Cálculo II (0252) TEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. Semestre

(1)

Semestre

1-2011

José Luis Quintero

Mayo 2011

TEMA 2

INTEGRAL

DEFINIDA

Cálculo II (0252)

Semestre 1-2011

(2)

INTRODUCCIÓN

Integral Definida Pág.: 101 de 150

Prof. José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252) - TEMA 2

2.1. INTRODUCCIÓN

El calcular integrales constituye un proceso extraordinariamente importante en Cálculo. Se comienza en este capítulo introduciendo la noción de integral definida conectándola con el tema anterior a través del teorema fundamental del Cálculo. Se demostrará además como el área, el valor medio y otras cantidades pueden ser definidas mediante la integración. Se dará también el teorema del valor medio para integrales y ciertos métodos de cálculo numérico para la estimación de las integrales definidas.

2.2. SUMATORIAS

Dados n números reales a , a , ..., a , la suma de estos puede ser expresada como ₁ ₂ _n n i i 1 a =

∑

donde el símbolo de sumatoria Σ (sigma) indica que se suman los números a_i cuando i, llamado índice, varía desde 1 hasta n. De modo que

n i 1 2 n i 1 a a a ... a . = = + + +

∑

El índice puede comenzar en cualquier entero positivo, terminando siempre con cualquier entero positivo superior.

A. PROPIEDADES: • n n i i i 1 i 1 ka k a = = =

∑

• n n n i i i i i 1 i 1 i 1 (a b ) a b = = = ± = ±

∑

∑ ∑

(3)

SUMATORIAS

B. FÓRMULAS: • n i 1 n(n 1) i 2 = + =

∑

• n 2 i 1 n(n 1)(2n 1) i 6 = + + =

∑

• n 2 3 i 1 n(n 1) i 2 = +   =   

∑

• n 4 3 2 i 1 n i (n 1)(6n 9n n 1) 30 = = + + + −

∑

2.3. SUMAS DE RIEMANN

Si f es una función continua y positiva en el intervalo [a,b], el área comprendida entre el gráfico de y =f(x) y el eje de las abscisas (x) en [a,b] puede ser aproximada usando la fórmula del área de un rectángulo de base b−a y de altura h= f(x ),* siendo x un punto * cualquiera que se elige entre a y b. En consecuencia:

*

A ≈(b−a)h=(b−a)f(x ).

Para obtener una mejor aproximación se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos

0 1 1 2 n-1 n

[x , x ], [x , x ], ..., [x , x ]

con n+1 puntos x , x , ..., x tales que ₀ ₁ _n

0 1 2 n

a=x < x < x <...<x =b, y se construyen como antes rectángulos de alturas

* * *

1 2 n

(4)

SUMAS DE RIEMANN

y de bases

1 0 2 1 n n 1

x −x , x −x , ..., x −x ₋ ,

donde x , x , ..., x , son puntos cualesquiera elegidos en cada uno de los n subintervalos ₁* *₂ *_n respectivamente. Así se tiene que una mejor aproximación al área A bajo la curva de y₌ f(x), entre a y b y sobre el eje x viene dada por

n n * * i i 1 i i i i 1 i 1 A (x x₋ )f(x ) x f(x ) , = = ≈

∑

− =

∑

∆

donde ∆ =x_i x_i−x_{i 1}₋ es la longitud de cada subintervalo.

Las sumas que aproximan al área A tratada anteriormente se llaman sumas de Riemann en honor al matemático del siglo XIX, George F. Riemann (1826-1866) quién demostró que con un proceso de paso al límite se obtiene el valor exacto del área. En las sumas de Riemann anteriores se trabajó considerando la función f continua y positiva en [a,b], los resultados fueron números positivos y representaban una aproximación del área. Cuando f(x) es una función continua cualquiera, la suma de Riemann puede dar cualquier resultado: positivo, negativo o cero.

2.4. INTEGRAL DEFINIDA

Definición 1. (Integral definida). Sean f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y n * i i i 1 x f(x ) = ∆

∑

una suma de Riemann de f(x) en [a,b]. Se define la integral definida de f(x) en [a,b] como el número n * i i n i 1 I lím x f(x ) →∞ = =

∑

∆

(5)

SUMAS DE RIEMANN

En tal caso se dice que f(x) es integrable en [a,b] y se usa la notación

b

a

I=

∫

f(x)dx donde a<b.

Los extremos a y b se llaman límite inferior y superior de integración respectivamente, f(x) se llama integrando y f(x)dx se llama elemento de integración. El símbolo dx indica cuál es la variable de integración.

Si una función es positiva en un intervalo [a,b], la integral definida representa geométricamente al área comprendida entre el eje x y el gráfico de la función. Si f(x) es negativa en [a,b] entonces g(x)= −f(x) es positiva en [a,b] y el gráfico de g(x) es una reflexión del gráfico de f(x) respecto del eje X, de modo que

b b b

a a a

A =

∫

g(x)dx=

∫

−f(x)dx= −

∫

f(x)dx.

TEOREMA 1. Si una función f(x) es acotada y continua en el intervalo [a,b], excepto en un número finito de puntos, entonces f(x) es integrable en y continua en [a,b].

Observación 1. Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces f es integrable en [a,b].

2.5. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO

INTEGRAL

TEOREMA 2 (PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL). Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y sea

x

a

G(x)=

∫

f(t)dt

una integral indefinida de f, entonces G es una primitiva de f.

(6)

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO INTEGRAL

Este teorema proporciona una primera relación entre la integración y la diferenciación de funciones, y el mismo establece a groso modo que “la función derivada de la integral indefinida de una función continua f es la misma función f”. Así que el proceso de derivación aparece como un proceso inverso al proceso de integración.

TEOREMA 3. (SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL). Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y sea F(x) cualquier primitiva de f en [a,b], entonces

b

a

f(x)dx₌F(b) F(a).₋

∫

(Fórmula de Barrow)

Este teorema es la expresión de una segunda relación entre la integración y diferenciación de funciones y establece que “la integral indefinida de una función derivable F con derivada continua; es la misma función F salvo una constante dada por - F(a).

Este último teorema constituye la “clave mágica” para el cálculo de integrales: si se desea calcular la integral de una función f en un intervalo dado [a,b], se “calcula” primero una función primitiva F cualquiera de f, y entonces

b

a

f(x)dx=F(b) F(a).−

∫

A continuación algunos ejemplos ilustrativos de la aplicación de los conceptos y teoremas expuestos anteriormente:

Ejemplo 1. La integral 4 2 0 x −2x−3 dx

∫

representa el área de una región R, grafíquela y calcúlela.

Solución.

(7)

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO INTEGRAL

Figura 1. Gráfica del ejemplo 1

Al calcular el área se tiene que:

4 3 4 2 2 2 0 0 3 3 4 3 3 2 2 0 3 x 2x 3dx (x 2x 3)dx (x 2x 3)dx x x x 3x x 3x 3 3 64 64 34 (9 9 9) 16 12 9 10 3 3 3 − − = − − − + − −     = −_ − − _ +_ − − _       = − − − + − − + = − + =  

∫

Ejemplo 2. Calcula el área comprendida entre el eje x, la función y=1+ln(x) y las rectas 2

x , x₌ 1₄ ₌

Solución.

Al graficar la función nos damos cuenta que una parte es negativa; como debemos hallar el área encerrada por la región descrita aplicamos valor absoluto así la integral queda escrita como: 2 1/4 1 ln(x) dx+

∫

= 1/e 1/4 (1 ln(x)) dx − +

∫

+ 2 1/e (1 ln(x)) dx+

∫

(8)

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO INTEGRAL

2 1/4 1 ln(x) dx+

∫

= -1/e 1/4 (1 ln(x)) dx+

∫

+ 2 1/e 1 ln(x) dx+

∫

(1) Al revolver tenemos: 1 ln(x) dx+ = dx + ln(x)dx

∫

(2) Luego: ln(x) dx

∫

Se resuelve por partes llamando

dx u ln(x) du x = ⇒ ₌ ; dv = dx luego v = x y tenemos: 1 ln(x) dx x ln(x) x. dx x ln(x) x c x = − = − +

∫

Volviendo a (2) tenemos: x + xln(x) –x = xln(x); sustituyendo en (1) y aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo nos queda:

-1/e 1/4 (1 ln(x)) dx+

∫

+ 2 1/e 1 ln(x) dx₊

∫

= 1ln(e )1 1ln( )1 2 ln(2) 1ln(e )1 2 3ln(2) e 4 4 e e 2 − −     −_ − _+_ − _ = +    

Ejemplo 3. Calcule, usando la definición de integral

1 2 0 (3−x ) dx

∫

Solución.

Tomamos una partición del intervalo cerrado [0,1] de n subintervalos donde cada subintervalo tiene longitud

b a 1 0 1 x n n n − − ∆ = = = y xi = a + b ai 0 1 0i 1i n n n − _{= +} − ₌ , con i = 0, 1, 2 ....,n,

por lo tanto tenemos una partición del intervalo [0, 1]:

P[0,1] = x₀ 0 , x₁ 1, x₂ 2 , x₃ 3 , , x_n n 1 n n n n   = = = = = =    ⋯  Entonces, n n n n n 2 2 2 i 2 3 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 1 1 i 1 1 f(x ) x 3 3 3 i n n n n n n = = = = =  _{ } _{ }     ∆ = −_{ } _{ } = _ − _= − =  _{ } _{ } _ _  

∑

(9)

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO INTEGRAL

( )

(

)(

)

(

)(

)

3 2 n n 1 2n 1 n 1 2n 1 3 1 1 n 3 n n 6 6 n    ₊ ₊   ₊ ₊  = − _ _=  − _ _        . Luego,

(

)(

)

1 ₂ 2 2 2 n n n 0 n 1 2n 1 1 1 2n 3n 1 (3 x ) dx lím 3 lím 3 lím 6 n 6 n →∞ →∞ →∞   ₊ ₊  ₊ ₊ − =  − _ _ = −  _ _  

∫

2 2 2 2 2 2 n n 2 n n 1 2 3 1 _n _n _n 1 3 1 1 8 3 lím 3 lím 2 3 6 n 6 n n 3 3 n →∞ →∞ + + = − = − + + = − = Por lo tanto, 1 2 0 8 (3 x ) dx 3 − =

∫

Ejemplo 3. Calcule el límite pasando a una integral definida.

n ₂ ₂ ₂ 1 1 1 lím ... 1 2 n (2n 1)ln 2 (2n 2)ln 2 (2n n)ln 2 n n n →+∞      ₊ ₊ ₊         +  +  +  +  +  +           

pasando a una integral definida.

Solución. En forma compacta n n 1 n 2 i i 2 i n n n n n i 1 i 1 1 lím lím (2n i)ln ( 2) (2 )ln ( 2) →+∞ →+∞ = = = + + + +

∑

. Se tiene entonces: n n ₃ _ln(3) ln(3) 2 * 2 * 2 2 i i n n _ln(2) n n 2 ln(2) i 1 i 1 1 1 1 1 dx du 1 lím lím n (2 )ln ( 2) n x ln (x ) x ln (x) u u 1 1 1 1 . ln(3) ln(2) ln(2) ln(3) →+∞ →+∞ = = = = = == − + + = − + = −

∑

_∫

Ejemplo 4. Calcule n 1 2 2. 1 2. 1 3 n n lím ... 1 2 n n 3 n n 2. 1 n n 2. 1 n n →+∞   + +    ₊ ₊ ₊   ₊  + + + +    

(10)

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO INTEGRAL

Solución. n ₁ ₃ ₃ 2 n 0 1 1 i 1 3 2 2 1 2.i 1 1 n 2x 1 u 1 lím dx du u 1 du n 2.i 1 2x 1 1 u 1 u 1 1 n u 1 3 (u 2x 1 udu dx) u ln(1 u) 2 3 ln 2 2 →+∞ =   +   +    ₌ ₌ ₌ _ _{− +} _   ₊ ₊ ₊  ₊  + +         ₊ = + ⇒ ₌ ₌  _{− +} ₊  _{= −} ₊ _ _      

∑

_∫

Ejemplo 5. Calcule 2 2 /n 2 4 /n 2 6 /n 2 8 /n 2 2n/n 3 n 1 lím 1 e 2 e 3 e 4 e ... n e n →∞  ₊ ₊ ₊ ₊ ₊   

pasando a una integral definida.

Solución. n n ₂ n ₁ 2 2i/n 2(i/n) 2 2x 2 2x 3 n n n 0 i 1 i 1 i 1 1 ₁ 1 1 2 2x 2 2x 2x 2 2x 0 0 0 0 2 2x 1 2x 2 1 ₁ 1 2x 2x 2x 0 0 0 1 1 i 1 lím i e lím e lím x e x e dx n n n n 1 1 x e dx x e xe dx e xe dx 2 2 u x du 2xdx , dv e dx v e 1 1 xe dx xe e dx 2 2 →∞ →∞ →∞ = = =   =   = =   = − = − = ⇒ = = ⇒ = = −

∑

_∫

∫

1 1 2x 2x 2 2 0 0 2x 1 2x 2 1 1 1 1 1 xe e e e . 2 4 2 4 4 u x du dx , dv e dx v e = − = − + = ⇒ = = ⇒ = Por lo tanto 1 ₁ 1 2 2x 2 2x 2x 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 x e dx x e xe dx e e e (e 1)(e 1). 2 2 2 4 4 4 = − = − + − = + −

∫

Ejemplo 6. Calcule el límite pasando a una integral definida:

[

2 2 2 2

]

3 n _n 4 n 16 n ... 4n n 2 lím − + − + + − ∞ → Solución.

[

]

2 dx ) 1 x ( dx ) x 1 ( dx 1 x 1 n i 2 n 2 lím n i 4 n 2 lím n n 4 ... n 16 n 4 n 2 lím 2 1 2 1 0 2 2 0 2 n 1 i 2 n n 1 i 2 2 3 n 2 2 2 2 3 n = − + − = − = −       = − = − + + − + −

∫

∑

= ∞ → = ∞ → ∞ →

(11)

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO INTEGRAL

        − + + − + − ∞ → 2 2 2 2 n _n ₄_n _n 1 ... 4 n 4 n 1 1 n 4 n 1 lím Solución. 3 2 x 4 dx x 4 x x 4 x n 1 lím ) ( 4 n 1 lím i n 4 i n 1 lím n n 4 n n ... 4 n 4 n 2 1 n 4 n 1 lím 1 0 2 1 0 2 n 1 i 2 i i n n 1 i 2 n i n i n n 1 i 2 2 n 2 2 2 2 n − = − − = − = − = − = − =         − + + − + −

∫

∑

= ∞ → = ∞ → = ∞ → ∞ →

[

]

∑

= ∞ → + − n 1 i n n nlím ln( n i) ln( n) Solución.

[

]

1 ) 2 ln( 2 1 ) 1 ) 2 (ln( 2 ) 1 ) x (ln( x dx ) x ln( ) x ln( n 1 lím n i 1 ln n 1 lím n i n ln lím ) n ln( ) i n ln( lím 2 1 2 1 n 1 i i n n 1 i n n 1 i n n n 1 i n n n − = + − = − = = =       + =         ₊ = − +

∫

∑

= ∞ → = ∞ → = ∞ → = ∞ →

        − + + − + − ∞ → 2 2 2 2 n ₅_n ₄_n n 2 ... 16 n 5 4 4 n 5 2 n 2 lím Solución. n 2 2 2 2 2 2 n n i 1 2 2 4 2n 2 2 i lím ... lím n _5n ₄ _5n ₁₆ _5n _4n n _5n _4i → ∞ → ∞ =     + + + =     _ _  ₋ ₋ ₋  ₋  

∑

  n n 1 2 2 2 n n 0 i 1 i 1 i 2 2 i n 1 x l ím 4 lí m 4 d x n _i _i n ₅ _{4 x} n 5 4 5 4 n n → ∞ → ∞ = =             =   =   =  _ _   _ _  ₋ − −          _ _   _ _     

∑

_∫

Calculemos la integral haciendo el cambio de variable u2_{= 5 – 4 x}2_{; 2u du = - 8 x dx y los} límites de integración se transforman en: cuando x = 0 , u =

5

y cuando x = 1 , u = 1, entonces,

(12)

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO INTEGRAL

1 5 5 1 2 0 1 x 4 dx du u 5 1 5₋4x = = = −

∫

Ejemplo 10. Calcule 5 h 5 2 2 0 0 h 0 sen(x )dx sen(x )dx lím h + → −

∫

. Solución.

Se define la función f : 0,_ _{∞ →}

)

R por

x 2 0 f(x)=

∫

sen(t )dt. Luego 5 h 5 2 2 2 0 0 x 5 h 0 h 0 sen(x )dx sen(x )dx f(5 h) f(5) lím lím f '(5) sen(x ) sen(25) h h + = → → − + − = = = =

∫

. Ejemplo 11. Si g(x) 3 0 dt f(x) 1 t = +

∫

, donde cos(x) 2 0 g(x)=

∫

_1+sen(t ) dt_ , halle f '( )₂π . Solución.

Sea k(t)_{= +}1 sen(t )2 tal que K '(t)₌k(t). Se tiene entonces:

g(x)₌K(cos(x)) K(0)₋ ⇒g'(x)_{= −}sen(x).k(cos(x)). Sea 3 1 h(t) 1 t = +

tal que H'(t)=h(t). Se tiene entonces:

2 2 2

(13)

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO INTEGRAL

Ejemplo 12. Halle la función f(x) y el valor de la constante C que satisfacen la ecuación

5 x ₃ 3/x 6 /5 1 2 (f(t)) 1 2 dt e C (x 0) 3 x 5t + _{= −} ₋ ₊ _≠

∫

Solución.

Derivando con respecto a x en ambos lados de la ecuación

5 3 5 3 3 /x 4 3 /x 5 3 3 /x 5 1/x 6 /5 2 2 2 2 2 (f(x )) 1 3 2 2 (f(x )) 2 e 5x e (f(x )) e f(x ) e 3 5x x x x x + ₌ ₊ _⇒ + ₌ + _⇒ ₌ _⇒ ₌ 5 5 1 / 5 1 / z (z= x ⇒x ₌z )⇒f(z)₌e . Por tanto 5 1 / x f(x)=e . Si x ₌1 entonces 3 3 1 e 0 e 2 C C 2 3 3 = − − + ⇒ ₌ ₊ .

Ejemplo 13. Halle f(x) sabiendo que satisface la ecuación

arcsen(x) 2 2 0 f(t) dt (arcsen(x)) 1−t =

∫

. Solución. Sea 2 f(t) g(t) 1 t = − ,

entonces se tiene que

arcsen(x) 2 0 g(t)dt =(arcsen(x))

∫

. Ahora arcsen(x) 2 2 0 2 2

g(t)dt (arcsen(x)) (G(arcsen(x)) G(0)) (arcsen(x))

g(arcsen(x)) (arcsen(x)) 1 x = ⇒ ₋ ₌ ⇒ ₌ −

∫

Derivando:

(14)

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO INTEGRAL

2 2 2 g(arcsen(x)) 2(arcsen(x)) g(arcsen(x)) 2(arcsen(x)) 1 x 1 x f(arcsen(x)) 2(arcsen(x)) 1 (arcsen(x)) f(arcsen(x)) 2(arcsen( = ⇒ ₌ − − ⇒ ₌ − ⇒ ₌ _{x)) 1 (arcsen(x))}₋ 2 _⇒_f(x)₌_{2x 1}₋_{x .}2

Ejemplo 14. Para la función

2 x 2 2x F(x)=

∫

ln(t +4)dt

halle una ecuación de la recta tangente en x=2.

Solución.

Se tiene la ecuación de la recta tangente a F(x) en x ₌2 en la forma punto pendiente como y−F(2)=F '(2)(x−2).

Se comprueba que F(2)=0. Por otra parte si

2 g(t)=ln(t +4) se tiene 2 F(x)=G(x ) G(2x)− . Derivando: 2 4 2 F '(x)=2x.g(x ) 2.g(2x)− ⇒F '(x)=2x.ln(x +4) 2.ln(4x− +4)⇒F '(2)=2 ln(20) La ecuación de la recta tangente es entonces

y =2(x−2)ln(20). Ejemplo 15. Calcule g(x) 6 2 0 2 x 1 1 dt 1 sen (t) t lím x 1 → + + −

∫

, donde x 3 1 g(x)₌

∫

sen (t)dt. Solución. Sean 3 6 2 1 f(t) y h(t) sen (t) 1 sen (t) t = = + + ,

(15)

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO INTEGRAL

g(x) 0 2 2 x 1 x 1 f(t)dt F(g(x)) F(0) 0 lím lím 0 x 1 x 1 → → − = = − −

∫

.

Eliminando indeterminación, con L’Hospital:

3 3 2 x 1 x 1 x 1 F(g(x)) F(0) f(g(x))g'(x) f(g(x))h(x) f(g(1))h(1) f(0)sen (1) sen (1) lím lím lím 2x 2x 2 2 2 x 1 → → → − ₌ ₌ ₌ ₌ ₌ − . Ejemplo 16. Calcule 1 0 xf ''(2x)dx

∫

sabiendo que f(0)₌1, f(2)₌3, f '(2)₌5. Solución. Se define la integral xf ''(2x)dx

∫

.

Utilizando integración por partes se tiene que:

1 u x du dx , dv f ''(2x)dx v f '(2x) 2 = ⇒ ₌ ₌ ⇒ ₌ . Luego: 1 1 1 1 xf ''(2x)dx xf '(2x) f '(2x)dx xf '(2x) f(2x) C 2 2 2 4 = − = − +

∫

. Ahora se tiene: 1 ₁ 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 xf ''(2x)dx xf '(2x) f(2x) f '(2) f(2) f(0) .5 .3 .1 2 2 4 2 4 4 2 4 4 = − = − + = − + =

∫

Ejemplo 17. Si f(0) 4 π = y 0 f(x) f ''(x) sen(x)dx π + = π    

∫

, calcule f( )π . Solución.

(16)

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO INTEGRAL

0

0 0

0

0 0 0

f''(x)sen(x)dx f '(x)sen(x) f'(x)cos(x)dx

u sen(x) du cos(x)dx dv f ''(x)dx v f '(x)

f''(x)sen(x)dx f'(x)cos(x)dx f(x) cos(x) f(x)sen(x)dx

u cos(x)dx du sen( π π π π π π π = − = = = = = − = − − = = −

∫

0 0 0 0 x)dx dv f '(x)dx v f(x)

(f(x) f''(x))sen(x)dx f(x)sen(x)dx f(x) cos(x) f(x)sen(x)dx

3 f( ) f(0) f( ) f( ) 4 4 π π π π = = + = − − = π π π π + = π⇒ _{π +} _{= π}⇒ _{π =}

∫

Ejemplo 18. Sea g(t) una función impar tal que g(1)=3 y sea

2 x 6 3 x g(t) F(x) dt 1 t − = +

∫

.

Halle la ecuación de la recta tangente a F(x) en x =1.

Solución. 1 6 1 g(t) F(1) dt 0 1 t − = = +

∫

,

ya que se sabe que g(t) es impar y k(t)= +1 t6 es par. Ahora bien, el cociente entre una función impar y una función par es otra función impar.

Ecuación de la recta tangente pedida: y =F '(1)(x 1)− .

2 3 12 2 2 /3 g(x ) g( x) 1 g(1) 1 1 5 F '(x) .2x . F '(1) g(1) . 3 . 2 3 2 2 1 x 1 ( x) 3x − = + ⇒ ₌ ₋ _{= −} ₌ + + −

Por lo tanto: Ecuación de la recta tangente pedida: 5 2

y= (x−1).

Ejemplo 19. La función f(x) satisface la siguiente ecuación:

[

]

∫

− + + = −

∫

1 2 x 0 3 ) x ( sen 3 _arcsen₍_t₎_dt x dt ) 1 t ln( ) t ( f Calcule f(0). Solución. Derivando se tiene 2 2 2 f(x −1).2x+ln(x ).2x=3x +arcsen(sen(x)).cos(x)

(17)

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO INTEGRAL

Si u= x2−1 se tiene que x2 = +u 1y x= u 1+ . Así,

f(u).2 u 1+ +2 u 1 ln(u 1)+ + =3(u 1)+ + u 1.cos( u 1)+ + Por tanto, _2f(0) ₃ _cos(1) _f(0) 3 cos(1) 2 + = + ⇒ ₌ Ejemplo 20. Calcule

∫

− − + → + 1 x e x 2 x 0 0 x dt )) 1 t (ln( g dt )) t ( sen ( g lím , si g(0)=1. Solución.

Al evaluar la expresión dada nos resulta:

x 0 g(sen(x)) g(sen(0)) 0 Lim g(x) g(ln( x 1) 0 + → − ₌ − − +

Indeterminación que eliminamos usando L’hopital y nos queda:

x 0

2x.g(sen(x)) g(sen(x)) 2.(0).g(sen(0)) g(0) 0

Lim 0 1 1 g(x).e g(ln( x 1)).( 1) g(0).e g(ln(1)).(1) + → − ₌ − ₌ ₌ + − − + − +

Ejemplo 21. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función definida por

∫

− = ) x ( 2 sec 2 2 t 1 _dt e ) x ( F en el punto 4 x= π. Solución.

La ecuación de la recta tangente en el punto x 4 π = ; tiene la forma: y F F ' x 4 4 4 π π π       − _{ }= _{  } − _      

Así, busquemos los valores de F y F '

4 4 π π            

( )

4 1 sec ₄ _{1 4} F e e 0 4 π − ₋ π   = − =    

(18)

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO INTEGRAL

( )

_{1 sec}4( )_x

' 2 1 4

F x =e − .2 sec (x)tag(x)−e − .0; Al evaluar en el punto dado tenemos que :

( )

_{1 sec}4

( )

' 4 2 1 4 3 4 F ₄ e .2 sec ( ₄)tag( ₄) e .0 e π − ₋ π ₌ π π ₋ ₌

Luego la ecuación de la recta tangente viene expresada como:

3 4 y F F ' x y 0 x e 4 4 4 4 π π π π         − _{ } = _{  } − _⇒ _{− =} _ ₋ _        

Ejemplo 22. Pruebe que

x x /2 2 /2 x sen(t) lím dt 1 t x π →π π    ₌  ₋  

∫

 Solución.

Cuando x_→₂π el limite presenta la forma indeterminada 0

0, aplicando l´hopital x /2 /2 x /2 x /2 /2 sen(t) sen(x) dt x t x _sen(t) lím lím dt sen(x) 1. 1 t π π →π →π π + = + =

∫

La integral da cero porque tiene límites de integración iguales y por lo tanto al evaluar el límite queda sen(x) que evaluado resulta igual a 1.

Ejemplo 23. Determine en cada afirmación, si es verdadera o falsa, acompañando con una justificación: a. Si F(x) t 5dt 2 x 3 2

∫

+ = , entonces F'(2)=9/4. Solución. 21 4 ) 2 ( ' F 5 x x 2 ) x ( ' F ) x ( xg 2 ) x ( ' F ) 3 ( G ) x ( G ) t ( G dt ) t ( g dt 5 t ) x ( F 4 2 2 2 x 3 2 x 3 2 x 3 2 = ⇒ + = ⇒ = ⇒ − = = = + =

∫

Por lo tanto, la afirmación es FALSA.

b. Si I tg (x)dx 4 / 0 n n

∫

π = con n>1, entonces 1 n 1 I I_n _n ₂ − = + ₋ . Solución.

(19)

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEL CÁLCULO INTEGRAL

2 n 2 n 4 / 0 1 n 4 / 0 2 n 2 4 / 0 2 n 2 4 / 0 2 n 2 4 / 0 2 n 4 / 0 n n I 1 n 1 I 1 n ) x ( tg dx ) x ( tg dx ) x ( sec ) x ( tg dx ) 1 ) x ( )(sec x ( tg dx ) x ( tg ) x ( tg dx ) x ( tg I − − π − π − π − π − π − π − − = − − = − = = − = = =

∫

Entonces: 1 n 1 I I 1 n 1 I In n 2 n 2 n 2 − = + − − = + − − − .

Por lo tanto, la afirmación es VERDADERA.

2.6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

A. Integral en un intervalo degenerado

Si f es integrable en a se tiene que

a

f(x)dx=0

∫

B. Integral de una constante

Si f(x)₌c, el área representada por la integral definida en [a,b] es tan sólo un rectángulo de base b-a y altura c. De acuerdo a esto se tiene que:

b

a

cdx₌c(b₋a).

∫

C. Permutación de los límites de integración

Si f(x) es integrable en [a,b], al permutar los límites de integración la integral cambia de signo:

b a

a b

f(x)dx = − f(x)dx

(20)

PROPIEDADES DE LA

INTEGRAL DEFINIDA

D. Múltiplo integrable

Si f(x) es integrable en [a,b], toda constante real puede salir de la integral:

b b a a f(x)dx f(x)dx α = α

∫

E. Linealidad

Si f y g son integrables en [a,b], también lo es la combinación αf(x)+ βg(x) para todo par de constantes reales α yβ. En este caso se tiene:

b b b a a a f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx α + β = α + β    

∫

F. Linealidad del intervalo

Si f es integrable en [a,b] y c es un número real tal que a< <c b, entonces: b c b a a c f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx

∫

G. Comparación

Si f y g son integrables en [a,b] y f(x)≤g(x) para cada x∈[a,b], entonces:

b b

a a

f(x)dx≤ g(x)dx

∫

H. Acotación

Si f es integrable en [a,b], m y M son números tales que m_≤ f(x)_≤M para cada x∈[a,b], entonces:

b

a

(21)

PROPIEDADES DE LA

INTEGRAL DEFINIDA

A continuación se desarrollan ejemplos que ilustran los conceptos e ideas expuestas anteriormente.

Ejemplo 24. Calcule la integral

sen(ax).sen(bx)dx π −π

∫

(a y b enteros positivos) Solución. Primer caso: (a=b) 2 1 1 1

sen (ax)dx (1 cos(2ax))dx x sen(2ax)

2 2 2a π π _π −π −π −π   = − =  −  = π  

∫

Segundo caso: (a_≠b)

Usando la identidad sen(ax).sen(bx) 1 cos((a b)x) cos((a b)x) 2

= _ − − + _, se tiene que:

1 1 sen((a b)x) sen((a b)x)

sen(ax).sen(bx)dx cos((a b)x)dx cos((a b)x)dx

2 2 a b a b   _ ₋ ₊ _ =  − − + = _ − _ − +      

∫

De modo que:

1 sen((a b)x) sen((a b)x) sen((a b) ) sen((a b) )

sen(ax).sen(bx)dx 0 2 a b a b a b a b π _π −π −π − + − π + π   = _ ₋ − ₊ _ = ₋ − ₊ =

∫

Ejemplo 25. Calcule 2 2 2 sen(x) x 1 sen(x) dx 2 ln(2 x ) π −π  _{+ +}  −   +  

∫

,

aplicando las propiedades de la integral definida.

Solución. 2 2 2 2 2 2 2 2 sen(x) x 1 sen(x) x 1 sen(x) dx dx sen(x) dx 2 2 ln(2 x ) ln(2 x ) π π π −π −π −π  ₊   ₊    + − = + −       + +      

∫

2 2 2 sen(x) x dx 0 ln(2 x ) π −π  ₊  =   +  

∫

ya que el integrando es una función impar.

2 6 2 2 2 6 6 2 2 6 1 1 1

sen(x) dx sen(x) dx sen(x) dx

2 2 2 x x 3 3 cos(x) cos(x) 3 2 2 12 2 4 4 12 2 6 π π π −π −π π π π −π π       − = − + −             π π π π π     = +  − +  = + + − + + = +    

∫

(22)

PROPIEDADES DE LA

INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo 26. Calcule 4 ₂ 3 2 x 4 xsen (x) x x dx e π −π   − −      

∫

,

Solución. Sea 2 2 x x.sen (x) f(x) e = :

a. D(f)₌R (simétrico respecto al origen).

b. 2 2 2 2 ( x) x ( x).sen ( x) x.sen (x) f( x) f(x) e− e − − − = = − = − . Por tanto: f(x) es una función impar y

/ 4 / 4 f(x)dx 0 π −π =

∫

.

Por otro lado:

(

)

3 3 3 x x x , 1 0,1 x x x x x 1, 0 1,  ₋ _{∈ −∞ − ∪}_ _ _     − =  − + ∈ − ∪ +∞  _ _ _  . Entonces: /4 0 /4 ₂ 0 ₂ / 4 4 /3 4/3 3 3 3 /4 0 /4 /4 0 3 x 3 x x x dx ( x x)dx ( x x)dx x x 4 2 4 2 π π π −π −π −π     − = − − + − = − −  + −         

∫

4 /3 2 3 2 4 4 32  _{ }_π _π    =   −       Por lo tanto 4 ₂ _{4 / 3} ₂ 3 2 x 4 xsen (x) 3 x x dx 2 4 4 32 e π −π     _{ }_π _π − − =  ₋    _{ }          

∫

. Ejemplo 27. Calcule 2 ₃ 2 sen(x ) x 2 dx x 1 − + − +

∫

,

Solución. 2 3 2 ₃ 2 2 2 2 sen(x ) x 2 _{sen(x )} x 2 dx dx dx x 1 x 1 x 1 − − − + − − = + + + +

∫

.

(23)

PROPIEDADES DE LA

INTEGRAL DEFINIDA

Sea 3 sen(x ) f(x) x 1 = + . Se tiene que: D(f)=R. 3 3 3

sen(( x) ) sen( x ) sen(x )

f( x) f(x)

x 1 x 1 x 1

− −

− = = = − = −

− + + + .

Como f(x) es impar sobre cualquier intervalo cuyo punto medio sea x =0, entonces:

2 ₃ 2 sen(x ) dx 0 x 1 − = +

∫

. Sea x 2 g(x) x 1 − = + . Se tiene que: D(g)=R. x 2 x 2 g( x) g(x) x 1 x 1 − − − − = = = − + + .

De modo que g(x) es par sobre cualquier intervalo cuyo punto medio sea x =0. En consecuencia: 2 2 2 3 3 2 0 0 1 1 3 1 x 2 x 2 x 2 z 3 3 dx 2 dx 2 dx 2 dz 2 1 dz x 1 x 1 z z x 1 z x 1 z 3 x 2 dz dx 2 z 3ln(z) 2(3 2 ln(3) 1) 2(2 2 ln(3 − − − − −   = = − = − = −  −  + + +   = + ⇒ _{− = −} ⇒ ₌ _{= −} _ ₋ _ = − − − = − −

∫

))_{= −}4(1 1ln(3))₋ ₌ 4( 1 ln(3))_{− +} Por lo tanto 2 3 2 sen(x ) x 2 dx 4( 1 ln(3)) x 1 − + − = − + +

∫

.

/ 4 2 0 16x.arctg (x)dx π

∫

Solución.

(24)

PROPIEDADES DE LA

INTEGRAL DEFINIDA

/4 ₂ ₂ /4 /4 ₂ 2 2 0 0 0 2 2 2 /4 ₂ /4 2 0 2 0 x arctg (x) x 16x.arctg (x)dx 16. 16 arctg(x) dx 2 1 x 2arctg(x) x u arctg (x) du dx , dv xdx v 2 1 x x x arctg(x)

arctg(x) dx x arctg(x) arctg(x)

1 x 1 x π π π π π   = − _ _ +   = ⇒ ₌ ₌ ⇒ ₌ +   _ ₋ _ =  −  −   _ _ _  ₊  _ ₊  

∫

/4 0 2 2 2 2 /4 ₂ _/4 /4 ₂ ₂ 2 0 0 0 dx dx x 1 u arctg(x) du , dv dx 1 dx v x arctg(x) 1 x 1 x 1 x x 1

arctg(x) dx x arctg(x) arctg(x) ln(1 x ) arctg (x)

2 1 x π π _π π     _ _ = ⇒ ₌ ₌ _ _ ₌ _ ₋ _ ⇒ _{= −} + _ + _  +      =  −  − + −   _ _ _ _  ₊   

∫

₁₆2 /4 ₂ ₂ /4 /4 ₂ 2 2 0 0 0 2 ₂ 2 ₂ 16 16 1 1 ln(1 ) 1 4 2 x arctg (x) x 16x.arctg (x)dx 16. 16 arctg(x) dx 2 1 x 4 16 8 ln(1 ) 1 4 8 8 ln(1 ) 2 2 π π π π π π π   = − − __ + − __   = − _ _ +   π   π = − π + + __ + − __ = − π + + +

∫

Ejemplo 29. Calcule la siguiente integral, aplicando propiedades:

dx x 1 x 1 ) x ( tg 2 4 / 4 / 2

∫

₋π_π _ + − _ + + Solución. dx x 1 x 1 ) x ( tg 2 4 / 4 / 2

∫

₋π_π       − + + + ₌ _dx x 1 1 2 4 / 4 / 2

∫

₋π_π + + 1 x dx ) x ( tg 4 / 4 / 2

∫

₋π_π + + 1 x dx 4 / 4 /

∫

₋π_π−

El intervalo de integración es simétrico y

a. La función f(x) = 2 1 1+x es par , entonces / 4 / 4 4 2 2 0 / 4 0 1 1 2 d x 4 d x 4 a r c tg x 4 1 x 1 x π π π − π = = = + +

∫

b. La función 2 tg(x) g(x) 1 x =

+ es impar por lo tanto / 4 2 / 4 tg(x) d x 0 1 x π − π = +

∫

c. La función h(x) =₁₋ _x es par por lo que

(

)

_ = π

(

− π

)

      − = − = − = − π π π π π −

∫

8 16 2 x x 2 dx x 1 2 dx x 1 2 dx x 1 4 0 2 4 / 0 4 / 0 4 / 4 / Luego,

(25)

PROPIEDADES DE LA

INTEGRAL DEFINIDA

(

− π

)

π + =       − + + +

∫

₋π_π 8 16 4 dx x 1 x 1 ) x ( tg 2 4 / 4 / 2 .

Ejemplo 30. Aplicando propiedades, determine el intervalo donde se encuentra el valor de la integral definida 2 5 0 1+x dx

∫

. Solución. Sea f(x)= 1+x5 . Como

[ ]

0,2 x 0 x 1 2 x 5 ) x ( ' f 5 4 ∈ ∀ ≥ + = ,

usando la propiedad de acotación se tiene que 1≤ 1+x5 ≤ 33 para cada x∈

[ ]

0,2 y por lo tanto 33 2 dx x 1 2 2 0 5 _≤ + ≤

∫

/2 4 0 16x(cos(x)) dx π

∫

Solución. 2 2 2 2 4 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 1 cos(2x) 16 x ( cos(x)) d x 16 x(cos (x)) d x 16 x d x 2

4 x(1 cos( 2x)) d x 4 x(1 2 cos( 2x) cos (2x))d x

4 x d x 8 x cos (2 x) d x 4 x cos (2 x) d x 1 cos(4x 4 x d x 8 x cos( 2 x) d x 4 x π π π π π π π π π π +   Ι = = =     = + = + + = = + + + = + +

∫

2 0 2 2 2 2 0 0 0 0 ) d x 2 4 x d x 8 x cos( 2 x) d x 2 x d x 2 x cos (4 x) d x π π π π π       = + + +

∫

(26)

PROPIEDADES DE LA

INTEGRAL DEFINIDA

I

2 2 2 0 0 0 1 2 6 x dx 8 x cos(2x)dx 2 x cos(4x)dx 1

Integrando por partes la integral :

Tomando u π π π = + + Ι =

Ι

∫

sen(2x) x , du dx , dv cos(2x)dx , v 2 = = = 2 2 2 1 0 ₀ 0 x sen(2x) 1 cos(2x) 1 sen(2x) d x 2 2 4 2 π π π   Ι =  − =  = − 

∫

 .

Integrando por partes la integral I2 :

2 2 2 2 0 0 0 x sen(4x) 1 cos(4x) sen(4x) d x 0 4 4 16 π π π   Ι =  − =  = 

∫

 . Luego, 2 4 0 16 x ( cos(x)) d x π Ι =

∫

2 2 2 2 2 0 0 0 x cos(2x) cos(4 x) 1 6 3 8 2 4 16 4 2 π π π      _π   =  +  +  = _ _−          Por lo tanto, 2 2 4 0 16 x ( cos(x)) d x 3 4 4 π _π  Ι = = _ _−  

∫

emplo 32.1 Calcula la integral

2 2 1 1 d x (1 x ) − +

∫

Solución.

(

)

(

)

1 1 2 2 2 2 1 0 1 1 d x 2 d x 1 x 1 x − = + +

∫

Haciendo el cambio de variable: x = tg(z) , dx = sec2(z)dz

Los límites de integración se transforman en: cuando x = 0 , z = 0 y cuando x = 1 , z = 4 π Entonces,

(

)

(

)

1 ₂ 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 4 4 4 1 sec (z) 1 d x d z d z cos (z) d z sec (z) 1 x 1 tg (z) π π π = = = = + +

∫

(27)

PROPIEDADES DE LA

INTEGRAL DEFINIDA

4 4 0 0 0 0 0 4 ₁ _cos(2z) ₁ 4 4 ₁ _sen(2z) ₁ ₁ d z d z cos(2z) d z z 2 2 2 2 2 4 2 π π π  π π  _ _ +     π  = =  + = _ + _=  +        _ _  

∫

Luego,

(

)

(

)

1 1 2 2 2 2 1 0 1 1 1 d x 2 d x 4 2 1 x 1 x − π = = + + +

∫

Por lo tanto,

(

)

1 2 2 1 1 2 d x 4 1 x − π + = +

∫

.

ral, un intervalo en el cual se encuentra el valor de la integral 1 ₂ _x

2 x e dx. − −

∫

Solución.

La función f(x) = x2e x es monótona decreciente en el intervalo [-2,-1] puesto que

(

)

x

f '( x )=x e 2+ x ≤ 0 para todo x ∈[-2, -1].

Entonces f es acotada ya que f(-1) ≤ f(x) ≤ f(-2) para todo x ∈ [-2 , -1], es decir,

2 x

2

1 4

x e

e ≤ ≤ e para todo x ∈[-2 , -1],

luego f es integrable en dicho intervalo y el valor de la integral dada está en el intervalo [ 1/e , 4/e2].

Ejemplo 34. Calcula la integral

2 1 2 Ln(x) dx

∫

. Solución. Como 1 x 2 2 ≤ ≤ entonces Ln(x) si 1 x 2 Ln(x) ₁ Ln(x) si x 1 2 ≤ ≤   =  − ≤ <  Luego, 2 1 2 1 1 ₁ 2 2 Ln(x) dx = − Ln(x)dx + Ln(x) dx

∫

.

(28)

PROPIEDADES DE LA

INTEGRAL DEFINIDA

Calculemos la integral indefinida

Ln(x)dx

∫

aplicando el método de integración por partes: u = Ln(x) , du = 1dx

x , dv = dx , v = x entonces dx Ln(x)dx xLn(x) x x Ln(x) dx C x Ln(x) x C x = − = − + = − +

∫

. Ahora,

(

)

(

)

2 1 2 ₁ ₂ 1 1 1 1 ₂ 1 2 2 Ln(x) dx = − Ln(x)dx + Ln(x)dx = − x.Ln(x)−x _ + xLn(x)−x _ =  

∫

(

)

1 1 1 Ln(1) 1 Ln 2Ln(2) 2 ln(1) 1 2 2 2     = − − −  + + − − +     1 1 1 Ln(2) 2Ln(2) 1 2 2 = − − + − 3Ln(2) 1 3Ln(2) 1 2 2 2 − = − = Por lo tanto, 2 1 2 3Ln(2) 1 Ln(x)dx 2 − =

∫

Ejemplo 35. Calcula la integral

4 2 2 x sen (x)dx π π

∫

. Solución.

(

)

(

)

(

)

2 2 4 2 2 2 2 2 ₂ 2 2 1 cos(2x) 2 x sen (x)dx 2 x sen (x) dx 2 x d x 2 2 2

x 1 cos(2x) d x x 1 2 cos(2x) cos (2x) d x

2 2 π π π π π π π π π π −   Ι = = =   =   = − = − + =

∫

2 2 2 2 2 2 2 2 2 x d x 2 x cos(2 x) d x x cos (2 x) d x 2 2 2 2 1 cos(4x) x d x 2 x cos(2x) d x x d x 2 2 2 π π π π π π π π π π π π = − + +   = − +    

∫

I1 I2

(29)

PROPIEDADES DE LA

INTEGRAL DEFINIDA

1

Integrando por partes la integral :

sen(2x) Tomando u x , du dx , dv cos(2x)dx , v 2 Ι = = = = 1 2 2 2 x sen(2x) 1 1 cos(2x) 1 sen(2x) d x 0 2 2 2 2 2 π π π π _π π     Ι =  − = +    =   

∫

 .

Integrando por partes la integral I 2 :

sen(4x) u x , du dx , dv cos(4x)dx , v 4 = = = = 2 2 ₂ 2 x sen(4x) 1 cos(4x) sen(4x)dx 0 0 4 4 16 π π π π π π   Ι =  − = +  = 

∫

 . Luego, 4 2 2 x sen (x) d x π π Ι =

∫

3 2 2 2 2 2 9 2 1 4 2 8 2 2 16 _π _π   _π  = _ − _− = _ − _     Por lo tanto, 2 4 2 2 9 2 x sen (x) d x 1 2 16 π π  _π  Ι = = _ − _  

∫

2.7. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

DEFINIDAS

TEOREMA 4. Si f es una función continua en [a,b] entonces existe al menos un número c en [a,b] tal que

b

a

f(x)dx= f(c)(b−a).

∫

Ejemplo 36. Determine el valor de c_∈(0,3) que satisface el teorema del valor medio para la integral 3 2 0 6x−x dx

∫

. Solución. 2 2 2 2 2 2 6x−x = −(x −6x)= −(x −6x+ −9 9)= −(x −6x+9)+ = − −9 (x 3) + = −9 9 (x−3)

(30)

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

PARA INTEGRALES DEFINIDAS

De manera que:

2 2

6x−x dx = 9−(x−3) dx

∫

.

Sea u= −x 3 , du=dx, se tiene entonces:

2 2

9−(x−3) dx = 9−u du

∫

Aplicando la sustitución trigonométrica: u=3sen( ) , duθ =3cos( )dθ θ

2 2 2

2

9 1

9 u du 9 9sen ( )3 cos( )d 9 cos ( )d sen(2 ) C

2 2 9 x 3 (x 3) 6x x arcsen C 2 3 9   − = − θ θ θ = θ θ = _θ + θ +_  _ ₋ _ ₋ ₋    =  + +      

∫

En consecuencia: 3 3 ₂ 2 0 0 9 x 3 (x 3) 6x x 9 9 6x x dx arcsen 2 3 9 2 2 4  _ ₋ _ ₋ ₋  _{ }_π _π   − = _  + _ =  =      

∫

Aplicando el teorema: 2 9 2 2 4 2 2 2 2 6 36 9 3 9 9 3 6c c 6c c 6c c c 6c 0 c 4 4 16 16 2 π ± − π ₌ ₋ _⇒ π ₌ ₋ _⇒ π ₌ ₋ _⇒ ₋ ₊ π ₌ _⇒ ₌ _. Se toma 2 9 4 6 36 c 2 π − − =

que se encuentra en el intervalo.

Ejemplo 37. Determine el valor de c∈(0, 4) que satisface el teorema del valor medio para la integral 4 2 0 16−x dx

∫

. Solución.

La expresión dentro del radical es de la forma a2 −x2; por lo que la sustitución debe ser:

x= 4sen( )θ ⇒dx ₌4 cos( )d_{θ θ}.

2 2 2

2

1 x 1

2 4 16

16 x dx 16 16sen ( )4 cos( )d 16 cos ( )d

8 (1 cos(2 ))d 8( sen(2 )) C 8(arcsen( ) x 16 x ) C

− = − θ θ θ = θ θ = + θ θ = θ + θ + = + − +

∫

Entonces

(31)

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

PARA INTEGRALES DEFINIDAS

4 4 2 x 1 2 4 16 ₀ 2 0 16−x dx =8(arcsen( )+ x 16−x ) =8( )π = π4 .

∫

Aplicando el teorema del valor medio se tiene:

b 2 2 2 2 a f(x)dx=f(c)(b−a)⇒4π =4 16−c ⇒π =16−c ⇒c= ± 16− π

∫

. Se elige c= 16− π ∈2 (0, 4).

2.8. APROXIMACIÓN DE INTEGRALES

Hay dos situaciones en que es imposible calcular el valor exacto de una integral definida. La primera es consecuencia de que para evaluar

b

a

f(x)dx

∫

con el teorema fundamental del cálculo, se necesita conocer una antiderivada de f, sin embargo, a veces es difícil, o hasta imposible, encontrarla. Por ejemplo, es imposible evaluar con exactitud las integrales siguientes:

1 1 2 x 3 0 1 e dx 1 x dx − +

∫

.

La segunda situación se presenta cuando la función se determina con un experimento científico utilizando las indicaciones de instrumentos. Puede no haber fórmula para la función.

Las sumas de Riemann proveen una buena herramienta para calcular aproximaciones a este tipo de integrales definidas. Cualquier suma de Riemann representa una aproximación a la integral definida, en particular se puede usar como altura para los rectángulos aproximantes f(x ), siendo *_i x los extremos derechos o izquierdos de una partición del *_i intervalo [a,b].

(32)

APROXIMACIÓN DE

INTEGRALES

Sea f(x) una función continua en [a,b] y considere una partición de [a,b] en n subintervalos de igual longitud

b a

x ,

n

− ∆ =

con lo cual los puntos extremos de cada intervalo [x_{i 1}₋ , x ]_i vienen dados por x_i =x₀ + ∆i x con i=1, 2,...,n.

A. Aproximación por extremos derechos

Eligiendo los puntos de muestra x como el extremo derecho de cada subintervalo *_i

i 1 i [x₋ , x ] se tiene que n b i a _{i 1} f(x)dx f(x ) x. = ≈

∑

∆

∫

B. Aproximación por extremos izquierdos

Eligiendo los puntos de muestra x*_i como el extremo izquierdo de cada subintervalo

i 1 i [x₋ , x ] se tiene que n b i 1 a _{i 1} f(x)dx f(x₋ ) x. = ≈

∑

∆

∫

C. Aproximación por puntos medios

Eligiendo los puntos de muestra x_i* como el punto medio de cada subintervalo

i 1 i [x₋ , x ] se tiene que n b i 1 i a _{i 1} x x f(x)dx f x. 2 − = +   ≈  ∆  

∑

∫

(33)

APROXIMACIÓN DE

INTEGRALES

Geométricamente en las aproximaciones por extremos derechos o izquierdos o por puntos medios se construyen rectángulos desde el eje x hacia la gráfica de y= f(x), los cuales pueden quedar por encima o por debajo de la gráfica dependiendo de si f(x), es creciente o decreciente.

D. Aproximación trapezoidal

Considere una función f(x) continua en [a,b] y una partición de [a,b] en n subintervalos de igual longitud generada por los puntos a=x , x , x ,..., x₀ ₁ ₂ _n =b. Uniendo puntos consecutivos (x_{i 1}₋ , f(x_{i 1}₋ )), (x , f(x )) mediante segmentos de rectas, se forman _i _i trapecios. El área del i-ésimo trapecio viene dada por

i 1 i x f(x ) f(x ) . 2 − ∆ _ ₊ _  

Este número puede ser negativo, ya que depende de f(x_{i 1}₋ ) y f(x ) , que pueden ser _i negativos. Sumando sobre i se tiene

n i 1 i 0 1 1 2 i 1 n-2 n 1 n 1 n x x f(x ) f(x ) [(f(x ) f(x )) (f(x ) f(x )) ... 2 2 (f(x ) f(x )) (f(x ) f(x ))]. − = − − ∆ _ ₊ _₌ ∆ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊   + + +

∑

Es decir b 0 1 n 1 n a x f(x)dx f(x ) 2f(x ) ... 2f(x ) f(x ) . 2 − ∆ ≈ _ + + + + _

∫

La siguiente aproximación es más precisa que la aproximación trapezoidal.

E. Aproximación de Simpson

La aproximación de Simpson, llamada así en honor al matemático inglés Thomas Simpson (1710-1761) quién introdujo este método, consiste en construir geométricamente segmentos parabólicos por cada terna de puntos consecutivos (x_{i 1}₋ , f(x_{i 1}₋ )), (x , f(x )),_i _i

i 1 i 1

(x₊ , f(x₊ )).

(34)

APROXIMACIÓN DE

INTEGRALES

Como antes, se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual longitud x (b a) n

∆ = − pero con n como un número par, luego se construyen los segmentos parabólicos en cada terna de puntos consecutivos. Suponga que P(x)_i =a x_i 2+b x_i +c_i es la parábola construida en tres puntos consecutivos (x_{i 1}₋ , f(x_{i 1}₋ )), (x , f(x )), _i _i (x_{i 1}₊ , f(x_{i 1}₊ )), un cálculo rutinario algebraico muestra que

xi 1 i i i 1 i i i i 1 xi 1 x P(x)dx P(x ) 4P(x ) P(x ) 3 + − + − ∆ ≈ _ + + _

∫

.

Ahora se aproxima la integral

b

a

f(x)dx

∫

reemplazando a f con P(x)_i y sumando sobre i para obtener

b 0 1 3 n 1 2 4 n 2 n a x f(x)dx [f(x ) 4(f(x ) f(x ) ... f(x )) 2(f(x ) f(x ) ... f(x )) f(x )]. 3 − − ∆ ≈ + + + + + + + + +

∫

Las aproximaciones trapezoidales o de Simpson son útiles para calcular valores aproximados de integrales cuyo integrando es una función de la que sólo se conoce una gráfica o unos cuantos valores aislados, consecuencia de mediciones experimentales.

2.9. CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS CON MAPLE

Maple realiza la integración definida con el comando

int

. Esta función necesita dos argumentos: una expresión y un intervalo de integración. Estos son algunos ejemplos de integración definida:

>

**Int(2xexp(x^2),x=2..4)=int(2xexp(x^2),x=2..4);**

=

d

⌠

⌡



2 4

2 x e

ee

e

(x ) 2

x

− +

e

ee

e

4

e

ee

e

16

(35)

CÁLCULO DE INTEGRALES

DEFINIDAS CON MAPLE

Si Maple no puede calcular una primitiva, la devuelve indicada:

>

**Int(sin(x^3)cos(x^2),x=0..pi)=int(sin(x^3)cos(x^2),x=0..pi);**

=

d

⌠

⌡



0 π

(

)

sin x

3

cos x

(

2

)

x

⌠

d

⌡



0 π

(

)

sin x

3

cos x

(

2

)

x

SUMAS DE RIEMANN

La librería

student

contiene comandos útiles para el aprendizaje de algunos conceptos:

>

with(student);

D Diff Doubleint Int Limit Lineint Product Sum Tripleint changevar

,

[

completesquare distance equate integrand intercept intparts leftbox leftsum

,

makeproc middlebox middlesum midpoint powsubs rightbox rightsum

,

showtangent simpson slope summand trapezoid

,

]

El comando

middlebox

dibuja una suma de Riemann de n tramos evaluando la función en el punto central de cada tramo. El comando

middlesum

calcula el valor de la suma de Riemann representada por

middlebox

.

>

**f:=x->x^2*sin(x^2);**

a:=0;

b:=1;

n:=10;#número de intervalos

middlebox(f(x),x=a..b,n,title=`Aproximación con punto central`);

`** cálculo de la suma con punto central *`;

ms:=middlesum(f(x),x=a..b,n);

msf:=evalf(ms);

`***** valor exacto y error *`;

v:=int(f(x),x=a..b);

vf:=evalf(v);

er:=vf-msf;

:=

f

x

→

x

2

sin x

(

2

)

:=

a

0 :=

b

1 :=

n

10

(36)

CÁLCULO DE INTEGRALES

DEFINIDAS CON MAPLE

** cálculo de la suma con punto central *

:=

ms

1

10 















∑

= i 0 9







₁₀

i

+

₂₀

1 

_



2

_







_



sin







₁₀

i

+

₂₀

1 

_



2

:=

msf

0.1809568712

***** valor exacto y error *

:=

v

−

1 +

2 cos 1

( )

1

4

2 π









_



FresnelC

2 π

:=

vf

0.1821109658

:=

er

0.0011540946

APROXIMACIÓN DE INTEGRALES

El comando

trapezoid

permite calcular el valor de la regla del trapecio compuesto. A continuación un ejemplo usando trapecio compuesto con 3 tramos.

Cálculo directo usando la fórmula:

>

**f:=x->x^2*sin(x^2);**

a:=0;

b:=1;

n:=3;

(37)

CÁLCULO DE INTEGRALES

DEFINIDAS CON MAPLE

h:=(b-a)/n;

**vtc:=h/2(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+f(b));**

vtcf:=evalf(vtc);

:=

f

x

→

x

2

sin x

(

2

)

:=

a

0 :=

b

1 :=

n

3 :=

h

1

3 :=

vtc

1 +

+

27 







_



sin

1

9

4

27 







_



sin

4

9

1

6 sin 1

( )

:=

vtcf

0.2080491672

Cálculo usando el comando

trapezoid

de la librería

student

:

>

vt3:=trapezoid(f(x),x=a..b,3);

vt3f:=evalf(vt3);

:=

vt3

1 +

3 















∑

= i 1 2

_





1 ₉

i

2





_









_



sin

i

2

9

1

6 sin 1

( )

:=

vt3f

0.2080491673

El comando

simpson

permite calcular el valor de la regla compuesta de Simpson. Se indica el número de subintervalos que es el doble del número de tramos. El número de subintervalos debe de ser par. Se empezará calculando el valor de Simpson doble usando la fórmula.

>

**f:=x->x^2*sin(x^2);**

a:=0;

b:=1;

m:=2;# número de tramos

**h:=(b-a)/(2*m);**

**vsc:=h/3(f(a)+4f(a+h)+2f(a+2h)+4f(a+3h)+f(b));**

vscf:=evalf(vsc);

(38)

CÁLCULO DE INTEGRALES

DEFINIDAS CON MAPLE

:=

f

x

→

x

2

sin x

(

2

)

:=

a

0 :=

b

1 :=

m

2 :=

h

1

4 :=

vsc

1 +

+

48 







_



sin

1

16

1

24 







_



sin

1

4

3

16 







_



sin

9

16

1

12 sin 1

( )

:=

vscf

0.1817265675

Ahora se calcula el mismo valor usando la librería

student

:

>

with(student):

>

vs2:=simpson(f(x),x=a..b,4);

:=

vs2

1 +

+

12 sin 1

( )

1

3 















∑

= i 1 2







₂

i

−

1 ₄



_



2

_







_



sin







₂

i

−

1 ₄



_



2

1

6 















∑

= i 1 1

_





1 ₄

i

2





_









_



sin

i

2

4 >

vtf2:=evalf(vs2);

:=

vtf2

0.1817265675