Tema 10: Movimiento ondulatorio*

Tema 10: Movimiento

ondulatorio*

Física I

Grado en Ingeniería Electrónica,

Robótica y Mecatrónica (GIERM)

Índice

Introducción

Función de onda

Ondas sinusoidales

Velocidad de las ondas mecánicas lineales

Onda en una cuerda: energía transmitida

Reflexión y transmisión de ondas

Introducción: ondas

mecánicas

Onda

: perturbación que viaja sin

transferencia de materia

Ondas en el agua, ondas de sonido…

Clasificación según el medio de propagación:

Mecánicas: perturbación de un medio.

Ondas en el agua, ondas sísmicas, de sonido, en una

cuerda…

Electromagnéticas: no requieren un medio.

Luz, rayos X, ondas de radio…

Ondas mecánicas

La formación y propagación de una onda

mecánica requiere:

Una fuente de perturbación

Ej: Piedra que cae en el agua

Un medio que pueda ser perturbado

Ej: El agua

Mecanismo físico de interacción entre partículas

del medio

Ej: Fuerzas de atracción-repulsión entre las moléculas

de agua

Ondas transversales y

longitudinales

Clasificación de las ondas según la dirección

del desplazamiento de las partículas del

medio:

Transversales: perpendicular a la dirección de

propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el

agua)

Ondas transversales y

longitudinales

Clasificación de las ondas según la dirección

del desplazamiento de las partículas del

medio:

Transversales: perpendicular a la dirección de

propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el

agua)

Longitudinales: paralela a

la dirección de propagación

(Ej: ondas de sonido,

Índice

Introducción

Función de onda

Ondas sinusoidales

Velocidad de las ondas mecánicas lineales

Onda en una cuerda: energía transmitida

Reflexión y transmisión de ondas

Función de onda

Función de onda

Pulso que viaja en una cuerda:

y

y

x

x

0

t



y x t

( ,



0)



f x

( )

( , )

(

)

y x t



f x vt



P

_v

t

vt

P



P

x

Función de onda

Función de onda

Representa el valor de la coordenada y en

cualquier punto x en un instante t

El signo positivo indica onda viajando hacia x

decreciente (la izquierda en nuestro

diagrama)

Para un t

₀

fijo y(x,t

₀

) forma de onda: función

que proporciona la forma geométrica del

pulso

( , )

(

)

Índice

Introducción

Función de onda

Ondas sinusoidales

Descripción y representación

Ecuación de onda lineal

Velocidad de las ondas mecánicas lineales

Onda en una cuerda: energía transmitida

Reflexión y transmisión de ondas

Ondas sinusoidales

Unimos el extremo de una cuerda a un objeto

que describe un MAS (diapasón):

Tren de ondas sinusoidales o armónicas

Cada partícula de la cuerda describe un MAS

Todas las ondas pueden representarse

como suma de ondas armónicas

Ondas sinusoidales: longitud

de onda y amplitud

Longitud de onda

(l): distancia mínima entre

dos puntos con la misma posición (y) y

velocidad (v

_y

):

Amplitud

(A): máximo desplazamiento de

cada partícula respecto a su posición de

equilibrio

y

x



_

Frecuencia

(f): frecuencia del MAS de cada

partícula del medio:

Velocidad de la onda:

En un tiempo T la onda ha

recorrido una distancia l:

Ondas sinusoidales:

frecuencia y velocidad

y

t

T

1

f

T



v

T





CUIDADO: No confundir v (letra griega nu)

con v (letra latina uve).

Ondas sinusoidales:

representación matemática

x

y





( ,0)

sen

y x



A

kx

 

2

k







Número de onda (m

-1

)



Constante de fase

• En t=0:

Ondas sinusoidales:

representación matemática

En un instante t:

Signo +: onda que viaja hacia x decreciente

Signo -: onda que viaja hacia x creciente

Donde:

Entonces:

( , )

(

,0)

y x t



y x



vt



A

sen



kx



kvt

 



2

2

kv

T

T

 







 



Frecuencia angular

( , )

sen(

)

y x t



A

kx

   

t

Ondas sinusoidales: resumen

( , )

sen(

)

y x t



A

kx

   

t

•

Amplitud

:

•

Longitud de onda

:

•

Frecuencia

:

•Velocidad de la onda

:

1

f

T





A

v

f

T





 

2

k







2

2 f

T



 

 

frecuencia angular

k





número de onda

Ecuación de onda lineal

( , )

sen(

)

y x t



A

kx

   

t

cos(

)

y

y

v

A

kx

t

t





 

   



2

2

2

sen(

)

y

y

a

A

kx

t

t





 

   



cos(

)

y

kA

kx

t

x



_

_{   }



2

2

2

sen(

)

y

k A

kx

t

x



_{ }

_{   }



2

2

2

2

2

2

1

y

1

y

k

x

t



_





 

2

2

2

2

2

2

y

k

y

x

t



_





 

2

2

2

2

2

1

y

y

x

v

t



_







Ecuación de onda lineal

Ecuación diferencial que cumple una

perturbación que se propaga como una onda

lineal

Ondas armónicas

son una posible solución

Solución general: onda viajera

2

2

2

2

2

1

y

y

x

v

t











( , )

(

)

y x t



f x



vt

Es solución de la ecuación de ondas

lineal

Ecuación de onda lineal

2

2

2

2

2

1

y

y

x

v

t











2

2

2

2

2

2

y

f

f

x

x



_



 

_



 



( , )

(

)

y x t



f x



vt

y

f

f

x

x



_

  

_



 



• Demostración:

Fase:

  

x

vt

y

f

f

v

t

t



_

 

_{ }





 



2

2

2

2

2

2

2

y

f

f

v

v

t

t



_{ }





_





 



Índice

Introducción

Función de onda

Ondas sinusoidales

Velocidad de las ondas mecánicas lineales

Onda en una cuerda

Onda de sonido

Onda en una cuerda: energía transmitida

Reflexión y transmisión de ondas

Velocidad de las ondas

Las ondas mecánicas con amplitudes

pequeñas frente a l pueden considerarse

lineales: cumplen ecuación de ondas lineal.

Ondas mecánicas lineales

:

Su velocidad depende solamente de las

propiedades del medio a través del que se

mueven

Ondas de diferente frecuencia se propagan con la

misma velocidad

Velocidad de las ondas: onda

en una cuerda

Si aumentamos la fuerza de restitución (tensión de

la cuerda, ) la onda viaja a mayor velocidad

Si usamos una cuerda con mayor densidad de

masa la onda viaja más lenta

Para una cuerda homogénea:

t

F

t

F

v





dm

dL

 



densidad de masa lineal

m

L

 

Velocidad de las ondas:

ondas sonoras

B

v





Módulo de compresibilidad:

Densidad de masa

P

B

V V



 



Para muchos tipos de ondas mecánicas se

cumple:

Ondas de sonido en un fluido

v



(propiedad elástica del medio)

Velocidad de las ondas:

ondas sonoras

B

v





Medio

v (m/s)

Hidrógeno (0º C)

1286

Aire (20º C)

343

Aire (0º C)

331

Agua (20ºC)

1482

Agua (0º C)

1402

B

T





En un gas:

Aplicación:

Calculo aproximado de la distancia un relámpago

8

3 10 m/s >>

c

 

v

Desprecio el retraso de la luz

0.33 km/s

Velocidad de las ondas:

observaciones

La

frecuencia

de la onda la determina el

agente causante de la misma

La

velocidad

de la onda depende del medio

La

longitud de onda

se obtiene de:

v

f

 

Ejemplo:

sonar de los delfines

f



10 Hz

5

5

1482

1.5

10

m/s

cm

1/s

v

f

 





Agua a 20º C

Índice

Introducción

Función de onda

Ondas sinusoidales

Velocidad de las ondas mecánicas lineales

Onda en una cuerda: energía transmitida

Reflexión y transmisión de ondas

Onda en una cuerda: energía

transmitida

Una onda que se propaga en un medio

transporta energía:

Un trozo de corcho sube y baja en el agua

Un pulso en una cuerda puede levantar una masa

Vamos a suponer una onda sinusoidal en

una cuerda

Vamos a calcular el trabajo realizado por la

fuerza que un segmento de cuerda realiza

sobre el vecino

Onda en una cuerda: energía

transmitida

sen

t

t

t t

P

   

F v

F v



Potencia:

Ondas lineales A<<l

  

sen

   

tan



tan

t t

t

y y

P

F v

F

t x

 

 

  

 

Válido para cualquier

forma de onda

( , )

sen(

)

y x t



A

kx

 

t



cos(

)



cos(

)



t

P

 

F kA

kx

 

t

 

A

kx

 

t

2

2

2

( , )

cos (

)

P x t

  

v

A

kx

 

t

2

v





Onda en una cuerda: energía

transmitida

Potencia promedio:

Es la mitad de la potencia instantánea máxima

: general para ondas sinusoidales

2

2

2

0

0

1

2

1

1

( , )

cos (

)

T

T

m

P

P x t dt

v

A

kx

t dt

T

T







 



 

2

2

1

2

m

P

  

v

A

2

2

,

m

P



A



Onda en una cuerda: energía

transmitida

Energía media que fluye por un punto en un

intervalo de tiempo:

m

m

m

x

E

P

t

P

v



  

2

2

1

2

m

E

 

A



x

La energía viaja a la

velocidad de la onda

Índice

Introducción

Función de onda

Ondas sinusoidales

Velocidad de las ondas mecánicas lineales

Onda en una cuerda: energía transmitida

Reflexión y transmisión de ondas

Reflexión total

Transmisión

Reflexión y transmisión de

ondas

Hasta ahora hemos estudiado la transmisión

de ondas en un medio infinito

Vamos a analizar lo que ocurre cuando una

onda alcanza la frontera entre dos medios.

Fenómenos relacionados:

Reflexión

: onda que regresa

Ejemplo: eco

Transmisión

: onda se propaga a través del

nuevo medio

Reflexión y transmisión de

ondas

Reflexión total

: onda en una cuerda

Cuerda con extremo fijo

Pulso reflejado con la misma forma que el pulso

incidente, pero invertido

Reflexión y transmisión de

ondas

Reflexión total

: onda en una cuerda

Cuerda con extremo libre

Reflexión y transmisión de

ondas

Reflexión-transmisión

: onda en una cuerda

Cuerda pesada

unida a otra más

ligera

Cuerda ligera

unida a otra más

pesada

Onda reflejada

no se invierte

Onda reflejada es

invertida

Reflexión y transmisión de

ondas

Una onda se verá parcialmente transmitida y

parcialmente reflejada en la superficie de

separación entre dos medios en los cuales

su

velocidad

sea diferente

Si las velocidades son parecidas: transmisión es

dominante

Ejemplo: oído interno de los peces

Si las velocidades son muy diferentes: reflexión

es dominante

Índice

Introducción

Función de onda

Ondas sinusoidales

Velocidad de las ondas mecánicas lineales

Onda en una cuerda: energía transmitida

Ondas de sonido

Efecto Doppler

Reflexión y transmisión de ondas

Superposición de ondas

Principio de superposición

Interferencia de ondas armónicas

Ondas estacionarias

Superposición de ondas

En un medio puede propagarse varias

perturbaciones simultáneamente

Ejemplo: varias personas hablando a la vez

Principio de superposición:

Se deduce de la linealidad de la ecuación de

Cuando dos o más ondas se combinan en

un

determinado

punto

la

perturbación

resultante es la suma de las perturbaciones

provocadas por cada onda

Superposición de ondas

Consecuencia del Principio de Superposición: dos

ondas pueden pasar la una a través de la otra sin

ser destruidas ni modificadas

Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presenta

•

Onda resultante con la misma f y l

•

La amplitud depende de d (diferencia de fase)

Superposición de ondas:

interferencia de ondas armónicas

1

2

sen(

)

sen(

)

y

A

kx

t

y

A

kx

t



 



   

1

2

2 cos( )sen(

2

2

)

y



y



A



kx

  

t



2

2

sen

a



sen

b



2cos(

a b



)sen(

a b



) )

( Donde hemos usado:

Onda 1

Onda 2

_{Onda resultante}

Superposición de ondas:

interferencia de ondas armónicas

Si d=0, cos(d/2)=1 y

A’=2A;

interferencia constructiva

Si d=p, cos(d/2)=0 y

A’=0;

interferencia destructiva

1

2

2 cos( )sen(

2

2

)

y



y



A



kx

  

t



Onda 2

Onda 1

Onda resultante

A



Dos ondas sinusoidales de la misma amplitud y frecuencia,

viajando por una cuerda tensa en direcciones opuestas:

Nodos:

Vientres:

Superposición de ondas:

Ondas estacionarias (I)

2

2

sen

a



sen

b



2cos(

a b



)sen(

a b



) )

( De nuevo, usamos:

1

2

sen(

)

sen(

)

y

A

kx

t

y

A

kx

t



 



 

1

2

2 sen(

)cos(

)

y

 

y

y



A

kx



t

sen(

)

0

2

kx

 

kx

   

n

x

n



1

1











  



_



_

  

_



_

Calculemos la potencia promedio transmitida por la onda

estacionaria en un periodo completo:

Superposición de ondas:

Ondas estacionarias (II)

2

0

0

sen(2

)

sen(2

)

1

1

( , )

_t

T

T

m

F kA

kx

t

P

P x t dt

dt

T



T











(

2 sen(

) sen(

))( 2 cos(

) cos(

))

t

t

y y

P

F

F

A

kx

t

k A

kx

t

t

x

 

 

 







 

2

sen(2

)sen(2

)

t

P

 

F kA

kx



t





2

sen(2

)

1

sen(4 ) sen(0)

0

t

m

F kA

kx

P

T





 



No se propaga