EJERCICIOS 2º BACHILLERATO
1. Calcula el determinante de las siguientes matrices:
1
2
1
0
4
1
-3
0
1
=
A
2
0
1
1
3
6
4
1
0
=
B
2
2
1
1
6
4
2
2
1
1
0
=
C
3
1
2
1
4
3
0
1
-1
=
D
2. Expresa como determinante de orden 2 la igualdad sen2x+cos2x=1.
3. Comprueba la igualdad:
=
(
x
-
y
)
1
1
1
y
2
y
+
x
x
2
y
y
x
x
3
2 2
4. Utilizando las propiedades resuelve:
a)
3
0
1
2
4
0
1
6
3
0
1
2
4
7
5
1
. b)
0
1
0
0
4
-6
2
-1
6
-0
3
-0
2
4
1
3
c)
2
-3
-1
-2
5
4
1
2
3
0
1
6
3
1
0
4
. d)
6
5
1
-3
5
6
4
1
2
11
3
4
2
1
1
-1
5. ¿Qué diferencia existen entre el producto de un escalar por una matriz y el producto de un escalar por un deter-minante?
6. Siendo:
3
2
0
5
4
0
3
2
1
=
A
y
1
0
8
3
4
7
0
0
1
=
B
, calcula de la forma más rápida posible │AB│.7. Sabiendo que
=
1
1
1
1
3
0
5
z
y
x
. Calcula sin desarrollar el valor de los determinantes:
1
1
1
3
0
5
z
3
y
3
x
3
1
1
1
5
3
0
1
z
5
y
5
x
5
1
z+
1
y+
1
x+
3
z+
2
y
2
5
x+
2
z
y
x
8. Prueba sin desarrollar que:
=
0
b
a+
c
1
a
c+
b
1
c
b+
a
1
,
x
z+
z
y+
y
x+
p
r+
r
q+
q
p+
a
c+
c
b+
b
a+
=2
z
y
x
r
q
p
c
b
a
.
9. Una matriz cuadrada A verifica que A2=A. Demuestra que entonces │A│=0 ó │A│=1. Razona la respuesta indicando qué propiedad se aplica.
10. Si
1
0
1
-1
3
2
-1
1
-2
0
1
0
1
-7
4
1
=
A
, obtén: α11, α32, α24, A11, A22, A23 y A44. (α es un menor)11. Calcula el determinante de cada una de las siguientes matrices:
3
2
1
1
3
2
1
1
-2
1
1
-2
0
3
4
1
=
A
2
-1
1
2
1
0
1
3
2
1
0
1
1
-0
1
2
=
B
4
3
2
1
1
-1
-2
2
1
0
1
0
0
1
0
1
=
C
1
2
1
1
0
1
-3
4
1
0
1
2
1
-1
1
-1
=
D
12. Calcula el determinante de cada una de las siguientes matrices:
2
-1
1
0
0
1
-1
-1
1
1
1
1
a
0
0
a
=
A
35
15
5
1
20
10
4
1
10
6
3
1
4
3
2
1
=
B
1
-1
1
1
1
1
-1
1
1
1
1
-1
1
1
1
1
=
C
13. Resuelve los siguientes determinantes:
a)
c
b
a
c
b
a
1
1
1
2 2 2
b)
16
9
4
4
3
2
1
1
1
c)
9
4
1
3
-2
1
-1
1
1
d)
8
-27
1
-8
4
9
1
4
2
-3
1
-2
1
1
1
1
14. Resuelve los siguientes determinantes:
a)
e
d
c
b
a
e
d
c
b
a
e
d
c
b
a
e
d
c
b
a
1
1
1
1
1
4 4 4 4 4
3 3 3 3 3
2 2 2 2 2
b)
625
256
81
16
1
125
64
27
8
1
25
16
9
4
1
5
4
3
2
1
1
1
1
1
1
c)
625
256
81
16
1
125
64
27
8
1
-25
16
9
4
1
5
4
3
2
1
-1
1
1
1
1
.
15. Si
d
c
b
a
=
A
y
y
d
c
x
b
a
=
B
, ¿cuánto vale r(B)-r(A)?16. Calcula el rango de las siguientes matrices:
2
-0
8
-2
1
0
4
1
-3
2
1
0
=
A
,
0
1
7
2
-5
4
4
0
1
-3
0
1
=
B
,
8
4
1
2
1
2
2
3
1
0
12
8
7
4
1
2
2
-8
-1
-1
=
C
17. ¿Qué condición deben cumplir los términos a, b, c y d para que el rango de la matriz
d
z
t
r
0
c
x
y
0
0
b
x
0
0
0
a
sea 3?
18. Calcula el rango de las siguientes matrices según los valores de t:
1
4
-3
2
-2
-8
6
-4
0
t
0
t
=
A
,
1
t
2
0
t
1
0
1
3
4
=
B
19. Calcula el rango de la siguiente matriz:
2
5
-1
4
4
1
-1
3
2
4
0
1
-6
3
1
2
.
20. Calcula el rango de la matriz
1
6
-10
1
5
t
1
-2
2
1
-t
1
21. Calcula el rango de la matriz:
50
4
-19
-5
10
-2
5
-2
1
1
-0
1
1
0
10
1
2
-1
=
A
.22. Calcula, si existe, la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices:
6
1
9
0
1
-5
3
1
2
=
A
,
0
3
2
0
1
0
1
1
-1
=
B
,
1
1
1
0
1
2
0
1
0
=
C
.23. Calcula, si existe, la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices:
2
1
0
0
1
1
-3
0
1
=
A
,
3
1
2
1
2
-1
2
0
4
0
1
=
B
,
cos
sen
sen
-cos
=
C
.
24. Dada la matriz
2
0
0
t
0
1
0
t
2
1
=
A
, averigua para qué valores de t no tiene inversa. Obtén A-1 para t=2 y parat=
2
1
, si ello fuera posible.
25. Dos matrices A y B son inversas. Si │A│=3, ¿cuánto vale │B│? Razona la respuesta.
26. Sea A una matriz cuadrada de orden n, At su traspuesta y A-1 su inversa. ¿Qué relaciones tienen los determinantes │A│, │At│ y │A-1│. ¿Por qué?
27. Escribe la matriz inversa de
3
2
-1
-2
=
A
y comprueba que lo es.28. Calcula el determinante de cada una de las siguientes matrices:
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
=
A
,
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
=
B
,
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
1
-1
=
3
-1
1
1
1
3
-1
1
1
1
3
-1
1
1
1
3
=
D
.29. Calcula el determinante de cada una de las siguientes matrices:
t
z
y
x
z
z
y
x
y
y
y
x
x
x
x
x
=
A
,
d
0
c
0
0
d
0
c
b
0
a
0
0
b
0
a
=
B
,
a
+
1
1
1
1
1
a
+
1
1
1
1
1
a
+
1
1
1
1
1
a
+
1
=
C
.30. Comprueba sin desarrollar que es nulo el determinante de cada una de las siguientes matrices:
4
2
1
13
5
4
11
7
2
=
A
,
b
a+
a
c+
c
b+
c
b
a
1
1
1
=
B
,
3
5
1
4
4
3
1
3
3
2
1
2
3
1
2
1
=
C
,
9
8
7
6
5
4
3
2
1
=
D
.31. Demuestra sin desarrollar que:
0
=
6
0
2
0
1
3
9
1
6
.
32. Demuestra sin desarrollar que:
0
=
0
2
1
3
4
2
3
2
1
.
33. Resuelve la ecuación
=
0
x
1
1
1
x
1
1
1
1
2
sin desarrollar el determinante.
34. Se considera la matriz
5
3
2
1
=
35. Dadas las matrices
3
2
2
-1
0
1
=
A
y
2
1
-0
0
1
2
=
B
obtén si procede: (BA)-1.36. Todos los elementos de una matriz cuadrada de orden n se multiplican por -1. ¿Cómo queda afectado el valor de su determinante?
37. a) Resuelve la ecuación:
=
0
c
0
0
x
0
b
0
x
0
a
a
x
1
1
1
1
.
b) Calcula el determinante:
a
ab
ab
b
ab
a
b
ab
ab
b
a
ab
b
ab
ab
a
2 2
2 2
2 2
2 2
, utilizando las propiedades.
38. Explica razonadamente cómo calcular el siguiente determinante sin necesidad de hacer largos cálculos:
49
36
25
16
36
25
16
9
25
16
9
4
16
9
4
1
39. No siempre el método que se deduce de la definición es el mejor para calcular un determinante. Explica cómo
calcular
64
8
-27
8
16
4
9
4
4
2
-3
2
1
1
1
1
sin hacer largos cálculos.
40. Sabiendo que:
=
7
c
b
a
c
b
a
c
b
a
. Calcula:c
+
c
2
b
+
b
2
b
2
+
b
+
a
2
+
a
c
-c
b
-b
b
-b
+
a
-a
c
b
b
+
a
.41. Calcula los valores de t para los que el determinante
1
0
3
-1
2
t
-0
t
2
toma valores positivos. Calcula el máximo
42. Dado el valor del primer determinante calcular, razonadamente, el valor del segundo:
25
=
w
v
u
r
q
p
c
b
a
w
2
v
2
u
2
r
2
q
2
p
2
c
2
b
2
a
2
43. Siendo
=
D
i
h
g
f
e
d
c
b
a
, calcula razonadamente el valor de:
g
i
h
d
f
e
a
c
b
,
i
-h
-g
-c
-b
-a
-f
-e
-d
.
44. Si el determinante de una matriz cuadrada de orden n vale D, ¿cuál es el valor del determinante de la matriz que se obtiene multiplicando por 5 todos los elementos de la anterior? Razónalo.
45. Calcula el valor del determinante:
)
300
log
(
)
30
log
(
)
3
log
(
300
log
30
log
3
log
1
1
1
2 2
2
.
46. Obtén simplificado el desarrollo del determinante:
c
b
a
3
c
b
-c
b
b
a
-b
2
c
b
-a
b
a
-c
b
a
2 2 2
2 2
2
.
47. Dada la matriz
m
-1
4
3
m
0
1
-0
1
=
A
, averigua para qué valores del parámetro m existe A-1. Calcula A-1 param=2.
48. Calcula
1
0
1
1
n
. ¿Qué método puedes utilizar para establecer rigurosamente el resultado? ¿Es necesario
efectuar la potencia para conocer el valor de su determinante? Si no es así, explica en que propiedad te basas.
49. Calcula el determinante:
a
b
-c
d
b
a
d
-c
c
-d
a
b
d
-c
-b
-a
. Sugerencia. Realiza previamente el producto AAt.
4
-2
-0
8
-2
2
1
0
4
1
-4
3
2
1
0
=
A
,
1
-1
4
0
1
7
2
-5
4
4
0
1
-3
0
1
=
B
,
3
3
0
1
4
2
5
-7
0
2
-1
2
-3
0
1
-1
0
1
0
4
0
1
-1
1
-1
=
C
,
0
1
0
4
1
3
-7
9
5
8
5
1
0
2
1
4
3
1
1
2
0
1
0
0
6
5
4
3
2
1
=
D
.51. Dada la matriz
2
0
0
t
0
1
0
t
2
1
=
A
, averigua para qué valores de t no tiene inversa. Obtén A-1 para t=2 y parat=½, si ello fuera posible.
52. Calcula el rango de las siguientes matrices según los valores de m.
1
0
4
2
1
+
m
0
1
-3
m
=
A
,
3
-2
1
1
0
1
2
-3
4
m
2
3
=
B
.53. Halla el valor de x e y para que la matriz
2
3
x
1
y
1
0
1
4
1
1
2
=
A
tenga rango 2.54.- Averigua para qué valores de x existe la inversa de A y calcúlala cuando x= 3:
55.- Sabiendo que , averigua sin desarrollar el valor de
57.- Resuelve por CRAMER previo paso por la discusión de los rangos: 1 8 2 7 1 2 3 2 b) 0 3 6 2 5 4 3 a) t z y x t y x t z y x z y x z y x z y x 3 2 6 2 5 4 4 3 z y x y x z y x 2 3 4 3 b) 1 5 3 0 2 a) x y z x y x y x y x 1 3 2 3 4 2 6 4 2 3 z y x z y x z y x 1 2 3 4 2 2 b) 5 2 4 3 3 2 4 a) t z x t z x z y x z y x z y x z y x z y x 2 3 2 b) 3 2 4 4 5 2 3 a) y x z x y x y x y x 2 5 2 5 3 2 1 z y z x z y x 11 3 11 6 9 2 4 1 2 3 5 2 b) 2 4 2 10 3 6 3 5 a) z y x z y x y x z y x z y x z y x z y x
58.- Calcula la inversa por determinantes de:
