Trigonometría del triángulo rectángulo

Trigonometría del triángulo rectángulo

L E C C I Ó N

12.1

CONDENSADA

(continúa)

En esta lección

● aprenderás sobre razones trigonométricas asociadas a un triángulo rectángulo

● usarás razones trigonométricas para hallar las longitudes laterales desconocidas de un triángulo rectángulo

● usarás inversos trigonométricos para hallar medidas de ángulos desconocidas en un triángulo rectángulo

Supón que elevas una cometa. Hay un viento fuerte, por lo tanto la cuerda está tensa. Has marcado la cuerda, por lo tanto sabes cuánta cuerda has soltado y puedes medir el ángulo que forma la cuerda con la horizontal. Puedes usar una razón trigonométrica para hallar la altura de la cometa. En esta lección aprenderás cómo.

La trigonometría relaciona las medidas angulares de los triángulos rectángulos con las longitudes de sus lados. Primero, recuerda que los triángulos que tienen las mismas medidas angulares son semejantes, y por lo tanto las razones de sus lados correspondientes son iguales. Los triángulos rectángulos tienen nombres especiales para las razones.

Para cualquier ángulo agudo A de un triángulo rectángulo,

A

B

C b

c a

Este cateto es opuesto a A.

Hipotenusa

Este cateto es adyacente a A.

el seno (sin) de ⬔A es la razón entre la longitud del cateto opuesto a ⬔A y la longitud de la hipotenusa.

sinA ⫽ cateto opuesto ᎏᎏhipotenusa ⫽ ᎏa

cᎏ

El coseno (cos) de ⬔A es la razón entre la longitud del cateto adyacente a ⬔A y la longitud de la hipotenusa.

cosA ⫽ ᎏcat

h et

i o po

a t d

en ya

u c

s e

a

nteᎏ ⫽ ᎏb cᎏ

La tangente (tan) de ⬔A es la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente.

tanA ⫽ cateto opuesto ᎏᎏcateto adyacente ⫽ ᎏa

bᎏ

Lee el Ejemplo A en tu libro y después lee el siguiente ejemplo.

EJEMPLO Halla la longitud desconocida, c.

25 14

C A

c B

䊳

Solución

Conoces la longitud del lado opuesto al ángulo de 25° y deseas hallar la longitud de la hipotenusa. Por consiguiente, puedes usar la razón seno.

sin25° ⫽ ᎏ1 c

4ᎏ c ⫽ 14

ᎏsin25° ⬇ 33.13

razón dada. Por ejemplo, sin 30° ⫽ ^{_ 1}₂ , por lo tanto sin ^⫺1

冢

^1_ 2

冣

⫽ 30°. El Ejemplo B en tu libro usa el inverso de la función tangente. Lee el ejemplo atentamente.

Investigación: Escalones empinados

Lee el párrafo de apertura de la investigación en tu libro. Completa los Pasos 1–4 de la investigación y después compara tus resultados con los siguientes.

Paso 1 Primero dibuja un escalón con la máxima distancia vertical y la mínima distancia horizontal.

Sea x el ángulo de inclinación. Dado que tanto el piso como la distancia

10 in.

7.75 in.

x

x

horizontal son horizontales (y, de este modo, paralelos), el ángulo entre la distancia horizontal y la hipotenusa también es x. Conoces la longitud de los lados opuestos y adyacentes, por lo tanto usa la tangente para resolver para x.

tanx ⫽ ____ 7.75 10

x ⫽ tan ^⫺1

冉

^{7.75 ____} ₁₀

冊

^{⬇ 37.8°}

El ángulo de inclinación es de aproximadamente 38°.

Paso 2 Dos tramos de escalera que siguen tanto el código como la regla general son una serie con una unidad de distancia horizontal de 11 in y una unidad de distancia vertical de 6.5 in, y un tramo de una unidad de distancia vertical de 11.5 in y una unidad de distancia vertical de 6 in. Los ángulos de inclinación respectivos para estos tramos de escalera se obtienen por tan^⫺1

冢

^{__ 6.5}11

冣

⬇ 30.6° y tan^⫺1

冢

^___ 11.5 ⁶

冣

^{⬇ 27.6°.}

Un ejemplo de un tramo de escalera que sigue la regla común pero no el código es un tramo con una unidad de distancia vertical de 8.75 in y una unidad de distancia vertical de 8.75 in.

El ángulo de inclinación para este tramo se obtiene por tan^⫺1

冢

^{___ 8.75}8.75

冣

^{⫽ 45.0°.}

Paso 3 Consulta la foto y el diagrama de la página 682 en tu libro.

a. Existe una infinidad de diseños posibles, pero no todos los diseños siguen los códigos dados en el Paso 1. Por ejemplo, una escalera con una unidad de distancia vertical de aproximadamente 15.6 in y una unidad de distancia vertical de 41 in se ajustaría al ángulo de inclinación de 20.8° pero no seguiría el código, porque la distancia vertical es muy alta.

b. Para hallar la solución, sea r la unidad de distancia horizontal. Entonces la unidad de distancia vertical será representada por 17.5 ⫺ r. Para hallar r, usa la razón tangente.

tan 20.8° ⫽ 17.5 ⫺ r ________ r 0.3799 ⬇ 17.5 ⫺ r ________ r

0.3799r ⬇ 17.5 ⫺ r

1.3799r ⬇ 17.5

r ⬇ 17.5 ______ 1.3799 r ⬇ 12.68 in

Por lo tanto la distancia horizontal es 12.68 in y la distancia vertical es 17.5 – 12.68 ⬇ 4.82 in.

Paso 4 Usa la función tangente y que sea x el ángulo de inclinación. Usando tan x ⫽ ^{__ 1} , x ⫽ tan^⫺1

冢

^{__ 1}

冣

⬇ 3.58° y usando tan x ⫽ ^{__ 1} , x ⫽ tan^⫺1

冢

^{__ 1}

冣

^{⬇ 2.86°.}

La Ley de los senos

En esta lección

● descubrirás y aplicarás la Ley de los senos, que describe una relación entre los lados y los ángulos de un triángulo oblicuángulo

Has investigado las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos. Ahora investigarás las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos no rectángulos, o triángulos oblicuángulos (oblique).

Investigación: Triángulos oblicuángulos

Paso 1 Dibuja un triángulo acutángulo ABC. Rotula el lado opuesto a ^A

B a

c h b

C

⬔A como a, el lado opuesto a ⬔B como b, y el lado opuesto a ⬔C como c. Después, dibuja la altitud que va de ⬔A a BC . Rotula la altitud ^___

como h. A la derecha está el ejemplo.

Paso 2 Del diagrama, puedes escribir las siguientes ecuaciones:

sinB ⫽ ᎏh

cᎏ ó h ⫽ csinB sinC ⫽ ᎏh

bᎏ ó h ⫽ bsinC

Como ambos csinB y bsinC son iguales a h, también son iguales entre sí. Es decir, csinB ⫽ bsinC

Al dividir ambos lados de la ecuación anterior entre bc, se obtiene:

ᎏsin bB

ᎏ ⫽ ᎏsin cC

ᎏ

Paso 3 Ahora, dibuja la altitud que va desde ⬔B a AC y rotúlala como j. Usando ^___

un método parecido al del Paso 2, debes hallar que:

ᎏsin a

ᎏ ⫽ ᎏA sin c

ᎏC

(¡Asegúrate de que puedes derivar esta ecuación por tu cuenta!)

Pasos 4 y 5 Puedes combinar las proporciones de los Pasos 2 y 3 para escribir una proporción extendida:

ᎏsin aA

ᎏ ⫽ ᎏsin bB

ᎏ ⫽ ᎏsin cC

ᎏ

El triángulo que dibujaste en el Paso 1 es acutángulo. ¿Crees que la misma proporción será válida para los triángulos obtusángulos?

Paso 6 Dibuja un triángulo obtusángulo ABC y mide cada ángulo y A

C B 126 23 31 6.3 cm

4 cm 3 cm

lado. Éste es un ejemplo.

Halla ᎏsin aA

ᎏ, ᎏsin bB

ᎏ, y ᎏsin cC

ᎏ para tu triángulo. Para el triángulo a la derecha:

ᎏsin aA

ᎏ ⫽ ᎏsin 431°

⬇ 0.13 ᎏsin bB

ᎏ ⫽ ᎏsin 323°

⬇ 0.13 ᎏsin cC

ᎏ ⫽ sin 126°_{_______}

6.3 ⬇ 0.13 Por lo tanto, parece que ᎏsin

a

ᎏA ⫽ ^ᎏsin_b^ᎏB ⫽ ^ᎏsin_c^ᎏC es válido para triángulos obtusángulos también.

(continúa) L E C C I Ó N

12.2

CONDENSADA

problema real. Lee el ejemplo atentamente. La relación que descubriste en la investigación se llama Ley de los senos. Se resume en el recuadro “Law of Sines”

(Ley de los senos) en tu libro.

El Ejemplo B muestra cómo aplicar la Ley de los senos para hallar la longitud desconocida de un lado de un triángulo, cuando conoces las medidas de dos ángulos y la longitud de un lado. Lee el ejemplo atentamente. Prueba tu entendimiento, hallando la longitud del lado ^___AC . (Sugerencia: Primero necesitarás hallar la medida de ⬔B.) Debes hallar que la longitud de AC es aproximadamente 15.4 cm.^___

También puedes usar la Ley de los senos para hallar la medida desconocida de un ángulo, cuando conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a uno de los lados. Sin embargo, en este caso puedes hallar más de una solución. Como ayuda para entender por qué puede haber más de una solución, observa los diagramas en la página 693 de tu libro y lee el Ejemplo C. Éste es otro ejemplo.

EJEMPLO En el 䉭ABC, la medida de ⬔A es 30°, la longitud del lado AB es 8 cm y la ^___

longitud del lado BC es 5 cm. Dibuja y rotula dos triángulos que se ajusten a ^___

esta descripción. Para cada triángulo, halla las medidas de ⬔B y ⬔C y la longitud del lado AC .^___

䊳

Solución

A continuación están las dos posibilidades.

A A

B

b b

B

C C

30 30

5 cm

5 cm

8 cm 8 cm

Para hallar una medida posible de ⬔C, usa la Ley de los senos.

ᎏsin 530°

ᎏ ⫽ ᎏsin 8C

ᎏ sinC ⫽ ᎏ8sin

530°

ᎏ C ⫽ sin^⫺1

冉

^ᎏ8sin530°

ᎏ

冊

^{⬇ 53.1°}

La medida de ⬔C es 53.1°, por lo tanto la medida de ⬔B es 180° ⫺ (30° ⫹ 53.1°), ó 96.9°. Para hallar la longitud de ^___AC , usa la Ley de los senos otra vez.

ᎏsin 530°

ᎏ ⫽ ᎏsin9 b

6.9°ᎏ

b ⫽ ᎏ5s

si in

n9 36

0.

°9°

ᎏ ⬇ 9.9 cm La longitud de AC es 9.9 cm.^___

La otra posible medida para ⬔C es el suplemento de 53.1°, ó 126.9°. Entonces, la medida de ⬔B es 180° ⫺ (30° ⫹ 126.9°), ó 23.1°. Usa la Ley de los senos para hallar la longitud de AC .^___

ᎏsin 530°

ᎏ ⫽ ᎏsin2 b

3.1°ᎏ

b ⫽ ᎏ5sin23.1°

ᎏ ⬇ 3.9 cm

(continúa)

La Ley de los cosenos

En esta lección

● usarás la Ley de los cosenos para hallar las medidas desconocidas de un triángulo, cuando conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo formado por éstos

● usarás la Ley de los cosenos para hallar las medidas desconocidas de un triángulo cuando conoces las longitudes de sus tres lados

Puedes usar la Ley de los senos para hallar las longitudes de los lados o las medidas de los ángulos de un triángulo, si conoces las medidas de dos ángulos y la longitud de un lado; o alternativamente si conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a uno de esos lados.

El Ejemplo A en tu libro da las longitudes de dos lados y la medida del ángulo comprendido entre los lados, y debes hallar la longitud del tercer lado. La Ley de los senos no se puede aplicar en esta situación. Analiza la solución para ver cómo hallar la longitud desconocida.

Si utilizas el procedimiento del Ejemplo A en un caso general donde dan las longitudes de dos lados, a y b, de un triángulo ABC y la medida del ángulo comprendido entre ellos, C, obtienes la Ley de los cosenos:

c² ⫽ a² ⫹ b² ⫺ 2abcosC

donde c es opuesto a ⬔C. Observa que esto se parece al Teorema de Pitágoras con un término extra, ⫺2abcosC. (De hecho, si C es un ángulo recto, entonces cosC es 0, y la ecuación se convierte en el Teorema de Pitágoras.) Lee el texto del recuadro “Law of Cosines” (Ley de los cosenos) en la página 699 de tu libro y estudia los diagramas que siguen al recuadro.

Investigación: A la vuelta de la esquina

Lee la investigación en tu libro. Si tienes los materiales y algunas personas A

B C

2 m c

2.5 m 43

que te ayuden, haz la investigación. Si no, puedes usar el diagrama de la derecha. Completa la investigación por tu cuenta y después compara tus resultados con los siguientes.

Conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo incluido, por lo tanto puedes usar la Ley de los cosenos para hallar la longitud del tercer lado.

c² ⫽ a² ⫹ b² ⫺ 2abcosC Ley de los cosenos.

c² ⫽ 2.5² ⫹ 2² ⫺ 2(2.5)(2)cos43° Sustituye los valores conocidos.

c² ⫽ 6.25 ⫹ 4 ⫺ 10cos43° Multiplica.

c ⫽ 兹苶10.25 ⫺ 10cos43° Resuelve para c.

c ⬇ 1.71 Evalúa.

La distancia entre las dos “ciudades” es aproximadamente 1.71 metros.

L E C C I Ó N

12.3

CONDENSADA

aplica dos veces. Intenta hallar las medidas desconocidas por tu cuenta, y luego lee la solución. Tanto la investigación como el Ejemplo B dan las longitudes de dos lados y la medida del ángulo incluido. También puedes usar la Ley de los cosenos si conoces las longitudes de los tres lados. El siguiente ejemplo te muestra cómo.

EJEMPLO Halla la medida de los ángulos.

A

B

C

5.1 cm

3.5 cm

2.0 cm

䊳

Solución

Empieza usando la Ley de los cosenos para hallar la medida de ⬔C.

c² ⫽ a² ⫹ b² ⫺ 2abcosC Ley de los cosenos.

3.5² ⫽ 5.1² ⫹ 2.0² ⫺ 2(5.1)(2.0)cosC Sustituye los valores conocidos.

12.25 ⫽ 30.01 ⫺ 20.4cosC Multiplica.

⫺17.76 ⫽ ⫺20.4cosC Resta 30.01 de ambos lados.

cosC ⫽ ᎏ1 27

0.7 .46

ᎏ Resuelve para cosC.

C ⫽ cos^⫺1

冉

^ᎏ127 0.7

.46

ᎏ

冊

Toma el inverso del coseno en ambos lados.

C ⬇ 29.5° Evalúa.

Ahora, usa la Ley de los senos para hallar la medida de ⬔B.

ᎏsin c

ᎏ ⫽ ᎏC sin b

ᎏ B Ley de los senos.

ᎏsin 32

.59.5 ᎏ ⫽ ᎏsi

2n .0B

ᎏ Sustituye los valores conocidos.

sinB ⫽ ᎏ2.0si 3n

.529.5°

ᎏ Resuelve para sinB.

B ⫽ sin^⫺1

冉

^ᎏᎏ2.0si3n .529.5°

ᎏ

冊

Toma el inverso del seno en ambos lados.

B ⬇ 16.3° Evalúa.

Para hallar la medida de ⬔A, usa el dato de que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180°.

A ⬇ 180° ⫺ (29.5° ⫹ 16.3°) ⬇ 134.2°

Lee el resto de la lección en tu libro, que resume lo que has aprendido en esta lección y en la anterior.

(continúa)

Ampliar la trigonometría

En esta lección

● ampliarás las definiciones de seno, coseno y tangente para incluir ángulos de cualquier medida

● hallarás el seno, el coseno y la tangente de los ángulos de rotación

● usarás los ángulos de referencia para hallar el seno, el coseno y la tangente

x y

II I

IV III

de los ángulos relacionados

En la Lección 12.1, aplicaste las definiciones dadas para seno, coseno y tangente a los ángulos agudos en los triángulos rectángulos. En esta lección, ampliarás las definiciones para aplicarlas a ángulos de cualquier tamaño. Recuerda que los ángulos en los planos de coordenadas se miden comenzando desde el eje positivo x y se mueven en el sentido opuesto a las manecillas del reloj por los Cuadrantes I, II, III y IV.

Investigación: Ampliar las funciones trigonométricas

Lee el Procedure Note (Nota del procedimiento) y estudia el ejemplo del Paso 1.

Después analiza la investigación en tu libro. Cuando termines, compara tus respuestas con los siguientes resultados. Asegúrate de que tu calculadora esté configurada en grados.

Paso 1 Las respuestas de muestra usan el punto (4, 0) como punto de partida para cada ángulo. Tus respuestas para las coordenadas y la longitud de los segmentos variarán dependiendo del punto de partida que escogiste, pero los resultados de seno, coseno y tangente deben ser iguales a los siguientes.

a. y

x 4

–4

–4 4

135

sin 135° ⬇ 0.707, cos 135° ⬇ ⫺0.707 y tan 135° ⫽ ⫺1. Las coordenadas del punto rotado son aproximadamente (⫺2.8, 2.8). La longitud del segmento es aproximadamente

兹

_____________

(⫺2.8) ² ⫹ 2.8 ² ⬇ 3.96 unidades.

b. y

x 4

–4

–4 4

210

sin 210° ⫽ 0.5, cos 210° ⬇ ⫺0.866 y tan 210° ⬇ ⫺0.577. Las coordenadas del punto rotado son aproximadamente (⫺3.5, ⫺2). La longitud del segmento es aproximadamente

兹

_______________

(⫺3.5) ² ⫹ (⫺2) ² ⬇ 4.03 unidades.

L E C C I Ó N

12.4

CONDENSADA

x 4

–4

–4 4

270

sin 270° ⫽ ⫺1, cos 270° ⫽ 0 y tan 270° es indefinida. Las coordenadas del punto rotado son (0, ⫺4). La longitud del segmento es

兹

^{__________ 0 2 ⫹ (⫺4) 2 ⫽ 4}

unidades.

d. y

x 4

–4

–4 4

320

sin 320° ⬇ ⫺0.643, cos 320° ⬇ ⫺0.766 y tan 320° ⬇ ⫺0.839. Las coordenadas del punto rotado son aproximadamente (3.1, ⫺2.6). La longitud del segmento es aproximadamente

兹

_____________

3.1 ² ⫹ (⫺2.6) ² ⬇ 4.05 unidades.

e. y

x 4

–4 –100 4

sin ⫺100° ⬇ ⫺0.985, cos ⫺100° ⬇ ⫺0.174 y tan ⫺100° ⬇ 5.671. Las coordenadas del punto rotado son aproximadamente (⫺0.7, ⫺3.9). La longitud del segmento es aproximadamente

兹

________________

( ⫺0.7) ² ⫹ (⫺3.9) ² ⬇ 3.96 unidades.

Paso 2 Los resultados se resumen a continuación. Según estos resultados puedes deducir esta hipótesis, el seno es _______________ coordenada y

longitud del segmento , el coseno es _______________ longtitud del segmento coordenada x y la tangente es __________ coordenada y

coordenada x .

Ángulo Seno Coseno Tangente

135° 2.8 ____ 3.96 ⬇ 0.71 ⫺2.8 _____ 3.96 ⬇ ⫺0.71 2.8 ^_____ ⫺2.8 ⫽ 1 210° ⫺2 ____ 4.03 ⬇ ⫺0.50 ⫺3.5 _____ 4.03 ⬇ ⫺0.87 ⫺2 ^_____ ⫺3.5 ⬇ 0.57 270° ⫺4 ___ 4 ⫽ ⫺1 __ 0 4 ⫽ 0 ___ ⫺4

0 es indefinida 320° ⫺2.6 _____ 4.05 ⬇ ⫺0.64 3.1 ____ 4.05 ⬇ ⫺0.77 ⫺2.6 _____ 3.1 ⬇ ⫺0.84

⫺100° ⫺3.9 _____

3.96 ⬇ ⫺0.98 ⫺0.7 ^_____ 3.96 ⬇ ⫺0.18 ⫺3.9 ^_____ ⫺0.7 ⬇ 5.6

Paso 3

x y

4

4

–4 –4

(–3, 1)

La longitud del segmento es

兹

^{__________ (⫺3) 2 ⫹ 1 2 ⫽ 兹 ___}10 . Usando el método del Paso 2, sin A ⫽ ^____ _兹 ^1___₁₀ , cos A ⫽ ^____ _兹 ^{⫺3 ___}₁₀ y tan A ⫽ ^___ _⫺3¹ . La calculadora da que sin^⫺1

冢

^____ _兹 ^1___₁₀

冣

^{⬇ 18.43°}

y tan^⫺1

冢

^___ _⫺3¹

冣

⬇ 18.43°. Este ángulo está en el Cuadrante I;

por lo tanto no se corresponde con el diagrama. Sin embargo, usando la calculadora, cos^⫺1

冢

^____ _兹 ^{⫺3 ___}₁₀

冣

⬇ 161.57°. Este ángulo parece corresponder con el diagrama.

Paso 4 Las definiciones están en la caja de definiciones en la página 707 de tu libro. Lee estas definiciones atentamente.

Lee el párrafo anterior al Ejemplo A y después analiza los Ejemplos A y B en tu libro. Si necesitas repasar los triángulos rectángulos, lee “Refreshing Your Skills”

(Repasar tus habilidades) del Capítulo 12 en tu libro. A continuación, hay otro ejemplo similar al Ejemplo A.

EJEMPLO Halla el seno, el coseno y la tangente de 150° sin la calculadora.

䊳

Solución

Rota un punto 150° desde el eje positivo x en el sentido opuesto a las manecillas del reloj. La imagen del punto está en el Cuadrante II, 30° sobre el eje x. El ángulo de referencia es 30°. El seno, el coseno y la tangente de un ángulo de referencia de 30° son _ ¹₂ , ^兹

__3

___ ₂ y ___ _兹 ^1__₃ , respectivamente.

x y

4

4

–4 –4

150 30

Dado que la coordenada x es negativa y la coordenada y es positiva en el Cuadrante II, sin 150° ⫽ ^{_ 1}₂ , cos 150° ⫽ ⫺ ^兹

__3

___ ₂ , y tan 150° = ⫺ ^___ _兹 ^1__₃ .

Lección 12.4 • Ampliar la trigonometría (continuación)

Introducción a los vectores

En esta lección

● entenderás vectores como distancias directas

● representarás la suma, resta y multiplicación escalar de vectores

● usarás vectores para resolver problemas

● convertirás vectores de una forma a otra

Algunas cantidades, como la distancia, la velocidad y la aceleración, pueden tener direcciones asociadas con ellas. Estas cantidades dirigidas se pueden representar con vectores, los cuales se pueden considerar como segmentos de rectas dirigidas.

El segmento de recta tiene una longitud, llamada magnitud, y una dirección.

Puedes representar los vectores como un segmento con punta de flecha en uno de los extremos, llamado cabeza o punta. La cola es el otro extremo del vector.

Los vectores se pueden representar de muchos modos. La forma polar de un vector da la magnitud y el ángulo que forma el vector con el eje positivo x.

Por ejemplo, 具3⬔150°典 representa un vector de 3 unidades de largo dirigido 150°

en el sentido opuesto a las manecillas del reloj desde el eje positivo x. La forma rectangular de un vector da el cambio horizontal y vertical desde la cola hasta la cabeza. Por ejemplo,

冓

^{_____ ⫺3} ₂ ^{兹 __3 , _ 3} ₂

冔

representa un cambio horizontal de ^{⫺3 兹}

__3 _____ ₂ , y un cambio vertical de _ ³₂ .

Los vectores equivalentes tienen la misma magnitud y dirección, sin importar donde están localizados en un plano de coordenadas. 具3⬔150°典 y

冓

^{_____ ⫺3} ₂ ^{兹 __3 , _ 3} ₂

冔

^son

vectores equivalentes.

La investigación explora algunas de las propiedades de la resta y la suma de vectores. Observa que a y a son dos modos de designar un vector. En la ^__› ecuación a ⫹ b ⫽ c; las letras en engrita a, b y c representan vectores, y c es el vector resultante del cálculo.

Investigación: Suma y resta de vectores

Analiza toda la investigación en tu libro y después compara tus resultados con los siguientes.

Pasos 1 a 3

x y

6 4 2

6 4 0 2

b

a c

La forma rectangular de c es 具6, 4典.

Paso 4 i.

x y

6 4 2

b c a

ii. ^y

–5 x

3

–3 d c

e

12.5