Ecuaciones Diferenciales Parciales

Instituto de Investigaciones en Matem ´aticas Aplicadas y en Sistemas

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Lecci ´on 1.5: Ejemplos. La ecuaci ´on de la eikonal. Ram ´on G. Plaza

1

Ejemplos

Ecuaciones completamente nolineales

Ecuaci ´oncompletamente nolineal (forma general):

F(x, y, u, ux, uy) = 0, (ECN) parau_{= u(x, y) ∈ R},_{(x, y) ∈ R}2. F∈ C2_(R5

; R). Datos de Cauchy:ues conocida sobre unacurva de datos en el planoI:

I = {(˜x, ˜y)(ξ) : ξ ∈ I} ⊂ R2 ,

u_|I = f (ξ), (CI)

donde˜x, ˜y, f ∈ C1_{(I; R)}yI_{⊆ R}es un intervalo abierto Curva inicial:

I0

Hip ´otesis

• Curva de datosI ⊂ Ω, conΩ ⊆ R2abierto y conexo.

• F= F(x, y, u, p, q)es de claseC2,F_{: R}5_{→ R}. • F_p2+ F_q26= 0

• ˜x, ˜y, f ∈ C1(I; R),I_{⊆ R}abierto.

• Para todoξ ∈ I,P₀= (˜x, ˜y, f , ˜p, ˜q)(ξ)satisface la condici ´on de transversalidad generalizada.

Definici ´on

Seaξ0∈ I y seaP0∈ R5el punto

P₀= (˜x(ξ0), ˜y(ξ0), f (ξ0), ˜p(ξ0), ˜q(ξ0)) =: (x0, y0, z0, p0, q0). Se dice queP0satisface lacondici ´on de transversalidad generalizada si el par(p0, q0) = (˜p(ξ0), ˜q(ξ0))es

soluci ´on del sistema

G(p₀, q₀) = p₀˜x0(ξ0) + q0˜y0(ξ0) − f0(ξ0) = 0, H(p0, q0) = F(˜x(ξ0), ˜y(ξ0), f (ξ0), p0, q0) = 0, (S∇) y adem ´as det ˜x 0_(ξ 0) Fp(P0) ˜y0(ξ0) Fq(P0)  6= 0. (C3p)

Sistema caracter´ıstico

para cadaξ ∈ Ifijo, donde las derivadas deFest ´an evaluadas en(ˇx, ˇy, ˇu, ˇp, ˇq). (˜p, ˜q)(ξ)es alguna soluci ´on de (S∇).

Teorema de existencia local - caso

completamente no lineal

Teorema

SeaF= F(x, y, u, p, q)de claseC2tal queF_p2+ F_q26= 0. Supongamos que ˜x, ˜yyf son de claseC1en_{ξ ∈ I ⊆ R}. Si para todoξ ∈ I el puntoP₀= (˜x, ˜y, f , ˜p, ˜q)(ξ)satisface la condici ´on de transversalidad generalizada, entonces existe una soluci ´on al problema de Cauchy (ECN) - (CI), de claseC1, en una vecindad de la curvaI0, la cual est ´a determinada param ´etricamente por la soluci ´on al sistema (SC) para cadaξ ∈ I.

Ejemplos

(I)Sea la ecuaci ´on

u= u2_x− 3u2_y,

con datos de Cauchy

u(x, 0) = x2, x_{∈ R.}

Consistentemente con nuestra notaci ´on tenemos que,

F(x, y, u, p, q) = p2− 3q2− u,

y lacurva de datos esI = {(˜x, ˜y,f )(ξ) = (ξ,0,ξ2_{) : ξ ∈ R}.}

Por lo tanto, para cadaξ ∈ Ifijo el sistema caracter´ıstico asociado a este problema es

dx dη= 2p, x(0) = ξ, dy dη= −6q, y(0) = 0, du dη= 2p 2_{− 6q}2_{, u(0) = ξ}2_, dp dη= p, p(0) = p0, dq dη= q, q(0) = q0, ¿Qui ´enes son(p0, q0) = (p0, q0)(ξ)?

(p0, q0) = (p0, q0)(ξ)debe ser soluci ´on del sistema

p2− 3q2− ξ2= 0,

p− 2ξ = 0.

Este sistema tienedos soluciones: (p0, q0)(ξ) = (2ξ, ±ξ). Escogiendo(p0, q0)(ξ) := (2ξ, +ξ)resolvemos el sistema parapyq. El resultado esp= 2ξeη _{yq= ξe}η_.

Sustituyendo en las ecuaciones paraxyyobtenemos

dx dη = 4ξe η_{, x(0) = ξ,} dy dη = −6ξe η_{, y(0) = 0,}

La soluci ´on al subsistema paraxyyes

x= 4ξ(eη_{− 1) + ξ, y= −6ξ(e}η_{− 1).}

Finalmente, sustituyendo en la ecuaci ´on parau,

du

dη = 2ξ

2_e2η_{, u(0) = ξ}2_,

con lo cual obtenemosu= ξ2e2η. Dado quex+1₂y= ξeη_, encontramos una posible soluci ´on,

u(x, y) = ξeη
2_{= x +}1 2y

2 .

Si escogemos(p0, q0)(ξ) := (2ξ, −ξ)entonces la soluci ´on que se obtiene es

u(x, y) = x −1₂y
2.

Ambas funciones son de claseC1globalmente y son soluciones del problema de Cauchy.La p ´erdida de unicidad se debe a que existe m ´as de una soluci ´on al sistema (S∇).

(II)Sea la ecuaci ´on

u2_x+ u2_y= 4u,

u(x, −1) = x2, x_{∈ R.}

De acuerdo con nuestra notaci ´on,F= p2+ q2− 4u, por lo queF_x= F_y= 0,F_u= −4,F_p= 2pyF_q= 2q.

La curva de datosI es

I = {(˜x, ˜y)(ξ) = (ξ,−1), ξ ∈ R},

El sistema (S∇) se escribe como

p2+ q2− 4ξ2= 0,

p− 2ξ = 0,

Elsistema caracter´ıstico asociado es dx dη = 2p, x(0) = ξ, dy dη = 2q, y(0) = 0, du dη = 2(p 2_{+ q}2_{), u(0) = ξ}2_, dp dη = 4p, p(0) = 2ξ, dq dη = 4q, q(0) = 0, para cada_{ξ ∈ R}.

Resolviendo las dos ´ultimas ecuaciones obtenemos

q(η) ≡ 0,p(η) = 2ξe4η. Sustituyendo en las dos primeras y resolviendo se tiene quex(η) = ξe4ηy quey(η) ≡ −1. Finalmente, sustituyendopyqen la ecuaci ´on parauy resolviendo obtenemosu(η) = ξ2e8η= (ξe4η)2= x2. Por lo tanto la funci ´on

u(x, y) = x2,

es claramente una soluci ´on de claseC1al problema de Cauchy.

Cuidado: Existen otras soluciones de claseC1. Por ejemplo,

u(x, y) = x2+ (y + 1)2,

Resolviendo las dos ´ultimas ecuaciones obtenemos

q(η) ≡ 0,p(η) = 2ξe4η. Sustituyendo en las dos primeras y resolviendo se tiene quex(η) = ξe4ηy quey(η) ≡ −1. Finalmente, sustituyendopyqen la ecuaci ´on parauy resolviendo obtenemosu(η) = ξ2e8η= (ξe4η)2= x2. Por lo tanto la funci ´on

u(x, y) = x2,

es claramente una soluci ´on de claseC1al problema de Cauchy.

Cuidado: Existen otras soluciones de claseC1. Por ejemplo,

u(x, y) = x2+ (y + 1)2,

En este caso la p ´erdida de unicidad se debe a quela condici ´on de transversalidad (C3p) no se cumple:

dete

4η _4ξe4η

0 0

 = 0,

y a que los vectores

  4ξe4η 0 8ξ2e8η   |η=0 =   4ξ 0 8ξ2   y   ξ 0 2ξ2  

1

Ejemplos

La ecuaci ´on de la eikonal en ´optica

geom ´etrica

• La ecuaci ´on de laeikonal (del griego,εικων,

imagen) es una ecuaci ´oncompletamente no lineal que describe de maneraaproximada la propagaci ´on de frentes de onda.

• Se puede obtener mediante unaexpansi ´on asint ´otica en serie de potencias, por ejemplo, de soluciones a las ecuaciones de Maxwell en teor´ıa electromagn ´etica.

• M ´etodo de aproximaci ´on:WKB, expansiones de Hilbert, expansi ´on de ´optica geom ´etrica

Derivaci ´on de la ecuaci ´on de la eikonal

Ecuaciones de Maxwell en unidades MKS (Jackson, 1975): µB_t+ ∇ × E = 0, εEt− ∇ × B = −σE, div(µB) = 0, div(εE) = ρ. (M)

Aqu´ıE= E(x, t),B_{= B(x, t) ∈ R}3son los campos vectoriales el ´ectrico y magn ´etico, respectivamente, con

x_{∈ R}3,t> 0. Las funcionesε = ε(x),µ= µ(x)yσ = σ(x)

corresponden a la permisividad el ´ectrica, la permeabilidad magn ´etica y la conductividad del medio, respectivamente. La densidad de carga el ´ectrica esρ = ρ(x, t).

Nota: Hemos sustitu´ıdo en la ley de Amp `ere (segunda ecuaci ´on en (M)) laley de Ohm,J= σE, dondeJ_{∈ R}3es la densidad de corriente el ´ectrica.

Ansatz: Vamos a buscar soluciones de (M) que sean

funciones arm ´onicas en el tiempo, de la forma

E(x, t) =Re( ˆE(x)e−iωt), B(x, t) =Re( ˆB(x)e−iωt),

dondeE(x), ˆˆ B_{(x) ∈ C}3, son campos vectoriales

Nota: Hemos sustitu´ıdo en la ley de Amp `ere (segunda ecuaci ´on en (M)) laley de Ohm,J= σE, dondeJ_{∈ R}3es la densidad de corriente el ´ectrica.

Ansatz: Vamos a buscar soluciones de (M) que sean funciones arm ´onicas en el tiempo, de la forma

E(x, t) =Re( ˆE(x)e−iωt), B(x, t) =Re( ˆB(x)e−iωt),

dondeE(x), ˆˆ B_{(x) ∈ C}3, son campos vectoriales complejos, y_{ω ∈ R}es la frecuencia.

Sustituyendo en (M):

0 = µBt+ ∇ × E =Re (∇ × ˆE− iωµ ˆB)e−iωt
,

0 = εEt− ∇ × B + σE =Re (σ ˆE− ∇ × ˆB − iωε ˆE)e−iωt
. Por lo tanto, una condici ´on suficiente para tener una soluci ´on es que los vectores complejosEˆ yBˆ sean soluciones de las siguientes ecuacionesreducidas

(independientes del tiempo):

∇ × ˆE− iωµ ˆB = 0,

∇ × ˆB+ iωε ˆE= σ ˆE.

(R) De la primera ecuaci ´on se deduce inmediatamente la ley de Gauss magn ´etica (div(µB) = 0). Resolviendo (R) se obtieneEˆ, que a su vez determina la densidad de carga

Sustituyendo en (M):

0 = µBt+ ∇ × E =Re (∇ × ˆE− iωµ ˆB)e−iωt
,

0 = εEt− ∇ × B + σE =Re (σ ˆE− ∇ × ˆB − iωε ˆE)e−iωt
. Por lo tanto, una condici ´on suficiente para tener una soluci ´on es que los vectores complejosEˆ yBˆ sean soluciones de las siguientes ecuacionesreducidas (independientes del tiempo):

∇ × ˆE− iωµ ˆB = 0, ∇ × ˆB+ iωε ˆE= σ ˆE.

(R) De la primera ecuaci ´on se deduce inmediatamente la ley de Gauss magn ´etica (div(µB) = 0). Resolviendo (R) se obtieneEˆ, que a su vez determina la densidad de carga

M ´etodo WKB

Para resolver las ecuaciones reducidas (R) proponemos unaexpansi ´on en serie de potencias en t ´erminos del n ´umero de onda. Este m ´etodo resulta muy ´util para estudiar el comportamiento aproximado de las soluciones y se conoce comom ´etodo WKB o expansi ´on de ´optica geom ´etrica.

Referencia: J. B. Keller, R. M. Lewis, Asymptotic methods for partial differential equations: The reduced wave

equation and Maxwell’s equations, in Surveys in Applied Mathematics, J. B. Keller, D. W. McLaughlin, and G. C. Papanicolaou, eds., vol. 1, Springer-Verlag, New York, 1995, pp. 1–82.

Idea:

En el vac´ıo,ε(x)yµ(x)toman valores constantes,ε0> 0y

µ₀> 0, respectivamente. La constantec₀= (ε0µ0)−1/2es la velocidad de la luz en el vac´ıo. Definimos eln ´umero de onda comok= ω/c0y proponemos expansiones

asint ´oticas paraEˆ yBˆ de la siguiente forma:

ˆ E(x) ∼ eiku(x) +∞

∑

∑

Observaciones:

• El s´ımbolo “∼” indica que la soluci ´on es aproximada, ya queno estamos considerando el problema de convergencia de la serie.

• Los coeficientes son vectores reales (Eˆm(x),

ˆ

B_{m(x) ∈ R}3, para cadam= 0, 1, . . .).

• El m ´etodono es riguroso pero ofrece mucha informaci ´on relevante.

Primer orden

Sustituir las expansiones (S) en las ecuaciones reducidas y aigualar coeficientes de las mismas potencias deik.

∇ × ˆE= eiku(x)(ik)∇u × ˆE0+ (∇ × ˆE0+ ∇u × ˆE1) + O((ik)−1)

 = (R)iωµ ˆB = iωµeiku(x)Bˆ₀+ 1 ik ˆ B₁+ O((ik)−2) = k=ω/c0

c₀µeiku(x)(ik) ˆB₀+ ˆB₁+ O((ik)−1).

Igualando coeficientes de ordenO(ik)obtenemos ∇u × ˆE0= c0µ ˆB0.

An ´alogamente, calculando el rotacional de la expansi ´on de

ˆ

B, sustituyendo en la segunda ecuaci ´on del sistema reducido (R), e igualando coeficientes de ordenO(ik), se llega a la ecuaci ´on

∇u × ˆB0= −c0ε ˆE0.

De ambas ecuaciones notamos

∇u · ˆB0= ∇u · _c1_0µ∇u × ˆE0
= 0, ∇u · ˆE0= −∇u · _c1₀ε∇u × ˆB0
= 0.

Por lo tanto,∇uessimult ´aneamente ortogonal aEˆ0y a

ˆ B₀.

EliminandoBˆ₀de las ecuaciones, −c₀ε ˆE0= ∇u ×  1 c₀µ∇u × ˆE0  = 1 c₀µ  ∇u · ˆE0 | {z } =0
− |∇u|2_Eˆ 0  = − 1 c0µ |∇u|2Eˆ₀, es decir, |∇u|2− c2₀εµ
Eˆ0= 0.

Si el campoEˆ0= ˆE0(x)no es id ´enticamente cero entonces esta ecuaci ´on se satisface siempre que la fase de la onda sea soluci ´on de laecuaci ´on de la eikonal:

EliminandoBˆ₀de las ecuaciones, −c₀ε ˆE0= ∇u ×  1 c₀µ∇u × ˆE0  = 1 c₀µ  ∇u · ˆE0 | {z } =0
− |∇u|2_Eˆ 0  = − 1 c0µ |∇u|2Eˆ₀, es decir, |∇u|2− c2₀εµ
Eˆ0= 0.

Si el campoEˆ0= ˆE0(x)no es id ´enticamente cero entonces esta ecuaci ´on se satisface siempre que la fase de la onda sea soluci ´on de laecuaci ´on de la eikonal:

n(x)es el ´ındice de refracci ´on del medio:

n(x)2= c2₀ε(x)µ(x) = c2₀/˜c(x)2

con˜c(x)2= 1/(ε(x)µ(x)). Lavelocidad relativa de la luz en el medio (velocidad de fase) es

c(x) = ˜c(x) c₀ ,

por lo que la ecuaci ´on de la eikonal se puede escribir de la forma

|∇u|2= 1

Interpretaci ´on

• Las superficies de nivel con fase constante (u(x) =

constante) se denominanfrentes de onda. • Las curvas ortogonales a ellos son las curvas

caracter´ısticas de la ecuaci ´on no lineal de primer orden (E) y se denominanrayos en la terminolog´ıa de ´optica geom ´etrica.

• Las ecuaciones caracter´ısticas son ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales. La fase y las amplitudes de los campos el ´ectrico y magn ´etico satisfacen ecuaciones diferenciales ordinarias sobre los rayos.

• El t ´ermino dominante en la expansi ´on de los campos se denomina t ´ermino de ´optica geom ´etrica, ya que s ´olo involucra cantidades que tambi ´en ocurren en la teor´ıa cl ´asica de ´optica (como el ´ındice de

refracci ´on, o la velocidad en el medio, entre otras). • Unatrayectoria ortogonal al frente de onda coincide

con un rayo, que se asocia a un rayo de luz, en virtud de que∇ues ortogonal a los campos el ´ectrico y

Ejemplo: consideremos el frente de ondau(x) = t, con

t> 0. Una trayectoriaˆx(t) ∈ R3sobre un rayo, satisface

u(ˆx(t)) = t.

Derivando obtenemos

∇u · ˆx0(t) = 1.

Como el vector tangente al rayo, a saberˆx0(t), es paralelo a∇u, esta ecuaci ´on y la ecuaci ´on de la eikonal implican que

1 = |∇u · ˆx0(t)| = |∇u||ˆx0(t)| = 1 |c(ˆx(t))||ˆx

0

Problema de Cauchy

Vamos a aplicar el teorema de existencia local (m ´etodo de caracter´ısticas) para resolver la ecuaci ´on de la eikonal. Para simplificar el an ´alisis supondremos quec> 0es constante y consideraremos la ecuaci ´on en_R2:

u2_x+ u2_y= 1

c2, (ER2)

Condiciones iniciales sobre unacurva de datos:

I = {(˜x(ξ), ˜y(ξ)) : ξ ∈ R} ⊂ R2_{, u}

|I = f (ξ). Aqu´ı suponemos quef es una funci ´on conocida. Sea

Sistema caracter´ıstico

Elsistema caracter´ıstico asociado es

dx dη = c 2_{p, x(0) = ˜x(ξ),} dy dη = c 2_{q, y(0) = ˜y(ξ),} dp dη = 0, p(0) = p0(ξ), dq dη = 0, q(0) = q0(ξ), du dη = c 2_(p2_{+ q}2_{), u(0) = f (ξ),}

p₀yq₀son soluciones del sistema (S∇):

p2+ q2= 1 c2,

p˜x0(ξ) + q˜y0(ξ) = f0(ξ).

Geom ´etricamente, las soluciones a este sistema

representan laintersecci ´on entre un c´ırculo y una l´ınea recta en el plano(p, q).

La distancia de la recta al centro del c´ırculo est ´a dada por la f ´ormula

L= |f

0_(ξ)|

p

Existendos puntos de intersecci ´on si

(i): L< 1

c ⇐⇒ ˜x

0_(ξ)2_{+ ˜y}0_(ξ)2_{> c}2_f0_(ξ)2_.

No hay puntos de intersecci ´on si

(ii): L> 1

c ⇐⇒ ˜x

0_(ξ)2_{+ ˜y}0_(ξ)2_{< c}2_f0_(ξ)2_.

Hay un s ´olo punto de intersecci ´on en el casodegenerado, cuando la recta es tangente al c´ırculo, es decir, siL= 1/c.

-� -� � � � -� -� � � � Figura:Soluciones a (S∇).

Cono de luz

Seaθ = arctan c. La superficiec2z2= x2+ y2es un cono que forma un ´anguloθcon el ejez, que llamaremoscono

de luz.

• Caso (i), la curva inicialI0= {(˜x, ˜y, f )(ξ)}forma un ´angulo con el ejezmayor aθy es exterior al cono de

luz. En este caso se dice queI0es unacurva espacial, y el problema de Cauchy tiene soluciones.

• Caso (ii),I0forma un ´angulo con el ejezmenor aθ,

por lo que est ´a contenida dentro del cono de luz y se denominacurva temporal. El problema de Cauchy no tiene soluciones.

Soluci ´on en el caso (i)

Suponiendo que la curva inicialI0esespacial, y que la condici ´on (i) se cumple, tomamos una soluci ´on(p₀, q₀)al sistema (S∇). Resolviendo el sistema caracter´ıstico obtenemos

x(η) = c2p₀(ξ)η + ˜x(ξ), y(η) = c2q₀(ξ)η + ˜y(ξ), u(η) = c2(p0(ξ)2+ q0(ξ)2)η + f (ξ).

A lo largo de las caracter´ısticas la velocidad del vector (x(t), y(t))es s  dx dt 2 + dy dt 2 = c2 q p0(ξ)2+ q0(ξ)2= c,

y se propaga en direcci ´on de(p0, q0) = (ux, uy). Esto significa que lascurvas caracter´ısticas en el plano coinciden con los rayos de luz.

Ejemplo

Curva de datos: c´ırculo de radio1/ccon centro en el origen,

I = 1

c(cos ξ, sin ξ) : ξ ∈ R 

,

con valor inicialu_|I ≡ 0. En este caso el sistema (S∇) se lee p2+ q2= 1 c2, − p csin ξ + q ccos ξ = 0.

De la segunda ecuaci ´on deducimos la existencia de

α(ξ) ∈ Rtal quep= cos α(ξ)yq= sin α(ξ). De este

modosin(α(ξ) − ξ) = 0. Por simplicidad, tomamos

Ejemplo

Curva de datos: c´ırculo de radio1/ccon centro en el origen,

I = 1

c(cos ξ, sin ξ) : ξ ∈ R 

,

con valor inicialu_|I ≡ 0. En este caso el sistema (S∇) se lee p2+ q2= 1 c2, − p csin ξ + q ccos ξ = 0.

De la segunda ecuaci ´on deducimos la existencia de

α(ξ) ∈ Rtal quep= cos α(ξ)yq= sin α(ξ). De este

modosin(α(ξ) − ξ) = 0. Por simplicidad, tomamos

Obtenemos una soluci ´on:

p₀= 1

ccos ξ, q0=

1 csin ξ.

De hecho, esla ´unica soluci ´on, ya que en este caso

L= 0. Sustituyendo, las soluciones para los rayos son

x(t) = c(t + 1) cos ξ, y(t) = c(t + 1) sin ξ,

para cadaξ ∈ Rfijo, mientras que la soluci ´on para el frente de onda es simplemente

u(t) = t.

El gradiente deuest ´a determinado por

-� -� � � � -� -� � � �

Figura:Curva de datosI = (1/c)(cosξ,sinξ)(azul). Caracter´ısticas

Cuandot= −1las curvas caracter´ısticas o rayos se intersectan en el origen. La soluci ´on est ´a bien definida para todo tiempot> −1. Las curvas de nivel deuson c´ırculos conc ´entricos de radioc(t + 1) > 0.

Para cadaξ ∈ Rfijo, la curva en el espacio

(x, y, u)(t) = ((t + 1) cos ξ, (t + 1) sin ξ, t)es una recta con

tangente(cos ξ, sin ξ, 1). Forma un ´anguloθ = arctan ccon el ejez. Al variarξ ∈ R, obtenemos uncono en el espacio.

Cuandot= −1las curvas caracter´ısticas o rayos se intersectan en el origen. La soluci ´on est ´a bien definida para todo tiempot> −1. Las curvas de nivel deuson c´ırculos conc ´entricos de radioc(t + 1) > 0.

Para cadaξ ∈ Rfijo, la curva en el espacio

(x, y, u)(t) = ((t + 1) cos ξ, (t + 1) sin ξ, t)es una recta con tangente(cos ξ, sin ξ, 1). Forma un ´anguloθ = arctan ccon el ejez. Al variarξ ∈ R, obtenemos uncono en el espacio.