El l´ımite de una funci´
on mon´
otona
a trav´
es del l´ımite de una sucesi´
on
(un tema de An´
alisis Real)
Egor Maximenko
http://www.egormaximenko.com
Instituto Polit´ecnico Nacional Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas
M´exico 8 de mayo de 2020
Objetivos:
expresar el l´ımite de una funci´on mon´otona como el l´ımite de una sucesi´on.
Prerrequisitos:
supremos e ´ınfimos, l´ımites de funciones mon´otonas.
Una de las aplicaciones:
Proposici´on (el l´ımite de una funci´on creciente en t´erminos del l´ımite de una sucesi´on)
Sean
−∞ ≤ a < b ≤ +∞,
ϕ : (a, b) → R una funci´on creciente,
(un)n∈N una sucesi´on en (a, b) tal que limn→∞un= b.
Entonces
lim
n→∞ϕ(un) = limt→b−ϕ(t).
Ejercicio. Recordar el criterio de l´ımite en t´erminos de sucesiones (teorema de Heine) y mostrar que la proposici´on escrita arriba es un corolario de este teorema.
Proposici´on (el l´ımite de una funci´on creciente en t´erminos del l´ımite de una sucesi´on)
Sean
−∞ ≤ a < b ≤ +∞,
ϕ : (a, b) → R una funci´on creciente,
(un)n∈N una sucesi´on en (a, b) tal que limn→∞un= b.
Entonces
lim
n→∞ϕ(un) = limt→b−ϕ(t).
Ejercicio. Recordar el criterio de l´ımite en t´erminos de sucesiones (teorema de Heine) y mostrar que la proposici´on escrita arriba es un corolario de este teorema.
Proposici´on (el l´ımite de una funci´on creciente en t´erminos del l´ımite de una sucesi´on)
Sean
−∞ ≤ a < b ≤ +∞,
ϕ : (a, b) → R una funci´on creciente,
(un)n∈N una sucesi´on en (a, b) tal que limn→∞un= b.
Entonces
lim
n→∞ϕ(un) = limt→b−ϕ(t).
Ejercicio. Recordar el criterio de l´ımite en t´erminos de sucesiones (teorema de Heine) y mostrar que la proposici´on escrita arriba es un corolario de este teorema.
Inicio de la demostraci´on. Sea
s := sup(ϕ[(a, b)]), esto es, s := sup
a<t<b ϕ(t). Sabemos que lim t→b−ϕ(t) = s. Demostremos que lim n→∞ϕ(un) = s.
Demostraci´
on en el caso s < +∞
s := sup(ϕ[(a, b)]) ϕ % lim n→∞un = b ε > 0 c ∈ (a, b) ϕ(c) > s − ε k ∈ N ∀n ≥ k un > c k ∈ N ∀n ≥ k ϕ(un) ≥ ϕ(c) > s − ε ∀n ∈ N ϕ(un) ≤ s < s + ε k ∈ N ∀n ≥ k s − ε < ϕ(un) < s + εDemostraci´
on en el caso s < +∞
s := sup(ϕ[(a, b)]) ϕ % lim n→∞un = b ε > 0 c ∈ (a, b) ϕ(c) > s − ε k ∈ N ∀n ≥ k un > c k ∈ N ∀n ≥ k ϕ(un) ≥ ϕ(c) > s − ε ∀n ∈ N ϕ(un) ≤ s < s + ε k ∈ N ∀n ≥ k s − ε < ϕ(un) < s + εDemostraci´
on en el caso s < +∞
s := sup(ϕ[(a, b)]) ϕ % lim n→∞un = b ε > 0 c ∈ (a, b) ϕ(c) > s − ε k ∈ N ∀n ≥ k un > c k ∈ N ∀n ≥ k ϕ(un) ≥ ϕ(c) > s − ε ∀n ∈ N ϕ(un) ≤ s < s + ε k ∈ N ∀n ≥ k s − ε < ϕ(un) < s + εDemostraci´
on en el caso s < +∞
s := sup(ϕ[(a, b)]) ϕ % lim n→∞un = b ε > 0 c ∈ (a, b) ϕ(c) > s − ε k ∈ N ∀n ≥ k un > c k ∈ N ∀n ≥ k ϕ(un) ≥ ϕ(c) > s − ε ∀n ∈ N ϕ(un) ≤ s < s + ε k ∈ N ∀n ≥ k s − ε < ϕ(un) < s + εDemostraci´
on en el caso s < +∞
s := sup(ϕ[(a, b)]) ϕ % lim n→∞un = b ε > 0 c ∈ (a, b) ϕ(c) > s − ε k ∈ N ∀n ≥ k un > c k ∈ N ∀n ≥ k ϕ(un) ≥ ϕ(c) > s − ε ∀n ∈ N ϕ(un) ≤ s < s + ε k ∈ N ∀n ≥ k s − ε < ϕ(un) < s + εDemostraci´
on en el caso s < +∞
s := sup(ϕ[(a, b)]) ϕ % lim n→∞un = b ε > 0 c ∈ (a, b) ϕ(c) > s − ε k ∈ N ∀n ≥ k un > c k ∈ N ∀n ≥ k ϕ(un) ≥ ϕ(c) > s − ε ∀n ∈ N ϕ(un) ≤ s < s + ε k ∈ N ∀n ≥ k s − ε < ϕ(un) < s + εDemostraci´
on en el caso s < +∞
s := sup(ϕ[(a, b)]) ϕ % lim n→∞un = b ε > 0 c ∈ (a, b) ϕ(c) > s − ε k ∈ N ∀n ≥ k un > c k ∈ N ∀n ≥ k ϕ(un) ≥ ϕ(c) > s − ε ∀n ∈ N ϕ(un) ≤ s < s + ε k ∈ N ∀n ≥ k s − ε < ϕ(un) < s + εDemostraci´
on en el caso s < +∞
s := sup(ϕ[(a, b)]) ϕ % lim n→∞un = b ε > 0 c ∈ (a, b) ϕ(c) > s − ε k ∈ N ∀n ≥ k un > c k ∈ N ∀n ≥ k ϕ(un) ≥ ϕ(c) > s − ε ∀n ∈ N ϕ(un) ≤ s < s + ε k ∈ N ∀n ≥ k s − ε < ϕ(un) < s + εDemostraci´
on en el caso s = +∞
sup(ϕ[(a, b)]) = +∞ ϕ % lim n→∞un = b E > 0 c ∈ (a, b) ϕ(c) > E k ∈ N ∀n ≥ k un > E k ∈ N ∀n ≥ k ϕ(un) ≥ ϕ(c) > EDemostraci´
on en el caso s = +∞
sup(ϕ[(a, b)]) = +∞ ϕ % lim n→∞un = b E > 0 c ∈ (a, b) ϕ(c) > E k ∈ N ∀n ≥ k un > E k ∈ N ∀n ≥ k ϕ(un) ≥ ϕ(c) > EDemostraci´
on en el caso s = +∞
sup(ϕ[(a, b)]) = +∞ ϕ % lim n→∞un = b E > 0 c ∈ (a, b) ϕ(c) > E k ∈ N ∀n ≥ k un > E k ∈ N ∀n ≥ k ϕ(un) ≥ ϕ(c) > EDemostraci´
on en el caso s = +∞
sup(ϕ[(a, b)]) = +∞ ϕ % lim n→∞un = b E > 0 c ∈ (a, b) ϕ(c) > E k ∈ N ∀n ≥ k un > E k ∈ N ∀n ≥ k ϕ(un) ≥ ϕ(c) > EDemostraci´
on en el caso s = +∞
sup(ϕ[(a, b)]) = +∞ ϕ % lim n→∞un = b E > 0 c ∈ (a, b) ϕ(c) > E k ∈ N ∀n ≥ k un > E k ∈ N ∀n ≥ k ϕ(un) ≥ ϕ(c) > EDemostraci´
on en el caso s = +∞
sup(ϕ[(a, b)]) = +∞ ϕ % lim n→∞un = b E > 0 c ∈ (a, b) ϕ(c) > E k ∈ N ∀n ≥ k un > E k ∈ N ∀n ≥ k ϕ(un) ≥ ϕ(c) > EEjercicios
Ejercicio.
Enunciar y demostrar un resultado similar para ϕ %, un→ a.
Ejercicio.
Enunciar y demostrar un resultado similar para ϕ &, un→ b.
Ejercicio.
