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1
Funciones vectoriales de varias
Funciones vectoriales de varias
variables
variables
En esta parte estudiaremos las funciones vectoriales de varias variables, como una En esta parte estudiaremos las funciones vectoriales de varias variables, como una generalizaci´
generalizaci´on de on de los resulos resultados obltados obtenidos etenidos en los n los capcap´´ıtulos anteriores. ıtulos anteriores. Desarrollare- Desarrollare-mos temas de c´
mos temas de c´alculo en campos vectoriales importante en la ciencia e ingenieria.alculo en campos vectoriales importante en la ciencia e ingenieria. Las pruebas de los resultados que se presenta se pueden encontrar en [2], [6] y [8]. Las pruebas de los resultados que se presenta se pueden encontrar en [2], [6] y [8].
Los graficos que se presentan fueron elaborados utilizando el software Derive 6.1 Los graficos que se presentan fueron elaborados utilizando el software Derive 6.1 y winplot.
y winplot.
1.1
1.1.
. F
Func
uncion
iones vec
es vector
torial
iales de va
es de varia
rias va
s varia
riable
bless
Definici´
Definici´on 1.1.1.on 1.1.1. Sea F Sea F :: D D ⊂⊂ RRnn →→ RRmm una funci´ una funci´ on definida sobre un conjuntoon definida sobre un conjunto
D
D ⊂⊂ RRnn. Se dice que . Se dice que F F es una funci´ es una funci´ on vectorial de varias variables. Si on vectorial de varias variables. Si F F hace hace
corresponder a un vector
corresponder a un vector X X = = ((xx11,, xx22,...,x,...,xnn)) ∈∈ DD un un ´ ´ unico vector unico vector Y Y ∈∈ RRmm tal que tal que
Y
Y == F F ((X X ) ) = = ((F F 11((X X )),, F F 22((X X )),...,F ,...,F mm((X X ))))..
A las funciones
A las funciones F F ii :: D D ⊂ ⊂ RRnn →→ RR se les llama se les llama funciones coordenadas funciones coordenadas..
Si
Si nn = = m m, la funci´ , la funci´ on on F F se llama se llama CAMPO VECTORIAL CAMPO VECTORIAL (en (en RRnn).).
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES 2
Figura 1.1: Estos vectores representan campos de velocidades de la distribuci´on del viento superficial-Regi´on Per´u
NOTA 1.1.1. La idea de visualizar el campo vectorial F es colocar un vector F (X ) ∈ Rn de manera que su punto inicial sea X ∈ D.
Ejemplo 1.1.1. Un campo vectorial en R2 est´ a definido por
F (x, y) = (−y, x) Describa F trazando alguno de los vectores F (x, y).
Figura 1.2: Soluci´on (x, y) F(x,y) (1,0) (0,1) (0,1) (-1,0) (-1,0) (0,-1) (0,-1) (1,0)
Ejemplo 1.1.2. Grafique el campo de vectores F (x,y,z ) = (−x, −y, −z )
1.2. LIMITES DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES 3 (x , y , z) F(x,y,z) (1,0,0) (-1,0,0) (1,1,1) (-1,-1,-1) (-1,-1,-1) (1,1,1) Figura 1.3:
1.2. Limites de una funci´
on vectorial de varias variables
Definici´on 1.2.1. Sea F una funci´ on definida en un conjunto D ⊂ Rn a valores
en Rm y sea A ∈ Rn un punto de acumulaci´ on de D. Diremos que el limite de F
cuando X tiende a A es L = (l1, l2, ...lm) ∈ Rm (denotado por l´ımX →A F (X ) = L )
si para cada > 0 es posible hallar un δ > 0 tal que f (X ) − A < siempre que X ∈ D y 0 < X − A < δ . Simb´ olicamente:
l´ım
X →Af (X ) = L ⇔ ∀ > 0 ∃ δ > 0 / X ∈ D ∧ 0 < X − A < δ ⇒ F (X ) − L <
Teorema 1.2.1. Sea F : D ⊂ Rn → Rm donde F = (F 1, F 2, ...F m).Si A ∈ Rn un
punto de acumulaci´ on de D y L = (l1, l2, ...lm) ∈ Rm diremos que l´ımX →A F (X ) = L
si y solo si l´ım
X →AF 1(X ) = l1 , l´ımX →AF 2(X ) = l2 , . . . , l´ımX →AF m(X ) = lm
Ejemplo 1.2.1. Calcule l´ım
(x,y)→(1,2)
(x2 + y2, 2x + y, 2y)
Soluci´on
l´ım
(x,y)→(1,2)
(x2 + y2, 2x + y, 2y) = ( l´ım
(x,y)→(1,2) x2 + y2, l´ım (x,y)→(1,2) 2x + y, l´ım (x,y)→(1,2) 2y) = (5, 4, 4) NOTA 1.2.1.
El l´ımite de las funciones vectoriales de varias variables cumple con las propiedades del limite de funciones vectoriales de una variable y de limites de funciones de varias variables.
1.3. CONTINUIDAD DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES 4
1.3. Continuidad de una funci´
on vectorial de varias
vari-ables
Definici´on 1.3.1. Sea F : D ⊂ Rn → Rm una funci´ on vectorial de varias variables
definida en un conjunto D.
1. F es continua en un punto A ∈ D si y solo si
∀ > 0 ∃ δ > 0 / X ∈ D ∧ X − A < δ ⇒ F (X ) − L <
2. F es continua en un punto A ∈ D que es punto de acumulaci´ on de D si y solo si l´ımX →A F (X ) = F (A)
Teorema 1.3.1. La funci´ on F : D ⊂ Rn → Rm es continua en A ∈ D si y solo si
cada una de sus funciones componentes es continua en A.
Ejemplo 1.3.1. Pruebe que la funci´ on
F (X, Y ) =
senx−seny x−y , ex−e−y x+y
, (x, y) = (0, 0) (1, 1), (x, y) = (0, 0) es continua en A = (0, 0)Soluci´on l´ım (x,y)→(0,0)
senx − seny x − y , ex − e−y x + y
=
l´ım (x,y)→(0,0) senx − seny x − y , l´ım(x,y)→(0,0) ex − e−y x + y
Calculamos: l´ım (x,y)→(0,0) senx − seny x − y = (x,yl´ım)→(0,0) 2 x − y sen( x − y 2 ) cos( x + y 2 ) = 1 y l´ım (x,y)→(0,0) ex− e−y x + y = (x,yl´ım)→(0,0) e−y e x+y − 1 x + y = 1 Reemplazando estos ´ultimos resultados en (1) se tiene:l´ım
(x,y)→(0,0)
F (x, y) = (1, 1) = F (0, 0) Por lo tanto F es continua en (0, 0).
1.4. DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES 5
1.4. Derivadas parciales de una funci´
on vectorial de varias
variables
Definici´on 1.4.1. Sea F : D ⊂ Rn → Rm una funci´ on vectorial de varias variables
definida en un conjunto abierto D por:
F (x1, x2,...,xn) = (F 1(x1, x2,...,xn), F 2(x1, x2,...,xn),...,F m(x1, x2,...,xn))
para todo X = (x1, x2,...,xn) ∈ D. La derivavda parcial de F con respecto a xi se
define por: ∂ F ∂ xi (X ) = l´ım h→0 F (x1, x2,...,xi + h, ...xn) − F (x1, x2,...,xn) h , ∀i = 1, 2, 3,...,n siempre que este limite exista.
1.4.1. Matriz Jacobiana
Definici´on 1.4.2. Sea F : D ⊂ Rn → Rm una funci´ on vectorial de varias variables
definida en un conjunto abierto D y A ∈ D. Se llama matriz Jacobiana de F en A, denotado por JF (A) a la matriz m × n:
JF (A) =
∂ F 1 ∂ x1 ∂ F 1 ∂ x2 . . . ∂ F 1 ∂ xn ... ... ... ... ∂ F m ∂ x1 ∂ F m ∂ x2 . . . ∂ F m ∂ xn
Si m = n a la determinante de esta matriz se le llama Jacobiano de F .
1.5. Funci´
on diferenciable
Definici´on 1.5.1. Sea F : D ⊂ Rn → Rm una funci´ on vectorial de varias variables
definida en un conjunto abierto D y A ∈ D.Se dice que F es diferenciable en A si existe J F (A) y adem´ as de esto, para todo vector V = (α1, α2, ...αn) tal que V +A ∈ D
se cumple que l´ım V → − → 0
(f (A + V ))m×1 − (f (A))m×1 − (JF (A))m×n (V )n×1
|| V || =
−→ 0 donde (f (A + V ))m×1 , (f (A))m×1 y (V )n×1 son matrices columna.
1.6. DIVERGENCIA DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL 6
NOTA 1.5.1. Una funci´ on F : D ⊂ Rn → Rm definida en un conjunto abierto
D, es diferenciable en A ∈ D si y solo si lo son cada una de sus funciones compo-nentes F 1, F 2,..F m. Se puede entonces estudiar la diferenciabilidad de F en A bien
directamente o bien a trav´es de sus componentes.
Teorema 1.5.1. Sea F : D ⊂ Rn → Rm una funci´ on vectorial de varias variables
definida en un conjunto abierto D y continua en A ∈ D. Si la matriz Jacobiana de F es continua en A entonces F es diferenciable en A.
Ejemplo 1.5.1. Sea F (x,y,z ) = (xyz, z ex y2
). ¿Es F diferenciable en cualquier punto (x,y,z ) ∈ R3. Soluci´on JF (x,y,z ) =
yz xz xy 2y2exy2 2xyzexy2 exy2
Esta matriz es continua en todo R3 (pues sus entradas son funciones continuas en R3) entonces por el teorema anterior F es diferenciable en (x,y,z ).
1.6. Divergencia de una funci´
on vectorial
Supongamos que tenemos la funci´on con valores vectoriales
F (x,y,z ) = P (x,y,z ) i+Q(x,y,z ) j+R(x,y,z ) k = (P (x,y,z ), Q(x,y,z ), R(x,y,z )) con funciones componentes diferenciables P , Q y R. Entonces la divergencia de F denotado por div F es la funci´on escalar definida como sigue:
div F = ∇ . F = ( ∂ ∂ x, ∂ ∂ y, ∂ ∂ z ) . (P,Q,R) = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z NOTA 1.6.1.
El operador ∇ se llama operador nabla.
Ejemplo 1.6.1. Si el campo vectorial F est´ a dado por: F (x,y,z ) = (x ey, z seny , x y Lnz ) calcule divF (−3, 0, 2).
1.7. EL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL 7 Soluci´on div F = ∂ ∂ x(x e y) + ∂ ∂ y(z seny) + ∂ ∂ z (xyLnz ) = e y + z cosy + x y z div F (−3, 0, 2) = 1 + 2 cos(0) + 0 = 3
Teorema 1.6.1. Si F y G son dos funciones vectoriales entonces se cumplen: ∇ . (a F + b G) = a ∇ . F + b ∇ . G
∇ . (f F ) = f ∇ . F + ∇ f . F donde f es una funci´ on escalar , a y b son constantes.
Definici´on 1.6.1. Una funci´on escalar φ se dice arm´onica si es continua, tiene segundas derivadas continuas y satisfacen la ecuaci´ on de Laplace
∂ 2φ ∂ x2 + ∂ 2φ ∂ y2 + ∂ 2φ ∂ z 2 = ∇ 2φ = 0
1.7. El rotacional de un campo vectorial
El rotacional del campo vectorial F (x,y,z ) = P (x,y,z ) i+Q(x,y,z ) j+R(x,y,z ) k denotado por rot F se difine como:
rotF = ∇ × F =
i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R
=
∂R ∂ y − ∂Q ∂ z , ∂P ∂ z − ∂ R ∂ x , ∂Q ∂ x − ∂ P ∂ y
Observaci´on 1.7.1.∇ × F no necesariamente es perpendicular a F .
Propiedades
Sean F y G dos funciones vectoriales y φ una funci´on escalar, entonces: 1. ∇ × (F + G) = ∇ × F + ∇ × G
2. ∇ × (∇ φ) = 0 siempre que φ sea de clase C 2 en R3.
3. ∇ . (∇ × F ) = 0 siempre que F sea de clase C 2 en R3.
1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 8
5. ∇ × (∇ × F ) = ∇ (∇ . F ) − ∇2F
NOTA 1.7.1.
Un campo vectorial de divergencia nula se dice Solenoidal
Si rot F = 0,el campo F de denomina irrotacional. A × (B × C ) = (A . C ) B − (A . B) C
Ejemplo 1.7.1. Sea el campo vectorial F = rar, donde r = (x,y,z ) y
r = ||r|| = 0. Encuentre el valor de la constante a, para que F sea un campo solenoidal.
soluci´on
Sabemos que un campo vectorial F (x,y,z ) = (P (x,y,z ), Q(x,y,z ), R(x,y,z )) es solenoidal si su divergencia es nula, es decir,
∇.F (x,y,z ) = ∂P ∂x + ∂ Q ∂y + ∂R ∂z = 0 Dado que F (x,y,z ) = ( P (x2 + y2 + z 2)a 2 x, Q (x2 + y2 + z 2)a 2 y, R (x2 + y2 + z 2)a 2 z ), derivan-do se tiene: ∂P ∂x = (x 2 + y2 + z 2)a 2−1[(a + 1) x2 + y2 + z 2] ∂Q ∂y = (x 2 + y2 + z 2)a 2−1[x2 + (a + 1) y2 + z 2] ∂R ∂z = (x 2 + y2 + z 2)a 2−1[x2 + y2 + (a + 1) z 2]
Sumando estos resultados se obtiene: ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂ R ∂z = (x 2 + y2 + z 2)a 2−1(a + 3) [x2 + y2 + z 2]
Por lo tanto, el campo vectorial F es solenoidal si a = −3.
1.8. Ejercicios Propuestos
1. Trace el campo vectorial F dibujando un diagrama:
a) F (x, y) = (−x, 2y) b). F (x,y,z ) = (0, z, 0) c).F (x,y,z ) = j − i d). F (x, y) = (senx, seny) e). f (x,y,z ) = (x,y,z )
1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 9
2. Encuentre el campo vectorial gradiente de f :
a) f (x, y) = Ln(x + 2y) b). f (x,y,z ) = xcos(y/z )
3. a ) Trace el campo vectorial F (x, y) = i + xj y luego trace algunas lineas de flujo.¿Qu´e forma parecen tener estas lineas de flujo?
b) Si las ecuaciones param´etricas de las lineas de flujo son x = x(t), y = y(t), ¿cuales ecuaciones diferenciales satisfacen estas funciones? Deduzca que dy/dx = x.
c ) Halle la ecuaci´on de la trayectoria seguida por una part´ıcula, que parte del origen de coordenadas y se mueve en el campo de velocidades dada por F . 4. Razonar la certeza o falsedad de las afirmaciones siguientes:
a ) No existe l´ım
(x,y)→(0,0)
x2 + y3x2 + y2, x
2,sen(y2)
b) Si f (x, y) = (x2 + y, x − y2) entonces el jacobiano de f en el punto (1, 0)
es -1.
c ) La funci´on F (x, y) = (
| x y |, xcosy) no es diferenciable en el origen. d ) Sea f : R2 → R2 con f (0, 0) = (1, 1) y g : R2 → R con g(x, y) = x2 + y.Sea h = g ◦ f . Si la matriz jacobiana de la funci´on f en (0, 0) es
1 1 2 3
entonces ∂h ∂x(0, 0) = 4 y ∂h ∂y(0, 0) = 5.e ) Sean f y g funciones de R2 → R2 con f (1, 1) = (2, 2). La matriz jacobiana
de la funci´on f en el punto (1, 1) es
0 1 1 3
y la matriz jacobiana de lafunci´on g en el punto (2, 2) es
1 1 1 2
. Entonces la matriz jacobiana dela funci´on compuesta g ◦ f en el punto (1, 1) es
1 2 4 7
.5. Se considera el campo vectorial F = (x2yz,xy2z,xyz 2). Calcule su divergencia y su rotacional.
6. Sea f un campo escalar y F un campo vectorial. Pruebe que div(f F ) = ∇f.F + f divF
1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 10
7. Sea a un vector constante R el vector posici´on. Se considera el vector v = a ×R. Demuestre que div v = 0
8. Sea f un campo escalar y F un campo vectorial. Pruebe que rot(f F ) = ∇f × F + f rotF .
Referenciales
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[3] Benazic R. Caminos en Espacios Euclideanos . Ed. Sociedad Matem´atica Peru-ana. Lima 2002.
[4] Edwards, Jr., D. C´ alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica , ed.,Prentice Hall, Mexico, 1998.
[5] De Guzm´an, M. Aventuras Matematicas . Ed. pir´amide. Madrid 2004.
[6] Galindo Soto, F. Gu´ıa pr´ actica de c´ alculo infinitesimal en varias variables . Ed. Thomson. Madrid 2005.
[7] Garcia Lopez, A. C´ alculo II , ed.,CLAGSA, Madrid, 1997.
[8] Lima, E. Curso de An´ alise, Volume 2 . Ed. Projeto Euclides. IMPA. Rio de Janeiro 1981.
[9] Lima, E. An´ alisis Real . Ed. IMCA. Lima 1997.
[10] Llorens fuster, J. Introducci´ on a derive 6 . Ed. Deisoft, c.b. Valencia Espa˜na 2003.
[11] Pita Ruiz, C. C´ alculo Vectorial , ed.,Prentice Hall, Mexico, 1998.
[12] Stewart, J. C´ alculo Mutivariable . Cuarta Edici´on Ed. Thomson Learning 2006. [13] Velasco Sotomayor, G. Problemario de c´ alculo multivariable . Ed. Thomson,
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