Álgebra lineal .
Ejercicios.
1.- Sistemas de ecuaciones lineales.
1) De los siguientes sistemas indica los que son compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles:
a)
=
−
= +
100 3
2
23 y x
y x
b)
= + +
= + +
23 2
23 z y x
z y x
c)
=
− +
−
= + +
= + +
0 5
2
11 2 2 2
10
t z y x
z y x
z y x
d)
= +
= +
= +
21 2 3
11 2
10
y x
y x
y x
e)
= +
= +
= +
21 2 3
7 2
10
y x
y x
y x
2.- Método de Gauss.
1) Resuelve los siguientes sistemas:
a)
= + +
= + +
= + +
322 2
2 3
211 2
111
z y x
z y x
z y x
b)
= + +
= + +
= +
−
15 3 7
7 2
1 3
z y x
z y x
z y x
c)
= + +
= + +
= +
−
15 3 7
8 2
1 3
z y x
z y x
z y x
d)
= + +
−
= + +
= +
−
9 3 7
2 5
2
6 3
2
z y x
z y x
z y x
e)
= + +
= + +
= +
−
4 3 5 3
3 2
3 2
z y x
z y x
z y x
f)
−
= + +
−
= + +
= +
−
1 3
3 1 2
z y x
z y x
z y x
g)
= +
−
= +
−
= +
−
=
−
−
0 2 2
0 0 7 3
0 2
z y x
z y x
z y x
z y x
h)
= +
−
= +
−
= +
−
=
−
−
0 2 2
1 3
0 2
3
z y x
z y x
z y x
z y x
i)
=
−
−
= +
−
= +
−
=
−
−
4 4
2
1 3
2
0 3 2
z y x
z y x
z y x
z y x
3.- Estructuras algebraicas.
1) De las siguientes operaciones, indica las que son asociativas, conmutativas o tienen un neutro:
a) ⊗:N×N →N tal que x⊗y=2x+2y b) ⊕:N×N →N tal que x⊕y= x+2y c) Ξ:R×R→R tal que xΞy= x−y d) ∆:R×R→R tal que x∆y= xy
4.- Espacios vectoriales.
1) Sean u =(2,3),v=(2,1),w=(5,2)
a) Expresa w como combinación lineal de u y v.
b) Expresa al (4,5) como combinación lineal de v y w.
c) Expresa, de tres maneras distintas, al vector (0,0) como combinación lineal de u, v y w.
2) Sean u =(1,1,1),v=(1,1,0),w=(1,0,0)
a) Expresa (3,5,6) como combinación lineal de u, v, w.
b) Expresa (3/5, 3/5, ¼) como combinación lineal de u y v.
c) ¿Puede expresarse (4,6,3) como combinación lineal de u y v?
d) Encuentra 3.000.000 de vectores de R que no puedan expresarse como 3 combinación lineal de u y w.
3) Sean u=(1,2,3),v=(4,5,6),w=(7,8,9). Sea S={u,v}. De las siguientes afirmaciones, demuestra las verdaderas y pon un contraejemplo de las falsas:
a) w∈<S >
b) w∈S
c) (4,0,−4)∈<S >
d) (1,1,1)∈< S >
e) <S >=R³
4) Sean u =(1,12,3),v=(4,15,1),w=(0,3,1)
a) Demuestra que <{u,v}>=<{u,w}> [Pista: proposición 4.4]
b) Demuestra que <{u,v,w}>=<{u,w}>
5) Sean u =(1,2,2,1),v=(1,3,2,2),w=(0,3,1,2) a) Demuestra que (2,0,1,1)∈<{u,v,w}>
b) Demuestra que (2,0,1,1)∈<{399·u,23u+v, 37u+w}> [Pista.- Se puede hacer directamente o usando la proposición 4.5 y el apartado anterior.
c) Halla a para que (a,6,−1,3)∈<{u,v,w}>
5.- Independencia lineal.
1) De los siguientes conjuntos de vectores indica los que son linealmente dependientes y linealmente independientes. En el caso que el conjunto sea linealmente
dependiente, expresa un vector del conjunto como combinación lineal del resto.
a) L={(1,2,3),(1,1,1),(0,1,1)}
b) L={(1,2,1),(−2,−1,1),(0,1,1)}
c) L={(1,2,0),(0,1,2),(2,0,1)}
d) L={( 10, 15, 30),(10,1,−1),(2, 6, 12)}
e) L={(1,2,0,2),(0,1,2,−1),(2,0,1,1),(1,1,1,1)}
f) L={(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(1,0,0,1)}
2) Halla los valores de a que hacen los siguientes conjuntos linealmente dependientes.
[Nota.- Más adelante veremos cómo resolver este problema más sencillamente usando determinantes]
a) L={(1,2,0),(1,1,1),(0,1,a)}
b) L={(1,1,0),(0,1,1),(a,1,2)}
c) L={(1,3,2),(1,2,1),(4,1,a)}
3) Los siguientes conjuntos L son linealmente independientes. Encuentra un vector v tal que L'=L∪{v} siga siendo linealmente independiente.
a) L={(1,−1,0),(1,2,1)}
b) L={(11,−11,110),(1,1,−1)}
c) L={(1,1,1,0),(0,1,1,1),(1,0,1,1)}
6.- Rango de un conjunto de vectores.
1) Halla el rango de todos los conjuntos del ejercicio 5.1 2) Calcula el rango de los siguientes conjuntos de vectores:
a) L={(1,−1,0),(1,2,1),(1,1,1)}
b) L={(1,−1,0),(1,2,3),(1,1,2)}
c) L={(1,−1,0,1),(1,2,1,0),(1,1,1,0),(0,0,0,−1)}
d) L={(1,2,3,6),(5,10,7,22),(9,18,11,38),(13,26,−26,13)}
e) L={(1,−1,0,0),(1,2,1,4),(1,1,1,3),(5,−6,0,−1)}
f) L={(1,2,3,4),(5,6,7,8),(9,10,11,12),(13,14,15,16)}
g) L={(1,5,6,−4),(1,2,3,−1),(1,1,2,0),(5,−6,−1,11)}
7.-Bases
1) ¿Es B={(1,−1,0),(1,1,1),(1,−1,1)} base de ³R ? 2) ¿Es B={(1,2,6),(1,1,4),(1,−1,0)} base de ³R ? 3) ¿Es B={(1,1,2),(1,1,3),(0,−1,1)} base de ³R ? 4) ¿Es B={(1,−1,0,0),(1,1,0,1),(1,−1,0,1)} base de R ? 4 5) ¿Es B={(1,−1,0,0),(1,1,0,1),(1,−1,0,1)} base de R ? 4
6) ¿Es B={(1,−1,0,0),(1,1,0,1),(1,−1,0,1),(1,0,0,1)} base de R ? 4 7) ¿Es B={(1,−1,0,0),(−1,1,0,1),(1,−1,1,1),(1,0,0,0)} base de R ? 4
8) ¿Es B={(1,−1,0,0),(−1,1,0,1),(1,−1,1,1),(1,0,0,0),(1,2,3,4)} base de R ? 4 9) Sea B={(u1,u2,u3),(v1,v2,v3),(w1,w2,w3)} base de ³R . Demuestra que
)}
1 , 0 , 0 , 0 ( ), 0 , , , ( ), 0 , , , ( ), 0 , , , {(
' u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3
B= es base R . 4
9.- Operaciones con matrices
1) Sean
=
10 6
5
A 1 ,
= 2 1
1
B 0 ,
−
= 6 11 3
C 2 ,
= 1 2
5
D 1 y
= 3 2
5 E a
a) Expresa C como combinación lineal de A y B,
b) ¿Puede expresarse D como combinación lineal de A y B?
c) Halla a para que E sea combinación lineal de B y C.
2) Sean
−
= 3 1 0 2 2
A 1 ,
−
= 2 2 3 1 0
B 1 ,
−
−
=
2 2
1 1
2 1
C y
−
−
=
0 1
1 1
2 1
D .
Calcula:
a) A×D b) D×A
c) (A+B)×(D−C) d) (A+Ct)×(C+Bt) e) (2D−C)×(A+3B) f) C×A×D
3) Sea
= −
α α
α α α
cos ) cos
( sen
A sen .
a) Demuestra que A(α +β)= A(α)+A(β) b) Demuestra que A(α)n = A(nα)
c) Halla
20
2 / 3 2 / 1
2 / 1 2 / 3
−
d) Encuentra una matriz B cumpliendo que
−
−
= −
2 / 2 2
/ 2
2 / 2 2 /
3 2 B
10.- Rango de matrices.
1) Halla el rango de las siguientes matrices:
a)
−
−
7 10 5
4 2 1
3 2 1
b)
−
−
68 31 13 15
8 1 7 5
6 3 2 1
c)
−
−
−
3 5 2
4 3 7
4 1 3
2 1 1
3 1 2
d)
−
−
− 23 log 111111
/ 12345 212345
0 0
231 / 4 11
3
0 10
0
0 0
2
e π
e)
400 log 90 log 49 log
200 log 30 log 7 log
2 log 3
log 7 log
2 1
0
2) Calcula, según el valor de a el rango de las siguientes matrices:
a)
− 2 1 1
4 2 2 1 a
a
b)
2 2
2 2 2 2
a a
a
c)
−
−
2 4 5 0
8 1 7
6 3 2 1
a a
a
11- Determinantes de orden 2 y 3.
1) Calcula usando la regla de Sarrus los determinantes de las siguientes matrices:
a)
−
=
3 0 2
4 2 1
3 2 1 A
b)
−
−
=
1 2 2
1 0 5
1 2 3 B
c) A+B
d) A×B
e) Bt
2) Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 6
3 1 2
3 a 1
1 2 1
=
b) 0
9 6 4
8 5 3
a 1 a
=
c) 0
a 2 2
2 a 1
1 1 a
=
−
−
12 y 13 .- Determinantes. Cálculo de un determinante usando menores complementarios.
1) Calcula los siguientes determinantes, bien usando el método de Gauss, bien desarrollando por alguna fila o columna:
a)
1 2 0 0
1 1 1 2
1 1 3 1
4 3 2 1
−
b)
1 2 3 0
1 0 1 2
1 1 0 1
4 3 0 2
−
−
c)
2 0 0 0 0
0 7 3 0 0
0 5 2 0 0
0 0 0 7 3
0 0 0 2 1
2) Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 0
5 0 0
1 0 0 2
0 1 2 0
0 3 0
= x
x
b) 0
0 0 1
1 0
0
0 1 0
0 0 1
= x x x x
c) 0 1
0 1
1 1
0
0 1 1
1 0 1
= x x x x
d) 0
3 1 2
4 2 0 3
3 1 1
1 1 1 1
− = x x
14.- Cálculo del rango de una matriz usando determinantes.
1) Halla el rango de las siguientes matrices:
a)
4 0 4 1
2 0 1 0
2 1 0 0
0 0 2 1
b)
− 1 3 0 1
0 2 0 1
0 0 1 2
c)
−
−
−
−
−
3 4 1 5
0 2 0 2
3 0 1 1
2) Calcula, según los valores de a el rango de las siguientes matrices:
a)
−
−
−
2 6
1 2 3
1 2
a a
b)
2 1 1
1 1 2
1 2
1
2 2 1 1
a a
a
c)
−
−
1 3 5 1
5 6 7 4
4 3 2 5
a a a
a
3) Calcula el rango de las siguientes matrices para los distintos valores de a, b y c:
a)
− c a
c b a
c b a
4 0 3
3 2
b)
+ +
+c a c a b b
c b
a
5 5
5
c)
−
senb a
sena
sena a
1 1
0 cos
0 cos
d)
− +
−
− 2 6 2 1
1 3
1 3 2 1
a b a
4) Resuelve otra vez el problema 5.2, esta vez usando determinantes.
5) Resuelve otra vez el problema 6.2, esta vez usando determinantes.
6) Calcula otra vez todos los problemas del capítulo 7, esta vez usando determinantes.
7) Calcula otra vez todos los problemas del capítulo 10, esta vez usando determinantes.
15.- Matriz inversa.
1) Halla las inversas de las siguientes matrices:
a)
− 1 5
2 3
b)
+
−
1 2 2
2 1 2
c)
−1 0 2 0 3 4
0 2 3
d)
3 0 2
0 1 0
1 2 1
e)
5 2 0 0
3 1 0 0
0 0 3 2
0 0 2 1
2) Algunas de las siguientes afirmaciones son falsas. Demuestra las afirmaciones verdaderas y pon contraejemplos de las falsas.
a) Si A,B∈M3 son regulares entonces A+B es regular.
b) Si A,B∈M3 y A×Bes regular entonces A es regular.
c) Si A,B∈M3 y A×Bes regular entonces B×Aes regular.
d) Una matriz diagonal siempre es regular.
e) Una matriz triangular con todos los elementos de la diagonal positivos es regular.
3) Sean , , 1
1 0
0 , 1
3 5
2
3 −
×
×
=
−
=
= B C A B A
A .
a) Calcula Bn
b) Expresa en términos de A y B las matrices C2,C3,Cn c) Calcula C11
4) Sea A∈Mn.
a) Demuestra que si A es regular entonces An,n∈N es regular.
b) Demuestra que si A es regular entonces
( ) ( )
An −1 = A−1 n,n∈Nc) Si A es regular, ¿qué sentido tiene la expresión A−3? d) Calcula para la matriz C del ejercicio anterior C−6.
16.- Ecuaciones matriciales.
1) Sean
−
=
=
−
= −
4 3 1
2 0 , 1
2 / 1 3
1 , 8
3 5
2
3 B C
A . Resuelve las siguientes
ecuaciones matriciales:
a) B×X = A b) X×B= A c) A×X =C d) B×X×A=I2
2) Sean
−
= −
−
=
=
= −
3 2 11
1 0 , 1
0 2 1
1 0 , 1
2 1
1 , 1
0 1
3
2 B C D
A . Resuelve
los siguientes sistemas de ecuaciones matriciales (si os aburre operar con las matrices podéis dejar las soluciones indicadas):
a)
= +
= +
C Y X
C Y X
4 5 8
2 3
b)
= +
−
= +
−
D Y X
C Y X
5 8
3 5
c)
=
−
= +
B Y X
A Y X 2
3
d)
=
×
=
×
− Y A
B
Y X A
1
e)
= +
−
= +
−
=
− +
2 2
3 2 2
I Z Y X
B Z Y X
A Z Y X
f)
= +
=
+ t
t t
B Y X
A Y X 2
3 5
17.- Teorema de Rouché-Frobenius.
1) Indica, según los posibles valores de a cuándo el sistema es compatible determinado, indeterminado o incompatible:
a)
= +
= +
= +
3 1 2
5 3 2
y ax
y x
y x
b)
= + +
= + +
= + +
2 4
az y x
a z y x
z y ax
c)
= + +
= + +
−
= + +
1 2
1
z ay x
a az y x
a z y x
d)
= + +
= + +
= + +
2 4 3 2
0 0 3 2
z y x
z ay x
z y x
e)
= + + +
= + + +
= + + +
) 2
1 (
) 1 (
1 )
1 (
a z a y x
a z y a x
z y x a
f)
−
= +
−
−
=
−
−
= + +
= +
5 2 2
1 3
3 2
az y x
z y
z y x
z x
g)
=
−
−
=
− +
= +
−
0 4
3
0 3 2
0 2
az y x
z y x
z y x
h)
= +
−
= +
= + +
0 2
0 2
0
az y x
z ax
z y x
2) Indica, según los posibles valores de a cuándo el sistema es compatible determinado, indeterminado o incompatible:
a)
= + +
−
=
− +
= +
−
b az y x
z y x
z y x
4
8 2 3 2
2
b)
= + +
= +
− +
−
= + +
b z ay x
a az y x
a z y x 2
1
c)
= +
−
+
= +
−
=
− +
b z x
b ay x
b z y ax
1 2
1
d)
=
− +
= +
−
= + +
1 2 2 3
2
y x
b z y x
z ay x
e)
= + +
= + +
= + +
b z ay x
b z y ax
z y x
4 6 3
3 4 2
f)
=
−
= +
= +
a y x
a by x
a y x
3 2
2
g)
= + +
= + +
= + +
b az y x
z ay x
z y ax
1 1
18.- Regla de Cramer.
1) Resuelve los siguientes sistemas usando la regla de Cramer:
a)
= + +
=
− +
= +
−
2 4
0 2 3
1
z y x
z y x
z y x
b)
= +
= +
2 1000 1001
1 999 1000
y x
y x
c)
=
−
= +
−
= +
2 2
3 5
1 2
z y
y x
z x
d)
= +
=
−
2 , 0 5 , 2 1 , 1
6 , 1 3 , 2 7 , 32
y x
y x
e)
−
= +
−
=
−
−
1 7 23 24
1 5 22 23
z y x
z y x
f)
−
= +
−
=
−
−
1 7 3 6
11 5 2 4
z y x
z y x
2) Indica, según los posibles valores de a cuándo el sistema es compatible determinado, indeterminado o incompatible. Resuelve los casos compatibles.
a)
=
−
= + +
= + +
a y x
az ay x
a az y x
3 2 2
2
b)
= + +
= + + +
= + +
a z y x
z y a x
z y ax
12 5 4 3
9 4 ) 2 ( 2
6 3 2
c)
= +
= +
2 3
· 2
2
· cos 2
y x sena
y x a
d)
+
= + +
= +
12 )
7 ( 5
9 6
a y a x
y ax
