REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO
NÚCLEO VALERA. ESTADO TRUJILLO
MINUTA DE LA UNIDAD I
ESPACIOS VECTORIALES
TERAN G. KANDY CI 12907560 ALGEBRA LINEAL
Espacios Vectoriales
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión
La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio... Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3 . En Matemáticas, tratamos de abstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física. Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:
• Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;
• Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector. Además estas operaciones cumplen ciertas propiedades, que observamos en los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3 : En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u,v,w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares. Propiedades de la suma de vectores. • Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w)
• Conmutativa: v+u=u+v.
• Existe un elemento neutro, el vector 0 , tal que + v = v para cualquier vector v. K 0 K • Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0 . K Propiedades del producto de un vector por un escalar.
• Asociativa: β (α v) = ( β α ) v
• Distributivas: Respecto de la suma de escalares: (α + β ) v = α v + β v Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u +α v
• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v. Definición: espacio vectorial. Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.) Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.
Estructura de Espacio Vectorial.
Sea K un cuerpo conmutativo (normalmente el cuerpo R de los números reales), cuyos elementos , , ... llamaremos “escalares”.
Un conjunto E se llama Espacio Vectorial sobre K, y sus elementos “vectores” si se verifican las condiciones:
a) Existe en E una ley de composición interna (+) que le confiere la estructura de grupo
abeliano.
b) Existe sobre E una ley de composición externa (nada), cuyo dominio es K, con las siguientes propiedades:
(por "1" denotamos al elemento neutro del cuerpo K, en caso del cuerpo R éste es el número 1).
EJEMPLOS:
- El conjunto E de los vectores libres del espacio euclídeo (o del plano) de la geometría
elemental, donde K=R, está provisto de las operaciones: , cumpliendo todas
las condiciones arriba indicadas por lo que E es un espacio vectorial (de ahí precisamente proviene el nombre de "vectorial").
- El conjunto (x) de polinomios con coeficientes reales (grado cualquiera) posee dos
operaciones: p(x) + q(x) y p(x) que cumplen las condiciones arriba indicadas, por lo que
es un espacio vectorial sobre R.
Es muy obvio que para un espacio vectorial se cumplen las siguientes propiedades:
* Otras propiedades:
Quizás no sean tan obvias pero sí son fácilmente demostrables las propiedades:
13.2 Sistemas de vectores. Dependencia e independencia lineal de vectores.
* Sistema de vectores
Supongamos un espacio vectorial, E, y un conjunto finito de vectores de E , ,
diremos que constituyen un sistema de vectores de E ( también llamado familia de
vectores).
* Combinación lineal de un sistema de vectores
Un vector decimos que es combinación lineal del sistema si existen
escalares (llamados coeficientes) tales que:
Observaciones sobre la combinación lineal de vectores:
- El elemento de E es combinación lineal de cualquier familia de vectores de E. (Sin más que elegir todos los coeficientes nulos).
- Todo vector es combinación lineal de sí mismo, y en general, de cualquier familia que
lo contenga, pues (y para el resto de los vectores de la familia se les atribuyen
coeficientes nulos).
- Si es combinación lineal de y cada uno de ellos es combinación lineal
13.3 Sistemas libres y sistemas ligados.
- Un sistema de vectores { } se dice que es libre (o que los vectores son linealmente independientes) cuando la relación:
se cumple sólo si:
Observaciones:
* Un sistema { } es libre si todo subsistema que podamos formar a partir suyo es libre.
* Un sistema { } que no es libre se llama ligado.
- Un sistema de vectores { } se dice que es ligado (o que los vectores son linealmente dependientes) cuando en la anterior relación:
existan algunos i que no sean nulos.
PROPIEDADES INMEDIATAS: Sistemas libres:
a) Un sistema formado por un solo vector no-nulo es libre. b) Todos los vectores de un sistema libre son distintos de .
c) Todos los vectores de un sistema libre son distintos.
d) Toda parte de un sistema libre es libre.
Sistemas ligados:
a) Si en un sistema uno (al menos) de sus vectores es combinación lineal del resto, se trata de un sistema ligado.
c) Si a un sistema ligado le añadimos varios vectores resulta otro sistema también ligado
13.4 Subespacios vectoriales
Sea E un espacio vectorial (sobre K), y sea , decimos que E' es un subespacio
vectorial (sobre K) en el caso de que E' tenga estructura de espacio vectorial para las operaciones inducidas por las de E.
Es decir, se deben cumplir las dos condiciones:
a) E’ es subgrupo del grupo aditivo E:
b) Se conserva la ley de composición externa:
Estas dos condiciones se suelen expresar en una sola de la siguiente manera: * La CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE para que E’ sea subespacio vectorial es
que: E’ sea no vacío, y además:
EJEMPLOS:
- En el espacio vectorial E sobre R de los vectores libres en el espacio (que se utiliza en geometría, física, ...) el conjunto de los vectores libres paralelos a una recta (respecto a un plano) es un subespacio de E.
- El conjunto de los polinomios en x con coeficientes reales de grado inferior o igual a n (incluido el polinomio cero), Pn(x), es un subespacio del espacio
vectorial de los polinomios en x, (x).
13.5 Intersección de subespacios vectoriales
Sea E un espacio vectorial, la intersección de dos subespacios no es nunca vacía (pues por lo menos contiene al ).
Si tenemos una cantidad finita de subespacios de E, el conjunto
intersección, , es también subespacio vectorial de E.. Esto puede
Consideremos una parte no vacía A de E (supongamos que A no sea subespacio de E) , existen subespacios de E que contienen a A. Consideremos la intersección de todos estos subespacios conteniendo a A -que como queda dicho arriba es un subespacio vectorial de E-, y es el menor posible (para la inclusión), se le llama subespacio vectorial engendrado
por A.
Por ejemplo, el subespacio vectorial F engendrado por la familia A={ } de
vectores de E viene dado por el conjunto de todas las combinaciones lineales de la forma:
También se dice que la familia A={ } es una parte generatriz del espacio vectorial F.
13.6 Suma de subespacios. Suma Directa. * Subespacio suma:
Sea un espacio vectorial E, y sea un número finito de subespacios de E: , el
conjunto de vectores de la forma:
formado por la suma de un elemento de E1, otro de E2, ... , etc., es un subespacio llamado
subespacio suma. Se designa por:
E1 + E2 + ... + Ek
(ATENCIÓN: No debe confundirse este subespacio suma con la unión de
subespacios )
* Suma directa:
Sea un espacio vectorial E, y sea un número finito de subespacios de E: , si
expresamos a vectores de la forma:
en general, esta suma no es única, es decir, puede haber vectores que tengan dos o más sumas coincidentes:
En el caso de que cada vector tenga una única
descomposición , se habla de suma directa de subespacios de E y se expresa:
Teorema 1:
La condición necesaria y suficiente para que una suma E1 + E2 + ... + Ek sea suma directa de subespacios es que:
Teorema 2:
La condición necesaria y suficiente para una suma de dos subespacios, E1 + E2 , sea una suma directa es que:
13.7 Subespacio engendrado
Sea una familia de vectores de un espacio vectorial E. Como ya hemos dicho en 3.5 el conjunto de todas las combinaciones lineales de esta familia de vectores es un subespacio vectorial. Vamos ahora a demostrar que efectivamente esto es así:
Llamemos E' al conjunto de las combinaciones lineales de los vectores de S.
Al cumplirse la condición necesaria y suficiente E` es un subespacio vectorial.
a) Una familia de vectores S y otra S’ (formada al añadir a S un número cualquiera de combinaciones lineales de S) engendran el mismo espacio vectorial.
b) Sea una familia de vectores S, y sea E’ el subespacio engendrado, este susbespacio E’ no cambia (es el mismo) si modificamos los vectores de S por alguna de estas operaciones:
- Multiplicación de algún vector de S por un escalar (no nulo). - Suma de un múltiplo de un vector de S a otro vector de S.
13.8 Espacios de dimensión finita. Sistema de generadores.
Sea un sistema formado por n vectores, , pertenecientes a un espacio vectorial E sobre un cuerpo K. Se dice que S engendra el espacio E, (o que S es un sistema de generadores de E), cuando todo vector de E se puede expresar como combinación lineal de los vectores de S.
Es decir,
* Teorema:
De todo sistema de generadores de un espacio vectorial formado por los vectores , se puede siempre extraer un sistema libre que también engendre a E.
Demostración:
Ahora tomemos el siguiente, es un sistema libre continuamos añadiendo el siguiente, , pero si es ligado tenemos : , y en este caso los dos primeros términos de:
Etcétera, si es un sistema libre continuaríamos con , pero si es ligado tendríamos: , y en este caso los tres primeros términos de la expresión de arriba quedarían reducidos a: , con lo cual podríamos prescindir de .
Siguiendo este procedimiento se concluye que para todo , puede llegar a expresarse como una combinación lineal de un sistema libre de vectores extraído de S.
13.9 Base de un espacio vectorial.
Se dice que un espacio vectorial, E, es de dimensión finita, cuando existe un sistema finito, S, que engendra a E. (Nosotros consideraremos sólo espacios vectoriales de dimensión finita)
Si un espacio vectorial E admite un sistema libre de generadores, S, se dice que S es una base de E.
* Propiedades de la base.
- Todo espacio vectorial de dimensión finita posee al menos una base.
- Si una base de E posee n elementos, todo conjunto de p elementos (p > n) está formado por elementos linealmente dependientes.
- Si un espacio vectorial E posee una base de n elementos, y sabemos que p elemento de E son linealmente independientes, entonces p n. - Si un espacio vectorial E posee una base B formada por n vectores,
cualquier otra base de E, B’, posee también n vectores. Se dice que la dimensión del espacio vectorial E es n.
