BLOQUE III Estadística y probabilidad

(1)

BLOQUE

III

Estadística y probabilidad

11. Probabilidad

12. Inferencia estadística.

Estimación por intervalos

(2)

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

11

Probabilidad

■

Piensa y calcula

En una baraja española de 40 cartas, ¿cuántas figuras hay? Solución:

Las figuras son las sotas, los caballos y los reyes, en total 12 cartas.

1. Operaciones con sucesos

1. Sea el experimento de lanzar un dado de quinielas. Halla: a) el espacio muestral o suceso seguro.

b) los sucesos elementales. Solución:

a) E = {1, X, 2} b) {1}, {X}, {2}

2. En el experimento de lanzar un dado de seis caras nu-meradas del 1 al 6, halla:

a) el espacio muestral o suceso seguro.

b) el suceso A, formado por los números impares. c) el suceso B, formado por los números primos. d) el suceso C, formado por los números pares. e) ¿A y B son compatibles o incompatibles? f ) ¿A y C son compatibles o incompatibles? g) ¿B y C son compatibles o incompatibles? Solución: a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) A = {1, 3, 5} c) B = {2, 3, 5} d) C = {2, 4, 6} e) A B = {3, 5} òA y B son compatibles. f) A C = Ø òA y B son incompatibles. g) B C = {2} òA y B son compatibles. 3. Sean E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10, 11, 12}, A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11}. Calcula: a) A B b) A B c) A— d) B— Solución: a) A B = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11} b) A B = {3, 5, 7, 11} c) A—= {2, 4, 6, 8, 10, 12} d) B—= {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12} 4. Sean E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 3, 5, 7}. Calcula: a) A – B b) B – A

c) Comprueba la ley de Morgan: = A——B d) Comprueba la ley de Morgan:

= A——B Solución: a) A – B = {1} b) B – A = {2} c) A B = {1, 2, 3, 5, 7} = {4, 6, 8} A — = {2, 4, 6, 8}, B—= {1, 4, 6, 8} A — —B= {4, 6, 8} d) A B = {3, 5, 7} = {1, 2, 4, 6, 8} A — = {2, 4, 6, 8}, B—= {1, 4, 6, 8} A — —B= {1, 2, 4, 6, 8} A »B A «B A »B A «B

● Aplica la teoría

(3)

■

Piensa y calcula

Se lanzan dos dados de seis caras. ¿Qué suma de puntos tiene la máxima probabilidad? Solución:

La máxima probabilidad la tiene la suma 7, porque es el que más veces se presenta. 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 y 6 + 1

2. Regla de Laplace

5. Se toman cuatro cartas diferentes de una baraja, dos cincos, un seis y un siete. Las cartas se ponen boca aba-jo sobre una mesa y se mezclan al azar. Determina la probabilidad de que, al darles la vuelta, todas las cartas estén ordenadas en orden creciente si los dos cincos son indistinguibles.

Solución:

Se aplica directamente la regla de Laplace: P(5567) =

6. Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:

a) A = Se obtiene cinco en alguno de los dados. b) B = Se obtiene un doble (los dos dados presentan la

misma puntuación).

c) A B d) A B Solución:

a) Se aplica directamente la regla de Laplace. P(A) =

b) Se aplica directamente la regla de Laplace. P(B) =

c) Se aplica directamente la regla de Laplace. P(A B) =

d) Se aplican las propiedades de la probabilidad. P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) =

= + – = = 4 9 16 36 1 36 6 36 11 36 1 36 6 36 11 36 1 1 (1, 1) 2 (2, 1) 3 (3, 1) 4 (4, 1) 5 (5, 1) 6 (6, 1) 2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) 3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3) 4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) 5 (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) 6 (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6) 1 12 5567 5576 5657 5675 5756 5765 6557 6575 6755 7556 7565 7655 7 6 7 5 6 5 7 5 5 6 5 5 6 7 5 7 5 6 5 7 5 5 6 5 5 6 7 5 7 5 5 6 7 6

● Aplica la teoría

(4)

■

Piensa y calcula

a) Halla la probabilidad de sacar una carta de copas al extraer una carta de una baraja española de 40 cartas.

b) La carta de copas extraída se deja fuera, y se extrae otra carta. Halla la probabilidad de que esta segunda carta también sea de copas. Solución: a) P(C) = = b) P((C) = = 3 13 9 39 1 4 10 40

3. Probabilidad condicionada

7. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P(A) = 0,6; P(B) = 0,4 y P(A——B) = 0,7 a) Calcula P(A B)

b) Razona si los sucesos A y B son independientes. c) Calcula P(A B)

Solución:

a) Propiedades de la probabilidad. Por una ley de Morgan se tiene:

= A—B—ò

P( ) = P(A——B) = 0,7 Luego:

P(A B) = 1 – P( ) = 1 – 0,7 = 0,3 b) P(A) · P(B) = 0,6 · 0,4 = 0,24 ≠P(A B)

Por tanto,A y B son dependientes. c) Propiedades de la probabilidad.

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = = 0,6 + 0,4 – 0,3 = 0,7

8. Lanzamos dos veces consecutivas un dado de seis caras numeradas de 1 al 6

a) Calcula la probabilidad de que la suma de los resul-tados sea igual a 4

b) Calcula la probabilidad de que en el primer lanza-miento haya salido un 1, si la suma es 4

Solución:

a) Se aplica directamente la regla de Laplace. P(Suma 4) = =

b) Se aplica la probabilidad condicionada. P(Primero 1/Suma 4) = 1 3 1 12 3 36 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 A »B A »B A »B

● Aplica la teoría

(5)

■

Piensa y calcula

Se lanzan al aire dos monedas. Halla la probabilidad de que una sea cara y la otra cruz. Solución: P(CX, XC) = P(CX) + P(XC) = · + · = + = = 1 2 2 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2

4. Regla de la suma y teorema de Bayes

9. Se tienen tres cajas iguales. La primera contiene 3 bo-las blancas y 4 negras; la segunda, 5 bobo-las negras; y la tercera, 4 blancas y 3 negras.

a) Si se elige una caja al azar, y luego se extrae una bo-la, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra?

b) Si se extrae una bola negra de una de las cajas, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la se-gunda caja?

Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(N) = · + · 1 + · =

b) Se aplica el teorema de Bayes.

P(B/N) = =

10. Un día determinado, en una tienda de ropa joven, se han realizado 400 ventas pagadas con tarjeta de crédi-to V, y 350 ventas pagadas con la tarjeta MC. Las ven-tas restantes del día han sido abonadas en metálico. Se comprueba que 150 de las ventas pagadas con la tarjeta V superan los 150 €, mientras que 300 de las compras pagadas con tarjeta de crédito MC superan esa cantidad. Se extrae al azar un comprobante de las ventas del día pagadas con tarjetas de crédito. a) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a una

compra superior a 150 €?

b) Si la compra es inferior a 150 €, ¿cuál es la proba-bilidad de que haya sido pagada con la tarjeta MC? Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. M = {Superan los 150 €}

P(M) = · + · =

b) Se aplican las propiedades de la probabilidad y el teo-rema de Bayes. P(M—) = 1 – P(M) = 1 – = P(MC/M—) = = = 1 6 1 — 15 2 — 5 350 50 — · — 750 350 2 — 5 2 5 3 5 3 5 300 350 350 750 150 400 400 750 150/400 V MC 400/750 350/750 M 150 M M– 250 m 300 M 50 m A = 400 V B = 350 MC 300/350 50/350 M M– 1 2 1 — · 1 3 2 — 3 2 3 3 7 1 3 1 3 4 7 1 3 4/7 1/3 1/3 1/3 N 3 B N– 4 N 1 _N N– 5 N 3/7 _N 4 B N– 3 N A = 3 B y 4 N B = 5 N C = 4 B y 3 N

● Aplica la teoría

CC C CX X XC C C X XX X 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

(6)

Ejercicios y problemas

Preguntas tipo test

PAU

Dados dos sucesos A y B, sabemos que p(A »B) = 0,1; p(A «B) = 0,7 y p(A|B) = 0,2 Calcula p(A) y p(B) P(A) = 0,1; P(B) = 0,1 P(A) = 0,2; P(B) = 0,5 P(A) = 0,3; P(B) = 0,5 P(A) = 0,4; P(B) = 0,7

En el problema 1, ¿son independientes los sucesos A y B?

Los sucesos A y B son dependientes. Los sucesos A y B son independientes.

En el problema 1, calcula p(A—«B), donde A— repre-senta el suceso complementario o contrario de A.

p(A—«B) = 0,2 p(A—«B) = 0,5 p(A—«B) = 0,9 p(A—«B) = 0,8

En un grupo de familias, un 10% ha cambiado de co-che y también ha cambiado de piso; un 50% no ha cambiado de coche y sí de piso. Entre los que han cam-biado de coche, un 25% ha camcam-biado de piso. ¿Qué porcentaje de familias ha cambiado de piso?

P(P) = 0,5 P(P) = 0,6 P(P) = 0,7 P(P) = 0,8

En el problema 4, ¿qué probabilidad hay de que una familia del grupo haya cambiado de coche?

P(C) = 0,4 P(C) = 0,5 P(C) = 0,6 P(C) = 0,7

En el problema 4, de las familias que no han cambia-do de piso, ¿qué porcentaje ha cambiacambia-do de coche?

P(C/ P—) = 0,45 P(C/ P—) = 0,55 P(C/ P—) = 0,65 P(C/ P—) = 0,75

Se consideran dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, tales que:

P(A) = 1/4, P(B) = 1/3, P(A »B) = 1/12 ¿Son A y B sucesos independientes?

Los sucesos A y B son dependientes. Los sucesos A y B son independientes.

En el problema 7, calcula P(A—/ B—) P(A—/ B—) = 3/4

P(A—/ B—) = 1/4 P(A—/ B—) = 2/3 P(A—/ B—) = 4/5

Se sabe que el 30% de los individuos de una pobla-ción tienen estudios superiores; también se sabe que, de ellos, el 95% tiene empleo. Además, de la parte de la población que no tiene estudios superio-res, el 60% tiene empleo.

Calcula la probabilidad de que un individuo, elegido al azar, tenga empleo.

P(E) = 0,505 P(E) = 0,605 P(E) = 0,705 P(E) = 0,805

En el problema 9, se ha elegido un individuo aleato-riamente y tiene empleo; calcula la probabilidad de que tenga estudios superiores.

P(S/E) = 0,2 P(S/E) = 0,3 P(S/E) = 0,4 P(S/E) = 0,5 ✘ 10 ✘ 9 ✘ 8 ✘ 7 ✘ 6 ✘ 5 ✘ 4 ✘ 3 ✘ 2 ✘ 1

Contesta en tu cuaderno:

(7)

Ejercicios y problemas

1. Operaciones con sucesos

11. Sea el experimento de lanzar una moneda al aire. Halla:

a) el espacio muestral o suceso seguro. b) los sucesos elementales.

Solución: a) E = {C, X} b) {C}, {X}

12. En el experimento de extraer una carta de una baraja española de 40 cartas, halla:

a) el espacio muestral o suceso seguro. b) el suceso A, formado por los oros. c) el suceso B, formado por las ases. d) el suceso C, formado por las figuras. e) ¿A y B son compatibles o incompatibles? f ) ¿A y C son compatibles o incompatibles? g) ¿B y C son compatibles o incompatibles? Solución:

a) E = {1O, 2O, 3O, …, 10B, 11B, 12B} b) A = {1O, 2O, 3O, …, 10O, 11O, 12O} c) B = {1O, 1C, 1E, 1B}

d) C = {10O, 11O, 12O, …, 10B, 11B, 12B} e) A B = {1O} òA y B son compatibles.

f) A C = {10O, 11O, 12O} òA y B son compatibles. g) B C = Ø òA y B son incompatibles. 13. Sean E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 3, 5, 7} Calcula: a) A B b) A B c) A— d) B— Solución: a) A B = {1, 2, 3, 5, 7} b) A B = {3, 5, 7} c) A—= {2, 4, 6, 8} d) B—= {1, 4, 6, 8} 14. Sea E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5}. Calcula: a) A – B b) B – A

c) Comprueba la ley de Morgan: = A—B— d) Comprueba la ley de Morgan:

= A—B— Solución: a) A – B = {1} b) B – A = {2} c) A B = {1, 2, 3, 5} = {4, 6} A — = {2, 4, 6}, = {1, 4, 6} A — —B= {4, 6} d) A B = {3, 5} = {1, 2, 4, 6} A — = {2, 4, 6}, B—= {1, 4, 6} A — —B= {1, 2, 4, 6}

2. Regla de Laplace

15. Después de haber escuchado tres discos, éstos se guar-dan al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los discos haya sido guardado en su funda? Solución:

Se aplica directamente la regla de Laplace. A = {123, 132, 213, 321}

P(A) = =

16. Dado un espacio muestral E, se consideran los sucesos A y B, cuyas probabilidades son:

P(A) = 2/3 y P(B) = 1/2

a) ¿Pueden ser los sucesos A y B incompatibles?¿Por qué?

b) Suponiendo que los sucesos A y B son independien-tes, calcula P(A B)

c) Suponiendo que A B = E, calcula P(A B) Solución:

a) A y B no pueden ser incompatibles porque: P(A) + P(B) = 7/6 > 1

b) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) Como A y B son independientes: P(A B) = P(A) · P(B) = 2/3 · 1/ 2 = 1/3 P(A B) = 2/3 + 1/2 – 1/3 = 5/6 2 3 4 6 123 3 132 2 213 3 1 2 231 1 312 2 3 321 1 2 3 1 3 1 2 A »B A «B A »B A «B

(8)

Ejercicios y problemas

c) Si A B = E òP(A B) = 1 Aplicando

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) Se tiene:

P(A) + P(B) – P(A B) = 1 2/3 + 1/2 – P(A B) = 1 P(A B) = 1/6

17. El 35% de los estudiantes de un centro practican fútbol. El 70% de los que practican fútbol estudia Ma-temáticas, así como el 25% de los que no practican fútbol.

Si se elige al azar a un estudiante de este centro, calcula la probabilidad de que éste:

a) estudie Matemáticas.

b) practique fútbol, sabiendo que no es alumno de Ma-temáticas.

Solución:

Se construye la tabla de contingencia:

a) P(Estudie matemáticas) = 0,4075

b) P(Practique fútbol/No Matemáticas) = 0,8228

18. Supongamos que tras una encuesta se ha concluido que si se elige al azar a una persona, la probabilidad de que esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol es de 0,8; de que esté a favor de la existencia de canales de televisión de pago, de 0,4; y de que esté a favor de la re-transmisión de partidos de fútbol y también de la exis-tencia de canales de pago, de 0,3

a) Calcula la probabilidad de que una persona esté a fa-vor de la retransmisión de partidos de fútbol o de la existencia de canales de televisión de pago.

b) Calcula la probabilidad de que una persona no esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol ni de la existencia de canales de televisión de pago. Solución:

a) Se aplican las propiedades de la probabilidad. P(F P) = P(F) + P(P) – P(F P)

P(F P) = 0,8 + 0,4 – 0,3 = 0,9

b) Se aplican las propiedades de la probabilidad. P( F——B) = ( ) = 1 – P(F P) = 0,1

3. Probabilidad condicionada

19. La probabilidad de que, en un determinado mes, un clien-te de una gran superficie compre un producto A es 0,6, y la probabilidad de que compre un producto B es 0,5. Se sabe también que la probabilidad de que un cliente compre el producto B no habiendo comprado el pro-ducto A es 0,4

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente haya com-prado únicamente el producto B?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente no haya comprado ninguno de los productos?

Solución: a) P(B/A—) =

= 0,4 òP(B A—) = 0,4 · 0,4 = 0,16 P(B – A) = P(B A—) = 0,16

b) Si P(B) = 0,5 y P(B – A) = 0,16 òP(A B) = 0,34 P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) =

= 0,6 + 0,5 – 0,34 = 0,76

20. En una ciudad hay un 60% de habitantes aficionados al fútbol, un 30% al baloncesto y un 25% a ambos de-portes.

a) ¿Son independientes los sucesos “ser aficionado al fútbol” y “ser aficionado al baloncesto”.

b) Si una persona no es aficionada al baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que sea aficionada al fútbol? c) Si una persona no es aficionada al fútbol, ¿cuál es la

probabilidad de que no sea aficionada al baloncesto? Solución:

a) Se aplica la condición de dependencia. P(F) = 0,6; P(B) = 0,3; P(F B) = 0,25

P(F) · P(B) = 0,6 · 0,3 = 0,18 ≠0,25 ò F y B depen-dientes.

b) Se aplica la probabilidad condicionada y las propiedades de la probabilidad.

P(F/B—) = = = 0,5 =

c) Se aplica la probabilidad condicionada y las propiedades de la probabilidad. P(B—/ F—) = P( F—) = 1 – 0,6 = 0,4 P(B—/ F—) = = = 0,875 = 7 8 0,35 0,4 P( F—B—) P( F—) P( F—B—) P( F—) 1 2 0,35 0,7 P(F B—) P(B—) P(B A—) 0,4 P(B A—) P(A—) F «P Fútbol Mate. 24,5% 10,5% 35% No fútbol 16,25% 48,75% 65% Total 40,75% 59,25% 100% No Mate. Total

(9)

Ejercicios y problemas

21. En el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces al aire se consideran los siguientes sucesos: A: “sacar, al menos, una cara y una cruz”. B: “sacar, a lo sumo, una cara”.

a) Determina el espacio muestral asociado a ese expe-rimento, y los sucesos A y B

b) ¿Son independientes ambos sucesos? Solución:

a) E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX} A = {CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC}

B = {CXX, XCX, XXC, XXX} b) Se comprueba utilizando la propiedad

P(A B) = P(A) · P(B) òA y B independientes. A B = {CXX, XCX, XXC}

P(A B) = 3/8

P(A) · P(B) = 6/8 · 4/8 = 3/8

Como las probabilidades son iguales, A y B son inde-pendientes.

22. El temario de una oposición consta de 100 temas. El día del examen éstos se sortean, de manera que solo pue-den salir dos temas, a los que debe responder obligato-riamente el opositor. Calcula cuántos temas, como míni-mo, debe estudiar el opositor para que la probabilidad de conocer los dos temas que le toquen sea superior a 0,5 Solución:

· > 0,5

Resolviendo la inecuación y tomando solo las soluciones positivas, se obtiene que:

n > 71,21 Por tanto n > 71

4. Regla de la suma y teorema de Bayes

23. En una ciudad, la probabilidad de que uno de sus habi-tantes censados vote al partido A es 0,4; la probabilidad de que vote al partido B es 0,35 y la probabilidad de que vote al partido C es 0,25. Por otro lado, las probabilida-des de que un votante de cada partido lea diariamente algún periódico son, respectivamente, 0,4; 0,4 y 0,6. Se elige a una persona de la ciudad al azar:

a) Calcula la probabilidad de que lea algún periódico. b) La persona elegida lee algún periódico. ¿Cuál es la

probabilidad de que sea votante del partido B? Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. L = {Leer el periódico}

P(L) = 0,4 · 0,4 + 0,35 · 0,4 + 0,25 · 0,6 = 0,45 b) Se aplica el teorema de Bayes.

P(B/L) = = 0,31

24. Tres máquinas A, B y C fabrican tornillos. En una hora, la máquina A fabrica 600 tornillos, la B 300 y la C 100. Las probabilidades de que las máquinas produzcan tornillos defectuosos son, respectivamente, de 0,01 pa-ra A, de 0,02 papa-ra B y de 0,03 papa-ra C. Al finalizar una hora se juntan todos los tornillos producidos y se elige uno al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya fabricado la

máquina A, sabiendo que no es defectuoso? Solución: D L D– D L D– D L D– A 0,01 B A 600 B 300 C 100 0,02 C 0,03 0,99 0,98 0,97 0,6 0,1 0,3 0,35 · 0,4 0,45 L L – A 0,4 L L – B A B C 0,4 L L – C 0,6 0,4 0,25 0,35 n – 1 100 n 100 S (n – 1)/99 n/100 S – S S – CCC CCX CXC C 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 X CXX 1/2 1/2 XCC C C X XCX C X C X C X XXC X XXX C X

(10)

27. Se lanzan tres veces consecutivas dos dados equilibra-dos de seis caras:

a) Calcula la probabilidad de que en los tres lanzamien-tos salga el seis doble.

b) Calcula la probabilidad de que en los tres lanzamien-tos salga un doble distinto del seis doble.

Solución:

a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad com-puesta.

P(666) = P(6) · P(6) · P(6) = · · =

b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(111) + P(222) + P(333) + P(444) + P(555) = = 5 · = 5 216 1 216 1 216 1 6 1 6 1 6

Ejercicios y problemas

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. D = {tornillo defectuoso}

D—= {tornillo no defectuoso}

P(D—) = 0,6 · 0,99 + 0,3 · 0,98 + 0,1 · 0,97 = 0,985 b) Se aplica el teorema de Bayes.

P(A/D—) = = 0,603

25. En un supermercado, las mujeres realizan el 70% de las compras. De las compras hechas por éstas, el 80% supe-ra los 12 €, mientras que de las compras realizadas por hombres, solo el 30% sobrepasa esa cantidad.

a) Elegido un tique de compra al azar, ¿cuál es la proba-bilidad de que supere los 12 €?

b) Si se sabe que un tique de compra no supera los 12€, ¿cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer?

Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(S) = 0,7 · 0,8 + 0,3 · 0,3 = 0,65

b) Se aplica el teorema de Bayes. P(M/N) = = 0,4

26. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Tenemos tres urnas, cada una de las cuales contiene 2 bolas rojas y 3 negras. Se extrae al azar una bola y se llama xal número de bolas rojas obtenidas. Calcu-la Calcu-la probabilidad de que xsea mayor o igual que 1 b) Si cada urna hubiese contenido 5 bolas rojas y 3 bo-las negras y se hubiese extraído una bola de cada

ur-na, ¿cuál hubiese sido la probabilidad de que x hubie-se sido mayor o igual que 1?

c) Justifica la diferencia de los resultados obtenidos. Solución:

a) Árbol de probabilidades.

P(x mayor o igual que 1) = 1 – P(NNN) = = 1 – · · = 1 – = b) Árbol de probabilidades.

P(x mayor o igual que 1) = 1 – P(NNN) = = 1 – · · = 1 – =

c) La probabilidad del segundo apartado es mayor porque hay más bolas rojas y las mismas negras.

485 512 27 512 3 8 3 8 3 8 R N5/8 3/8 5 R 3 N 5 R 3 N 5 R 3 N RRR RRN R N5/8 3/8 5 R 3 N RNR RNN R N5/8 3/8 5 R 3 N NRR NRN R N5/8 3/8 5 R 3 N NNR NNN R N 5/8 R N 5/8 3/8 3/8 5 R 3 N R N 5/8 3/8 98 125 27 125 3 5 3 5 3 5 R N2/5 3/5 2 R 3 N 2 R 3 N 2 R 3 N RRR RRN R N2/5 3/5 2 R 3 N RNR RNN R N2/5 3/5 2 R 3 N NRR NRN R N2/5 3/5 2 R 3 N NNR NNN R N 2/5 R N 2/5 3/5 3/5 2 R 3 N R N 2/5 3/5 0,7 · 0,2 0,7 · 0,2 + 0,3 · 0,7 S N S N M 0,8 H M 70% H 30% 0,3 0,2 0,7 0,7 0,3 0,6 · 0,99 0,985

Para ampliar

(11)

Ejercicios y problemas

28. Si se escoge un número al azar en la guía telefónica de cierta ciudad española, la probabilidad de que figure a nombre de un hombre es 0,7 y de que figure a nombre de una mujer es 0,3. En dicha ciudad, la probabilidad de que un hombre trabaje es 0,8, y de que lo haga una mu-jer es 0,7

Se elige un número de teléfono al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a una persona que trabaja?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a un hombre, sabiendo que pertenece a una persona que trabaja?

Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. T = {Persona que trabaja}

P(T) = 0,7 · 0,8 + 0,3 · 0,7 = 0,77 b) Se aplica el teorema de Bayes.

P(H/T) = = = 0,73

29. Disponemos de tres dados, uno de los cuales está tru-cado. La probabilidad de sacar 5 con el dado trucado es 0,25, siendo los otros resultados equiprobables. Se elige un dado al azar y se realiza un lanzamiento con él. a) Determina la probabilidad de obtener un 2

b) Dado que ha salido 2, ¿cuál es la probabilidad de que hayamos elegido el dado trucado?

Solución:

Si en el dado trucado P(5) = 0,25 P(1, 2, 3, 4, 6) = 1 – 0,25 = 0,75 P(2) = 0,75/5 = 0,15 =

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(2) = · + · =

P(T/2) = =

30. Sean A y B dos sucesos tales que: P(A) = , P(B) = y P(A B) = Calcula:

a) P(A | B) b) P(B | A)

c) P(AC_{B), (A}C_{indica el contrario del suceso A)} Solución:

a) P(A | B) = P(A) – P(A B) = – = b) P(B | A) = P(B) – P(A B) = – = c) P(ACB) = P(B | A) =

31. Se dispone de una baraja española de 40 cartas. Se ex-trae una carta al azar y, sin devolverla a la baraja, se saca otra, también al azar.

a) Calcula la probabilidad de que ninguna de las cartas extraídas sea una figura (es decir, sota, caballo o rey). b) Sabiendo que la segunda carta extraída no ha sido una figura, calcula la probabilidad de que tampoco lo haya sido la primera.

Solución:

a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta.

P(No F) = · = b) Se aplica el teorema de Bayes.

P(No F la 1ª/No F la 2ª) = = = = 9 13 63 — 130 7 — 10 28 27 — · — 40 39 28 27 12 28 — · — + — · — 40 39 40 39 63 130 27 39 28 40 12 F 28 no F 12 F 26 no F 12 F 27 no F no F y no F no F F 11 F 27 no F no F y F 27/39 12/39 11 F 27 no F 11 F 28 no F F y no F no F F 10 F 28 no F F y F 28/39 11/39 no F F 28/40 12/40 1 12 1 12 1 4 1 3 1 4 1 4 1 2 1 4 1 3 1 2 9 29 1 3 — · — 3 20 29 — 180 29 180 1 6 2 3 3 20 1 3 2 2 – 2 2 – T 3/20 B 1 T 2 B 1/6 1/3 2/3 3 20 8 11 0,7 · 0,8 0,77 T T – T T – H 0,8 M H M 0,7 0,7 0,3

(12)

Ejercicios y problemas

32. Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto.

a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experi-mento utilizando la letra S para las respuestas afir-mativas y N para las negativas.

b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior cons-tituyen el suceso “al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto”?

c) Describe el suceso contrario de “más de una perso-na es partidaria de consumir el producto”.

Solución:

a) E = {SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN} b) A = {SSS, SSN, SNS, NSS}

c) El suceso “más de una persona es partidaria de consu-mir el producto” coincide con el suceso A

A—= {SNN, NSN, NNS, NNN}

Que se puede describir como: “a lo sumo una persona es partidaria de consumir el producto”.

33. Se tienen tres cajas de bombones, A, B y C. La caja A contiene 10 bombones, de los cuales 4 están rellenos; la caja B contiene 8 bombones, de los cuales 3 están relle-nos; y la caja C contiene 6 bombones, de los que 1 está relleno.

a) Si se toma al azar un bombón de la caja A, ¿cuál es la probabilidad de que no esté relleno?

b) Si se elige al azar una de las tres cajas y se toma un bombón de la caja elegida, ¿cuál es la probabilidad de que esté relleno?

Solución: a) P(N) = =

b) Árbol de probabilidades:

b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(R) = · + · + · =

34. En un centro de enseñanza secundaria se sabe que el 70% de los alumnos practica atletismo, que el 50% juega al fútbol y que el 40% de los que practican atletismo juega al fútbol.

a) Razona si los sucesos “jugar al fútbol” y “practicar atletismo” son independientes.

b) Si se elige al azar a un alumno de ese centro, ¿cuál es la probabilidad de que no participe en ninguno de es-tos deportes?

Solución:

a) Se aplica la propiedad correspondiente. P(A F) = 0,4

P(A) · P(F) = 0,7 · 0,5 = 0,35

Como dan distinto, A y F son dependientes. b) Se aplican las propiedades de la probabilidad.

P( ) = 1 – P(A F)

P(A F) = P(A) + P(F) – P(A F) P(A F) = 0,7 + 0,5 – 0,4 = 0,8 P( ) = 1 – 0,8 = 0,2

35. Se lanza al aire dos veces una moneda.

a) Halla la probabilidad de que en ambas tiradas salga cara.

b) Sabiendo que, al menos, en una de las tiradas sale cara, ¿cuál es la probabilidad de que en ambas sal-ga cara?

Solución:

P(CC) = · =

b) Se aplica la definición de probabilidad condicionada.

P(CC/al menos una cara) = = 1 3 1 — 4 3 — 4 1 4 1 2 1 2 CC CX XC C 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 X XX C X C X A «F A «F 113 360 1 6 1 3 3 8 1 3 2 5 1 3 R N 2/5 3/5 4 R 6 N A B C R N R N 3/8 5/8 3 R 5 N R N R N 1/6 5/6 1 R 5 N R N A B C 1/3 1/3 1/3 3 5 6 10 SSS SSN SNS S 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 N SNN 1/2 1/2 NSS S S N NSN S N S N S N NNS N NNN S N

(13)

Ejercicios y problemas

36. Un estudiante hace dos pruebas el mismo día. La proba-bilidad de que pase la primera prueba es 0,6; la de que pase la segunda es 0,8 y la de que pase ambas es 0,5 a) Calcula la probabilidad de que no pase ninguna de las

pruebas.

b) Calcula la probabilidad de que pase la segunda prue-ba si no ha superado la primera.

Solución:

a) Se aplican las propiedades de la probabilidad. P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) P(A B) = 0,6 + 0,8 – 0,5 = 0,9 P( ) = 1 – 0,9 = 0,1

b) Se aplica la definición de probabilidad condicionada. P(B A—) = P(B – A) = P(B) – P(A B) =

= 0,8 – 0,5 = 0,3 P(A—) = 1 – P(A) = 1 – 0,6 = 0,4 P(B/ A—) = = =

37. En un colectivo de 200 personas se ha observado que 120 son hombres y que, de éstos, 54 son fumadores. 44 mujeres de este colectivo no fuman. Con estos da-tos, razona si el suceso “fumar” depende del sexo. Solución:

Se aplica la regla de Laplace directamente. P(F/H) = =

P(F/M) = =

Como ambas son iguales, no depende del sexo. 9 20 36 80 9 20 54 120 3 4 0,3 0,4 P(B A—) P(A—) A «B

38. Una persona desea jugar en una atracción de feria donde regalan un peluche si al tirar un dardo se acierta en un blanco. Si solo se permite tirar tres dardos y la probabilidad de acertar en cada tirada es 0,3

a) ¿cuál es la probabilidad de llevarse el peluche? b) ¿cuál es la probabilidad de llevarse el peluche

mente en el tercer intento? ¿Y de llevárselo exacta-mente en el segundo?

Solución:

A = {acertar en el blanco en una tirada}

P(A—A—A—) = P(A—) · P(A—) · P(A—) = 0, 7 · 0,7 · 0,7 = 0,343 P(Llevarse el peluche) = 1 – P( A—A—A—) = 1 – 0,343 =

= 0,657

b) Se aplica directamente la regla de Laplace. P(3er_{intento) = P( A}—_A—_{A) = 0,7 · 0,7 · 0,3 = 0,147}

P(2º intento) = P( A—AA) = 0,7 · 0,3 = 0,21

39. Una urna contiene 7 bolas blancas, 3 bolas rojas y 2 bo-las negras. Se considera el experimento aleatorio con-sistente en extraer tres bolas de la urna, de forma suce-siva y sin reemplazamiento. Sean los sucesos B₁: La primera bola es blanca, B₂: La segunda bola es blanca y B₃: La tercera bola es blanca:

a) Expresa con ellos el suceso “las bolas extraídas en primer y tercer lugar son blancas, y la extraída en se-gundo lugar no”.

b) Calcula la probabilidad del suceso “las tres bolas son del mismo color”.

Solución: a) B₁—B₂B₃

b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(BBB) + P(RRR) + P(NNN) =

= · · + · · + · · =

40. Una fábrica produce tres modelos de coche: A, B y C. Cada uno de los modelos puede tener motor de gaso-lina o diésel. Sabemos que el 60% de los modelos son de tipo A y el 30% de tipo B.También sabemos que el 30% de los coches fabricados tienen motor diésel, el 30% de los coches del modelo A son de tipo diésel y el 20% de los coches del modelo B tienen motor diésel. Se elige un coche al azar. Se piden las probabilidades de los siguien-tes sucesos:

a) El coche es del modelo C

b) El coche es del modelo A, sabiendo que tiene motor diésel.

c) El coche tiene motor diésel, sabiendo que es del mo-delo C 9 55 0 10 1 11 2 12 1 10 2 11 3 12 5 10 6 11 7 12

Problemas

(14)

Ejercicios y problemas

Solución:

a) Se aplican las propiedades de la probabilidad. P(C) = 1 – [P(A) + P(B)] = 1 – (0,6 + 0,3) = 0,1 b) Se aplica la definición de probabilidad condicionada.

P(A/D) = = = 0,6

c) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. 0,6 · 0,3 + 0,3 · 0,2 + 0,1 · P(D/C) = 0,3

P(D/C) = 3/5 = 0,6

41. Un examen consiste en elegir al azar dos temas de en-tre los diez del programa, y desarrollar uno.

a) ¿Qué probabilidad tiene un alumno, que sabe seis te-mas, de aprobar el examen?

b) ¿Qué probabilidad tiene el mismo alumno de saberse uno de los dos temas elegidos y el otro no?

Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(Aprobar) = 1 – P(MM) =

= 1 – · = 1 – =

b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(Uno sí y otro no) = · + · =

42. Una empresa emplea tres bufetes de abogados para tratar sus casos legales. La probabilidad de que un caso se deba remitir al bufete A es 0,3; de que se remita al bufete B es 0,5 y de que se remita al bufete C es 0,2. La

probabilidad de que un caso remitido al bufete A sea ga-nado en los tribunales es 0,6; para el bufete B esta pro-babilidad es 0,8 y para el bufete C es 0,7

a) Calcula la probabilidad de que la empresa gane un caso.

b) Sabiendo que un caso se ha ganado, determina la probabilidad de que lo haya llevado el bufete A Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. G = {Ganar el caso}

P(G) = 0,3 · 0,6 + 0,5 · 0,8 + 0,2 · 0,7 = 0,72 b) Se aplica el teorema de Bayes.

P(A/G) = = 0,25

43. De una urna con cinco bolas, dos blancas y tres negras, extraemos dos bolas sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: a) A = “Las dos bolas extraídas son del mismo color”. b) B = “Extraemos al menos una bola blanca”. Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(A) = P(BB) + P(NN) = · + · = b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

P(NN) = · = P(B) = 1 – P(NN) = 1 – = 7 10 3 10 3 10 2 4 3 5 2 5 2 4 3 5 1 4 2 5 2 N 1 B 3 N 2 B 3 N 1 B 2 N 1 B 2 N 2 B 1 N B N 1/4 B N 2/5 3/5 3/4 2 B 2 N B N 2/4 2/4 BB BN NB NN 0,3 · 0,6 0,72 G G – A 0,6 G G – B A B C 0,8 0,7 G G – C 0,3 0,2 0,5 8 15 6 9 4 10 4 9 6 10 13 15 2 15 3 9 4 10 4 B 4 M 5 B 4 M 6 B 4 M 5 B 3 M 5 B 3 M 6 B 2 M B M 5/9 B M 6/10 4/10 4/9 6 B 3 M B M 6/9 3/9 BB BM MB MM 0,6 · 0,3 0,3 P(A D) P(D) D D– A 0,3 D D– B A B C 0,2 D D– C 0,6 0,3

(15)

Ejercicios y problemas

44. Se dispone de tres urnas: A, que contiene dos bolas blancas y cuatro rojas; B, con tres blancas y tres rojas; y C, con una blanca y cinco rojas.

a) Se elige una urna al azar y se extrae una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que esta bola sea blanca? b) Si la bola extraída resulta ser blanca, ¿cuál es la

pro-babilidad de que proceda de la urna B? Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. S = {Bola blanca}

P(B) = · + · + · = b) Se aplica el teorema de Bayes.

P(B/S) = =

45. Los temas objeto de un examen están compuestos por tres temas de máxima dificultad, 5 de dificultad media y 2 de escasa dificultad, de los cuales se elige uno al azar. La probabilidad de que un alumno apruebe el examen si el tema es de máxima dificultad es de 1/8; si es de difi-cultad media, 2/5, y si es de escasa difidifi-cultad, 3/4 a) Halla la probabilidad de que el alumno apruebe el

examen.

b) Halla la probabilidad de que el tema elegido haya sido de máxima dificultad, si el alumno lo aprobó.

Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. A = {Aprobar el examen}

P(A) = 0,3 · + 0,5 · + 0,2 · = = 0,3875 b) Se aplica el teorema de Bayes.

P(Máxima/A) = =

46. Una caja contiene 10 tornillos, de los que dos son de-fectuosos.

a) Si se van extrayendo uno a uno los tornillos hasta lo-calizar los dos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de necesitar exactamente tres extracciones para lo-calizarlos?

b) Si extraemos solo dos tornillos, y el segundo ha re-sultado ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el primero también lo haya sido?

Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. A = {Extraer dos defectuosos}

P(A) = · · + · · = b) Se aplica la probabilidad condicionada.

P(1º defectuoso/2º defectuoso) = 1 9 2 45 1 8 2 9 8 10 1 8 8 9 2 10 1 D 8 B 7 B 8 B 7 B 1 D 6 B 2 D 8 B 2/10 8/10 2 D 7 B D B D B 2/9 7/9 1 D 7 B D B B 1/8 1 7/8 D B 1/8 7/8 D B 2/8 6/8 DDB DBD DBB 7 B 1 D 6 B 1 D 7 B BDD BDB 1 D 6 B 2 D 5 B D B 1/9 8/9 2 D 6 B BBD BBB 3 31 1 0,3 · — 8 31 — 80 31 80 3 4 2 5 1 8 1/8 Máxima 3 Media 5 Escasa 2 A A– 2/5 A A– 3/4 A A– 0,3 0,2 0,5 Máxima Media Escasa 1 2 1 3 — · — 3 6 1 — 3 1 3 1 6 1 3 3 6 1 3 2 6 1 3 B R 2/6 4/6 2 B 4 R A B C B R B R 3/6 3/6 3 B 3 R B R B R 1/6 5/6 1 B 5 R B R A B C 1/3 1/3 1/3

(16)

Ejercicios y problemas

47. Tenemos un cofre A con 2 monedas de oro y 3 de pla-ta, un cofre B con 5 monedas de oro y 4 de plapla-ta, y un tercer cofre con 2 monedas de oro. Elegimos un cofre al azar y sacamos una moneda.

a) Calcula la probabilidad de que sea de oro.

b) Sabiendo que ha sido de plata, calcula la probabilidad de que haya sido extraída del cofre A

Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(Oro) = · + · + · 1 =

b) Se aplica el teorema de Bayes. P(Plata) = 1 – =

P(A/Plata) = =

48. En un cineclub hay 80 películas: 60 son de acción y 20 de terror. Susana elige una película al azar y se la lle-va.A continuación, Luis elige otra película al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que tanto Susana como

Luis elijan películas de acción?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la película elegida por Luis sea de acción?

Solución:

P(AA) = · =

b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(Luis acción) = · + · =

49. La probabilidad de que un jugador A marque un gol de penalti es de 5/6, mientras que la de otro jugador B es de 4/5. Si cada uno lanza un penalti:

a) halla la probabilidad de que marque gol uno solo de los dos jugadores.

b) halla la probabilidad de que, al menos, uno marque gol.

Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(Marcar uno solo) = P(MN) + P(NM) =

= · + · =

b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(al menos uno marque) = 1 – P(NN) =

= 1 – · =

50. Dos urnas A y B, que contienen bolas de colores, tienen la siguiente composición:

A: 5 blancas, 3 negras y 2 rojas. B: 4 blancas y 6 negras.

También tenemos un dado que tiene 4 caras marcadas con la letra A y las otras dos con la letra B. Tiramos el dado y sacamos una bola al azar de la urna que indica el dado.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea blanca? b) ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja? c) La bola extraída ha resultado ser blanca. ¿Cuál es la

probabilidad de que proceda de la urna B? Solución: B R 5/10 2/10 5 B 3 N 2 R 4 A 2 B A N 4/6 3/10 2/6 5 B 3 N 1 R AR 5 B 2 N 2 R AN 4 B 3 N 2 R AB B N 4/10 6/10 4 B 6 N 3 B 6 N BB 4 B 5 N BN B 29 30 1 5 1 6 3 10 4 5 1 6 1 5 5 6 MM MN NM M 4/5 1/5 5/6 1/6 4/5 1/5 N NN M B A N M N 3 4 60 79 20 80 59 79 60 80 177 316 59 79 60 80 Acción Terror Acción Terror 60/80 20/80 59/79 60/79 Acción 60 Luis Susana Terror 20 Acción 59 Terror 20 Acción 60 Terror 19 27 47 1 3 — · — 3 5 47 — 135 47 135 88 135 88 135 1 3 5 9 1 3 2 5 1 3 O P 2/5 3/5 2 O 3 P A B C O P O P 5/9 4/9 5 0 4 P O P 2 0 O A B C 1/3 1/3 1/3 O 1

(17)

Ejercicios y problemas

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(B) = · + · =

b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta.

P(R) = · =

c) Se aplica el teorema de Bayes.

P(Urna B/Blanca) = =

51. Una determinada población está formada, a partes igua-les, por hombres y mujeres. La probabilidad de que un individuo de esa población no lea ningún periódico es 0,25. Además, el porcentaje de individuos que o bien leen algún periódico o bien son hombres es el 95%. Se elige, al azar, a una persona.

a) Halla la probabilidad de “ser hombre y leer algún pe-riódico”.

b) Halla la probabilidad de que lea algún periódico, sa-biendo que es hombre.

Solución:

a) P(H L) = P(H) + P(L) – P(H L) 95% = 50% + 75% – P(H L) P(H L) = 30%

Se construye la tabla de contingencia:

b) P(L/H) = P(L H)/P(H) = 30%/50% = 60%

52. Se dispone de 3 urnas y de 10 bolas, 5 blancas y 5 ne-gras. Distribuimos las bolas de la siguiente forma: • En la 1ª urna se introducen una bola blanca y una

bo-la negra.

• En la 2ª urna se introducen 3 bolas blancas y 2 bolas negras.

• En la tercera urna se introducen 1 bola blanca y 2 bo-las negras.

De una de las urnas, elegida al azar, se extrae una bola. Halla la probabilidad de que la bola elegida sea negra.

Solución:

Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(N) = · + · + · =

53. En un espacio muestral dado se consideran dos sucesos A y B tales que su unión es el suceso seguro, y las proba-bilidades condicionadas entre ellos valen P(A/B) = 1/2 y P(B/A) = 1/3. Halla las probabilidades de A y B Solución:

P(A/B) = ò =

P(B/A) = ò = P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) 1 = P(A) + P(B) – P(A B)

Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones con las tres incógnitas, se obtiene:

P(A) = , P(B) = y P(A B) =

54. Dados los sucesos A y B de un mismo espacio muestral, se sabe que:

P(A) = 0,4; P(A B) = 0,8 y P(A—B—) = 0,7 a) Comprueba si los sucesos A y B son independientes. b) Calcula la probabilidad de que solo se verifique uno

de los dos sucesos. Solución:

a) Se aplica la propiedad correspondiente.

P(A—B—) = 0,7 ò P( ) = 0,7 ò P(A B) = = 0,3

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) 0,8 = 0,4 + P(B) – 0,3

P(B) = 0,7

P(A) · P(B) = 0,4 · 0,7 = 0,28

Como P(A B) ≠P(A) · P(B), A y B son dependientes. b) P(A B) – P(A B) = 0,8 – 0,3 = 0,5 A »B 1 4 1 2 3 4 P(A B) P(A) 1 3 P(A B) P(A) P(A B) P(B) 1 2 P(A B) P(B) 47 90 2 3 1 3 2 5 1 3 1 2 1 3 B N1/2 1/2 1 B 1 N A B C B N B N 3/5 2/5 3 B 2 N B N B N1/3 2/3 1 B 2 N B N A B C 1/3 1/3 1/3 Leer periódico (L) Hombres 30% 45% 75% No leer periódico 20% 5% 25% Total H/M 50% 50% 100%

Mujeres Total leer

2 7 2 4 — · — 6 10 4 5 2 4 — · — + — · — 6 10 6 10 2 15 2 10 4 6 7 15 4 10 2 6 5 10 4 6

(18)

Ejercicios y problemas

55. La caja A contiene 40 bolígrafos azules y 30 bolígrafos rojos, la caja B contiene 30 bolígrafos azules y 30 bolí-grafos rojos, y la caja C contiene 30 bolíbolí-grafos azules y 20 rojos. Se elige una caja al azar y, de ella, también al azar, se extrae un bolígrafo. ¿Cuál es la probabilidad de que el bolígrafo extraído sea azul?

Solución:

Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(A) = · + · + · =

56. Se dispone de dos bolsas con bolas numeradas. La 1ª bolsa tiene 7 bolas numeradas del 1 al 7, y la segunda tres bolas numeradas del 8 al 10. Se realiza el siguiente experimento compuesto: se saca una bola al azar de la primera bolsa y se introduce en la segunda (antes de in-troducirla se anota si es par o impar), después se saca al azar una bola de la segunda bolsa –que en este momen-to tiene 4 bolas– y se anota su número.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraí-das sean pares?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola ex-traída sea impar?

Solución:

P(PP) = · =

b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(I) = · + · =

57. El 20% de los tornillos de un gran lote es defectuoso. Se cogen tres tornillos al azar y se pide calcular razonada-mente:

a) la probabilidad de que los tres sean defectuosos. b) la probabilidad de que ninguno sea defectuoso. c) la probabilidad de que solamente uno sea

defec-tuoso.

Nota: como son muchos tornillos, se supone que la probabilidad no cambia de sacar un tornillo al sacar el siguiente.

Solución:

P(DDD) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008

b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta.

P(BBB) = 0,8 · 0,8 · 0,8 = 0,512

c) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(DBB, BDB, BBD) = 3 · 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,384

Para profundizar

58. En un videoclub quedan 8 copias de la película A, 9 de la B y 5 de la C. Entran tres clientes consecutivamente y cada uno elige una copia al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) los tres escojan la misma película. b) dos escojan la película A, y el otro, la C Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(AAA) + P(BBB) + P(CCC) = · · + + · · + · · =

b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad total. 3P(AAC) = · · = 1 33 5 20 7 21 8 22 15 154 3 20 4 21 5 22 7 20 8 21 9 22 6 20 7 21 8 22 DDD DDB DBD D 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 B DBB 0,2 0,8 BDD D D B BDB D B D B D B BBD B BBB D B 11 28 1 4 3 7 1 2 4 7 9 28 3 4 3 7 2 I 2 P 4 I 3 P I P 1/2 I P 4/7 3/7 1/2 1 I 3 P I P 1/4 3/4 II IP PI PP 39 70 3 5 1 3 1 2 1 3 4 7 1 3 A R 4/7 3/7 40 A 30 R A B C A R A R 1/2 1/2 30 A 30 R A R A R 3/5 2/5 30 A 20 R A R A B C 1/3 1/3 1/3

(19)

Ejercicios y problemas

59. Con el objetivo de recaudar fondos para un viaje, los alumnos de un centro escolar realizan una rifa con 500 números. Un alumno compra dos números. a) Si solo hay un premio, ¿qué probabilidad tiene el

alumno de que le toque a él?

b) Si hay dos premios, ¿qué probabilidad tiene el alum-no de que le toque, al mealum-nos, ualum-no de ellos?

Solución:

a) Aplicación directa de la regla de Laplace. P(Premio) = =

b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad total.

P(No premio) = · = 0,992 P(Al menos un premio) = 1 – 0,992 = 0,008

60. De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen dos bolas al azar, sucesivamente y sin reemplaza-miento.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas extraídas sean blancas?

b) Si la segunda bola ha resultado ser negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también lo haya sido?

Solución:

P(BB) = P(B) · P(B/B) = · =

b) P(1ª N/2ª N) = =

61. Se considera una célula en el instante t = 0. En el instan-te t = 1 la célula puede reproducirse dividiéndose en dos, con probabilidad 3/4; o bien morir, con probabi-lidad 1/4. Si la célula se divide, entonces, en el tiempo t = 2, cada uno de sus dos descendientes puede tam-bién subdividirse o morir, independientemente uno de otro y con las mismas probabilidades de antes.

a) ¿Cuántas células puede haber en el tiempo t = 2? b) ¿Con qué probabilidad?

Solución:

a) En el instante t = 2 puede haber 4, 2, o 0 células. b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.

P(4) = · · = P(2) = · 2 · · = P(0) = + · · =

62. Dos cajas,A y B, tienen el siguiente contenido: La A tiene cinco monedas de 1 €y 3 de 2 €

La B tiene cuatro monedas de 1 €, 4 de 2 €y 2 de 50 céntimos.

De una de las cajas elegidas al azar, se extrae una mo-neda.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de 1 €?

b) Si la moneda extraída resulta ser de 2 €, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la caja B?

Solución: 1/2 5/8 3/8 1/2 A B 1 5 de 1 € 3 de 2 € 2 4/10 2/10 4/10 1 4 de 1 € 4 de 2 € 2 de 0,5 € 2 0,5 19 64 1 4 1 4 3 4 1 4 9 32 1 4 3 4 3 4 27 64 3 4 3 4 3 4 R M 3/4 9/16 1/16 6/16 1/4 1 C 4 C 2 C 2 C t = 2 t = 1 t = 0 0 C 0 C 1 5 2 1 — · — 6 5 4 2 2 1 — · — + — · — 6 5 6 5 2 5 3 5 4 6 3 B 2 N 4 B 2 N 3 B 1 N 2 B 2 N 3 B 1 N 4 B B N 3/5 B N 4/6 2/6 2/5 4 B 1 N B N 4/5 1/5 BB BN NB NN 497 499 498 500 P 2 No P 498 P 2 No P 497 no P P 498/500 P 2 No P 496 no P 497/499 1 250 2 500

(20)

Ejercicios y problemas

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(1) = · + · =

P(B/2) = =

63. La probabilidad de que un conductor no lleve la rueda de repuesto es 0,13, y la de que no lleve lámparas de repuesto es 0,37. Se sabe que el 60% de los conducto-res lleva ambos repuestos.

a) Calcula la probabilidad de que un conductor no lleve alguno de los dos repuestos señalados.

b) ¿Son independientes los sucesos “llevar rueda de re-puesto” y “llevar lámparas de rere-puesto”?

Solución: a) P( ) = 1 – P(R L) P(R L) = P(R) + P(L) – P(R L) P(R L) = 0,87 + 0,63 – 0,6 = 0,9 P( ) = 1 – 0,9 = 0,1 b) P(R L) = 0,6 P(R) · P(L) = 0,87 · 0,63 = 0,5481

Como P(R L) ≠P(R) · P(L), los sucesos R y L son de-pendientes.

64. A un congreso asisten oculistas y pediatras. Se sabe que 240 médicos son andaluces, 135 son navarros y 225 son canarios. El número total de pediatras es 315. De los andaluces, 96 son oculistas; de los navarros, son oculis-tas 75

a) Se escoge a un asistente al azar. ¿Cuál es la probabili-dad de que sea un pediatra navarro?

b) Se ha elegido a un médico canario. ¿Cuál es la proba-bilidad de que sea oculista?

c) ¿Son independientes los sucesos “ser andaluz” y “ser oculista”?

Solución:

P(N P) = · =

b) Se aplica la probabilidad condicionada. P(O/C) = =

c) Se aplica la propiedad correspondiente. P(A O) = P(A) · P(O/A) = · = P(A) = =

P(O) = · + · + + · = P(A) · P(O) = · =

Como P(A O) ?P(A) · P(O), son dependientes.

65. El 40% de los habitantes de una ciudad va al cine, el 30% va al teatro y el 20% a ambos.

a) Si una persona de esa ciudad no va al cine, ¿cuál es la probabilidad de que tampoco vaya al teatro? b) Si una persona no va al teatro, ¿cuál es la

probabili-dad de que vaya al cine? Solución:

a) Se aplica la probabilidad condicionada y las propiedades de la probabilidad. P(T—/C—) = = P(C T) = P(C) + P(T) – P(C T) P(C T) = 0,4 + 0,3 – 0,2 = 0,5 P( ) = 1 – P(C T) = 1 – 0,5 = 0,5 P(C—) = 1 – P(C) = 1 – 0,4 = 0,6 P(T—/C—) = =

b) Se aplica la probabilidad condicionada y las propiedades de la probabilidad.

P(C/T—) = = =

= = = 0,29

66. De los turistas que visitan Málaga, el 60% hace el viaje en avión, el 30% lo hace por carretera y el 10% lo hace en tren. El 70% de los que viajan en avión, el 80% de los que viajan por carretera y el 50% de los que via-jan en tren van a las playas de la costa occidental.

2 7 0,4 – 0,2 0,7 P(C) – P(C T—) P(T—) P(C T—) P(T—) 5 6 0,5 0,6 C «T P(TC) P(C—) P(T—C—) P(C—) 19 100 19 40 2 5 19 40 114 225 225 600 75 135 135 600 96 240 240 600 2 5 240 600 4 25 96 240 240 600 38 75 114 225 1 10 60 135 135 600 P O 144/240 96/240 144 P 96 O A 240 N 135 C 225 P O P O 60/135 75/135 60 P 75 O P O P O 111/225 114/225 111 P 114 O P O A N C 240/600 135/600 225/600 R «L R «L 16 31 1 4 — · — 2 10 1 3 1 4 — · — + — · — 2 8 2 10 41 80 4 10 1 2 5 8 1 2

(21)

Ejercicios y problemas

a) Si se selecciona al azar un turista que ha visitado Má-laga, ¿cuál es la probabilidad de que haya estado en las playas de la costa occidental?

b) Si se selecciona al azar un turista que ha visitado Má-laga y que ha estado en las playas de la costa occi-dental, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado en tren?

Solución:

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(O) = 0,6 · 0,7 + 0,3 · 0,8 + 0,1 · 0,5 = 0,71 b) Se aplica el teorema de Bayes.

P(T/O) = = = 7 %

67. Se lanzan cinco monedas al aire. Calcula:

a) la probabilidad de no obtener ninguna cara. b) la probabilidad de obtener una cara. c) la probabilidad de obtener más de una cara. Solución:

P(XXXXX) = · · · · =

b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. 5 · P(CXXXX) = 5 · · · = c) P(Más de una cara) = 1 – P(0C, 1C) = = 1 –

(

+

)

= 1 – = 13 16 3 16 5 32 1 32 5 32 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 32 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 71 0,1 · 0,5 0,6 · 0,7 + 0,3 · 0,8 + 0,1 · 0,5 A O O– C O O– T O O– 0,6 0,7 0,3 0,8 0,2 0,5 0,5 0,1 0,3

(22)

Investiga sobre la

Ley de los grandes números:

si-mula el lanzamiento de un dado con forma de

te-traedro con las caras numeradas del 1 al 4. Haz

distintos lanzamientos, cuenta el número de

lanza-mientos y las frecuencias absolutas de obtener una

de las caras; por ejemplo, el

3. Calcula las

frecuen-cias relativas y represéntalas en un gráfico de líneas.

¿Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas,

que, en definitiva, es la probabilidad?

69.

Internet.

Abre:

www.editorial-bruno.es

y elige

Matemáticas, curso

y

tema.

Solución:

Resuelto en el libro del alumnado.

Paso a paso

Windows Excel

70.

En la

Hoja2

del mismo libro investiga sobre la

ley de los grandes números:

simula el lanzamiento de un dado

de forma cúbica con las caras numeradas del 1 al 6. Realiza distintos lanzamientos y cuenta el número de

lanza-mientos y las frecuencias absolutas de obtener una de las caras; por ejemplo, el

5. Calcula las frecuencias

relati-vas y represéntalas en un gráfico de líneas. ¿Hacia qué valor tienden las frecuencias relatirelati-vas, que en definitiva es

la probabilidad?

71.

_{En la}

_Hoja3

_{del mismo libro, haz otro estudio análogo al anterior para un dado de forma octaédrica, con las}

ca-ras numeradas del 1 al 8 y obtener, por ejemplo, el

6. ¿Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas, que en

definitiva es la probabilidad?

Solución:

(23)

72.

En la

Hoja4

del mismo libro, haz otro estudio análogo al anterior para un dado de forma de dodecaedro, con

las caras numeradas del 1 al 12 y obtener la cara

9. ¿Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas, que en

de-finitiva es la probabilidad?

73.