Prueba de Evaluación Continua 5-X-16

Litros

Tiempo en segundos 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50

50 – 60 2

60 –70 2 2

70 – 80 8 9 7

80 – 90 1 2 8 14

Prueba de Evaluación Continua 5-X-16

1.- En el aeropuerto de Madrid-Barajas se ha recogido una muestra del peso en kilogramos del equipaje de 20 viajeros:

40 20 22 23 22 23 21 26 25 30

23 21 24 23 24 29 22 22 27 39

Construir un diagrama de caja. ¿Hay valores atípicos?

(1 punto)

2.- En una gasolinera se ha medido el tiempo en segundos y la cantidad de litros del repostaje de gasolina.

a) Obtener la mediana del tiempo empleado en repostar.

b) Si se tarda 70 segundos en repostar ¿cuál será su percentil?

c) ¿Qué distribución tiene mayor dispersión relativa?

d) Hallar el sesgo de la distribución del tiempo empleado.

e) Hallar el coeficiente de correlación lineal. Interpretarlo.

f) Si se quiere repostar 50 litros ¿cuánto tiempo se empleará?

g) Calcular la varianza explicada por el ajuste lineal del tiempo sobre los litros.

(7 puntos)

Prueba de Evaluación Continua

1.- En el aeropuerto de Madrid-Barajas se ha recogido una muestra del peso en kilogramos del equipaje de 20 viajeros:

40 20 22 23 22 23 21 26 25 30

23 21 24 23 24 29 22 22 27 39

Construir un diagrama de caja. ¿Hay valores atípicos?

Solución

Primeramente, ordenamos los datos y observamos las frecuencias absolutas xi ni Ni

20 1 1

21 2 3

22 4 7

23 4 11

24 2 13

25 1 14

26 1 15

27 1 16

29 1 17

30 1 18

39 1 19

40 1 20

Cuartiles

¿Q1? N/4 = 20/4=5 ⇒ Q1 = 22;

Mediana ¿Q2 = M? N/2 =20/2=10 ⇒ Q2 =23;

¿Q3? 3N/4 = 15 ⇒ Q3 = (26+27)/2=26,5 El rango intercuartílico IQR=Q3-Q1=4,5 Límite inferior= Q1-1.5*IQR=15,25 Límite superior= Q3+1.5*IQR=33,25

El límite superior es 37 y existen dos valores que lo superan 39 y 40 por lo tanto HAY VALORES ATIPICOS.

Litros

Tiempo en segundos 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50

50 – 60 2

60 –70 2 2

70 – 80 8 9 7

80 – 90 1 2 8 14

2.- En una gasolinera se ha medido el tiempo en segundos y la cantidad de litros del repostaje de gasolina.

a) Si se tarda 70 segundos en repostar ¿cuál será su percentil?

b) Si se tarda 70 segundos en repostar ¿cuál será su percentil?

c) ¿Qué distribución tiene mayor dispersión relativa?

d) Hallar el sesgo de la distribución del tiempo empleado.

e) Hallar el coeficiente de correlación lineal. Interpretarlo.

f) Si se quiere repostar 50 litros ¿cuánto tiempo se empleará?

g) Calcular la varianza explicada por el ajuste lineal del tiempo sobre los litros.

Solución

x\y ^{5 15 25 35 45} ni. xini. xi2ni.

(

)

55 2 2 110 6050 -24623,6875

65 0 2 2 4 260 16900 -8973,6559

75 8 9 7 24 1800 135000 -708,712246

85 1 2 8 14 25 2125 180625 8245,22915

n.j 2 11 13 15 14 55 4295 338575 -26060,8264

yjn.j 10 165 325 525 630 1655 -473,833208

yj2n.j 50 2475 8125 18375 28350 57375 -1,08055581 110 815 975 1205 1190

xiyjnij 550 12225 24375 42175 53550 132875 RESULTADOS:

X Y

m1 78,09091 30,09091

m2 6155,909 1043,182 σ² 57,71901 137,719

CV 0,097288 0,389997

m11 2415,909

σ^xy 66,08264 r 0,741193

a) Para obtener la mediana de la variable x escribimos la distribución marginal de x:

x _{ni. Ni.}

50 – 60 2 2

60 –70 4 6 70 – 80 24 30

80 – 90 25 55

n/2 = 27,5; M=70+10*21,5/24=78,95833

b) Teniendo en cuenta que existe 6 usuarios que emplean 70 segundos o menos resulta la frecuencia relativa de 6/55 es aproximadamente 0,109; el 10,9%.

Percentil 10,9.

c) Medias

5 . 1

1

=

=

∑

i

x x n

n =⁴²⁹⁵ 78, 09091

55 = ;

5 . 1

1

=

=

∑

j

y y n

n =¹⁶⁵⁵ 30, 09091 55 =

Varianzas

5

2 2 2

. 1

1

=

=

∑

x i i

i

x n x σ n

338575 4295 2

57, 71901

55 55

 

= −  = ;

5

2 2 2

. 1

1

=

=

∑

y j j

j

y n y σ n

57375 1655 2

137, 719

55 55

 

= −  = Coeficiente de variación

57, 71901

( ) 0, 097288

78, 09091

= ^x = ≈

CV x x

σ ; 137, 719

( ) 0, 389997

30, 09091

= ^y = ≈

CV y y

σ .

Los litros.

d) Sesgo o coeficiente de asimetría g₁ µ³₃

= σ

x ni.

(

)

55 2 -24623,6875

65 4 -8973,6559

75 24 -708,712246

85 25 8245,22915

18 2 -24623,6875

sumatorio -26060,8264

μ³ -473,83321

( )

( )

3

i. i.

1 3 3

1 x X n

473,83321

g n 1, 08055581

57, 71901

− −

= = ≈ −

σ

∑

e)

i i i i

xy

x y n

132875 4295 1655

XY 66, 08264

n 55 55 55

σ =

∑

xy xy

x y

66, 08264

r 0, 74

57, 71901 137, 719

= σ = ≈

σ σ . El ajuste es “bueno” y directo por ser

un valor superior a 0,7

f) La recta de regresión de x sobre y permite determinar los valores de x para valores conocidos de y: ^xy2

( )

y

x X σ y Y

− = −

σ 4295 66, 08264 1655

x y

55 137, 519 55

 

− =  − ⇒

  y = 0,479837·x + 63,65218 Para x=50 se obtiene un peso de y = 0,479837·50 + 63,65218= 87,64402 segundos

g) 2 xy ²

( )

x y

66, 08264

R 0, 55

57, 71901 137, 719

 σ 

=σ σ  = ⋅ ≈ y en el ajuste anterior la varianza

explicada es: 2 2 xy ²

( )

x y

66, 08264

R 31, 70888

137, 719

σ 

σ = σ  = ≈

Calificaciones

Tiempo 0 1 2 3 4 5

0 – 4 1

4 – 8 2 2 1 8 – 12 7 5 7

12 – 16 2 5 7

16 - 20 1

Prueba de Evaluación Continua Grupo B 3-XI-16

1.- La siguiente tabla recoge las calificaciones de una prueba tipo test de Estadística:

4 2 5 5 7 4 8 4 5 5 6 9 5 2 4 7 7 4 2 7 5 1 6 5 5 3 1 6 4 1 5 0 5 7 5 9 6 2 4 Se pide:

a) Porcentaje de alumnos que obtiene una calificación superior o igual a 6.

b) El Percentil 90.

c) ¿Qué percentil le corresponde a un alumno que tiene una calificación de 8?

d) La moda.

e) Realizar el diagrama de caja.

f) ¿Hay valores atípicos?

(3 puntos)

2.-Dada la distribución de frecuencias de la variable tiempo (segundos) utilizado en la realización del test:

Intervalo ni

400-500 3

500-600 3

600-700 8

700-800 5

800-900 4

900-1000 5

1000-1100 11

Se pide:

a) El tiempo más frecuente.

b) La mediana.

c) Sesgo

(2 puntos)

3.- La siguiente tabla recoge las calificaciones y de la variable tiempo (minutos) utilizado en la realización del test de Estadística

a) Hallar el coeficiente de correlación lineal. Interpretarlo.

b) Si un alumno tiene un 5 ¿cuál será el tiempo estimado?

c) Si un alumno emplea 10 minutos en realizar el test ¿qué calificación se estima que tendrá?

d) Calcular la varianza no explicada o residual por el ajuste lineal de la calificación sobre el tiempo.

(3 puntos)

1.- La siguiente tabla recoge las calificaciones de una prueba tipo test de Estadística:

4 2 5 5 7 4 8 4 5 5 6 9 5 2 4 7 7 4 2 7 5 1 6 5 5 3 1 6 4 1 5 0 5 7 5 9 6 2 4 Se pide:

a) Porcentaje de alumnos que obtiene una calificación superior o igual a 6.

b) El Percentil 90.

c) ¿Qué percentil le corresponde a un alumno que tiene una calificación de 8?

d) La moda.

e) Realizar el diagrama de caja.

f) ¿Hay valores atípicos?

Solución:

xi ni Ni fi Fi

0 1 1 0,02564103 0,02564103

1 3 4 0,07692308 0,1025641

2 4 8 0,1025641 0,20512821

3 1 9 0,02564103 0,23076923

4 7 16 0,17948718 0,41025641

5 11 27 0,28205128 0,69230769

6 4 31 0,1025641 0,79487179

7 ^{5 36} 0,12820513 0,92307692

8 1 37 0,02564103 0,94871795

9 2 39 0,05128205 1

a) Porcentaje de alumnos que obtiene una calificación superior o igual a 6.

4+5+1+2=12 sobre el total de 39, resulta 12/39%

b) El Percentil 90.

El 90% de 39 es igual a 35,1 y en la columna de frecuencias absolutas acumuladas el primer valor que lo excede es 36 que corresponde al 7 = P90

c) ¿Qué percentil le corresponde a un alumno que tiene una calificación de 8?

La frecuencia relativa correspondiente al valor 8 ó menos es 37/39 aproximadamente 0,94871, luego es el percentil 94,87

d) La moda.

Moda es el valor que más se repite que es la calificación de 5.

e) Primer cuartil igual a 4, el primer valor que excede al 0,25 de frecuencia relativa acumulada.

Segundo cuartil o mediana igual a 5, el primer valor que excede al 0,5 de frecuencia relativa acumulada.

Tercer cuartil igual a 6, el primer valor que excede al 0,75 de frecuencia relativa acumulada.

Realizar el diagrama de caja.

Mínimo=0, Q1=4, M=5, Q3=6, Máximo=9

Observando el rango intercuartílico IQR = Q3-Q1= 6-4=2, tenemos como límites

Q1- 1,5 IQ= 1; siendo el límite inferior y existen valores atípicos.

Q3+ 1,5 IQ= 9 siendo el límite superior y no existen valores atípicos.

f) ¿Hay valores atípicos? El cero.

2.-Dada la distribución de frecuencias de la variable tiempo (segundos) utilizado en la realización del test:

Intervalo ni

400-500 3

500-600 3

600-700 8

700-800 5

800-900 4

900-1000 5

1000-1100 11

Se pide: a) El tiempo más frecuente. b) La mediana. c) Sesgo Solución:

Intervalo ni Ni

400-500 3 ₃

500-600 3 ₆

600-700 8 ₁₄ 700-800 5 ₁₉ 800-900 4 ₂₃

0 ,00 2 ,00 4 ,00 6 ,00 8 ,00

notas test



Calificaciones

Tiempo 0 1 2 3 4 5

0 – 4 1

4 – 8 2 2 1 8 – 12 7 5 7

12 – 16 2 5 7

16 - 20 1

900-1000 5 ₂₈ 1000-1100 11 ₃₉ a) El tiempo más frecuente.

La moda está en el intervalo (1000,1100) b) La mediana.

La mediana es el valor que deja a su izquierda el 50% de la población, es decir, n 39

19, 5

2 = 2 = que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por tanto hay interpolar en el intervalo (800,900).

Por consiguiente la mediana es:

( )

j 1 j 1

j

n N a

19, 5 19 100

M e 2 800

n 4

−

−

 − 

  −

 

= + = + = 812,5

c) Sesgo

xi ni xini

(

)

(

)

450 3 ₁₃₅₀ 392130,2 -141770141

550 3 ₁₆₅₀ 205207,1 -53669549,4

650 8 ₅₂₀₀ 208757,4 -33722348,7

750 5 ₃₇₅₀ 18934,91 -1165225,31

850 4 ₃₄₀₀ 5917,16 227583,068

950 5 ₄₇₅₀ 95857,99 13272644,5

1050 11 _{11550 625503 149158398}

Sumas 31650 1552308 -67668639,1

Momentos 811,54 39802,76 -1735093,31

Desv. típica 199,5063 -0,2185008

3

3 1

1 3 3 3

67668639,1

( )

39 1552308

39 µ

σ ⁼ σ

− −

= = = =

 

 

 

∑

i

x X f

g -0,2185008

3.- La siguiente tabla recoge las calificaciones y de la variable tiempo (minutos) utilizado en la realización del test de Estadística

a) Hallar el coeficiente de correlación lineal. Interpretarlo.

b) Si un alumno tiene un 5 ¿cuál será el tiempo estimado?

c) Si un alumno emplea 10 minutos en realizar el test ¿qué calificación se estima que tendrá?

d) Calcular la varianza no explicada o residual por el ajuste lineal de la calificación sobre el tiempo.

Solución

x\y 0 1 2 3 5 ni. xini. xi2ni.

2 1 _{1 2 4}

6 2 2 1 _{5 30 180}

10 7 5 7 _{19 190 1900}

14 2 5 7 14 196 2744

18 1 1 18 324

n.j 3 9 8 12 8 40 436 5152

yjn.j 0 9 16 36 40 101

yj2n.j 0 9 32 108 200 349

_{14 82 84} 140 116

xiyjnij 0 82 168 420 580 1250

RESULTADOS:

X Y

m1 10,9 2,525

m2 128,8 8,725

σ² 9,99 2,349375

m11 31,25

σxy 3,7275

r 0,769412

a) Medias

5 . 1

1

=

=

∑

i

x x n

n =⁴³⁶ 10, 9 40 = ;

5 . 1

1

=

=

∑

j

y y n

n =¹⁰¹ 2,525 40 = Varianzas

5

2 2 2

. 1

1

=

=

∑

x i i

i

x n x σ n

5152 436 2

9, 99

40 40

 

= −  = ;

5

2 2 2

. 1

1

=

=

∑

y j j

j

y n y σ n

349 101 2

2, 349

40 40

 

= −  =

i i i i

xy

x y n

1250 436 101

XY 3, 7275

n 40 40 40

σ =

∑

xy xy

x y

3, 7275

r 0, 77

9, 9 2, 349

= σ = ≈

σ σ . El ajuste es “bueno” y directo por ser un valor superior a 0,7

b) La recta de regresión de x sobre y permite determinar los valores de x para valores conocidos de y: ^{x− =X σ}_σ^xy2

(

)

436 3, 7275 101

x y

40 2, 349 40

 

− =  − ⇒ x = 1,586845466·y + 6,893215197 Para y=5 se obtiene un tiempo de x = 1,586845466·5 + 6,893215197 = 14,83 c) La recta de regresión de y sobre x permite determinar los valores de y para

valores conocidos de x: ^xy2

( )

x

y Y σ x X

− = −

σ 101 3, 7275 436

y x

40 9, 99 40

 

− =  − ⇒

  y = 0,3731231231·x – 1,5420420422

Para x=10 se obtiene una calificación de y = 0.3731231231·10 - 1.542042042= 2,19 d) La varianza residual es σ = −²r

(

)