LICEO MARTA DONOSO ESPEJO REPASO

(1)

REPASO

Sistema de numeración decimal

Anotemos una escala que sirve para representar lo fundamental del sistema de numeración decimal. 100.000.000 cM 10.000.000 Centena de Millón dM 1.000.000 Decena de Millón uM 100.000 Unidad de Millón Cm 10.000 Centena de Mil dm 1.000 Decena de Mil um 100 Unidad de Mil c 10 Centena d 1 Decena u Unidad

Vemos que las unidades de los distintos órdenes se agrupan de diez en diez. Diez unidades de un orden forman una unidad de orden superior.

Ejemplo: Analicemos el orden de unidades y el valor posicional del número

7385

.

7

: Su orden es unidades de mil y su valor de posición 7.000

3

: Su orden es centenas y su valor de posición 300.

8

: Su orden es decenas y su valor de posición 80.

5

: Su orden es unidades y su valor de posición 5. O sea 7385 = 7.000 + 300 + 80 + 5.

(2)

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un número es divisible por 2 cuando es par o termina en 0, 2, 4, 6, ó 8.

Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo

de 4.

Un número es divisible por 5 cuando terminan en 0 ó en 5.

Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.

Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola

por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o

múltiplo de 7.

Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo

de 8.

Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.

Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.

Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de

sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de

derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.

Un número es divisible por 13 cuando separando la primer cifra de la derecha,

multiplicándola por 9, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así

sucesivamente, da cero o múltiplo de 13.

Un número es divisible por 17 cuando separando la primera cifra de la derecha,

multiplicándola por 5, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así

sucesivamente, da cero o múltiplo de 17.

Un número es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha,

multiplicándola por 17, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así

sucesivamente, da cero o múltiplo de19.

Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo

de 25.

Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo

de 125.

(3)

Números primos

Un número, mayor o igual a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y por sí mismo.

Por ejemplo: El 3 es primo ya que sólo es divisible por 1 y por 3.

El 12 no es primo ya que es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6 y por 12

.

El 12 es un número compuesto.

El 2 es el único número primo que es par.

La Criba de Eratóstenes

La Criba de Eratóstenes consiste en eliminar los números que no sean primos y que por tanto sean múltiplos de algún número.

Si quieres obtener los 150 primeros números primos, en la siguiente tabla, sigue los pasos indicados:

Tacha el número 1, ya que no se considera primo ni compuesto. Encierra el número 2 y tacha sus múltiplos. o sea, el 4, el 6, el 8, etc.

Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 3, y tacha sus múltiplos.

Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 5, y tacha sus múltiplos. Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números.

Los números encerrados son los números primos.

Los restantes corresponde a los números compuestos, con exepción del 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

(4)

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

FACTORES PRIMOS DE UN NÚMERO

Todos los números naturales se pueden descomponer en una factorización única de números primos.

Ejemplo: Encontremos los factores primos de 48.

48 : 2 24 : 2 12 : 2 6 : 2 3 : 3 1 Luego 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 =

También se puede utilizar un diagrama de árbol.

Utilicemos este método para obtener los factores primos de 8.

Por lo tanto 8 = 2 x 2 x 2 =

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m)

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos que es común a cada una de estas cantidades. Calculemos por medio de una tabla, donde vamos dividiendo por los números primos. Cuando el número no sea divisible se conservará.

(5)

12 18 : 2 6 9 : 2 3 9 : 3 1 3 : 3 1 El m.c.m. entre 12 y 18 es 2 · 2 · 3 · 3 =

= 36

Obtengamos ahora el m.c.m entre 8, 12, y 15

8

12

15 : 2

4

6

15 : 2

2

3

15 : 2

1

3

15 : 3

1

5 : 5

1

El m.c.m. es 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120.

Otro método para obtenerlo es determinando los múltiplos de cada número y después ver los que son comunes y de ellos elegir el menor.

Múltiplos de 12: {12, 24, 36, 48 ...} Múltiplos de 18: {18, 36, 54, ...}

El menor múltiplo común de 12 y 18 es 36.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m. c. d.)

El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el número mayor que los divide. Se calcula obteniendo los divisores de cada uno de los números y luego, de los divisores comunes, se elige el mayor de ellos.

Ejemplos: Obtengamos el m.c.d entre 12 y 18 Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

(6)

PRIMOS RELATIVOS

Dos números naturales se llaman primos relativos si el máximo común divisor entre ellos es

1. Los números 6 y 9 NO son primos relativos ya que los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6. Los

divisores de 9 son 1, 3 y 9. Por lo tanto el máximo común divisor es 3.

Los números 9 y 14 son primos relativos ya que los divisores de 9 son 1, 3 y 9, mientras que

los divisores de 14 son 1, 2, 7 y 14. Por lo tanto el máximo común divisor es 1.

Tablas de doble entrada

¿Qué ocurre si nuestro conjunto numérico es de sólo cuatro números: {0, 1, 2, 3}? ¿Cómo operaríamos con ellos al sumar y/o multiplicar?. Veamos.

Para la suma elaboremos la siguiente tabla de doble entrada:

+

0

1

2

3

0

1

2

3

1

2

3

0

2

3

0

1

3

0

1

2

Extraña, ¿verdad?, pero está correcta, aunque no te suene para nada que 2 + 2 es 0.

Para obtenerla se debe efectuar lo siguiente. sabemos que en IN 2 + 2 es 4, pero en el conjunto dado el 4 no existe, por lo que al llegar al 3, volvemos al comienzo y de ahí que el resultado sea 0.

Elaboremos ahora la tabla para la multiplicación:

·

0

1

2

3

0

1

0

1

2

3

2

0

2

0

2

3

0

3

2

1

(7)

Comprobemos en ambas tablas si se cumplen algunas propiedades, como ser la asociatividad.

verifiquemos primero si (2 + 1) + 3 = 2 + (1 + 3) 3 + 3 = 2 + 0

2 = 2, se cumple ahora con la multiplicación: (3 · 2) · 1 = 3 · (2 · 1) 2 · 1 = 3 · 2

2 = 2, se cumple. ¿Tendrán estas tablas elemento neutro?. Investígalo. Ah, y lo más importante ¿sirve para algo lo visto?

Tal vez un entendido en computación podría darte esa respuesta. Pregúntale por los sistemas binarios.

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor decimal. Las fracciones equivalentes representan la misma parte de una cantidad.

Si las representamos en la recta numérica, corresponden al mismo punto.

Representemos las fracciones equivalentes

y

Vemos que ambas fracciones representan la misma parte.

Para obtener fracciones equivalentes se debe amplificar o simplificar la fracción. Por amplificar se entiende multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número.

(8)

Ejemplo: Amplifiquemos la fracción por 6 para obtener una fracción equivalente.

Luego las fracciones y son equivalentes.

Por simplificar, se entiende dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número.

Ejemplo: Simplifiquemos la fracción por 3 para obtener una fracción equivalente.

Luego las fracciones

y

son equivalentes.

Comparar fracciones

Para comparar fracciones con igual denominador, basta con comparar los numeradores para definir cuál es mayor o menor.

Resulta mayor la que tiene mayor numerador. Resulta menor la que tiene menor numerador.

Ejemplo: Comparemos . La primera es mayor ya que 5 > 2.

Para comparar fracciones con diferente denominador, se deben buscar fracciones equivalentes con denominador común.

Ejemplo: Comparemos las fracciones

y

Para compararlas debemos reducir estas fracciones a un denominador común, a través de la amplificación.

La fracción la amplificaremos por 4 y la fracción la amplificaremos por 3, obteniéndose respectivamente,

y

.

(9)

Como 9 > 8, la fracción mayor es o sea

>

.

Fracciones a decimales

Para transformar una fracción a la forma decimal, se divide el númerador por el denominador.

Así si queremos convertir a decimal tenemos que efectuar la división 1 : 8 1 : 8 = 0,125 o sea un decimal exacto

Efectuemos ahora la transformación de a forma decimal.

2 : 3 = 0,66666... o sea un decimal periódico

Convirtamos a decimal la fracción

1 : 6 = 0,166666... o sea un decimal semi periódico

Multiplicación de decimales

Al multiplicar dos números decimales, lo más conveniente es efectuarla como si fueran números enteros y luego, en el resultado, separar tantos dígitos como cifras decimales había en total en los factores.

Ejemplo:

0,07365 · 0,053 lo vamos a multiplicar como si fuera 7.365 · 53 lo cual da 390.345. Ahora contamos la cantidad de cifras decimales de los factores 0,073365 y 0,053, siendo de 5 y 3, respectivamente, o sea en total 8 cifras decimales.

Al aplicar la cantidad de cifras obtenidas al resultado 390.345, obtenemos como resultado final 0,00390345.

La explicación de este procedimiento es el siguiente:

(10)

Efectuemos el producto

· =

= 0,00390345

Se debe tener especial cuidado al multiplicar cantidades que terminan en cero ya que no nos debemos olvidar de agregar, al resultado final, los ceros que contiene la cifra.

Ejemplo 0,0582 · 7300 582 · 73 = 42.486

Agregamos los ceros al resultado obtenido, resultando 4.248.600.

Ahora contamos la cantidad de cifra decimales contenidas en el ejercicio, siendo 4 cifras.

Luego el resultado final es 424,8600; o mejor 424,86. Esto tiene la siguiente justificación:

0,0582 =

y

7300 = 73 · 100

Luego 0,0582 · 7300 =

·

73 · 100 = 582 · 73· = 42.486 ·

=

= 424,86

División de decimales

Para dividir números decimales tendremos que utilizar generalmente la amplificación Efectuemos la división 36 : 0,5

Esto es lo mismo que decir

,

fracción que podemos amplificar por 10 (basados en que 0,5 tiene un solo decimal).

Resulta, entonces,

Efectuamos esta sencilla división 360 : 5 . Luego el resultado final de 36 : 0,5 es 72. Si queremos comprobar que nuestro resultado está bién, debemos multiplicar 72 · 0,5 y obtenet 36.

Otro ejemplo: 3764 : 0,04

(11)

Ya no es necesario transforma la expresión en fracción, para darse cuenta de que la división a efectuar es 376.400 : 4, dando como resultado 94.100.

Pero, ¿cómo debemos operar cuando ambos son decimales? Dividamos 0,512 : 1,6.

Para amplificar debemos observar cuál de las dos cantidades tiene mayor cantidad de decimales. En este caso es el 0,512 y él es el que determina que se debe amplificar por 1.000. (3 decimales, 3 ceros)

Al amplificar resulta 512 : 1600, cuyo resultado es 0,32.

Las divisiones con decimales tiene mucha aplicación en la vida cotidiana, como en lo siguiente:

Se tiene una barra de fierro de 1,5 metros de largo y de ella se quieren obtener pernos de 0,075 metros de largo. ¿Cuántos pernos salen? (Resp. 20)

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Es el conjunto de medidas que se derivan del metro.

Es un sistema, porque es un conjunto de medidas; métrico, porque su unidad

fundamental es el metro; decimal, porque sus medidas aumentan y disminuyen

como las potencias de 10.

Hay cinco clases de medidas: de longitud, de superficie, de volumen, de

capacidad y de masa (peso).

1. Unidades de Longitud.

La unidad de las medidas de longitud es el metro, que se representa por m.

Los múltiplos del metro se forman anteponiendo a la palabra metro, las palabras

griegas Deca, Hecto y Kilo, que significan diez, cien y mil respectivamente, y los

submúltipos que se forman anteponiendo las palabras griegas deci, centi y mili,

que significan décima, centésima y milésima parte respectivamente.

Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez.

Los múltiplos y submúltiplos del metro son:

Kilómetro Km. 1.000 m. Hectómetro Hm. 100 m. Decámetro Dm. 10 m. metro m. 1 m. decímetro dm. 0,1 m. centímetro cm. 0,01 m. milímetro mm. 0,001 m

(12)

La unidad de las medidas de superficie es el metro cuadrado, que corresponde a

un cuadrado que tiene de lado un metro lineal y se representa por m

2

_.

Estas medidas aumentan y disminuyen de cien en cien.

Los múltiplos y submúltiplos del m

2

_son:

Kilómetro cuadrado Km2 _{1.000.000 m}2 Hectómetro cuadrado Hm2 _{10.000 m}2 Decámetro cuadrado Dm2 _{100 m}2 metro cuadrado m2 _{1 m}2 decímetro cuadrado dm2 _{0,01 m}2 centímetro cuadrado cm2 _{0,0001 m}2 milímetro cuadrado mm2 _{0,000001 m}2

3. Unidades de Volumen.

La unidad de estas medidas es el metro cúbico, que es un cubo que tiene de

arista un metro lineal y se representa por m

3

_.

Estas medidas aumentan y disminuyen de mil en mil.

Los múltiplos y submúltiplos del m

3

_son:

Kilómetro cúbico Km3 _{1.000.000.000 m}3 Hectómetro cúbico Hm3 _{1.000.000 m}3 Decámetro cúbico Dm3 _{1.000 m}3 metro cúbico m3 _{1 m}3 decímetro cúbico dm3 _{0,001 m}3 centímetro cúbico cm3 _{0,000001 m}3 milímetro cúbico mm3 _{0,00000000 m}3

4. Unidades de Capacidad.

La unidad de estas medidas es el litro.

Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez.

Los múltiplos y submúltiplos del litro son:

Kilólitro Kl. 1.000 l. Hectólitro Hl. 100 l. Decálitro Dl. 10 l. litro l. 1 l. decílitro dl. 0,1 l. centílitro cl. 0,01 l. milílitro ml. 0,001 l.

5. Unidades de Peso.

(13)

Las medidas de peso aumentan y disminuyen de diez en diez.

Los múltiplos y submúltiplos del gramo son:

Kilógramo Kg. 1.000 g. Hectógramo Hg. 100 g. Decágramo Dg. 10 g. gramo g. 1 g. decígramo dg. 0,1 g. centígramo cg. 0,01 g. milígramo mg. 0,001 g.

(14)

POTENCIAS:

Recuerda:

- Los elementos que intervienen son la Base y el Exponente

o

El exponente indica la cantidad de veces que se

multiplica la base

o

Ej. a

b

= aaaa………. b veces

PROIEDADES

Potencias de exponente 0

a

0

= 1 5

0

= 1

Potencias de exponente 1

a

1

= a 5

1

= 5

Potencias de exponente entero negativo

Multiplicación de potencias con la misma base

Se conserva la base y se SUMAN los exponentes

a

m

· a

n

= a

m+n

2

5

· 2

2

= 2

5+2

= 2

7

División de potencias con la misma base

Se conserva la base y se RESTAN los exponentes.

a

m

: a

n

= a

m - n

2

5

: 2

2

= 2

5 - 2

= 2

3

Potencia de un potencia

Se conserva la base y se Multiplican los exponentes

(a

m

)

n

=a

m · n

(15)

Multiplicación de potencias con el mismo exponente

Se multiplican las bases y se conserva el exponente

a

n

· b

n

= (a · b)

n

2

3

· 4

3

= 8

3

División de potencias con el mismo exponente

Se dividen las bases y se conserva el exponente.

a

n

: b

n

= (a : b)

n

6

3

: 3

3

= 2

3

(16)

GEOMETRIA

CONTENIDOS SOBRE ÁNGULOS

- Definición de un ángulo: en geometría, se define como el conjunto de

puntos determinados por dos semirrectas, que tienen el mismo punto de

partida. También se puede definir a un ángulo como dos segmentos finitos

con un punto extremo común.

- Modo de nombrar un ángulo:

Un ángulo se designa en cualquiera de las siguientes formas:

o Con la sola letra del vértice si hay únicamente un ángulo que tenga tal

vértice. Por ejemplo

B

o Con una letra minúscula o un número que se coloca los lados del

ángulo en las cercanías del vértice; por ejemplo,

a

o < 1

o Por medio de 3 letras mayúsculas, las cuales la del vértice se halla en

el centro y se nombra entre las otras dos, que se colocan sobre lados

del ángulo.

B es donde esta el ángulo y

siempre va al centro

El ángulo de nombra asi:

< A B C

B

C

A

_{AB es una semirrecta}

BC es una semirrecta

B es el punto de partida

B

a

1 B

C

A

Vértice

(17)

Clases de ángulos:

Ángulo agudo: es menor de 90º

Ángulo recto: tiene 90º

Ángulo obtuso : es mayor que 90º pero menor de 180º.

Ángulo llano o plano: mide 180º.

Ángulo cóncavo o entrante: es mayor que 180º pero menor que 360º.

OTROS ASUNTOS SOBRE ÁNGULOS

Ángulos iguales: son los que tienen el mismo número de grados.

<A = <B

Recta bisectriz: divide al ángulo en dos partes iguales

<1 = < 2

Recta perpendicular: corta a una recta y la divide en dos ángulos rectos.

B

90º

180º

90º

A

B

A

1

2 90º

90º

(18)

Mediatriz

Si una recta biseca (corta) a un segmento, y además, es perpendicular a él

se llama mediatriz. Mediatriz es, la perpendicular a un segmento en su

punto medio.

Ángulos complementarios son los que sumados dan 90º.

60º + 30º = 90º

Ángulos suplementarios son los ángulos que sumados dan 180º.

140º + 40º = 180º

Igualdad de ángulos entre paralelas:

Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.

1

L

y

2

L

son // paralelas

L es trasversal

90º

G

F

E

H

M

GH es mediatriz porque:

GH biseca (corta) al segmento EF

GH es perpendicular a EF

Entonces

< EMG y < EMF son ángulos rectos y

M es el punto medio de EF

30º 60º 40º 140º

2 1

3 4

6 5

7 8

2

L

1

L

(19)

Tipos de ángulos formados

Ángulos correspondientes entre paralelas son iguales.

Ángulos alternos entre paralelas son iguales.

Ángulos alternos opuestos por el vértice son iguales.

1 = 5

2 = 6

3 = 7

4 = 8

1 = 7

2 = 8

3 = 5

4 = 6

2 1

3 4

6 5

7 8

2

L

1

L

2 1

3 4

6 5

7 8

2

L

1

L

2 1

3 4

6 5

7 8

2

L

1

L

1 = 3

2 = 4

6 = 8

5 = 7

(20)