(hPa) (hPa)e e s s

Ciencias

Ambientales

Meteorología y

Climatología

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

– Ecuación de estado.

– Expansión adiabática. Temperatura Potencial.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

COMPOSICIÓN DE LA ATMÓSFERA U.S. Standard 1976

Otros 1%

N2 78%

O2

21% • N₂ 78.084 % vol

• O₂ 20.948 % vol

• Ar 0.934 % vol

• CO2 0.033 % vol

• Ne 18.18*10^-4 % vol

• He 5.24*10^-4 % vol

• Kr 1.14*10^-4 % vol

• Xe 0.089*10^-4% vol

• H₂ 0.5*10^-4 % vol

• N₂O 0.27*10^-4 % vol

• CH₄ 1.5*10^-4 % vol

• CO 0.27*10^-4 % vol

Constituyentes permanentes

Constituyentes variables

•H₂0 0-4 % vol

•O3 0-12 *10^-4 % vol

•SO₂ 0.001*10^-4 % vol

•NO₂ 0.001*10^-4 % vol

•NH₃ 0.004*10^-4 % vol

•NO 0.0005*10^-4 % vol

•SH₂ 0.00005*10^-4 % vol

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

– Ecuación de estado.

– Expansión adiabática. Temperatura Potencial.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

ECUACIÓN DE ESTADO

T R n

V

p =

T V R

p n 



 



= 

T R

p ⁼ ρ

m T R V

p nm 





 

 



 



= 

* Requiere un cambio (de constante)

masa molecular

Problemático

forma preferida en la meteorología

ECUACIÓN DE ESTADO (S.I.)

T R

p ⁼ ρ

• p: presión en Pascales (Pa; N m^-2; kg m^-1 s^-2)

• ρ: densidad en kg m^-3

• R: constante particular (J kg^-1 K^-1)

• T: Temperatura en Kelvin (K)

• A veces se escribe así (volumen específico):

Ó p v = R T T

R

p α =

T R

p = ρ

Ecuación de Estado de una mezcla

T R

p

= ρ

Ley de gases, gas i

Ley de gases, mezcla

= ∑ p

p

Ley de Dalton

= ∑

R

p ρ

= ∑ ρ

ρ

Conservación de masa

∑

≡ ∑

i i i d

R R

ρ

T ρ

AIRE SECO

Gas Peso mol. R_g (J kg^-1 K^-1) % masa N₂ 28.016 296.7 75.52 O₂ 32.000 259.8 23.15 Ar 39.444 208.1 1.28 CO₂ 44.010 188.9 0.05

R* = 8.31436 J mol^-1 K^-1

Constantes del aire seco

R_d =(Σ ^Mi R _i )/M = 287 J kg^-1 K^-1 R* = m_d Rd m_d = 28.97 g/mol

c_pd = 1005 J kg^-1 K^-1 c_vd = 718 J kg^-1 K^-1

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

– Ecuación de estado.

– Expansión adiabática. Temperatura Potencial.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA

dQ = dU + dW

calor energía trabajo

interna

Por unidad de masa (energía específica)

dq = du + dw

Energía interna: en función de la temperatura Trabajo: …

• A: una superficie 3-D

• Expansión: dV = A dn

• Sustitución: p dV = F dn = dW

• Por unidad de masa: dw = p dv

Trabajo de expansión de un gas

A

dn

p = F/A
A = F/p

LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA

dq = du + dw pv = R_d T

d(pv) = R_d dT

c_pd –c_vd = R_d

dq = c_vd dT + d(pv) – v dp

0 = c_pd dT - v dp c_pd dT = v dp 0 = du + dw -du = dw = p dv 0 = c_vd dT + p dv -c_v dT= p dv

= c_vd dT + p dv

dq = c_pd dT - v dp

dq = c_vd dT + R _d dT - v dp

P. Adiabático dq = 0

PROCESO ADIABÁTICO SECO

c_pd dT = v dp

-du = dw = p dv

-c_v dT= p dv

DEFINICIÓN: UNA NUEVA TEMPERATURA

dq = du + dw pv = R_d T

d(pv) = R_d dT

c_pd –c_vd = R_d

dq = c_vd dT + d(pv) – v dp

0 = c_pd dT - v dp c_pd dT = v dp 0 = du + dw -du = dw = p dv 0 = c_vd dT + p dv -c_v dT= p dv

= c_vd dT + p dv

dq = c_pd dT - v dp

dq = c_vd dT + R _d dT - v dp

P. Adiabático dq = 0

TEMPERATURA POTENCIAL

P. Adiabático c_pd dT = v dp

c_pd dT = R_dT (dp / p)

dT / T = (R_d / c_pd) (dp / p)

T / T_o = (p / p _o ) ^{Rd / cpd} R_d / c_pd = 0.286

TEMPERATURA POTENCIAL

Es la alcanzada evolucionando por vía adiabática seca hasta un nivel de referencia fijado en 1000 hPa

θ = T (1000/ p ) ^{R / cp}

Ley de gases

Ecuación de Poisson

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

– Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

– Vapor de agua en la atmósfera. Ecuación de estado.

– Índices de humedad.

– Ecuación de estado. Temperatura virtual.

– Expansión adiabática del aire no saturado

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

AIRE HÚMEDO. VAPOR DE AGUA.

Ecuación de Estado del Vapor de agua e v = R _vT

e = ρ _v R _vT

Constantes vapor de agua R_v = R* / m _v = 461 J kg^-1 K^-1

c_vv = 1350 J kg-1 K-1 L_f = 334000 J kg^-1 L_v = 2500000 J kg^-1 L_s = 2834000 J kg^-1

c_i = 1950 J kg^-1 K^-1 (hielo)

c_pv = 1810 J kg^-1 K^-1

c_l = 4187 J kg^-1 K^-1 (líquido)

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

– Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

– Vapor de agua en la atmósfera. Ecuación de estado.

– Índices de humedad.

– Ecuación de estado. Temperatura virtual.

– Expansión adiabática del aire no saturado

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

Presión de vapor de agua en

equilibrio con una superficie plana

Presión de vapor de agua en equilibrio (saturante)

t=más tarde t=0

aire seco (o vacío)

aire húmedo

e

AIRE HÚMEDO. VAPOR DE AGUA.

Ecuación de Clausius-Clapeyron (1/e _s)(de_s /dT ) = L_v /(R _v T ²)

e_s presión parcial saturante

Equilibrio

• Contenedor cerrado

• Tiempo para que se establezca el equilibrio

• Empíricamente

– La presión de vapor de agua (saturante) depende únicamente de la temperatura – e_s = f(T)

e

= f(T)

0 5 10 15 20 25

260 270 280 290 300

T (K) es (hPa)

0 5 10 15 20 25

260 270 280 290 300

T (K) es (hPa)

líquido (rocío) hielo (escarcha)

Equilibrio: no

• Equilibrio: 100% humedad relativa (def.)

• La atmósfera suele estar algo más seca

– 100%
nubes/niebla (se puede ver) – Más típico en nuestro entorno ~70%

– (en Granada, menos)

• Porqué?

– No cerrado

– Falta de tiempo para establecer el equilibrio – No se mezcla perfectamente

– Procesos de eliminación (lluvia…)

INDICES DE HUMEDAD

Proporción de mezcla, r:

r = M_v / M_d = (Mv / V) / (M_d / V) = ρ_v / ρ_d e = ρ_v R _v T (p - e) = ρ_d R _d T

r = (e / R_vT)/((p - e)) / R_dT = (R_d / R_v )(e / (p-e)) = 0.622 (e / (p-e)) r = 0.622 (e / (p-e)) se conserva

Humedad específica, q:

q = ρ_v / ρ_m = ρ_v /( ρ_d +ρ_v) = 0.622 (e / (p-0.378 e)) Ya que p>> e ⇒ r ≈ q

Proporción de mezcla saturante r_s: r_s = 0.622 (e_s / (p-e_s))

INDICES DE HUMEDAD

Humedad absoluta, ρρρρ_v : ρ_v = M_v / V = e / R_v T

Depende del volumen y por tanto varía en procesos de expansión o compresión aunque no se modifique la masa de vapor en el aire.

Humedad relativa, (U):

Caracteriza la humedad en comparación con el valor límite de saturación a una temperatura dada. Depende tanto del contenido de

vapor como de la temperatura.

U/100 = r / r_s =(0.622 (e / (p-e))) / (0.622 (e_s / (p-e_s))) ≅ e/ e_s

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

– Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

– Vapor de agua en la atmósfera. Ecuación de estado.

– Índices de humedad.

– Ecuación de estado. Temperatura virtual.

– Expansión adiabática del aire no saturado

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

ECUACION DE ESTADO DEL AIRE HUMEDO

 



 

≡ 

d v

M r M

 

 





+

= +

1 r

R rR

 







 







d d

M M 1 1

 



 



+

= +

d v

d d

v v

m

M M

R M

R R M

 

 





−

− r r 1

1

( ^{r << 1} )

( ^r )

R

1 + 0 . 61

≈

ECUACION DE ESTADO DEL AIRE HUMEDO

Aire húmedo y seco a la misma T y p p = ρ_m R_m T

R_m = R_d (1 + 0.61 r ) p = ρ_d R_d T

A p y T dadas el aire húmedo es menos denso que el aire seco Temperatura Virtual T_v

p = ρ_m R_m T = ρ_m R_d (1 + 0.61 r ) T T_V = T (1 + 0.61 r )

T_V es la que tendría que tener el aire seco para que a una p dada tenga la misma densidad que el aire húmedo a T y r

p = ρ_m R_d T_V o p = ρ_m R_m T

= ρ_d /(1+0.61 r)

ρ_m = (R_d/R_m) ρ_d < ρ_d

CONSTANTES DEL AIRE HUMEDO

(M_v +M_d) dq = M_d c_pd dT + M_v c_pv dT

Dividiendo ambos miembros por M_d y recordando que r= M_v/M_d (1 +r) dq = c_pd dT + r c_pv dT

((c_pd +r c_pv ) /(1 +r)) dT = c_pm dT

c_pm ≅ c_pd (1 + 0.8 r)

Procediendo de modo análogo con c_vm c_vm ≅ c_vd (1 + 0.9 r)

1ª ley:

Definición c_p

Calentar a presión cte.

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

– Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

– Vapor de agua en la atmósfera. Ecuación de estado.

– Índices de humedad.

– Ecuación de estado. Temperatura virtual.

– Expansión adiabática del aire no saturado

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

Proceso Adiabático dq = 0 0 = c_pd (dT / T) - R_d (dp / p) T / T_o = (p / p _o ) ^Rd / cpd

En este caso habría que considerar las constantes del aire húmedo R_m / c_pm pero

R_m / c_pm = (R_d / c_pd )(1 - 0.2 r) ≈ R_d / c_pd

LA ADIABATICA SECA ES BUENA APROXIMACION PARA EL PROCESO ADIBÁTICO DEL AIRE HÚMEDO NO SATURADO

T / T_o = (p / p _o ) ^{Rd / cpd}

EXPANSION ADIABATICA DEL AIRE HUMEDO NO SATURADO

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

DIAGRAMAS TERMODINAMICOS

v

p 1

2

T log ΘΘΘΘ

1

2

T

ln P

1

2

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

– Temperatura de rocío

– Temperatura del termómetro húmedo.

– Temperatura equivalente.

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

– Temperatura de rocío

– Temperatura del termómetro húmedo.

– Temperatura equivalente.

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

El aire alcanza esta temperatura cuando se enfría isobáricamente hasta alcanzar la saturación sin intercambiar vapor con el aire de alrededor.

P= cte y r= cte ⇒ e=cte r_s(T_d)= r(T)

0 5 10 15 20 25

260 270 280 290 300

T (K) e_s (hPa)

e (hPa)

T_d (K)

PUNTO DE ROCIO

Curva de saturación

0 5 10 15 20 25

260 270 280 290 300

T (K)

e (hPa)

Saturación = Equilibrio

e_s ~ 15hPa

T ~ 286K T_d ~ 276K

e ~ 7hPa

e = e_s(T_d)

En realidad Hipotético

Curva de saturación

Fuera de equilibrio

A pesar de tener unidades de Pa, ¡e_s es una medida de T!

0 5 10 15 20 25

260 270 280 290 300

T (K) e_s (hPa)

e (hPa)

T_d (K)

MEDIDAS DE TEMPERATURA Y HUMEDAD

Curva de saturación

A pesar de tener unidades de K, ¡T_d es una medida de e!

ROCIO Y ESCARCHA

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

– Temperatura de rocío

– Temperatura del termómetro húmedo.

– Temperatura equivalente.

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

TEMPERATURA DEL TERMOMETRO HÚMEDO

El aire alcanza esta temperatura cuando se evapora el agua necesaria para alcanzar la saturación tomando el calor necesario del propio aire en un proceso isobárico.

0 5 10 15 20 25

260 270 280 290 300

T (K)

e (hPa)

Medidas directas de humedad

T_d T_w

e_s

e U=e/e_s*100%

isobárico

bulbo húmedo

TEMPERATURA DEL TERMOMETRO HÚMEDO

El aire alcanza esta temperatura cuando se evapora el agua necesaria para alcanzar la saturación tomando el calor necesario del propio aire en un proceso isobárico. ¿Cómo se determina?

Para 1kg de aire seco y r kg de vapor de agua, tenemos dq = C_pm dT = C_pd dT (1 + 0.9r)

La evaporación de una cantidad dr, consume calor (1+r) dq = -L_v dr

c_pd dT = -L_v dr (1+r)^-1 (1+0.9r)^-1 c_pd dT ≈ -L_v dr

(T - T_W) = (r_s (p,T_w) - r ) L_v / c_pd

¿Solución?

-iteración -tabla

TEMPERATURA DEL TERMOMETRO HÚMEDO

r = r_W - ((T - T_w) c_pd / L_v ) r ≅ 0.622 e / p

e = e_W - ((T - T_w) c_pd p/ 0.622 L_v ) U/100 = e(T-T_w)/e_s(T)

Psicrómetro:

medida de T y T_w permite determinar U

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

– Temperatura de rocío

– Temperatura del termómetro húmedo.

– Temperatura equivalente.

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

TEMPERATURA EQUIVALENTE

El aire alcanza esta temperatura cuando isobáricamente se condensa todo el vapor de una porción de aire húmedo, siendo

absorbido el calor latente de condensación por el aire seco.

El aire seco se incrementa de temperatura en una cantidad que corresponde al calor (latente) añadido:

T_e = T + ∆T Q=m_dc_pd ∆T (calorimetría) Q=m_vL_v (calor latente)

Igualando expresiones para Q : m_vL_v = m_dc_pd∆T

T_e = T + rL_v / c_pd

∆T=rL_v / c_pd

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

– Temperatura de rocío

– Temperatura del termómetro húmedo.

– Temperatura equivalente.

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

EXPANSION ADIABATICA DEL AIRE SATURADO

Procesos termodinámicos

• Isobáricos

• Isotérmicos

• Adiabáticos

• Pseudoadiabáticos

LE

EXPANSION ADIABATICA DEL AIRE SATURADO

T

ln p

Adiabática seca Adiabática saturada

Pseudoadiabática Zona de nieve

Zona de granizo 10-20 HPa

Zona de lluvia

0º C

Nivel de

condensación por elevación

NCE

EXPANSION ADIABATICA DEL AIRE SATURADO

z T

d ∆

− ∆ γ =

Gradiente Adiabático Seco

dz dp pc

T R dz

dT

p

= d

→ g

pc T R dz

dT

p d ρ'

−

= T'

T c

g dz

dT

p

−

=

m C m

C c

g dz

dT ^{o o}

p

d 1000

10 1000

8 .

9 ≈

≈

=

− γ =

Considerando T≈≈≈≈T’ (K)

2

622 2

. 1 0

1

T c R

r L T R

r L

pd d

s v d

s v

d s

+ +

≈γ γ

Gradiente Adiabático Saturado

d

s

γ

γ <

γ s

p dp c

R T

dT

p

= d

gdz dp = −ρ'

' T R

pg pc

T R

d p

− d

=

‘prima=ambiental p = p’

EXPANSION ADIABATICA DEL AIRE SATURADO

2

622

. 1 0

1

T c

R

r L T R

r L

pd d

s v d

s v

d

s

+

+

≈ γ γ

p

d

c

= g

γ γ

< γ

MECANISMOS DE FORMACIÓN.

PROCESOS DE ELEVACIÓN

Papel fundamental de la velocidad vertical en la termodinámica atmosférica

¿Cuáles son las causas del movimiento vertical atmosférico (a examinar profundamente en el Tema 5)?

PROCESOS DE ELEVACIÓN

EFECTO FOEHN

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

– Mezcla horizontal.

– Mezcla vertical.

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

– Mezcla horizontal.

– Mezcla vertical.

MEZCLAS DE MASAS DE AIRE

Mezcla horizontal de masas de aire

(M₁, q₁, r₁, T₁ ) y (M₂, q₂, r₂, T₂ ). Mezcla isobárica, suponiendo no condensación q _m = ((((M₁ q ₁ + M₂ q ₂ ) / ((((M₁ + M₂ )

Usando q = 0.622 (e / (p - 0.378 e))

e_m / (p - 0.378 e_m ) = ((M₁e₁ / (p - 0.378 e₁ )) + (M₂ e₂ / (p - 0.378 e₂))) /(M₁ + M₂ ) Obtenemos

e_m ≅≅≅≅ (M₁e₁ + M₂ e₂) /((((M₁ + M₂ )

Suponiendo proceso isobárico sin intercambio de calor con el ambiente T_m ≅≅≅≅ (M₁T₁ + M₂ T₂) /((((M₁ + M₂ )

Conclusión: Tanto T como e se mezclan linealmente

MEZCLAS DE MASAS DE AIRE Mezcla horizontal de masas de aire

Si la mezcla resulta sobresaturada hay condensación, en este proceso isobárico pasamos de (T_m, e_m ) a (T ’_m , e’_m), para ello se condensa (r_m- r’_m) g que ceden el calor latente de condesación L_v(r_m- r’_m) para aumentar la temperatura de T_m hasta T ’_m.

T e

T₁ , e₁

T₂ , e₂

T_m , e_m

T’_m , e’_m p

r = 100%

* *

*

*

TEMA 3. AIRE SECO. AIRE HÚMEDO.

• Aire seco.

• Aire Húmedo. Agua en la atmósfera. Cambios de fase.

• Diagramas Termodinámicos.

• Procesos Isobáricos

• Expansión adibática del aire saturado. Evolución Pseudoadiabática.

• Procesos de Mezcla.

– Mezcla horizontal.

– Mezcla vertical.

MEZCLAS DE MASAS DE AIRE

Mezcla vertical de masas de aire.Nivel de condensación por mezcla

(T₁, p₁,, q₁) y ( T₂, p₂, q₂ ). Para que la mezcla pueda tener lugar debemos de llevar las masas a una presión común p, que se alcanza mediante una evolución adiabática

T_p1 = T₁ (p / p₁ ) Rd / cpd T_p2 = T₂ (p / p₂ ) ^{Rd / cpd} A continuación se procede como en una mezcla horizontal

T_{m p} ==== (M₁T_p1 + M₂ T_p2) /((((M₁ + M₂ )

que multiplicada por (1000/ p) ^{Rd / cpd} permite escribir

θθθθ _m = ((((M₁ θθθθ₁ + M₂ θθθθ₂ ) / ((((M₁ + M₂ )

r=r_m

θ_m b

2

1

estrato después de la mezcla

Adiabática saturada

r=r_m

θ_m b

NCM

estrato antes de la mezcla

q_m = (M₁ q ₁ + M₂ q ₂ ) / (M₁ + M₂ ) r_m ≈≈≈≈ (M₁ r ₁ + M₂ r ₂ ) / (M₁ + M₂ )