |A|x|B|. No es posible.6.
Calcular los determinantes siguientes, siendo n un número par:
9
8
1
6
5
1
3
2
1
=
A
a
a
a
B
4
4
4
0
3
3
0
0
2
0
0
0
1
=
4
1
1
2
1
1
1
1
1
5
−
=
C
x
x
x
d
c
b
a
D
1
0
0
0
1
0
0
0
1
−
−
−
=
5
4
4
4
3
3
2
2
1
1
3
3
3
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
=
E
0
...
...
...
...
...
...
...
0
...
0
...
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
F
n=
0
...
...
...
2
...
2
...
2
...
2
...
0
2
2
2
...
2
0
2
2
...
2
2
0
) 1 ( ) 1 (−
−
−
−
−
−
=
− − xn nG
Solución:
0
9
8
1
6
5
1
3
2
1
=
=
A
(
F
3=
2
F
2−
F
1)
34
4
4
0
3
3
0
0
2
0
0
0
1
a
a
a
a
B
=
=
Matriz triangular30
)
4
2
1
2
1
4
(
5
4
1
1
2
1
1
1
1
1
5
−
=
−
+
−
−
+
=
=
C
— 4 —
d
cx
bx
ax
x
x
x
d
c
b
a
D
=
+
+
+
−
−
−
=
3 21
0
0
0
1
0
0
0
1
)
(
1
5
4
4
4
3
3
2
2
1
1
3
3
3
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1 −−
=
=
F
iF
iE
n n n na
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
F
=
=
(
−
1
)
−1=
−
0
...
...
...
...
...
...
...
0
...
0
...
0
0
...
...
...
2
...
2
...
2
...
2
...
0
2
2
2
...
2
0
2
2
...
2
2
0
) 1 ( ) 1 (−
=
−
−
−
−
−
=
− − xn nG
Determinante antisimétrico de orden impar7.
Dadas las matrices:
1 1 3 0 1 1 1 2 2 1 3 2 3 4 5 2 6 0 0 1 1 2 2 1 3 2 2 3 2 1 3 0 0 0 A= B = C = − − D= − E = F = − − − − − − − −
Calcular:a) |A| b) |B| c)|A|x|F| d) A3 y |A3| e) B3 y |B3| f)|AxB| g)CxC y |CxC|
h) |AxC| i) F2 y |FxF| j) |BxE| k) ExE y |E2| l) ExFm) y |ExF| n)DxD
ñ) |DxD| o)CxDxExF p) |CxDxExF| q) |CxDtxExF| r) |AxExA|
Solución: a)
1
1
3
5
2
6
0
2
1
3
=
−
−
−
b)B
=
0
c) 0. d) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0.— 5 —
e) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0. f) AB = A B =0 g) 2 1 2 2 0 1 2 C =− − =C C = C = h) AC no existe. i) F2=I, |FxF|=|F|x|F|=|F2|=1. j) BxE no existe. k) E2 =E E2 = E =0 l) 13 18 13 18 ExF= − − m) |ExF|=0. n) DxD=D |DxD|=0 o) 117 162 117 162 CxDxExF=− − p) CxDxExF =0 q) CxD xExFt =0 r) AxExA=08.
Siendo A, B y X matrices regulares despejar X en los casos siguientes:
a) C-1XBA = C-1CBA b) (BXt )-1 A = B c) (XtA)t + (XtB)t =(A+B)t d) X-1A-1 B = A-1 B e) B-1 X +AX = (X-1 B)-1 + AB f)
( )
1 1AB − −A X′ =A− siendo A una matriz ortogonal.
g)
( )
XA
′
+
A B
′ ′
=
I
siendo A una matriz ortogonal.Solución:
a)
X
=
C
b)
X
=
(
B AB
−1 −1)
′
c)
X
=
I
d)
X
=
I
e)
X
=
B
f)
1 X=AB A− ′−Ig)
X
= −
A
′
B
9.
Dada la ecuación matricial A X-1 + B = 2B donde:
1 1 0 1 1 0 2 1 1 0 1 1 0 1 1 2 0 1 B A − = − =
.
Calcúlese X y hállese |X| en función de |A| y |B|.
— 6 —
11
3
2
0
4
2
2
5
3
1
2
2
1
X
B A
X
A
B
−
=
=
−
−
−
−
−
=
=
= −
−
10.
Sea la matriz
−
−
−
=
1
1
1
1
2
1
1
0
0
A
. Calcular:
a) A-1 b) (8A)-1
c) AA-1
d) |A-1 At |
e) (At)-1
f) |(At)-1(At)| g) |(AA´ )-1|
Solución:
a)
11
2
1
3
3
1
1
0
3
3
1
0
0
A
−
−
−
=
−
b)
1 11
2
1
3
3
1
1
1
1
(8 )
0
8
8
3
3
1
0
0
A
−A
−
−
−
=
=
−
c)
11
0
0
0
1
0
0
0
1
AA
−
=
d)
A A
−1′ =
1
e)
1( )
11
0
1
1
1
(
)
0
3
3
2
1
0
3
3
A
−A
−
−
−
′
′ =
= −
f) 1.
— 7 —
g)
( )
11
21
9
AA
A
−′
=
=
.
CUESTIONES.
11.
Calcular la traza de una matriz unidad de orden 500, de la matriz escalar E=30I de orden
200 y de la matriz diagonal de orden 100 tal que
aij = +i j si i= j.
Solución:
500 200(
)
500
(30
)
30 200
6000
2
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
2 200
2 4 6 ... 200
100 10.100
0
0
0
8
0
0
2
0
0
0
0
0
200
Tr I
Tr
I
x
Tr
=
=
=
+
= + + + +
=
=
L
L
L
L
O
L
12.
Diga razonadamente cuales de las afirmaciones siguientes son correctas:
a) Dos matrices iguales tienen el mismo determinante
b) |A+B|=|A|+|B|
c) |BxA|=|B|x|A| para cualquier matriz A y B
d) |6xB4| = 6 |B| e) |8xA5| = 85 |A| f) |C3/2| = 1/8 |C| Solución: a)Correcta. b)Falsa.
c)Falsa, sólo para matrices cuadradas del mismo orden.
d)Falsa. e)Correcta. f)Correcta.
13.
Diga razonadamente cuáles de las siguientes igualdades son correctas:
a) (A´ B´ )-1 =[(BA)-1)]´ b) (A´ ) -1 = A c) (A-1 B)-1 = B-1 A d) (A´ B-1 ) = (AB´ )-1 e) (ABC-1)´= (C´)-1 B´A´ f) (A´B´C D´)-1 = (D-1)´C-1 [(BA)-1]´ g) Dada A4: (8A)-1 = A-1/8
h) Siendo A una matriz singular: |A| = 1
i) Siendo A una matriz tal que AA-1 = I: |A| = 0
j) Sea la matriz Aortogonal: AtA-1 = A2
k) Sea la matriz Aortogonal: AtA-1 = (At )2
l) Sea la matriz Aortogonal: AAt = I
Solución:
a) (A´ B´ )-1 =[(BA)-1)]´ . Correcta. b) (A´ ) -1 = A. Sólo si A es ortogonal. c) (A-1 B)-1 = B-1 A. Correcta.
— 8 —
d) (A´ B-1 ) = (AB´ )-1. Falso.
e) (ABC-1)´= (C´)-1 B´A´. Correcta.
f) (A´B´C D´)-1 = (D-1)´C-1 [(BA)-1]´. Correcta. g) Dada A4: (8A)-1 = A-1/8. Correcta.
h) Siendo A una matriz singular: |A| = 1. Falsa.
i) Siendo A una matriz tal que AA-1 = I: |A| = 0. Falsa.
j) Sea la matriz Aortogonal: AtA-1 = A2. Sólo si A es simétrica. k) Sea la matriz Aortogonal: AtA-1 = (At )2. Correcta.
l)
Sea la matrizA
ortogonal: AA
t= I. Correcta.
PROBLEMAS.
14.
Una fábrica de bolígrafos (P), encendedores (Q) y llaveros (R), necesita para su elaboración
tinta M1, gas M2, plástico M3 y metal M4. Dos almacenes E1 y E2 se encargan de distribuir
el producto a las tiendas.
Se consideran estas matrices:
A: Demanda de los almacenes.
P Q R
1 2500
300
200
600
400
300
E
A
E
=
B: Cantidad de cada material, en gramos, para fabricar una unidad de cada producto.
M1 M2 M3 M4
10
0
50 10
0
20
60
5
0
0
30
30
P
B
Q
R
=
C: coste de cada gramo de material.
1 2 3 40, 02
0, 03
0, 01
0, 04
M
M
C
M
M
=
Calcula e interpreta:
a) AB
b) B C
c) A B C
Solución: a)10
0
50 10
500
300
200
5000
6000
49000 12500
0
20
60
5
600
400
300
6000
8000
63000 17000
0
0
30
30
AB
=
=
Esta matriz expresa la cantidad, en gramos, de cada uno de los materiales necesarios para fabricar
todos los artículos que demandan los almacenes E1 y E2.
b)
0, 02
10
0
50 10
1,1
0, 03
0
20
60
5
1, 4
0, 01
0
0
30
30
1, 5
0, 04
BC
=
=
.— 9 —
La matriz BC representa el coste de los materiales utilizados en una unidad de cada producto P, Q y R. c)
1,1
500
300
200
1270
1, 4
600
400
300
1670
1, 5
ABC
=
=
Este producto nos indica el coste, en materiales de fabricación, de todos los artículos que demanda cada uno de los dos almacenes, E1 y E2.
15.
Un sastre debe confeccionar 4 trajes de caballero, 6 de señora y 10 abrigos. El número de
unidades necesarias de tela, forro, botones, hilo y mano de obra para cada pieza, viene
recogido en la siguiente tabla:
Tela Forro Botones Hilo Mano de obra
Traje caballero 4 3 2 7 20
Traje señora 3 2 3 6 19
Abrigo 6 4 1 4 27
a) El sastre desea calcular la cantidad de cada input necesaria para satisfacer sus encargos.
b) ¿Cuánto debe cobrar por cada traje para compensar el gasto en materias primas y mano de obra?
Los precios de cada input son: 2000 unidades monetarias (u.m.) para la unidad de tela, 700 para la de forro, 300 u.m. por botón, 450 u.m. por unidad de hilo y 2800 por unidad de mano de obra.
c) Finalmente, quiere conocer a cuánto asciende el coste de todas las piezas.
(Nota: Plantee y resuelva este problema matricialmente.)
Solución:
a)
(
)
(
)
4 3 2 7 20 : 4 6 10 3 2 3 6 19 6 4 1 4 27 4 3 2 7 20 4 6 10 3 2 3 6 19 94 64 36 104 464 6 4 1 4 27 T F B H MO Si O MP OxMP = = = = b) 2000 4 3 2 7 20 700 69850 3 2 3 6 19 300 64200 6 4 1 4 27 450 92500 2800 TC TS A = .c) Coste de todas las piezas=
(
)
69850 4 6 10 64200 1.589.600 92500 = u.m.
![Es Posible ser feliz en el trabajo? [Is it possible to be happy at work?]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)