Métodos fasoriales y circuitos equivalentes

MODELADO DE LA MAQUINA SINCRONA PARA ESTUDIOS DE ESTABILIDAD

Ecuaciones de estado de la máquina

Transformada de Park-Ecuaciones en coordenadas de Park Aplicación al régimen estacionario balanceado

Aplicación al régimen transitorio y subtransitorio balanceado Métodos fasoriales y circuitos equivalentes

Parámetros operacionales Tratamiento de la saturación Ecuación de "swing“

Límites operativos de la máquina síncrona

MODELADO DE LA MAQUINA SINCRONA PARA ESTUDIOS DE ESTABILIDAD Parte 1

Ecuaciones de estado de la máquina

Transformada de Park-Ecuaciones en coordenadas de Park

Ecuaciones básicas de circuitos magnéticos Bobina simple

e ₁ =d/dt + r.i =L.i

L=coeficiente de autoinducción=número de enlaces de flujo por unidad de corriente = N ² .P

N=número de vueltas P=permeancia magnética=.S/L

=permeabilidad magnética del medio L,S=longitud,sección de la bobina

Circuitos acoplados

e ₁ = d ₁ /dt + r ₁ .i ₁ e ₂ = d ₂ /dt + r ₂ .i ₂

 ₁ = N ₁ ( _m1 +  _l1 )+N ₁  _m2  ₂ = N ₂ ( _m2 +  _l2 )+N ₂  _m1

 _mk = flujo mutuo generado por la corriente i _k

 _lk = flujo de dispersión generado por la corriente i _k que enlaza sólo el devanado "k“

 _k = L _kk .i _k +L _kj .i _j

L _kk = L _mk +L _lk (inductancia de dispersión + inductancia magnetizante)

= N _k ² .(P+Pa)

L _kj = coeficiente de inducción mutua=N ₁ .N ₂ .P P= permeancia del camino del flujo mutuo

P _a =permeancia del aire

Se resalta que:

Los coeficientes de inducción son proporcionales a la permeancia del camino magnético.

Como las reluctancias de caminos magnéticos en serie se suman, se deduce:

Si el camino magnético incluye entrehierros (“gaps”) en aire,la permeancia

total depende casi exclusivamente de la geometría de esos “gaps”

Coeficientes de inducción de la máquina síncrona a)Estator

 _aa =L _aa0 +L _aa2 .cos2.

 _bb =L _aa0 +L _aa2 .cos2(-120)

 _cc =L _aa0 +L _aa2 .cos2(+120)

 _ab = -(L _ab0 +L _ab2 .cos2(+30))

 _ac = -(L _ab0 +L _ab2 .cos2(+150))

 _bc = -(L _ab0 +L _ab2 .cos2(-90)) b) Rotor-estator

 _afd = L _afd .cos

 _bfd = L _afd .cos(-120)

 _cfd = L _afd .cos(+120)

 _akd = L _akd .cos

 _bkd = L _akd .cos(-120)

 _ckd = L _akd .cos(+120)

 _akq = -L _akq .sen

 _bkq = -L _akq .sen(-120)

 _ckq = -L _akq .sen(+120)

Si la máquina tiene “p” pares de polos,basta con cambiar

 por p en las expresiones anteriores

Se habla de un “ángulo mecánico”  _m y un “ángulo eléctrico”

, en que  = p.  _m c) Rotor

 _fdfd =L _fdfd

 _kdkd =L _kdkd

 _kqkq =L _kqkq

 _fdkq = _kdkq =0

 _fdkd =L _fdkd

Ecuaciones de estado instantáneas en coordenadas de fase Para cada uno de los 6 devanados:

v _j = r _j .i _j + d _j / dt

 _j = - _ja .i _a - _jb .i _b - _jc .i _c + _jfd .i _fd +  _jkd .i _kd +  _jkq . i _kq

con j = a,b,c,fd,kd,kq

Notación matricial:

v _s = v _r = v =

(con v

_kd

=v

_kq

=0)

I _s = i _r = i =

(observar convención de signos!!)

 _s =  _r =  =

R ^s = r _s = r _a = r _b = r _c

 







 







c b a

v v v

 







 







k q k d fd

v v v

 

 





r s

v v

 







 







c b a

i i i

 







 







k q k d fd

i -

i -

i -

 

 





r s

i i

 







 







c b a







 







 







k q k d fd







 

 





r s





 







 







s s s

r r r

0 0

0 0

0

0

r

_fd

R

^r =

r

_kd

r

_kq

R

^s

R =

R

^r

_aa _ab _ac _afd _akd _akq

_ba _bb _bc _bfd _bkd _bkq

L =

_ca _cb _cc _cfd _ckd _ckq

_fda _fdb _fdc _fdfd _fdkd

0

_kda _kdb _kdc _kdfd _kdkd

0

_kqa _kqb _kqc

0 0

_kqkq

L

^ss

L

^sr

L =

L

^rs

L

^rr

Ecuaciones de estado en coordenadas de fase v = d/dt - R. i

 = -L. i

Dificultades para resolver las ecuaciones:

-27 coeficientes de la matriz L dependientes del tiempo

- Sistema fuertemente acoplado (sólo 4 coeficientes de L nulos)

Transformada de Park

-Se dejan invariantes las variables de rotor -Se diagonaliza la matriz de inductancias L ^ss .

t

_p

T =

U

₃

cos cos(-120) cos(+120)

tp = 2/3. -sen -sen(-120) -sen(+120)

1/2 1/2 1/2

 







 







1 0 0

0 1 0

0 0 1

U

₃

=

Notación

t _p . v _s = v _sp =

t _p . i _s = i _sp =

t _p .  _s =  _sp =

T.v = v _p = T.i = i _p = T.Ψ =  _p =

 







 







0 q d

i i i

 







 







0 q d







 







 







0 q d

v v v

 

 





r sp

v

v 



 





r sp

i

i 



 





r sp





Ecuaciones de estado en coordenadas de Park

Se aplica la transformación T en las ecuaciones en coordenadas de fase v _p = d/dt  _p +w.G  _p - R. i _p

 _p = -L _p . I _p

Notación: L _p = T.L.T ^-1 R _p = T.R.T ^-1 = R G = T.d/d (T ^-1 ) w = d/dt

g

_p

0

G =

0 0

0 -1 0

g

_p =

1 0 0

0 0 0

Propiedades de la matriz L _p :

-Ninguno de sus elementos depende del tiempo -Es mucho más esparsa que la matriz original

-A diferencia de la matriz original,no es simétrica

Matriz de inductancias de Park

Ecuaciones en coordenadas de Park desarrolladas v _d =d _d /dt -w. _q -r _s .i _d

v _q =d _q /dt +w. _d -r _s .i _q v ₀ =d ₀ /dt-r _s .i ₀

v _fd =d _fd /dt+r _fd .i _fd 0=d _kd /dt+r _kd .i _kd 0=d _kq /dt+r _kq .i _kq

 _d =-L _d .i _d +L _afd .i _fd +L _akd .i _kd

 _q =-L _q .i _q +L _akq .i _kq

 ₀ =-L ₀ .i ₀

 _fd =-3/2.L _afd .i _d +L _fdfd .i _fd +L _fdkd .i _kd

 _kd =-3/2.L _akd .i _d +L _fdkd .i _fd +L _kdkd .i _kd

 _kq =-3/2.L _akq .i _q +L _kqkq .i _kq

Interpretación física de la transformada de Park:

La transformada de Park “sustituye” los devanados del estator por 3 devanados ficticios (d,q,0) con las siguientes características:

a)El devanado “d” sólo interactúa electromagnéticamente con los devanados “fd” y “kd”.

b)Los coeficientes de inducción propia y mutua del devanado “d” son constantes.

a) y b) nos dicen que el devanado “d” está “montado” sobre el eje directo del rotor

c)En forma análoga: el devanado “q” está “montado” sobre el eje en cuadratura del rotor.

d)El devanado “0” no interactúa electromagnéticamente con el “d” ni con el “q”:

es un devanado ficticio ortogonal al plano d-q

(Si uno realiza el cálculo riguroso de los coeficientes de inducción se puede

verificar que L ₀ no es más que la inductancia de dispersión de los devanados

del estator, resultado que es intuitivamente compatible con la idea de que el

devanado “0” no interactúa con ninguno de los devanados del rotor)

Interpretación física de la transformada de Park

Comentarios:

La idea de “sustituir” los devanados del estator por devanados en el rotor es análoga a la que se usa en el análisis de transformadores,cuando las reactancias de cortocircuito del primario se refieren al lado secundario.

En nuestro caso hay que tener en cuenta adicionalmente que estamos

sustituyendo devanados fijos por devanados giratorios,y el “precio” de esta sustitución es introducir en las ecuaciones tensión-flujo el término w.G.ψ _p (“tensión de velocidad”)

(Este término es el único “discordante” en las ecuaciones de Park:si no fuera

por él las ecuaciones de la máquina en el dominio de Park serían las asociadas a

6 bobinas estáticas interactuando electromagnéticamente)

Comentarios adicionales

1)Si uno quiere introducir los efectos de saturación en la máquina síncrona, es necesario discriminar en cada uno de los coeficientes de autoinducción

asociados al estator el término correspondiente a los flujos de dispersión (aquéllos que no enlazan a otros devanados),los cuáles circulan por

caminos de aire (no saturables):

 _jj = ’ _jj +  _l

’ _jj :término asociado a los flujos que enlazan otros devanados

(inductancia saturable,dado que circula por caminos que involucran al hierro del estator o del rotor)

 _l : término de dispersión,que se supone no dependiente de la posición del rotor Aplicando la transformada de Park :

L _d =L _ad + L _l (inductancia saturable + inductancia de dispersión) L _q =L _aq + L _l

(en que notamos  _l = L _l )

2) Mediante una adecuada selección de valores base (tensión y corriente) en el estator y en cada uno de los devanados del rotor (un total de 8 valores base a escoger) es posible conseguir:

-Que la matriz de inductancias de Park sea simétrica

-Que todas las inductancias mutuas estator-rotor en el eje directo sean iguales e iguales a L _ad

-Que todas las inductancias mutuas estator-rotor en el eje en cuadratura sean iguales e iguales a L _aq

Es habitual suponer,asimismo, L _fdkd  L _ad (en p.u) (físicamente:el

devanado amortiguador de eje directo está muy cerca del estator,por lo que

el flujo generado por el devanado de campo que enlaza a este devanado

amortiguador es casi el mismo que enlaza al estator)

Con estas simplificaciones,la matriz de inductancias de Park

se escribe en p.u de la siguiente forma (muy habitual en la literatura):

Ecuaciones de Park eliminando los flujos:

v _d =-L _d di _d /dt +L _afd .di _fd /dt +L _akd .di _kd /dt –r _s .i _d +w.L _q .i _q -w.L _akq .i _kq v _q =-L _q di _q /dt +L _akq .di _kq /dt –r _s .i _q -w.L _d .i _d + w.L _afd .i _fd +w. L _akd .i _kd v ₀ =-L ₀ .di ₀ /dt- r _s .i ₀

v _fd =-3/2.L _afd di _d /dt +L _fdfd .di _fd /dt +L _fdkd .di _kd /dt +r _fd .i _fd 0 =-3/2.L _akd di _d /dt +L _fdkd .di _fd /dt +L _kdkd .di _kd /dt +r _kd .i _kd 0 =-3/2.L _akq di _q /dt +L _kqkq .di _kq /dt +r _kq .i _kq

Potencia entregada en coordenadas de Park

P _3f = v _a .i _a +v _b .i _b +v _c .i _c = [v _s ] ^t . [i _s ] =(t _p ^-1 . [v _sp ]) ^t t _p ^-1 . [i _sp ] P _3f = 3/2.v _d .i _d +3/2.v _q .i _q +3v ₀ .i ₀

(La potencia no es invariante por la transformada de Park)