INVERSA-DE-LAPLACE.pdf

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UNIVERSIDAD MARIANA FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA DE PROCESOS

Erika Y. Erazo Q., Sebastián A. MORENO P., Adriana S. OJEDA O.

CALCULO DE ECUACIONES DIFERECIALES INVERSA DE LAPLACE

Resolver los siguientes ejercicios utilizando la inversa de Laplace

EJERCICIO 1

1 Como esta es una inversa que no se puede resolver fácilmente mediante fórmulas, es necesario llevar la inversa a inversas más simples, para simplificar la inversa se usa fracciones parciales [1]

La fracción está compuesta por un numerador y un denominador, para el caso el numerador es una función de grado 1, pero el denominador posee una multiplicación y cada variable (s) de la multiplicación esta elevada al cuadrado.

2 Para aplicar fracciones parciales se realiza una igualdad de la siguiente forma

Donde los valores de A, B, C y D son constantes, y se debe encontrar su equivalencia por medio de un sistema de ecuaciones que se puede resolver de diferentes formas.

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[1] Fracciones parciales: ¿Qué son y cómo resolverlas? Ejemplos disponibles en:

http://ehernandez.mat.utfsm.cl/MAT021/pdfs/FraccionesParciales.pdf o

2

3 Para encontrar las equivalencias de A, B, C y D primero se multiplica (s2+1) (s2+4) a ambos lados de la igualdad de esta forma se podrá cancelar los denominadores

4 Se realiza la multiplicación de para encontrar el sistema de ecuaciones

Dando como resultado:

5 Se agrupan los términos con exponentes semejantes y se factorizan

6 Se realiza el sistema de ecuaciones por medio de la igualdad, que permitirá conocer quien es A, B, C y D, para eso es necesario saber qué factores multiplican a la variable elevada al cubo (s3), que factores a la variable al cuadrado (s2), que factores a la variable con exponente 1 (s) y que factores son independientes, es decir no multiplican una variable

Se observa que en la llamada “Parte 1” de la igualdad no hay ningún factor multiplicando a la variable (s3), mientras que en la “Parte 2” B y D multiplican a (s3) entonces la igual queda de la forma 0=B+D.

3

En la “Parte 1” de la igualdad, el numero 6 multiplica a la variable s, y en la “Parte 2” a la variable s la multiplican 4B y D, quedando la ecuación 6=4B +D.

Finalmente en la “Parte 1” de la igualdad hay un factor independiente que es el número 3 y en la “Parte” 2 hay dos factores independientes que son 4A y C quedando la ecuación 3=4A+C

Obteniendo así el sistema de ecuaciones

0=B+D Ecuación 1

0= A+C Ecuación 2

6=4B +D Ecuación 3

3=4A+C Ecuación 4

7 Para solucionar el sistema de ecuaciones [2], hay varias formas de hacerlo, en este caso se aplica el método de sustitución:

Como las variables B y D solo se encuentran en las ecuaciones 1 y 3, se despeja D en la ecuación 1, dando como resultado una nueva ecuación, la ecuación 5, que se va remplazar en la ecuación 3, de esta forma se obtiene el valor de B, que se remplaza en la ecuación 5 y así se obtiene el valor de D

0=B+D Ecuación 1

D= - B Ecuación 5

6=4B +D Ecuación 3

6=4B –B 6=3B 6/3=B

2=B

D= - B Ecuación 5

D= -2

Como las variables A y C solo se encuentran en las ecuaciones 2 y 4, se despeja C en la ecuación 2, dando como resultado una nueva ecuación, la ecuación 6 que se va remplazar en la ecuación 4, de esta forma se obtiene el valor de C, que se remplaza en la ecuación 6 y se obtiene el resultado de A

0= A+C Ecuación 2

C= -A Ecuación 6

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[2] Solución de sistema de ecuaciones: Clases de soluciones disponible en: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sist_ecu_jacm/sist_ecuac.htm

Ejemplos disponibles en:

4

3=4A+C Ecuación 4

3=4A –A 3=3A 3/3=A

1=A

C= -A Ecuación 6

C=-1

De esta forma se obtiene que

A= 1, B=2, C=-1 y D=-2

8 Se procede a remplazar las equivalencias de A, B, C y D en igualdad inicial

9 Las fracciones equivalen a:

Se han convertido en inversas más simples que se pueden resolver aplicando las tablas de inversa de Laplace [3]

10

_________________________________

5

En el caso de la inversa 1, el número 2 que multiplica a s, sale como constante y la inversa queda de una forma más sencilla, que se puede encontrar fácilmente en las tablas.

Buscando en las tablas la inversa que más se asemeja a la forma, es la siguiente: ya que k

corresponde a 1, y (1)2 es 1, por lo tanto la inversa es cos (t) y como la multiplica el número 2, que anteriormente salió como constante el resultado total de la inversa es 2 cos (t)

Se busca la forma de la inversa 2 en las tablas, dando como resultado sen (t)

En la inversa 3, sale como contante el número -2, y busca en las tablas la inversa que corresponda.

Para este caso k es igual a 2, por lo tanto el resultado de la inversa es cos (2t)

6

Para este caso k sería igual a 2, pero el dos no corresponde con el numerador de la inversa que es igual a 1, por eso se multiplica a la inversa por 1/2, el cual simplificaría a el 2 del numerador, y este 1/2, saldría como constante.

Por lo tanto el resultado de la cuarta inversa será 1/2 sen (2t).

11 Se juntan todos los resultados de las 4 inversas y se obtiene el resultado final

EJERCICIO 2

1 Como esta es una inversa que no se puede resolver fácilmente mediante fórmulas, es necesario llevar la inversa a inversas más simples,

La parte que se muestra de color rojo en el denominador se puede factorizar [4], para hacerlo solo se buscaran 2 números que multiplicados den como resultado 3 y que sumados den 4.

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7

Estos números son 3 y 1, ya que si multiplico 3*1, da como resultado 3, y si sumo 3+1, da como resultado 4. Entonces los escribo de la forma (s+1) (s+3), dando como resultado:

2 Se aplicara fracciones parciales para simplificar esta inversa, en inversas más sencillas que se puedan encontrar en las tablas

Donde los valores de A, B y C son constantes, y se debe encontrar su equivalencia por medio de un sistema de ecuaciones.

3 Para encontrar las equivalencias de A, B y C primero se multiplica (s-2) (s+1) (s+3) a ambos lados de la igualdad de esta forma se podrá cancelar los denominadores

4 Se realiza la multiplicación de para encontrar el sistema de ecuaciones

Dando como resultado:

5 Se agrupan los términos con exponentes semejantes y se factorizan

8

Se observa que en la “Parte 1” de la igualdad no hay ningún factor que multiplique a (s2), mientras que en la “Parte 2” lo multiplican A B Y C, quedando la ecuación de la forma 0= A+B+C

En la “Parte 1” de la igualdad, el numero 2 multiplica a la variable s, y en la “Parte 2” a la

variable s la multiplican A, B y 4C, quedando la ecuación 2= A - B + 4C

Finalmente en la “Parte 1” de la igualdad hay un factor independiente que es el número 4 y en la “Parte” 2 hay dos factores independientes que son -6A –2B y C quedando la ecuación 4=-6A –2B +3C

Obteniendo así el sistema de ecuaciones

0= A+B+C Ecuación 1

2= A - B + 4C Ecuación 2

4=-6A –2B+3C Ecuación 3

7 Para resolver el sistema de ecuaciones por el método de sustitución, primero se despeja A en la ecuación 1, se remplaza A en la ecuación 2 y se despeja B, después se remplaza A y B en la ecuación 3 despejando C, luego se remplaza el valor de C en la ecuación 5 y finalmente los valores de C y B en la ecuación 4

0= A+B+C Ecuación1

A= -B-C Ecuación 4

2= A - B + 4C Ecuación 2

2= -B-C-B+4C

2= -2B +3C 2B=3C-2

B=3C/2 -1 Ecuación 5

4=-6A –2B+3C Ecuación 3

4= -6(-B-C)-2B+3C 4= 6B+6C-2B+3C

3= 4B+9C 4= 4(3C/2-1)+9C

9

B=3C/2 -1 Ecuación 5

B= (3*(8/15))/2 -1 B=-1/5

A= -B-C Ecuación 4

A= -(-1/5)- (8/15) A= -1/3

De esta forma se obtiene que

A=-1/3, B= -1/5 y C = 8/15

8 Se procede a remplazar las equivalencias de A, B y C en igualdad inicial

9 La primera inversa se ha convertido en inversas más simples que se pueden resolver aplicando las tablas de inversa de Laplace.

En la primera inversa el 3 que multiplica a (s+1) en el denominador sale como constante y la inversa queda de una forma más sencilla, que se puede encontrar fácilmente en las tablas.

10

En la segunda inversa el 5 que multiplica a (s+3) en el denominador sale como constante y la inversa queda de una forma más sencilla, para poderla encontrar fácilmente en las tablas.

La inversa que más se asemeja a la forma es la siguiente: ya que “a” es 3, nuevamente en este caso se suma en vez de restar por lo tanto la inversa seria

e

,

e

En la tercera inversa el 8/15 que multiplica al numerador y denominador sale como constante, para poderla encontrar más fácilmente la inversa en las tablas.

La inversa que más se asemeja a la forma es la siguiente: ya que “a” es 2 y la inversa seria

e

,

e

11 EJERCICIO 3

1 Para encontrar la inversa de la función es necesario llevarla a una forma más sencilla, en este caso se puede aplicar fracciones parciales, factorizando el denominador de la función.

Para factorizar busco 2 números que multiplicados den -3 y sumados den 2, para este caso son -1 y 3 que multiplican a la variable s quedando de la forma (s-1) (s+3):

2 Se aplica fracciones parciales, se separan (s-1) (s+3) en dos fracciones en el numerador se colocan 2 constantes A para (s-1) y B para (s+3)

3 Es necesario desarrollar un sistema de ecuaciones para conocer los valores de A y B, primero se deben cancelar los denominadores multiplicando (s-1) (s+3) en ambos lados de la igualdad.

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4 Para encontrar el sistema de ecuaciones que permita conocer los valores de A y B, se multiplica A por (s+3) y B por (s-1) aplicando la propiedad distributiva

s= As+3A+Bs-B

Se unen los valores que están multiplicando a “s” y los valores independientes en la “parte 2” de la igualdad.

s= As+ Bs +3A -B

Se factoriza los valores que están multiplicando a “s” en la “Parte 2” en la igualdad

s= s (A+B) +3A –B

Para encontrar el sistema de ecuaciones se observa los valores que están multiplicando a la variable “s” que en la “Parte 1” de la ecuación el numero 1 multiplica a la variable “s”, mientras que en la “Parte 2” la multiplican (A+B) quedando la ecuación: 1=A+B

En la “Parte 1” no hay valores independientes, es decir que no multiplican a ninguna variable, y en la “Parte 2” se encuentran 3A –B, dando como resultado la ecuación 0= 3A –B

El sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma:

1=A+B Ecuación 1

0= 3A –B Ecuación 2

5 Para conocer los valores de A y B , en la ecuación 1 se despeja A dando como resultado la ecuación 3, la cual se remplaza en la ecuación 2, para conocer el valor de B, este valor se remplaza en la ecuación 3 y se conoce el valor de A

1=A+B Ecuación 1

A=-B+1 Ecuación 3

0= 3A –B Ecuación 2

0= 3(-B+1) –B 0= -3B+3-B

0=-4B+3 4B=3 B=3/4

A=-B+1 Ecuación 3

A=-3/4+1 A= 1/4

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A= 1/4 y B=3/4

6 Se remplaza A Y B en el la igualdad inicial:

7 De esta forma quedan dos más sencillas que se pueden resolver por medio de las tablas de Laplace

Para el caso de la inversa 1, el número 3/4 sale como constante y aplica la inversa de Laplace

La inversa que más se asemeja a la forma es la siguiente: donde “a” equivale a 3 la diferencia es que cuando se suma en vez de restar la inversa seria

e

14

La inversa que más se asemeja a la forma es la siguiente, donde “a” equivale a 1 y da como resultado 1/4 et

8 Se juntan los resultados de las dos inversas y se obtiene el resultado final

15

BIBLIOGRAFIA

 Anónimo (s.f). Sistemas de ecuaciones. España: Instituto nacional de tecnologías educativas y de formación del profesorado. Recuperado de: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_3eso_sistema s_de_ecuaciones/3eso_quincena4.pdf

 Cuadra, J. (2005). Resolución de sistemas de ecuaciones. España: Instituto nacional de tecnologías educativas y de formación del profesorado. Recuperado de: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sist_ecu_jacm/sist_ec uac.htm

 Hernandes, E. (2014). Fracciones parciales. España Universidad Técnica Federico Santa

María. Recuperado de

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 Scribd (s.f). Fracciones parciales. Recuperado el 12 de abril de 2016 de https://es.scribd.com/doc/33826963/Fracciones-parciales