Regularidad y existencia de solución de un modelo de ondas en un fluido viscoso

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Universidad del Perú. Decana de América

Dirección General de Estudios de Posgrado

Facultad de Ciencias Matemáticas

Unidad de Posgrado

Regularidad y existencia de solución de un modelo de

ondas en un fluido viscoso

TESIS

Para optar el Grado Académico de Magíster en Matemática Pura

AUTOR

Luis MILLA GARCÍA

ASESOR

Yolanda Silvia SANTIAGO AYALA

Lima, Perú

2019

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Reconocimiento - No Comercial - Compartir Igual - Sin restricciones adicionales

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

Usted puede distribuir, remezclar, retocar, y crear a partir del documento original de modo no comercial, siempre y cuando se dé crédito al autor del documento y se licencien las nuevas creaciones bajo las mismas condiciones. No se permite aplicar términos legales o medidas tecnológicas que restrinjan legalmente a otros a hacer cualquier cosa que permita esta licencia.

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Referencia bibliográfica

Milla, L. (2019). Regularidad y existencia de solución de un modelo de ondas en un fluido viscoso. Tesis para optar el grado de Matemática Pura. Unidad de Posgrado, Facultad de Ciencias Matemáticas, Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú.

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Hoja de metadatos complementarios

 Código ORCID del autor: Sin código

 Código ORCID del asesor: 0000-0003-2516-0871  DNI o pasaporte del autor: 06154319

 Grupo de investigación: Grupo de Ecuaciones Diferenciales, Análisis y Aplicaciones - GEDAAP

 Institución que financia la investigación: Sin financiamiento

Ubicación geográfica donde se desarrolló la investigación:

12°03′30″S 77°05′00″O

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FICHA CATALOGR ´

AFICA

Luis Milla Garcia

Regularidad y existencia de solución de un modelo de on-das en un fluido viscoso, (Lima) 2019.VII., 86p.,29.7cm (UNMSM, Maestr´ıa en Matemática Pura, 2019) Tesis de Maestr´ıa, Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Fac-ultad de Ciencias Matemáticas.

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RESUMEN

Regularidad y existencia de soluci´

on de un modelo de ondas en

un fluido viscoso

Luis Milla Garcia

18 de Noviembre del 2019

Asesor

Grado obtenido

: Dr. Yolanda Silvia Santiago Ayala. : Mag´ıster en Matem´atica Pura.

En esta tesis estudiamos la regularidad, existencia, unicidad y dependencia continua de la solución de la ecuación lineal homogénea KdV-Kuramoto-Sivashinsky

(P) ut+uxxx+β(uxxxx+uxx) = 0 en Hpers−4 con u(0) =φ ∈Hpers considerandoβ una constante positiva, s un n´umero real y denotando por Hs

per al es-pacio de Sobolev periódico de ordens, siguiendo las ideas de [14]. Además, siguiendo estas ideas, incluimos el estudio de la buena colocación del problema de Cauchy asoci-ado a la ecuación del calor y de la onda. Para esto usamos la teor´ıa de Fourier, análisis armónico y la teor´ıa de Semigrupos de operadores lineales.

Palabras claves:

Ondas en un fluido viscoso, existencia de solución, ecuación KdV-Kuramoto-Sivashinski, espacios de Sobolev periódico, teor´ıa de Fourier, semigrupos.

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ABSTRACT

Regularity and existence of solution of a wave model in a viscous fluid

Luis Milla Garcia

November 18, 2019

Adviser

Obtained

: Sc.D. Yolanda Silvia Santiago Ayala. : Master in Pure Mathematics.

In this thesis we study the regularity, existence , uniqueness and continuous dependence of the solution of the homogeneous linear equation of KdV-Kuramoto-Sivashinsky

(P) ut+uxxx+β(uxxxx+uxx) = 0 in Hpers−4 with u(0) =φ∈Hpers considering β a positive constant, s a real number and denoting by Hs

per Sobolev periodic space of orders, following the ideas of [14]. In addition, following these ideas, we include the study of the wellposedness of solution of the Cauchy problem associated with the equation of heat and wave. For this we will use Fourier theory, harmonic analysis and the theory of Semigroups of linear operators.

Keywords:

Waves in a viscous fluid, existence of solution, equation KdV-Kuramoto-Sivashinski, spaces of Sobolev peridic, Fourier theory, semigroups.

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AGRADECIMIENTOS

Al terminar esta etapa de mi vida, quiero expresar mi m´as profundo agradecimiento a todos mis profesores de pregrado y posgrado que con su ayuda, apoyo, paciencia y comprensi´on me alentaron a lograr esta hermosa realidad.

Agradezco a Dios por ser mi fortaleza cada d´ıa, a mis padres, a mis hermanos, Nelly, Jhonny, Betty, Lilly y Eddy, quienes contribuyeron en mi desarrollo personal y acad´emico.

También deseo expresar mi gratitud, a mi maestra y tutora Dra. Yolanda Silvia Santiago Ayala por su apoyo y sus consejos para culminar satisfactoriamente el obje-tivo trazado; a los docentes de la Facultad de Ciencias Matemáticas UNMSM. Gracias a mi compañera Silvia Chavarria Dominguez por su apoyo moral y a mis compañeros de carpeta de pregrado, a Luz Victoria Gomez por su apoyo en una etapa de mi vida y a mis compañeros de la maestr´ıa.

Finalmente agradezco eternamente y de manera muy especial a mi hijo, Luis David Milla Gomez, quien comparte mis alegr´ıas y ´exitos en mi vida.

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DEDICATORIA

Este trabajo lo dedico a mis padres, hermanos y de manera especial a mi Hijo LUIS DAVID MILLA GOMEZ.

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CONTENIDO

1 Preliminares 4

1.1 Espacios de Funciones y Sucesiones Peri´odicas . . . 4

1.2 Distribuciones Peri´odicas . . . 8

1.3 Series de Fourier en _P′ _{. . . .} ₁₅

1.4 Espacios de Sobolev Peri´odico . . . 18

1.5 Espacios y Operadores . . . 21

1.6 Un C´alculo Funcional . . . 22

1.7 El problema de Cauchy peri´odico . . . 24

2 Dos Ecuaciones Lineales de Evoluci´on 26 2.1 Existencia y unicidad de la ecuaci´on del calor en Hs per . . . 26

2.1.1 Enfoque v´ıa Semigrupos . . . 30

2.2 Existencia y unicidad de la ecuaci´on de onda en Hs per . . . 36

3 Ecuaci´on KdV-Kuramoto-Sivashinsky 47 3.1 Aspectos f´ısicos del modelo no lineal de Kuramoto-Sivashinsky . . . . 47

3.1.1 Ecuaciones b´asicas . . . 48

3.1.2 Derivaci´on de la ecuaci´on de onda larga. . . 48

3.2 Enfoque intuitivo v´ıa Fourier . . . 49

3.3 Enfoque v´ıa Semigrupos . . . 55

3.4 Comportamiento de uβ cuandoβ →0 . . . 61

3.5 Enfoque v´ıa Grupos . . . 69

4 Conclusiones 75

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Introducci´

on

Las ecuaciones diferenciales parciales de evolución tienen gran importancia dentro de la matemática actual debido al papel que juegan dentro de la formulación de modelos para describir fenómenos dinámicos de las ciencias f´ısicas y naturales.

Uno de los aspectos de mayor interés en el estudio de las ecuaciones de evolución es lo relacionado con la regularidad, existencia, unicidad y dependencia continua de la solución del problema de Cauchy o problema de valores iniciales (PVI) asociado a la ecuación de evolución.

Empezamos recordando que la ecuaci´on de Kuramoto-Sivashinsky (K-S):

ut+uux+uxx+uxxxx= 0

data de mediados de 1970. La primera derivación fue hecha por Kuramoto en el estudio de ecuaciones de reacción-difusión modelando la reacción Belonsov-Zabotinski. Dicha ecuación fue también desarrollada por Sivashinsky en dimensiones más altas en láminas temperadas frontales. Por otro lado, la bien conocida, ecuación no lineal de KdV

ut+uux+uxxx = 0

as´ı como la K-S fueron estudiadas por muchos autores, podemos citar por ejemplo Bona J.L., en [3]. Kato T., en [7] y otros. Del acoplamiento de los dos modelos se deduce el modelo para ondas en un fluido viscoso KdV-Kuramoto-Sivashinsky:

(P) ut+uxxx +β(uxxxx+uxx) = 0 en Hs−4 con u(0) =φ∈Hs

considerandoβuna constante positiva,sun n´umero real yHs_{denotando por al espacio} de Sobolev peri´odico de ordens.

F´ısicamente es un modelo que describe, en una dimensión espacial, la propagación de ondas en medios viscosos. Nos preguntamos si modelo posee solución, y si existe, ¿es ´

unica?. En efecto, se consigue probar la existencia y unicidad de solución del PVI (P), y además, que la solución depende continuamente respecto al dato inicial. También estudiamos la regularidad y el comportamiento asintótico de la solución.

Algunos trabajos de la existencia v´ıa semigrupos de operadores lineales fueron desar-rollados por Liu, Z. and Zheng, S. [10], Mu˜noz Rivera [11], Pazy, A. [12], Yolanda Santiago [14,15].

El presente trabajo, en su totalidad, esta constituido por tres cap´ıtulos que describire-mos a continuaci´on:

El cap´ıtulo 1 recoge los resultados conocidos de la teor´ıa de Fourier, análisis armónico, análisis funcional, teor´ıa de Operadores, espacios de Sobolev periódico, y teor´ıa de semigrupos de operadores lineales que serán necesarios a lo largo del mismo.

El cap´ıtulo 2 presenta ideas y resultados, del método a aplicar en dos ecuaciones lin-eales clásicas como son: la ecuación de calor y la ecuación de onda.

El cap´ıtulo 3 empieza mostrando algunos aspectos f´ısicos del modelo tridimensional y la derivación al modelo unidimensional que se estudia en esta tesis. Seguidamente se estudia la ecuación lineal homogénea de KdV-Kuramoto-Sivashinsky, siguiendo las

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ideas del art´ıculo [14], esto es, usando las propiedades y estimativas de los espacios de Sobolev de forma intuitiva, y luego aplicando el método de semigrupos de operadores lineales. Además estudiamos la regularidad y el comportamiento asintótico de dicha solución en la sección 3.4.

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1 Preliminares

El objetivo de este cap´ıtulo es recoger algunos resultados conocidos acerca de Análisis Funcional, Análisis Armónico, Teor´ıa de Operadores lineales y Teor´ıa de Semigupos, que serán necesarios a lo largo del trabajo.

1.1 Espacios de Funciones y Sucesiones Peri´

odicas

En esta sección presentaremos la notación y algunos de los espacios que utilizaremos en este y los siguientes cap´ıtulos. Una descripción mas detallada de algunos contenidos de esta sección puede consultarse en [4,5,6,8,13,16].

Sean X e Y espacios de Banach. Denotaremos por _B(X, Y) el espacio de todas las transformaciones lineales T : X _→ Y. El espacio dual de X, es decir, el espacio de todos los funcionales lineales continuosT :X _→Y enX, es denotado por X′_.

Si H es un espacio de Hilbert, denotaremos el producto interno por _h·|·i y siempre asumiremos que es lineal en la primera variable y conjugado lineal en la segunda.

Definición 1. Una función f :R_→C _{es llamada periódica con periodo} _T ₆_{= 0} _si:

f(x+T) = f(x), _∀x_∈R_.

El menor periodo T >0 es llamado periodo fundamental de f.

Ejemplo 1. Las funciones

Ψk(x) = cos kπx l , Φk(x) = sen kπx l , k _∈Z+_,

definidas para x _∈ R_{, son peri´odicas con per´ıodo} ₂_l_{; para cada} _k _∈ Z+_{, el periodo}

fundamental de Ψk y Φk es 2_kl.

Ejemplo 2. La funci´on

Θk(x) = exp(ikx), k∈Z,

es peri´odica de periodo fundamental 2π k.

Presentamos ahora algunos de los espacios de funciones peri´odicas que utilizaremos. Denotemos por Cn

per[−l, l], n ∈ N, la colecci´on de todas las funciones f : R → C de claseCn _{y peri´odicas con periodo 2}_l_{. En el caso}_n _{= 0, escribiremos simplemente}_C

per. Este espacio es un espacio de Banach respecto de la norma:

kf_kCn per = n X j=0 kf(j)_k∞, dondef _∈Cn

per[−l, l] y ||.||∞ es la norma del supremo, definido por: kg_k∞=sup

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donde g _∈ Cper[−l, l]. Usaremos la notaci´on Cper∞ para el espacio de las funciones peri´odicas infinitamente diferenciables de periodo 2l. Es claro que Cn

per[−l, l]⊂Cper[−l, l], ∀n_∈Z_{. Nosotros podemos definir otras normas en}_C_per_[₋_{l, l}_{], como la norma}_L1_:

kf_kL1 = Z l −l| f(x)_|dx, (1.1) o la norma L2_: kf_kL2 = Z l −l| f(x)_|2 1 2 dx. (1.2)

La norma L2 _{proviene de un producto interno:}

hf, g_i=

Z l −l

f(x)g(x)dx. (1.3) Sin embargo,Cper[−l, l] no es completo con respecto a estas dos ultimas normas.

Definici´on 2. Sea a =x0 < x1 < ... < xn = b una partici´on del intervalo [a, b]. Una

funci´on de valores complejosf definido en Sn_j₌₀−1(xj, xj+1) es llamadacontinua por partes

si f es continua en cada uno de los intervalos (xj, xj+1) y f tiende a un l´ımite finito

cuando x_∈(xj, xj+1) tiende a xj o xj+1, j = 0,1, ..., n−1.

Denotaremos porP Cper[−l, l] el espacio de todas las funciones peri´odicas de valores complejos de periodo 2lque son continuas por partes. Denotaremos porP Cn

per[−l, l], el conjunto de todas las funcionesf _∈P Cper[−l, l], tal que existe una partici´on −l=x0 <

x1 < ... < xn =ldel intervalo [−l, l] conf ∈Cn(xj, xj+1) para todoj = 0,1, ..., m−1 y

f(k) _∈_{P C}

per[−l, l] para todok = 1, ..., m. Denotaremos adem´as por P Cper∞[−l, l] para el conjunto de funciones que pertenecen a P Cn

per[−l, l], para todo n ∈ Z+. Debemos remarcar que las normas L1 _y _L2 _{definidas en} _C

per[−l, l] no son normas en P Cper, pues existen funciones no nulasf _∈P Cper con kfkLP = 0. Desde que todas las otras

propiedades de una norma son satisfechas, cada una de las ecuaciones (1.1) y (1.2) define una seminorma, como en la siguiente definici´on:

Definici´on 3. SeaV un espacio lineal. Una seminorma en V es un mapeo_k·k:V _→R

tal que:

a) _kf_k>0, para todof _∈V,

b) _kαf_k=_|α_|kf_k, para todoα_∈C_{, f} _∈_V,

c) (desigualdad triangular) _kf+g_k6_kf_k+_kg_k, para todof, g _∈V.

Observaci´on 1. Todav´ıa podemos hablar de convergencia en un espacio lineal con una seminorma; sin embargo, debemos tener en cuenta que perdemos la unicidad en este contexto. El enfoque habitual en estos casos es definir una relaci´on de equivalencia tal que todos los elementos con seminorma cero sean equivalentes, y luego trabajar en el espacio cociente.

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Además de los espacios de funciones, encontraremos varios espacios de sucesiones. Nuestra sucesión, en general, utilizará el conjunto de todos los enteros como su conjunto de ´ındices, en lugar del conjunto de enteros positivos. Denotemos por c0 = c0(Z) el espacio de todas las sucesiones complejasα= (αn)n∈Z tal que:

lim

|n|→∞αn= 0.

l∞ ₌_l∞₍_Z_{) denota el conjunto de todas las sucesiones complejas acotados}_α_{= (}_α n)n∈Z. Denotamos porl1 ₌_l1₍_Z_{) el espacio de todas las sucesiones complejas} _α_{= (}_α

n)n∈Z tal que: kα_kl1 = X n∈Z |αn|<∞,

y por l2 ₌_l2₍_Z_{) el espacio de las funciones complejas} _α_{= (}_α

n)n∈Z tal que:

X

n∈Z

|αn|2 <∞.

Todos estos espacios son espacios de Banach, adem´as l2 _{es un espacio de Hilbert, con} producto interno:

hα, β_i=X n∈Z

αnβn.

Observación 2. Note que la función periódica f de periodoT > 0puede identificarse, de forma natural, con las funciones g definidas en el c´ırculo unitario S′ ₌ _{_z _∈ _C _: |z_| = 1_} por f(t) = g exp i2_Tπt para t _∈ [0, T]. La teor´ıa de la serie de Fourier se vuelve muy natural en este contexto y este será el punto de vista adoptado en este y los próximos cap´ıtulos. La ”transformada de Fourier”, generalmente, está asociado con el caso no periódico. La serie de Fourier y la teor´ıa de la integral de Fourier, de hecho, son instancias de una estructura más general: la hermosa teor´ıa del Análisis armónico en grupos abelianos localmente compactos. Tanto el c´ırculo unitario como la recta agrupan localmente a los grupos abelianos. En el caso compacto del c´ırculo, obtenemos una representación como serie; en el caso no compacto, pero localmente compacto de la recta, obtenemos una integral en lugar de la serie.

Dado que, sin perdida de generalidad, podemos desarrollar nuestra teor´ıa solo para las funciones peri´odicas de periodo 2π, para simplificar la notaci´on denotaremos

C∞

per[−π, π], Cpern [−π, π], Cper[−π, π], P Cper∞[−π, π], P Cpern [−π, π] yP Cper[−π, π] simple-mente porC∞

per, Cpern , Cper, P Cper∞, P Cpern yP Cper, respectivamente. En adelante estare-mos considerando series de Fourier de funciones continuas por partes periódicas de pe-riodo 2π. De hecho, como se verá en la siguiente sección, las series de Fourier se pueden definir en un espacio muy ”grande” que consiste en funciones periódicas generalizadas que contienen todos los espacios de funciones que consideramos en esta sección.

Definici´on 4. Seaf _∈P Cper.La transformada de Fourier def es la sucesi´on compleja Ff =fb=fb(k) k∈Z definida por: (_Ff(k)) = fb(k) =ck= 1 2π Z π −π f(x)e−ikxdx.

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Los n´umeros fb(k) =ck son los coeficientes de Fourier de f y la serie ∞

X

k=−∞

ckeikx

es la serie de Fourier generada por f.

Proposici´on 1. El mapeo _F : f _7→ fbes es una transformaci´on lineal continua de

(Cper,k · kL1) en l∞(Z).

Demostraci´on_. _{la linealidad se deriva de la propiedad correspondiente para} inte-grales. Seguidamente: |fb(k)_{| ≤} 1 2π Z π −π| f(x)_|dx= 1 2πkfkL1,∀k ∈Z. En consecuencia, bf l∞ =sup k | b f(k)_{| ≤} 1 2πkfkL1.

Esto finaliza la prueba

Notemos que como los elementos de Cper son funciones acotadas, tambi´en se tiene:

bf l∞ =sup k bf(k)_≤ 1 2πkfkL1 ≤ kfk∞.

Es importante discutir en qu´e sentido la serie de Fourier generada por una funci´on

f _∈ P Cper representa la funci´on. Este es un asunto bastante delicado. Hay muchas maneras de considerar la convergencia de la serie. Cabe preguntarse por la convergencia puntual. M´as precisamente, sif _∈P Cper, nos gustar´ıa saber si:

f(x) = lim N→∞ N X k=N ckeikx.

para todos los puntos x donde f es continua y lo que sucede en los puntos de discon-tinuidad. Tambi´en se puede preguntar sobre la convergencia con respecto a las normas

Lp_,₁_≤_p_{≤ ∞}_{. Como veremos a lo largo de esta secci´on y la siguiente, la convergencia}

L2_{, a saber} lim N→∞ f − N X K=−N ckΘk 2 L2 = lim N→∞ Z π −π f(x)− N X K=−N ckeikx 2 dx= 0,

es, en muchos aspectos, el escenario más natural para el estudio de la convergencia de la serie de Fourier generadaf.En la siguiente sección consideraremos varias topolog´ıas donde la serie converge a la función que lo generó.

El teorema m´as usado para garantizar convergencia absoluta y uniforme de sucesiones de funciones es el siguiente resultado conocido como el M-test de Weierstrass.

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Teorema 1. Sea _{fn} una sucesi´on de funciones de variable real o compleja definidas

en un conjuntoA, y supongamos que para cada_{fn} existe una constante positiva Mn

tal que, |fn(x)| ≤Mn, ∀x∈A, ∀n∈N y ∞ X n=1 Mn <∞. Entonces la serie P∞ n=1

fn(x) es absoluta y uniformemente convergente. En particular, si

el conjuntoA es un espacio topol´ogico y las funciones fn son continuas enA, entonces

la serie converge a una funci´on continua.

Demostraci´on_. _{Para cada} _x_en_A _{la serie}P∞

n=1|fn(x)|converge, según la prueba de comparación; en consecuencia P∞_n₌₁fn(x) converge (absolutamente). Además, para todox enA tenemos: |f(x)₋[f1(x) +...+fN(x)]|= ∞ X n=N+1 fn(x) ≤ ∞ X n=N+1 |fn(x)| ≤ ∞ X n=N+1 Mn.

Al serP∞_n₌₁Mn convergente, el n´umeroP∞_n₌_N₊₁Mn puede hacerse tan peque˜no como se quiera, eligiendoN suficientemente grande.

Definici´on 5. Seaαyβdos sucesiones. Entonces la convoluci´on deαyβesta definida por: (α_∗β)k = +∞ X j=−∞ αjβk−j. Siempre que exista.

Lema 1. Sea a, b _∈ [0,_∞) y s > 0. Entonces existen constantes positivas ms y Ms

dependiendo ´unicamente de s tal que:

ms(as+bs)≤(a+b)s≤Ms(as+bs).

Demostraci´on_. _{Ver p´agina 205 de [6].}

Proposici´on 2 (Desigualdad de Young). Sea α_∈l1 _y _β _∈_l2_{. Entonces} _α_∗_β _∈_l2 _y:

||α_∗β_||l2 ≤ ||α||_l1||β||_l2.

1.2 Distribuciones Peri´

odicas

En esta sección, introducimos una clase de funciones generalizadas especialmente ade-cuadas para el estudio de series de Fourier, y ecuaciones diferenciales provistas con condiciones de contorno periódicas. El concepto de función generalizada, como su propio nombre lo indica, se utiliza para generalizar la noción de función y el cálculo habitual, y puede emplearse para construir escenarios adaptados al estudio de diversos

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problemas de la f´ısica matemática y su generalización. De hecho, la teor´ıa de las fun-ciones generalizadas está ´ıntimamente relacionada con el desarrollo de la matemática aplicada y la f´ısica teórica durante la primera mitad del siglo XX. En términos gen-erales, una función generalizada es un cierto tipo de funcional lineal, definida en un espacio de funciones de prueba. La razón de esta terminolog´ıa se aclarará a medida que avancemos. En este punto, vale la pena observar que las propiedades de las fun-ciones generalizadas reflejan las propiedades de la función de prueba en las que se definen. Por ejemplo, una función generalizada es tan diferenciable (en un sentido generalizado) como lo son las funciones de prueba correspondientes (en el sentido ha-bitual). Las distribuciones son clases especiales de funciones generalizadas introducidas por L.Schwartz a principios de 1950. En esta sección estudiaremos las denominadas distribuciones periódicas, que están diseñadas para adaptarse al estudio del problema de Cauchy periódico. Una descripción mas detallada de algunos contenidos de esta sección puede consultarse en [1,2,4,6,9,11].

Definici´on 6. El conjunto de todas las funciones φ : R _→ C _{los cuales son de clase}

C∞ _{y peri´odicas de periodo} ₂_π _{es denotado por} _P ₌_C∞ per.

Observaci´on 3. _P es claramente un sub-espacio vectorial deCn

per,∀n∈N. Se prueba

tambi´en que _P es denso en Cn

per con respecto a las normas del supremo y Lp,1 ≤

p _{≤ ∞}, pero no es completo en ninguna de esas normas (caso contrario _P seria cerrado en Cn

per y, desde que P es denso en Cpern , concluir´ıamos que P = Cpern , es

una contradicci´on). En efecto no hay una norma natural con respecto al cual _P es un espacio de Banach. Sin embargo, existe una distancia natural mediante el cual _P es completo. En efecto, se puede probar que:

d(φ, ψ) = ∞ X j=0 2−j kφ (j) −ψ(j)_k∞ 1 +_kφ(j)₋_ψ(j)_k ∞

para φ, ψ _{∈ P} , donde _k._k∞ es la norma del supremo en el intervalo [₋π, π]. As´ı se define una m´etrica en_P y queφnP→φ si y solo si kφn(j)−φ(j)k∞→0cuando n → ∞

para todo j = 0,1,2, .... Esta noci´on de convergencia es muy fuerte: φn y todas sus

derivadas convergen uniformemente sobre R _(hacia _φ _{y sus derivadas). En particular}

P

φn→φ implica que φn →φ con respecto a todas las normas Lp,1≤p≤ ∞. Como se

ver´a, esto es muy conveniente para nuestros prop´ositos.

Teorema 2. (_P, d) es un espacio m´etrico completo. Adem´as, si (φn) ⊂ P y φ ∈ P,

entonces:

d

φn →φ⇐⇒ kφ(nj)−φ(j)k∞ →0,∀j ≥0.

Pasamos ahora al estudio de la transformada de Fourier en _P. Sea f _{∈ P}. El k-´esimo coeficiente de Fourier de f es definido por:

b f(k) = 1 2π Z π −π f(x)e−ikxdx

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para todak _∈Z_{. Denominaremos como la transformada de Fourier de}_f _{a la sucesi´on}

complejafb= (fb(k))k∈Z. La serie asociada a f es:

∞ X

k=−∞ b

f(k)eikx.

Corolario 1. Para todo φ _{∈ P}, SN(φ) P

→ φ, donde SN(φ) denota la n-´esima suma

parcial de la serie de Fourier generada porφ.

La prueba es sencilla considerando queφ _{∈ P} es infinitamente diferenciable,

|k_|j_|φb(k)_|=_|(φ(j))∧(k)_|,_∀k_∈Z_,_∀_j _≥₁_. En consecuencia, ∞ X k=−∞ |k_|j_|φb(k)_|<_∞,_∀j = 0,1,2, .. (1.4) En vista de estos comentarios, es natural introducir el siguiente espacio vectorial.

Definici´on 7. El espacio de las sucesiones r´apidamente decreciente, denotado por

S(Z₎_{, es el conjunto de todas las sucesiones de valores complejos} _α_{= (}_α_k₎_k_∈Z tal que:

∞ X k=−∞ |k_|j_|αb(k)_|<_∞, (1.5) para todaj _∈N_. Proposici´on 3. α = (αk)k∈Z ∈ S(Z) (1.6) si y s´olo si: kα_k∞,j =sup k∈Z(|αk||k| j₎_< ∞,_∀j _∈N_. _(1.7)

Demostraci´on_. _Si_α_{∈ S}₍Z₎_,₍₁_._{6) implica que}_|_k_|j_|_α

k| →0 cuandok → ∞para todo

j, en consecuencia (1.7) es verdadero. Inversamente, asumiendo que (1.7) es verdadero, tenemos: ∞ X k=−∞ k6=0 |k_|n_|αk|= ∞ X k=−∞ k6=0 |k_|−2_|k_|n+2_|αk| ≤ kαk∞,n+2 ∞ X k=−∞ k6=0 |k_|−2 <_∞.

En lo que sigue consideraremos _S(Z_{) como espacio m´etrico completo provisto con}

la distancia: d∗(α, β) = ∞ X j=0 2−j kα−βk∞,j 1 +_kα₋β_k∞,j , α, β_{∈ S}(Z₎_, donde: kα_k∞,j =sup k∈Z(|αk||k| j₎_.

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Note que la sucesi´on (αn)∞n=1 ⊂ S(Z) converge hacia α∈ S(Z), con respecto a d∗, si y

solo si_kαn−αk∞,j →0 cuandon → ∞para todoj = 1,2, ... En este caso escribiremos

αn S →α.

La desigualdad (1.5), combinado con la definici´on (6), implica que _{P ⊆ S}b (Z_{). Se}

prueba que estos dos espacios son iguales. En este punto es conveniente introducir la siguiente definici´on:

Definici´on 8. Sea α = (αk)k∈Z ∈ S(Z). La transformada inversa de Fourier de α es

la funci´on: ∨ α(x) = ∞ X k=−∞ αkeikx, x∈R.

El siguiente teorema ilustra la relaci´on entre _P y _S(Z_{) v´ıa la transformada de}

Fourier.

Teorema 3. La transformada de Fourier ∧ _: _{P → S}₍_Z₎ _{es un isomorfismo y un}

homeomorfismo, esto es, lineal, uno a uno, sobre_S(Z₎_{, y continua con inversa continua}

(respecto a las m´etricas d y d∗).

Seguidamente introduciremos el espacio de distribuciones peri´odicas y estudiaremos sus propiedades b´asicas.

Definición 9. (Distribución Periódica). Un funcional lineal en _P, T : _{P →} C_{, es}

llamado una distribución periódica si existe una sucesión (Ψn(x))n≥1 ⊂ P tal que:

T(ϕ) = _hT, ϕ_i= lim n→∞

Z π −π

Ψn(x)ϕ(x)dx,∀ϕ∈ P. El conjunto de las distribuciones peri´odicas denotaremos por _P′_.

No es dif´ıcil probar que_P′ _{es un espacio vectorial complejo. El primer ejemplo, y quiz´a,}

el más simple de una distribución periódica, son los elementos deCper.

Teorema 4. Sea f _∈Cper. Entonces la f´ormula: hTf, ϕi=

Z π −π

f(x)ϕ(x)dx, ϕ _{∈ P}, (1.8)

define una distribuci´on peri´odica Tf. El mapeo f ∈ Cper → Tf ∈ P′ es lineal, uno

a uno y continua en el sentido que si (fn)∞n=1 ⊂ Cper converge uniformemente a f.

Entonces, _hTfn, ϕi → hTf, ϕi para todo ϕ∈ P.

El teorema anterior muestra que, cualquier funci´on en Cper puede ser aproximada uniformemente por funciones en_P.

Observaci´on 4. Existen distribuciones peri´odicas que no tiene la forma Tf con f ∈

Cper. Un ejemplo de este tipo es la funci´on delta de Dirac δx centrada en x∈R, hδx, φi=φ(x), φ ∈ P.

(22)

Para la prueba ver p´agina 140 de [6].

Observación 5. La fórmula del teorema 4puede ser usado para definir distribuciones periódicas Tf con f en espacios mas generales, como el espacio P Cper (espacio de las

funciones periódicas continuas por partes). Otro ejemplo en un nivel bastante elemental es la colección de todas las funciones periódicas f : R _→ C_{, tal que} _f _y _|_f_| _son

integrables. El siguiente ejemplo ilustra cómo aproximar la función escalón periódico usando elementos de _P.

Ejemplo 3. Sea H la funci´on peri´odica de Heaviside, definida:

H(x) =

0, si ₋π < x_≤0,

1, si 0< x_≤π, H(x+ 2π) = H(x),_∀x_∈R_.

Mostraremos que H(x) define una distribución periódica mediante la fórmula:

hTH, φi= Z π −π H(x)φ(x)dx= Z π 0 φ(x)dx, φ_{∈ P}. (1.9)

En efecto; por la linealidad de la integral es fácil ver que (1.9) define un funcional lineal TH :P → C. Seguidamente mostraremos que TH es una distribución periódica. Consideremos la sucesión de funciones dadas por:

Ψn(x) =          exp₋ 1 nxexp −1 1−nx , si 0< x < 1/n, 1, si 1/n_≤x_≤π, exph₋₁₋_n₍1_x₋_π₎exp_n₍_x−₋1_π₎i, si π < x < π+ 1/n, 0, si π+ 1/n_≤x_≤2π Ψn(x+ 2π) = Ψn(x), ∀x∈R.

Se sigue que Ψn(x)∈ P,Ψn(x)→H(x) y que 0≤Ψn(x)≤1 para todo x∈R. Siϕ _{∈ P} se tiene: Z 1/n 0 Ψn(x)ϕ(x)dx ≤ Z 1/n 0 | ϕ(x)_|dx_→0, Z π+1/n π ϕ(x)dx ≤ Z π+1/n π | ϕ(x)_|dx_→0, cuandon _{→ ∞}, en consecuencia: lim n→∞ Z π −π Ψn(x)ϕ(x)dx=lim n→∞ "Z 1/n 0 Ψn(x)ϕ(x)dx # + lim n→∞ "Z π 1/n Ψn(x)ϕ(x)dx+ Z π+1/n π Ψn(x)ϕ(x)dx # = Z π 0 ϕ(x)dx=_hTH, ϕi.

(23)

Esto concluye la prueba.

Tenga en cuenta que podr´ıamos haber usado, en el ejemplo anterior, cualquier funci´on

g diferente de H solo en un n´umero finito de puntos, ya que, en este caso,

Z π −π g(x)ϕ(x)dx= Z π −π H(x)ϕ(x)dx

para todoϕ_{∈ P}. Como H no es continuo, esto no contradice el teorema 4. El mapeo

f _→Tf es uno a uno solo para f ∈Cper.

Observación 6. Hasta ahora, todas las funciones utilizadas para definir distribu-ciones periódicas están acotadas. Es importante destacar que las fundistribu-ciones no aco-tadas también se pueden utilizar para definir elementos de _P′_{, algunos de los cuales}

son muy importantes. Esto se hace usando (1.8) en el caso de funciones integrables o generalizando esa f´ormula en t´erminos de valores principales. Sin embargo, no todas las funciones no acotadas definen distribuciones.

Antes de continuar, es conveniente introducir una noci´on de convergencia en _P′_.

En vista del teorema 4, parece natural definir la convergencia de sucesiones en P′

puntualmente.

Definici´on 10. Decimos que la sucesi´on (Tn)⊂ P′ converge a T ∈ P′ si hTn, ϕi → hT, ϕi cuando n → ∞,∀ϕ∈ P.

En este caso escribiremos Tn P

′

→T.

Observación 7. Esta noción de convergencia en _P′ _{es muy débil. Se puede mostrar,}

por ejemplo, que si una sucesi´on (fn)⊂P Cper converge en cualquiera de las

seminor-mas Lp_,₁_≤_p_{≤ ∞} _{hacia alguna funci´on} _f_{, entonces} _f _{∈ P}′ _y _f n

P′

→f. Note adem´as que si T y Ψn son como en la definici´on 9, tenemos que Ψn

P′

→ T, as´ı cualquier dis-tribución periódica puede ser aproximada por una sucesión de distribuciones definidas por elementos de _P.

Nuestro siguiente paso es extender algunas operaciones b´asicas aP′_{para generalizar}

el cálculo habitual al contexto de distribuciones periódicas. El procedimiento estándar para esto es el siguiente: Escribimos la operación en cuestión en lenguaje de distribución y usamos el resultado para definir la operación para distribuciones. Una vez hecho esto siempre se debe verificar si el objeto recién introducido es un elemento deP′_.

Definici´on 11. Sea f _{∈ P}′_{. La derivada distribucional} _f′ _de _f _{es definida por la}

relaci´on:

hf′, ϕ_i=_−hf, ϕ′_i, ϕ _{∈ P}.

Se prueba que f′ _{tambi´en es una distribuci´on. En general para} _j _∈_N hf(j), ϕ_i= (₋1)j_hf, ϕ(j)_i, ϕ _{∈ P}.

Ejemplo 4. La derivada de la funci´on delta de Dirac es dada por:

(24)

Ejemplo 5. La funci´on: f(x) = 0, si ₋π < x_≤0, x, si0< x_≤π, f(x+ 2π) =f(x), _∀x_∈R_,

define una distribución periódica por la fórmula usual, es decir,

hf, φ_i= Z π −π f(x)φ(x)dx= Z π 0 xφ(x)dx. (1.10) Adem´as, f′ =H₋πδπ.

Donde H es la funci´on de Heaviside.

En efecto, la ecuaci´on (1.10) define un funcional lineal de_P enC_{. Probaremos que}

f _{∈ P}′_{. Primero aproximamos}_f _{por una sucesi´on (}_f

n)∞n=1 ⊂Cper y luego aproximamos cada fn por un Ψn ∈ P. Sea

fn(x) =

f(x), si ₋π < x_≤π₋1/n,

(nπ₋1)(π₋x), si π₋1< x_≤π, fn(x+ 2π) =f(x),∀x∈R.

Ahora, consideremos Ψn ∈ P tal quekfn−Ψnk ≤1/n. Entonces, para todoϕ ∈ P,

Z π −π f(x)ϕ(x)dx₋ Z π −π Ψn(x)ϕ(x)dx ≤ Z π −π [f(x)₋fn(x)]|ϕ(x)|dx + Z π −π [fn(x)−Ψn(x)]ϕ(x)dx ≤ Z π π−1/n| f(x)₋fn(x)||ϕ(x)|dx+kfn−Ψnk∞ Z π −π| ϕ(x)_|dx ≤π Z π π−1/n| ϕ(x)_|dx+ 1 n Z π −π| ϕ(x)_|dx_→0 ,cuandon _{→ ∞}.

Se sigue quef _{∈ P}′_{. La derivada distribucional de}_f _{puede ser obtenida de la definici´on}

de derivada. Tenemos: hf′, ϕ_i=_h−f, ϕ′_i=₋ Z π 0 xϕ′(x)dx =₋xϕ(x)_|π₀ + Z π 0 ϕ(x)dx=₋πϕ(π) + Z π 0 ϕ(x)dx =_h−πδπ+H, ϕi. En consecuencia f′ ₌_H₋_πδ π.

Observación 8. Note que la función f en el ejemplo anterior es continua pero no diferenciable, en el sentido usual (clásico), en todos los puntos de la forma 2nπ, n_∈Z_.

En los puntos de la forma (2n + 1)π, f tiene un salto de tama˜no ₋π = f(((2n + 1)π)+₎₋_f₍₍₍₂_n _{+ 1)}_π₎−_{) =} _f₍_π+₎₋_f₍_π−₎_{. Sin embargo,} _f _{es diferenciable, en el}

(25)

sentido cl´asico, en todos los puntos que no son m´ultiplos enteros de π y f′ ₌ _H₍_x₎_.

As´ı, la ecuaci´on f′ ₌ _H ₋_πδ

π, nos dice que la derivada distribucional de f, es la

suma de su derivada cl´asica y la funci´on delta de Dirac de magnitud π centrada en

x = π. Esta forma de comportamiento es t´ıpica: las derivadas distribucionales de la función, con interrupciones de salto (finitas), contienen funciones δ centradas en las discontinuas, y las intensidades son iguales al tamaño del salto. Más precisamente, se tiene el siguiente resultado.

Proposici´on 4. Sea f _∈P C1

per y sea −π =x0 < x1 < ... < xn =π una partici´on del

intervalo [₋π, π] tal que f _∈C1₍_x

j, xj+1)para todo j = 1,2, ... Si denotamos por _dxdf la

derivada cl´asica def, entonces su derivada distribucional f′ _{est´a dada por}

f′ = df dx + n X j=1 [f(x+_j)₋f(x−_j)]δxj.

Tenga en cuenta que en los puntos donde f es continuo (incluso si _dxdf no lo es) no hay una funci´on δ, desde que f(x+_j ) =f(x−_j ) en todos esos puntos.

Observación 9. En general no es posible definir el producto de distribuciones periódicas. Sin embargo, dado que el producto de cualquiera de dos elementos de _P también es un elemento de_P, es posible multiplicar distribuciones periódicas por funciones de prueba.

Definición 12. Sea ψ _{∈ P} y f _{∈ P}′_{. El producto} _ψf _{es la distribución periódica}

definida por la f´ormula:

hψf, φ_i=_hf, ψφ_i,_∀φ_{∈ P}.

Es fácil ver en la definición, en efecto, queψf es una distribución periódica. Tenga en cuenta que la fórmula habitual para la derivada de un producto se mantiene desde, que para todoφ _{∈ P},

h(ψf)′, φ_i=_−hψf, φ′_i=_−hf, ψφ′_i

=_hf, ψ′φ_{i − h}f, ψ′φ_{i − h}f, ψφ′_i

=_hψ′f, φ_{i − h}f,(ψφ)′_i =_hψ′f +ψf′, φ_i.

1.3 Series de Fourier en

_P

′

En esta sección se extenderá la teor´ıa de Fourier a_P′_{. Para mas información consultar}

[6,9,14,15].

Como en la secci´on (1.2) usamos la notaci´on:

Θk(x) =eikx, x∈R, k ∈Z.

Para motivar la definición de la transformada de Fourier de una distribución periódica, sea: f _∈ Cper([−π, π]) ⊂ P′. Desde que Θk ∈ P para todo k ∈Z, podemos reescribir

b f(k) como: b f(k) = 1 2π Z π −π f(x)e−ikxdx= 1 2hf,Θ−ki. Esta observaci´on lleva a la siguiente definici´on:

(26)

Definici´on 13. La transformada de Fourier de f _{∈ P}′ _{es la funci´on} _fb _: _Z _→ _C

definida por la f´ormula:

b f(k) = 1 2πhf,Θ−ki, k ∈Z. Adem´as, Sn(f)(x) =Sn(f, x) = n X k=−n b f(k)Θk

es llamada la n-´esima suma parcial de la serie de Fourier asociada a f.

El siguiente teorema muestra que la sucesi´on: (Snf)∞n=∞ converge siempre hacia f

en_P′_.

Teorema 5. Sea f _{∈ P}′_{. Entonces:} _S

n(f)∈ P,∀n∈N y Sn(f) P′

→f .

Demostraci´on_. _{Ver p´agina 188 en [6].}

En vista del teorema anterior, podemos escribir:

f = ∞ X k=−∞ b f(k)Θk = lim n→∞Sn(f), f ∈ P ′_,

donde el l´ımite es tomado en el sentido de_P′_.

Observaci´on 10. Note que el teorema 5 generaliza el teorema de Weierstrass en _P′_:

toda distribución periódica puede ser aproximada, en el sentido de_P′_{, por una sucesión}

de polinomios trigonom´etricos. Otra consecuencia trivial del teorema 5 es la siguiente versi´on de la identidad de Parseval.

Corolario 2. Sea φ_{∈ P} yf _{∈ P}′_{. Entonces} hf, φ_i= 2π ∞ X k=−∞ b f(k)φb(₋k).

Demostraci´on_. _{Dado que} _ϕ _{∈ P}_{, entonces:} _ϕ_{∈ P}′ _y _ϕ_b₍_k_{) =} 1

2πhϕ,Θ−ki. En consecuencia: hf, ϕ_i= * _∞ X k=−∞ b f(k)Θk, ϕ + = lim n→∞ * _n X k=−n b f(k)Θk, ϕ + = lim n→∞ n X k=−n b f(k)_hΘk, ϕi= lim n→∞ n X k=−n b f(k)2πϕ_b(₋k) = 2π ∞ X k=−∞ b f(k)ϕ_b(₋k)

Ahora estamos en condiciones de demostrar que _P′ _{es el conjunto de todos los}

funcionales continuos de_P enC_{. Ya sabemos que cada elemento de}_P′ _{es un funcional}

lineal continuo sobre _P. El argumento empleado en la prueba de teorema 5 se puede adaptar para demostrar que la igualdad se mantiene.

(27)

Teorema 6. _P′ _{es el dual topol´ogico de} _P_{, es decir,} _P′ _{es precisamente la colecci´on}

de todos los funcionales continuos de _P en C_.

El siguiente paso es dar una caracterizaci´on completa de _P′ _{en t´erminos de la}

transformada de Fourier. Para lograrlo, introducimos la siguiente definici´on:

Definici´on 14. La sucesi´on compleja (αn)n∈Z es dicho de crecimiento lento si existe

C >0 y N _∈N _{tal que:}

|αk| ≤C|k|N, ∀k∈Z− {0}.

El conjunto de todas las sucesiones de crecimiento lento es denotado por: _S′₍_Z₎_.

Esta notaci´on parece indicar que _S′₍_Z_{) es el espacio dual de} _S₍_Z_{). De hecho,}

mostremos primero que cualquier sucesi´on de crecimiento lento define un funci´on lineal en_S(Z_).

Proposici´on 5. Si α = (αk)∈ S′(Z), entonces la expresi´on: hTα, βi=

X

k∈Z

αkβk, ∀β ∈ S(Z) (1.11)

define un funcional lineal continuo Tα:S(Z)→C.

Demostraci´on_. _{Primeramente, la serie en (1}_._{11) converge desde que:}

X k∈Z αkβk ≤ X k∈Z |k_|N_|βk|=Ckβk∞,N <∞. (1.12) Como_S(Z_{) es un espacio topol´ogico localmente convexo de Hausdorff con la topololog´ıa}

inducida por la familia de seminormas:

kβ_k∞,j =sup

k∈Z(|βk||k|

j₎_{, j} ∈N_,

Tα es continuo si y solo si existe una constante C > 0 y un conjunto finito de enteros positivos_{j1, ..., jn} tal que:

|hTα, βi| ≤C n

X

l=1

kβ_k∞,jl.

Pero esto, se sigue inmediatamente de: (1.12)

Observaci´on 11. Desde que _S′₍_Z₎ _{es claramente un espacio vectorial complejo,}

pode-mos convertirlo en un espacio vectorial topológico, definiendo la topolog´ıa de la con-vergencia puntual. Se puede probar que _S′₍_Z₎ _{es el dual topológico de} _S₍_Z₎_{, esto es,} S′(Z₎ _{es la colección de todos los funcionales continuos en:} _S₍Z₎_.

El siguiente teorema muestra por qu´e_S′₍_Z_{) es tan importante.}

Teorema 7. Sea: α = (αk)k∈Z ∈ S′(Z). Entonces, existe una ´unica f ∈ P′ tal

que fb = α. Rec´ıprocamente, si f _{∈ P}′ _entonces: _fb _{∈ S}′₍_Z₎_{. En otras palabras,}

(_P′₎∧

=_S′₍_Z₎_.

(28)

1.4 Espacios de Sobolev Peri´

odico

En esta sección introducimos los llamados espacios de Sobolev (de tipo L2_{). Como} veremos en los cap´ıtulos siguientes, son extremadamente útiles en el análisis de las ecuaciones diferenciales parciales que deseamos estudiar en un sentido. Estos espacios proporcionan una clasificación de los elementos de_P′ _{en términos de su suavidad. Una}

descripci´on mas detallada de algunos contenidos de esta secci´on puede consultarse en [6,9,14,15].

Definici´on 15. Sea s_∈ R_{. El espacio de Sobolev} _Hs

per =Hpers ([−π, π]) es el conjunto

de todos los f _{∈ P}′ _{tal que:}

kf_k2_s = 2π

∞ X

k=−∞

(1 +_|k_|2)s_|fb(k)_|2 <_∞.

En otras palabras, una distribuci´on f esta en el espacio de Sobolev Hs

per si y s´olo si: (1 +_|k_|2₎s/2_fb₍_k₎

k∈Z ∈ l

2 ₌ _l2₍_Z_{). Denotemos por} _l2

s = l2s(Z) el espacio de todas las sucesionesα= (αk)k∈Z con

kα_kl2 s = " 2π ∞ X k=−∞ (1 +_|k_|2)s_|αk|2 #1/2 . As´ıf _∈ Hs per si y s´olo si b f(k) k∈Z ∈ l 2 s; en este caso, kfks =kfbkl2

s. Es f´acil ver que

para todos_∈R_{, H}s

per es un espacio de Hilbert, con respecto al producto interno: hf_|g_i_s = 2π

∞ X

k=−∞

(1 +_|k_|2)sfb(k)_bg(k).

En el caso s = 0, obtenemos el espacio de Hilbert que es isom´etricamente isomorfo a: L2_([₋_{π, π}_{]), el conocido espacio de clases de equivalencia de funciones cuadrado} integrables en el sentido de Lebesgue. En lo que sigueH0

per a menudo se denotar´a por

L2per.

Proposici´on 6. Se satisface la siguiente inclusi´on:

P ⊂H_pers , _∀s_∈R_,

adem´as, dicha inclusi´on es densa, i.e. Pk·kHs_per

=Hs

per, ∀s∈R.

Proposici´on 7. Sea: s, r tal que: s _≥ r, entonces: Hs

per ֒→ Hperr , i.e. Hpers est´a

inmerso continuamente y densamente en: Hr per y kf_kr ≤ kfks, ∀f ∈Hpers .

En particular, tenemos que sis _≥0, entonces:

(29)

Además, vale la identificación isométricamente isomorfo

H_pers _≡H_per−s, _∀s_∈R_,

donde la dualidad es implementada por el par:

< f , g >= 2π +∞ X k=−∞ ˆ f(k) ˆg(k), _∀f _∈H_per−s, g _∈H_pers . (1.13) Demostraci´on_. _{Se tiene que 1}_≤_{(1 +}_k2_{) entonces se cumple (1 +}_k2₎r_≤_{(1 +}_k2₎s _si

r_≤s, y de esto se obtiene

0_≤ (1 +k 2₎r

(1 +k2₎s ≤1 si r ≤s. (1.14) Ahora, usando (1.14) tenemos:

k_X=∞ k=−∞ (1 +_|k_|2)r_|fb(k)_|2 = k_X=∞ k=−∞ (1 +_|k_|2₎r (1 +_|k_|2₎s | {z } ≤1 (1 +_|k_|2)s_|fb(k)_|2 ≤ k_X=∞ k=−∞ (1 +_|k_|2)s_|fb(k)_|2 <_∞. (1.15) siempre que f _∈Hs

per y multiplicando por: 2π a ambos lados de la desigualdad (1.14) obtenemos que: f _∈Hr

per si f ∈Hpers (i.e. Hpers ⊂Hperr ), adem´as: kf_kr ≤ kfks

con esto se ha probado la inclusi´on continua. A seguir, probaremos que la inclusi´on es densa, i.e. Hs_per =Hr

per. En efecto, basta mostrar queHperr ⊂H s per. Sea: g _∈Hr

per. Entonces, usando la densidad de P en Hperr tenemos que existe gn ∈ P tal que gn → g en Hperr . Como tambi´en P ⊂ Hpers entonces gn ∈ Hpers y gn → g en la norma_||._||r en consecuencia g ∈H

s per. Sif _∈H−s

per la igualdad (1.13) nos permite definir Lf como: Lf(g) =hf, gi,∀g ∈Hpers . Esta Lf es un funcional continuo en: Hpers . Esto es, Lf es lineal con kLfk ≤ kfk−s i.e. Lf ∈ (Hpers )′. Sea ψ ∈ (Hpers )′. Utilizando el teorema de representaci´on de Riesz, tenemos que: _∃!φ _∈Hs

per tal que:

kφ_ks =kψk (1.16) y hψ, g_i=_hg, φ_is,∀g ∈Hpers (1.17) = 2π k_X=∞ k=−∞ b g(k)(1 +_|k_|2₎s_φb₍_k₎ _(1.18) sabemos que: φ_∈Hs per entonces ((1 +_|k_|2)2sφb(k)) k∈Z ∈l2 (1.19)

(30)

Si definimos como

b

f(k) := (1 +_|k_|2₎s_φb₍_k₎_,_∀_k_∈_Z _(1.20) vemos que: f _∈H−s

per. En efecto de la definici´on de fb(k), (1.18) y (1.20) se tiene: k_X=∞ k=−∞ (1 +_|k_|2)−s_|fb(k)_|2 = k_X=∞ k=−∞ (1 +_|k_|2)−s(1 +_|k_|2₎s_φb₍_k₎2 = k_X=∞ k=−∞ (1 +_|k_|2)s_|φb(k)_|2 <_∞ (1.21) De (1.18) tenemos que existe: f _∈H−s

per tal que: hψ, g_i= 2π k_X=∞ k=−∞ b g(k)fb(k) =_hf, g_i,_∀g _∈Hpers (1.22) De (1.21) y (1.16) tenemos que kf_k2₋_s =_kφ_k2_s =_kψ_k2

de donde concluimos que: _kf_k−s =kψk. Esto es (Hpers )′ es isom´etricamente isomorfo aH−s

per.

Teorema 8. Si s > 1₂ entonces se verifican. 1. La serie de Fourier de f _∈Hs

per converge absoluta y uniformemente en: [−π , π],

i.e., la serie de Fourier de f

+∞ X

k=−∞

ˆ

f(k)eikx

converge absolutamente y uniformemente en [₋π , π]. 2. Lema de inmersi´on de Sobolev: Hs

per ֒→ Cper y hace corresponder a f ∈ Hpers la

funci´on g _∈Cper, donde g(x) = ∞ P k=−∞ b f(k)eikx _{y satisface} kg_k∞ ≤ kfkl1 ≤Ckfk_s, ∀f ∈Hs per. (1.23)

Definici´on 16. Sea f, g _∈ Hs

per con s > 12 debido al lema de inmersi´on de Sobolev

podemos definir el producto de f con g por:

< f g, φ >=

Z π −π

f(x)g(x)φ(x)dx, φ_{∈ P}.

Vemos que f, g _∈Cper ⊂ P′ y se prueba que con este producto Hpers es un ´algebra de Banach siempre que: s > 1₂.

Teorema 9. Si s > 1₂, entonces Hs

per es un ´algebra de Banach. En particular, existe

una constante positiva dependiendo ´unicamente de s, tal que:

kf g_ks ≤Cskfkskgks,∀f, g∈Hpers .

(31)

1.5 Espacios y Operadores

En esta sección daremos las nociones de semigrupos y grupos unitarios de operadores sobre espacios de Banach. Estos operadores son muy útiles al resolver el problema de Cauchy (PVI) abstracto de tipo periódico. Una descripción mas detallada de algunos contenidos de esta sección puede consultarse en [10,11,12,16].

Definición 17. Un álgebra de Banach es un espacio de Banach X, con un producto (x, y) _∈ X _×X _→ xy _∈ X tal que, _∀x, y, z _∈ X y _∀r _∈ Z la siguiente afirmación es válida:

(a) (xy)z =x(yz),

(b) r(xy) = (rx)y=x(ry), (c) (x+y)z =xz+yz, (d) _kxy_kX ≤ kxkXkykX.

Definición 18. Sea X un espacio de Banach. Un semigrupo paramétrico fuertemente continuo enX (o simplemente un semigrupo de clase C0) es una aplicación

S: [0,_∞)_→L(X) tal que.

1. S(0) =I dondeI es el operador identidad enL(X), 2. S(t+r) = S(t)S(r),_∀t, r_∈(0,_∞),

3. lim

t→0+kS(t)φ−φk= 0,∀φ∈X,

y ser´a denotado por: _{S(t)_}t≥0.

Observaci´on 12. Si _{S(t)_}t≥0 es un semigrupo de clase C0 entonces satisface: lim

t→rkS(t)φ−S(r)φk= 0,∀r∈[0,∞),∀φ ∈X,

esto es, la aplicaci´on de [0,_∞) a X enviando t a S(t)φ es continuo.

Definici´on 19. Si _{S(t)_}t≥0 es un semigrupo de clase C0 y satisface:

kS(t)_kL(X) ≤1,∀t ∈[0,∞)

entonces diremos que el semigrupo de claseC0 es de contracci´on.

Definici´on 20. Sea Hj, j = 1,2 espacios de Hilbert. Un operador T ∈ B(H1, H2) es

una isometr´ıa si _kT h_kH1 =khkH2 para todo h∈ H1 (en particular T es inyectiva).

T es unitario si es una isometr´ıa sobre H2.

Definici´on 21. SeaH un espacio de Hilbert. Un grupo unitario uniparam´etrico fuerte-mente continuo en H es un mapeo t_∈R_→_T₍_t₎_{∈ B}₍_H₎ _{tal que:}

(a) T(t) es unitario para todo t _∈R_, (b) T(t+t′_{) =} _T₍_t₎_T₍_t′₎_, _∀_{t, t}′ _∈_R_, (c) lim

t→t′kT(t)φ−T(t

′₎_φ_k

H = 0, ∀t∈R.

Note que tomando t = t′ _{= 0} _en ₍_b₎ _{concluimos que} _T_{(0) =} _I_{. Es decir, un grupo}

(32)

1.6 Un C´

alculo Funcional

En esta sección introducimos un cálculo funcional asociado con el operador D= 1 i∂x, esto es, construiremos funciones deD. La idea es exactamente el mismo que el empleado en la definición de funciones de un operador auto-adjuntado en espacios vectoriales de dimensione finita. Sea X un espacio vectorial N-dimensional complejo con producto interno _h, _iX. Si A : X → X es un operador auto-adjunto, el teorema espectral garantiza la existencia de un conjunto ortonormal completo de autovectores deA, esto es, una colección_{x1, x2, . . . , xN} ⊂X, tal que:

Axk=λkxk, k = 1,2, . . . , N, hxk, xji=δkj y cualquier vectorx_∈X puede ser escrito ´unicamente en la forma:

x= k_X=∞ k=−∞ b x(k)xk, donde: k _{∈ {}1,2, . . . , N_{} →}x_b(k) =_hx, xkiX ∈C

es la trasformada de Fourier dexcon respecto al conjunto ortonormal_{x1, x2, . . . , xN}. Siq:_{λ1, λ2, . . . , λN} →C, nosotros ponemos

q(A)x= k_X=∞ k=−∞

q(λk)hx, xkiXxk.

En particular, el operador de identidad en X y el mismo A se pueden escribir como funciones de A, eligiendo q(λk) = 1 y q(λk) = λk para todo k ∈ {1,2, . . . , N} respec-tivamente. Aunque no estamos en condiciones de discutir el auto-adjunto de D en este punto, tenemos un conjunto completo de autofunciones a nuestra disposici´on. En efecto, la colecci´on: ∼ Θk = (2π)− 1 2Θ k = (2π)− 1 2eikx, donde, Θ k(x) = eikx, k∈Z (1.24) es tal conjunto en el siguiente sentido. Estas funciones satisfacen

DΘ∼k = 1 i∂x ∼ Θk= 1 i∂x 1 √ 2πe ikx = 1 i ik √ 2πe ikx ₌_k_√1 2πe ikx =k√1 2πΘk =k ∼ Θk luego DΘ∼k =k ∼ Θk, ∀k ∈Z y f =√2π k_X=∞ k=−∞ b f(k)Θ∼k, ∀f ∈ P′

(33)

donde esta serie converge en _P′ _{(y en} _Hs

per cuando f ∈ Hpers ). Adem´as, este conjunto de funciones es ortonormal con respecto al producto interno de L2_.

D∼ Θk, ∼ Θj E = Z π −π ∼ Θk(x) ∼ Θj(x)dx=δkj, ∀k, j ∈Z.

En particular, la serie de Fourier def _{∈ P}′ _{puede considerarse como una expansi´on de}

f en t´erminos de autofunciones de D que pertenecen al valor propio k.

En el caso finito dimensional no hay restricciones en la funci´on q. Sin embargo, en el caso deD, la suma finita ser´a reemplazada por una serie infinita, por lo que debemos especificar una clase admisible de funciones para asegurar la convergencia. Esto no es dif´ıcil de hacer. Tenga en cuenta que sif _{∈ P}′ _y _q_{∈ S}′₍_Z_{) existen}_{N, N}′ _∈_N_{tal que:} |q(k)_{| ≤}C_|k_|Ny_|fb(k)_{| ≤ |}k_|N′,_∀k _∈Z_{− {}₀_} _(1.25) resulta que: q(k)fb(k)_≤CC′_|k_|N+N′,_∀k _∈Z_{− {}₀_} As´ıqfb=q(k)fb(k)∞ k=−∞∈S

′₍_Z₎_. _{Gracias a esto podemos definir} _q₍_D_). Definici´on 22. Si q _{∈ S}′₍_Z₎ _y _f _{∈ P}′_{, entonces} _q_fb_{= (}_q₍_k₎_fb₍_k₎₎ k∈Z ∈ S′(Z). Defini-mos q(D)f = k_X=∞ k=−∞ q(k)fb(k)eik(.),_∀f _{∈ P}′, D = 1 i∂x,

donde la serie converge en_P′_{. Note que tambi´en podemos escribir asi}

q(D)f =q(.)fb(.)∨ =q∨_∗f, _∀f _{∈ P}′.

El mapeoq _→q(D) tiene las siguientes propiedades.

Proposici´on 8. Sea q_{∈ S}′₍_Z₎_{. Entonces} _q₍_D₎_{es un operador lineal y continuo de} _P′

en si mismo. Adem´as,

(q1+λq2)(D) =q1(D) +λq2(D) (q1q2)(D) = q1(D)q2(D).

Demostraci´on_. _{Veamos primero la linealidad. Sea} _f _{∈ P}′_{, entonces}

(q1+λq2)(D)f = (q1+λq2)∨∗f = (q∨₁ +λq₂∨)_∗f =q∨ 1 ∗f+λq2∨∗f =q1(D)f+λq2(D)f = (q1(D) +λq2(D))f en consecuencia: (q1+λq2)(D) =q1(D) +λq2(D).

(34)

Por otro lado (q1q2)(D)f = (q1q2)∨∗f = (q∨₁ _∗q₂∨)_∗f =q₁∨_∗(q₂∨_∗f) =q₁∨_∗(q(D)f) =q1(D)(q2(D)f) = [q1(D)q2(D)]f luego (q1q2)(D) =q1(D)q2(D).

Es natural preguntarse acerca del comportamiento de q(D) en Hs

per. En general, no se tiene q(D)(Hs

per) ⊆ Hpers . En efecto, D mismo mapea Hpers en Hpers−1 y es f´acil verificar que Df _∈Hs

per si y solo sif ∈Hpers+1.

Proposici´on 9. Sea q _{∈ S}′₍_Z₎ _{satisfaciendo la condici´on (}_1.25_{). Entonces:} _q₍_D₎ _∈ B(Hs

per, Hpers−N) y satisface

||q(D)f_||s−N ≤C||f||s.

Demostraci´on_. _{Nosotros tenemos:}

kq(D)f_k2_s₋_N = 2π k_X=∞ k=−∞ (1 +k2)s−Nq(k)fb(k)2 ≤C k_X=∞ k=−∞ (1 +k2)s−N_|k_|N_|fb(k)_|2 ≤C k_X=∞ k=−∞ (1 +k2)s_|fb(k)_|2 =C_||f_||2_s,_∀f _∈H_pers .

1.7 El problema de Cauchy peri´

odico

En los cap´ıtulos siguientes desarrollaremos tres ecuaciones lineales homogéneas de evolución. Una descripción mas detallada de algunos contenidos puede consultarse en [6,7,9,11,12].

Consideremos el Problema de Cauchy peri´odico, es decir, de la siguiente forma: Sea q= (q(k))∞

k=−∞∈ S′(Z) de valores reales, y

q(D)f =q(_·)fb(_·)∨, f _{∈ P}′. (1.26) Sea µ _≥ 0 y s _∈ R _{fijo. Se tiene el problema de Cauchy peri´odico en el espacio de}

Sobolev dado: v _∈C([0,+_∞i, Hs per), ∂tv+iq(D)v =µ∂x2v, v(0) =φ _∈Hs per. (1.27)

(35)

Se prueba que dicha ecuación esta bien puesta. mas precisamente, que tiene una única solución y que dicha solución depende continuamente del dato inicial. Nuestro enfoque es considerar la ecuación diferencial parcial en (1.27) como una ecuación diferencial ordinaria en los espacios de Banach apropiados. Como se observa, se necesitan al menos dos de estos espacios en general; uno donde vive la solución y otro para acomodar la derivada del tiempo. Note que el problema de Cauchy (1.27) contiene un gran número de importantes ecuaciones periódicas. En efecto, siq= 0 yµ >0, tenemos la ecuación del calor mientras que si q(k) = k2 _y _q₍_k_{) =} ₋_k3 _con _µ_{= 0, conducen a la ecuación} lineal de Schrodinger y de Korteweg-de Vries respectivamente. En la ecuación lineal homogénea de Kuramoto-Sivashinsky, motivo de la tesis, se tieneq(k) = k3₋_β₍_k4₋_k2₎ y µ= 0.

Nuestra primera tarea es aclarar el significado de la derivada en el tiempo en (1.27). De la proposici´on 9, se tiene que q(D))_{∈ B}(Hs

per, Hpers−N) y ∂x2 =−D2 ∈(Hpers , Hpers−2). En consecuencia,

(µ∂_x2₋iq(D))f _∈H_perθ , θ=min_{s₋N, s₋2_{} ∀}f _∈H_perθ . (1.28) As´ı que, sives una soluci´on de (1.27), debemos tener∂tv(t)∈Hperθ , θ =min{s−N, s−2}. Por lo tanto, es natural requerir que la derivada en el tiempo exista en esta topolog´ıa, es decir, lim h→0 v(t+h_h)−v(t) −(µ∂x2−iq(D))v(t) θ = 0. (1.29)

Observación 13. El cálculo funcional sera utilizado para probar, mas adelante, el buen planteamiento de la solución del problema de Cauchy de la ecuación KdV-Kuramoto-Sivashinsky v´ıa semigrupos. Pero antes utilizaremos estos resultados en la solución del problema de Cauchy de dos ecuaciones lineales homogéneas de evolución, como son, la ecuación del calor y la ecuación de la onda, usando solamente la transformada de Fourier, estimativas y propiedades de los espacios de Sobolev. Además en el caso de la ecuación del calor daremos una version usando semigrupos.

(36)

2 Dos Ecuaciones Lineales de Evoluci´

on

En este cap´ıtulo, siguiendo las ideas de [6,14,15], aplicaremos los métodos que usaremos en el estudio de la ecuación de KdV-Kuramoto-Sivashinsky, a la ecuación del calor y de la onda. En el primera sección usamos la transformada de Fourier, estimativas de los espacios de Sobolev periódico y luego el método de los semigrupos para obtener la buena colocación del problema del calor.

2.1 Existencia y unicidad de la ecuaci´

on del calor

en

H

_pers

Discutiremos ahora el problema de Cauchy para la ecuación unidimensional, lineal y homogénea del calor, en el espacio de Sobolev periódico dado. Primero de forma intuitiva, es decir, obtendremos formalmente la solución v´ıa la transformada de Fourier y luego se prueba en detalle que efectivamente es solución del problema de Cauchy. Esta ecuación se obtiene de (1.27), haciendo q= 0, µ= 1 y debe satisfacer (1.28) y (1.29)

Teorema 10. Sea s fijo, y la ecuaci´on:

(L) u_∈C([0,+_∞i, Hs per) ∂tu(t) =∂x2u(t)∈Hpers−2, u(0) =φ_∈Hs per.

Entonces (L) posee una ´unica soluci´on u_∈C([0,_∞i, Hs

per), el cual depende

continua-mente del dato inicial.

Demostraci´on_. _{Hemos organizado la prueba de la siguiente forma:}

1. Primero obtenemos, formalmente, el candidato a la solución. En efecto, supong-amos queues una solución de (L). Entonces tomamos la transformada de Fourier a la ecuación:

∂tu(t) =∂x2u(t) la cual debe satisfacer

(Lk) b u_∈C([0,+_∞i, l2 s(Z)), ∂tbu(t) =−k2bu(t), b u(0) =φb_∈Hs per.

Donde u_b(k) = (u(t,_·))∧₍_k_{) para todo} _k _∈_Z_{. Este es un sistema no acoplado de}

ecuaciones diferenciales ordinarias cuya soluci´on es:

b

(37)

se deduce que la soluci´on, si existe, debe ser: u(t) = ne−k2tφb(_·)o∨,_∀t_∈[0,_∞) = ∞ X k=−∞ b u(k)φk= ∞ X k=−∞ e−k2tφb(k)φk u(t, x) = ∞ X k=−∞ e−k2tφb(k)φk(x), (2.1) donde φk(x) =eikx con |φk|= 1.

3. Ahora, probaremos que u(t) es continua

ku(t)₋u(t′)_k2_Hs = 2π ∞ X k=−∞ (1 +k2)se−k2tφb(k)₋e−k2t′φb(k)2 = 2π ∞ X k=−∞ (1 +k2)s_|φb(k)_|2 e −k2_t −e−k2t′ | {z } H(t):= 2 . (2.3) Se observa que lim

t→t′H(t) = 0. Ahora necesitamos la convergencia uniforme de la

serie para el intercambio de l´ımites. Para esto, tomamos el k-´esimo t´ermino de la serie (2.3) y lo mayoramos por una serie convergente, es decir,

Ik,t = 2π(1 +k2)s|φb(k)|2|H(t)|2 ≤4π(1 +k2₎s_|_φb₍_k₎_|2_,

donde hemos usado la desigualdad triangular (propiedad de la norma) y el hecho de que e−k2_t <1 en consecuencia ∞ X k=−∞ Ik,t ≤2kφk2Hs,

(38)

entonces, por el M-test de Weierstrass la serie (2.3) converge absoluta y uniforme-mente a una funci´on continua en t, luego podemos intercambiar el l´ımite y, en consecuencia lim t→t′ku(t)−u(t ′₎ k= ∞ X k=−∞ lim t→t′Ik,t = 0, es decir u(t) es continua en t.

4. Seguidamente probaremos que la derivada satisface la ecuaci´on:

∂tu(t) =∂x2u(t) dicha derivada se calcula en la topolog´ıa de Hs−2

per , es decir, u(t+h_h)−u(t) −∂x2u(t) 2 Hs−2 →0 cuando h_→0. En efecto, u(t+h_h)−u(t)−∂x2u(t) 2 Hs−2 = 2π ∞ X k=−∞ (1 +k2)s−2 u(t+h)₋u(t) h ∧ (k)₋(∂_x2u(t))∧(k) 2 = 2π ∞ X k=−∞ (1 +k2)s−2_|φb(k)_|2 e−k2₍_t₊_h₎ −e−k2_t h ! +k2e−k2t 2 = 2π ∞ X k=−∞ (1 +k2)s−2_|φb(k)_|2e−2k2t e−2k2_h −1 h +k 2 | {z } M(h):= 2 . (2.4)

Aplicando L’Hospital se observa que lim

h→0M(h) = 0. Necesitamos la convergencia uniforme para intercambiar los l´ımites. Para esto mayoramos el k-´esimo t´ermino de la serie (2.4) Ik,h = 2π(1 +k2)s−2|φb(k)|2e−2k 2 t e−2k2_h −1 h +k 2 2 . Observemos que si h >0: e−k2_h −1 h = 1 h Z h 0 ∂ ∂s(e −k2_s −1)ds= Z h 0 1 h(−k 2_e−k2_s )ds luego e−k2_h −1 h ≤ Z h 0 1 h|k| 2_ds₌ 1 h|k| 2_s h 0 =_|k_|2.