a una fila cuyos elementos son todos ceros, tienen todos sus elementos igual a una fila cuyos elementos son todos ceros, tienen todos sus elementos igual a cero, y el n´
a cero, y el n´umero de elementos nulos al comienzo de cada fila no nula esumero de elementos nulos al comienzo de cada fila no nula es estrictamente menor que en la siguiente.
estrictamente menor que en la siguiente.
Teorema 1.1
Teorema 1.1 Dada una matriz cualquiera Dada una matriz cualquiera AA ∈∈ RRmm××nn
existen matrices existen matrices F F y y
U
U tales que tales que FF AA == U U siendosiendo U U una matriz escalonada.una matriz escalonada. Demostraci´
Demostraci´on.on. Probaremos el teorema de forma constructiva.Probaremos el teorema de forma constructiva. a) Si
a) Si aa1111 = 0, mediante transformaciones elementales filas= 0, mediante transformaciones elementales filas F F ijij((αα) podemos) podemos
anular todos los elementos de la primera columna, salvo el
anular todos los elementos de la primera columna, salvo el aa1111. . EsEstatass transfo
transformacionrmaciones es serser´´ıan ıan de de la la formaforma F F ii11((−− a aii11 a a1111 ). ). b) Si
b) Si aa1111 = 0 y = 0 y algalg´´un elemento de la primera columna es no nulo, podemosun elemento de la primera columna es no nulo, podemos llevarlo al lugar (11) mediante una transformaci´
llevarlo al lugar (11) mediante una transformaci´onon F F ijij y pry proocedceder der despespu´u´eses
como en el caso anterior. como en el caso anterior. c) Si
c) Si aaii11 = = 00 ∀∀ ii = = 11, . . . , m, . . . , m, la primera columna es de ceros y por tanto,, la primera columna es de ceros y por tanto, a
aii11 = 0= 0 ∀∀ i i >> 1, es decir, se trata de una columna del tipo de las matrices1, es decir, se trata de una columna del tipo de las matrices escalonadas.
escalonadas. Pro
Procedecedemos mos desdespu´pu´es ces conon aa2222 (el elemento(el elemento aa2222 resultante de las transformacionesresultante de las transformaciones anteriores) al igual que procedimos con
anteriores) al igual que procedimos con aa1111 anteriormente, es decir, sianteriormente, es decir, si aa2222 = 0= 0 lo
lo utiutilizlizamoamos s parpara a hachacer er ceceros por ros por debdebajo ajo de ´de ´el el en en la la segsegundunda a colcolumnumna. a. SiSi fuese
fuese aa2222 = = 0 0 vemvemos os si si existexiste e por por debajo debajo de ´de ´el el alg´alg´un elementoun elemento aaii22 = 0 y, en= 0 y, en caso de haberlo, realizamos la transformaci´
caso de haberlo, realizamos la transformaci´onon F F 22ii, etc., etc.
Reiterando el proceso, llegamos a una matriz escalonada
Reiterando el proceso, llegamos a una matriz escalonada U U . . La mLa matatririzz F F no es m´
no es m´as que el producto de las matrices de las transformaciones elementalesas que el producto de las matrices de las transformaciones elementales filas realizadas para pasar de
filas realizadas para pasar de AA aa U.U.
El
El siguiesiguiente organigrnte organigrama, ama, muemuestra el stra el algorialgoritmo de tmo de escalescalonamieonamiento de nto de unauna matriz
matriz AA ∈∈ RRmm××nn
, , mediamediante transnte transformaformacioneciones elemens elementales filas. tales filas. CuandCuando seo se alcanz
Algoritmo de escalonamiento de una matriz.
Ejemplo 1.7 Consideremos la matriz A del Ejemplo 1.1. A F 21−→(−2)
2 1 3 4 0 0 −5 −3 1 0 2 3
F 31(−1 2) −→
2 1 3 4 0 0 −5 −3 0 −1/2 1/2 1
F 23 −→
2 1 3 4 0 −1/2 1/2 1 0 0 −5 −3
= Usiendo U una matriz escalonada. Dado que E 23E 31(−
1
2)E 21(−2)A = U =⇒ F A = U con F = E 23E 31(− 1 2)E 21(−2) =
1 0 0 0 0 1 0 1 0
1 0 0 0 1 0 −1/2 0 1
1 0 0 −2 1 0 0 0 1
⇒
Se denomina forma escalonada can´onica a una matriz escalonada con la propiedad de que el primer elemento no nulo de una fila es un uno y adem´as, es el ´unico elemento no nulo de su columna.
Teorema 1.2 Toda matriz puede ser reducida mediante transformaciones ele-mentales fila a una escalonada can´ onica.
Demostraci´on. Basta con observar que una vez obtenida la matriz U , si en una fila hay alg´un elemento no nulo, la dividimos por el primer elemento no nulo de ella mediante F i(α) y lo utilizamos para hacer ceros todos los de su
columna (que se encontrar´an por encima de ´el).
Ejemplo 1.8 En el Ejemplo 1.7 se vi´o que A −→ U =
2 1 3 4 0 −1/2 1/2 1 0 0 −5 −3
F 1(12) −→
1 1/2 3/2 2 0 −1/2 1/2 1 0 0 −5 −3
F 2(−2) −→
1 1/2 3/2 2 0 1 −1 −2 0 0 −5 −3
F 12(−1 2) −→
1 0 2 3 0 1 −1 −2 0 0 −5 −3
F 3(−1 5) −→
1 0 2 3 0 1 −1 −2 0 0 1 3/5
F 13(−2) −→
1 0 0 9/5 0 1 −1 −2 0 0 1 3/5
F 23(1) −→
1 0 0 9/5 0 1 0 −7/5 0 0 1 3/5
que se trata de una escalonada can´onica.
Los elementos que utilizamos para anular a los dem´as elementos de una columna se denominan pivotes . Si en un determinado paso del proceso de pasar de A a U alguna columna es de ceros, diremos que el correspondiente pivote es nulo.
Teorema 1.3 Toda matriz A ∈ Rm×n
puede, mediante transformaciones ele-mentales, transformarse en una del tipo
I r 00 0
teniendo en cuenta que para ello es necesario realizar tanto transformaciones fila como transformaciones columna.
Ejemplo 1.9 Si nos fijamos en la matriz del Ejemplo 1.7 que transformamos, mediante transformaciones elementales fila (ver Ejemplo 1.8) en la escalonada can´onica
1 0 0 9/5 0 1 0 −7/5 0 0 1 3/5
podemos ahora, mediante la composici´on de las transformaciones columna C 41(−95)C 42(75)C 43(−35) llevarla a
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
=
I 3 | 0
. Teorema 1.4 Una condici´ on necesaria y suficiente para que una matriz cua-drada posea inversa es que su forma escalonada can´ onica sea la matriz unidad. Demostraci´on. Si su forma escalonada can´onica es I n, existe F ∈ Rn×n tal
que F A = I n =⇒ F = A
−1
. Si existe A−1
tal que A−1
A = I n =⇒ ∃ F = A−1 tal que F A = I n y por
tanto, I n es la forma escalonada can´onica de A.
Este teorema nos permite calcular la matriz inversa, de una matriz dada, mediante transformaciones elementales (filas o columnas, pero no ambas si-mult´aneamente), es decir, aplicando el Algoritmo de Gauss-Jordan to-mando como matriz inicial(A | I n)
Ejemplo 1.10 Consideremos la matriz A =
1 3 0 0 1 1 1 2 0
(A | I 3) =
1 3 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 2 0 0 0 1
F 31(−1) −→
1 3 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 −1 0 −1 0 1
F 12(−3) −→
1 0 −3 1 −3 0 0 1 1 0 1 0 0 −1 0 −1 0 1
F 32(1) −→
1 0 −3 1 −3 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 −1 1 1
F 13(3) −→0 0 1 −1 1 1 0 0 1 −1 1 1 A−1 =
−2 0 3 1 0 −1 −1 1 1
ya que: F 23(−1)F 13(3)F 32(1)F 12(−3)F 31(−1)(A) = I 3 =⇒
[E 23(−1)E 13(3)E 32(1)E 12(−3)E 31(−1)]A = I 3 =⇒
−2 0 3 1 0 −1 −1 1 1
A = I 3 ⇒ A−1 =
−2 0 3 1 0 −1 −1 1 1
1.5 Determinante de una matriz cuadrada.
Los determinantes nos proporcionan un m´etodo para el c´alculo de la matriz inversa de una dada (en caso de existir) y un criterio para estudiar si una matriz es o no invertible.
Sus aplicaciones son m´ultiples en todas las ramas de las ciencias que tratan problemas lineales en los que necesariamente aparecen matrices y por tanto, determinantes.
1.5.1 Definiciones.
Sea A = (aij) una matriz cuadrada de dimensi´on n. A cada matriz cuadrada
A se le asigna un n´umero real que llamaremos determinante de A y represen-taremos por det(A) o |A|. Su c´alculo se obtiene mediante la siguiente f´ormula recurrente sobre el tama˜no n:
• para n = 1 → A = (a11), se define det(A) = a11 • para n > 1 → det(A) =
n
i=1
