1221 PRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO INTEGRAL

1221

PRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO

TIPO “A”

7 de diciembre de 2017 Semestre 2018-1

INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.

1. Determina el carácter de la serie

( )

0

1

n

n

n !



=

 +

15 puntos

2. Calcula el valor de b  −1 tal que se cumpla la igualdad.

1

1 9

2 2

−

 +  =

 

 



^{b x dx}

15 puntos

3. Efectúa las integrales:

3 2

2 1

9

−

+ −

  ^x  ^dx

a ) x ang sec x dx b ) dx c )

x x x

30 puntos

1EF18-1A

4. Calcula el área de la región limitada por las gráficas de

y = x

− 2 x

y

y = 6 x − x

10 puntos

5. Traza las curvas de nivel de la función

2 2

2 4 z

x y

= −

+ ^para

1 2

z = y z =

15 puntos

6. Si la altura

h

r

15 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

1221

Solución del Primer Examen Final Tipo “A”

Semestre 2018 – 1

1.

Aplicando el criterio del cociente o de D'Alembert

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

2 1 1 1 1

1 2

1

1 1

1 0 0

2

Si <1, la serie converge, 0 <1 La serie converge

→ →

+

+ + +  + 

= = + =   +  

+

 + 

 =   +   =  = =



n n

n

n ! n ! n n

r n n ! n n n

n !

lim r lim n

n n 



15 puntos

2.

Al efectuar la integral

2

1 1

3

3

3

3 3

1 9

b 2 2 2 2

1 9

2 2 2 2 2

1 9

2 2 2

9 1

8 2

−

−

 

 +  =  +  =

 

   

 

+ −   −   =

+ =

= −

=  =



^{x dx bx x}

b b b

b

b

b b

15 Puntos

S1EF18-1A 3.

Solución

( )

( )

2 2

2

2

2 2

a) Por partes 2

2

1 2

1 1

= =

=  =

−

= −

−

 = − − +



u ang sec x dv xdx

dx x

du v

x x

I x ang sec x x dx

x

I x ang sec x x C

( )

( ) ^{( )}

( )

2 2

2

2

2

b) Por descomposición en fracciones parciales Sea 1

1 1

0 1

1 0 2

1 1

2

2 3 2

1 1

1 1

1

1 1

2

− = + +

+ +

 =  − =

 =  = − + +

− = + + +  

+ =

 =  = +



= =

 + 

 = − + + 

= − + + +



x A Bx C

x x ; x x

si x A

si x B C

x A x Bx C x

B C

si x B C

de donde B y C por lo que

I x dx

x x

I lnx ln x ang tan x

2 1

+

 + 

 

 = + +

 

 

C

I ln x ang tan x C

x

S1EF18-1A

( ) ( )

2

2 1

c) Por sustitución trigonométrica 3sec

9 3 3

3 3

9

=

− =

=

= =

= + + = + − +

 

x

x tan

dx sec tan d sec tan d

I sec d

tan

I ln sec tan C ln x x C





  

    



 

4.

La región es:

( )

( )

( )

4

2 2

0 4

2 0

4

2 3

0

6 2

8 2

2 2

4 64 64

3 3

2 64

64 1 unidades de área

3 3

 

=  − − − 

= −

 

=   −   = −

 

=   −   =





A x x x x dx

A x x dx

A x x

A

30 Puntos

10 Puntos

S1EF18-1A 5.

( )

 

2 2

2

2

2 2

2 2

Si 1

4 4

4 1

Si 2

4 1

1 1 4

0

=

+ =

+ =

=

+ =

+ =

=  −

z

z

x y

x y

z

x y

x y

R z | z ,

6.

2 2

Si

Como el volumen es constante 0 entonces

0

2 2

3 3 2

2 2 2 3 3

3 3

 

=  + 

 

=

−  

  

=  +   =

  



 

 

= − = − = −  

  d V V dr V dh

d t r dt h dt

d V , d t

V dh

V dr V dh dr h dt

r dt h dt dt V

r r dh

dr dt cm

dt rh min

 

 

15 Puntos

15 Puntos