DISTRIBUCIÓN NORMAL
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.
Además, es la base del análisis estadístico, ya que en ella se sustenta casi toda la inferencia estadística.
Esta distribución también se conoce como distribución de Gauss o distribución gaussiana. La gráfica de la distribución normal tiene la forma de una campana, por este motivo la gráfica también es conocida como la campana de Gauss.
La distribución normal con media
μ
y desviación estándarσ
, a veces denotada comoX → N (μ ,σ )
, tienelas siguientes propiedades:
- Es una distribución simétrica respecto a la media
μ
.- La media y la mediana son iguales a la media
μ
.- En el intervalo
[ μ−σ , μ+σ ]
se encuentran el 68,26%de los datos.- En el intervalo
[ μ−2 σ , μ+2 σ ]
se encuentran el 95,44%de los datos.- En el intervalo
[ μ−3 σ , μ+3 σ ]
se encuentran el 99,73% de los datos.Su función de densidad es y su función de distribución
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. Esto es porque la probabilidad de que un suceso ocurra entre todas las posibilidades es un 100%, o sea 1. La integral, entre menos y más infinito, de la función de densidad de probabilidad es 1.
Cuando
μ=0
yσ =1
,X → N (0,1)
, la distribución se conoce como distribución normal estándar.TIPIFICACIÓN DE UNA VARIABLE X
Se hace un cambio de variable:
MANEJO DE TABLAS. CASOS MÁS FRECUENTES.
Es muy útil, casi indispensable, visualizar cada cálculo que se haga con una región concreta de la campana de Gauss
En las distribuciones continuas no importa que las desigualdades sean estrictas o no lo sean ya que la probabilidad de todos los valores concretos de la variable es nula y únicamente son evaluables las probabilidades de intervalos.
p (Z ≤ 1,35)=¿
p ( Z ≥ 2,1 ) =¿
p (Z ≤−a )= p (Z ≥ a )=1− p (Z ≤ a)
p ( Z ≤−0,38 ) =¿
p(Z > -1) =
p (1,37 ≤ Z ≤ 2,08)=¿
p (−1,47≤ Z ≤−0,45)= p (Z ≤−0,45 )− p (Z ≤−1,47)=¿
p (Z ≥ 0,45 )− p (Z ≥1,47 )= [ 1− p (Z ≤ 0,45) ] − [ 1− p ( Z ≤ 1,47) ] = (1−0,6736)−(1−0,9292)=0,2556
CASO INVERSO (
p ( Z ≤ k ) = p ¿
conocemos el valor de la probabilidad p y se trata de hallar el valor de la abscisa k. Ahora tenemos que buscar en la tabla el valor que más se aproxime a p.p ( Z ≤ k ) =0,75 , busco dentro del mogollón de la tablael valor 0,75 y veo que corresponde a k =0,68, es decir que p ( Z ≤0,68 ) =0,75
EJERCICIOS
Utiliza La tabla de la distribución normal estándar, N(0 , 1) para calcular las siguientes probabilidades:
1) 2) 3)
4)
Las notas de Matemáticas II de 500 alumnos presentados al examen de EBAU tienen una distribución normal con media 6,5 y desviación típica 2.
a. Calcule la probabilidad de que un alumno haya obtenido más de 8 puntos.
b. ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas menores de 5 puntos?
5)
La temperatura del cuerpo humano sigue una distribución normal de media 37ºC y desviación típica 0,5ºC.
a. Calcular la probabilidad de que la temperatura de una persona esté comprendida entre 36ºC y 38ºC b. Calcular la probabilidad de que la temperatura de una persona sea menor que 36,5ºC.
6)
La variable aleatoria IMC (índice de masa corporal, de modo abreviado) de las personas adultas de un determinado país sigue una distribución normal de media 26 y desviación típica de 6. Si tener un IMC superior a 35 significa ser obeso, encontrar la proporción de personas adultas obesas de ese país.
7)
El diámetro del interior de un anillo se distribuye normalmente con una media de 10 cm y una desviación típica de 0,03.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo tenga un diámetro mayor de 10,075?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo tenga un diámetro entre 9,97 y 10,03?
8)
La temperatura durante septiembre está distribuida normalmente con media 18,7ºC y desviación standard 5ºC.
a. Calcule la probabilidad de que la temperatura durante setiembre esté por debajo de 21ºC.
b. Calcule la probabilidad de que la temperatura durante setiembre esté por encima de 21ºC.
9)
La media de los pesos de 5000 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, “hallar cuántos estudiantes” pesan menos de 60 kgEjemplo 4. La media de los pesos de 5000 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, “hallar cuántos estudiantes” pesan menos de 60 kg
10)
En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.
11)
La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:
a. Entre 60 kg y 75 kg.
b.
Más de 90 kg.c.
Menos de64 kg
.d.
64 kg.e.
64 kg o menos.12)
El peso de cierto modelo de baterías está normalmente distribuido con una media de 6g y desviación estándar de 2g. Determine el porcentaje de baterías cuyo peso es mayor de 8g.
Rpta: 0,158713)
Los precios de las acciones de cierta industria se distribuyen en forma normal con media de 20€ y desviación estándar de 3€. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de una empresa se encuentre entre 18 € y 20€?
Rpta:0,2486
14)
Una clínica realiza un análisis de colesterol en hombres mayores de 50 años, y luego de varios años de
investigación, concluye que la distribución de lecturas del colesterol sigue una distribución normal, con media de 210 mg/dl y una desviación estándar de 15 mg/dl.
a. ¿Qué porcentaje de esta población tiene lecturas mayores a 250 mg/dl de colesterol?
Rpta: 0,38%b. ¿Qué porcentaje tiene lecturas inferiores a 190,05 mg/dl?
Rpta: 9,18%15)
La estatura de mujeres adultas en cierta región tiene una distribución normal cuya media es de 160 cm, con desviación estándar de 2 cm. ¿Qué porcentaje tiene una estatura entre 158 y 163 cm?
Rpta: 0,774516)
Los sueldos mensuales en una empresa siguen una distribución normal con media de 1200 dólares, y desviación estándar de 200 dólares ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 1000 y 1550 dólares?
Rpta: 0,801217)
Una fábrica de producción de agua embotellada, cuenta con una máquina de envasado automático, la cual vierte en cada botella una cierta cantidad de agua que sigue una distribución normal con media de 500 mililitros y una desviación estándar de 5 mililitros. ¿Qué porcentaje de las botellas se llenan con agua entre 490 y 507 mililitros?
Rpta: 0,896418)
Si X es una variable aleatoria continua, distribuida de forma normal, con media de 18 y varianza de 6,25.
Encontrar:
a. a) el valor de a, tal que p (X≥ a ) = 0,1814.
Rpta: 20,275b. b) el valor de c, tal que p(X<c) = 0,2236.
Rpta: 16,119)
