Operadores lineales diagonalizables

Operadores lineales diagonalizables

Objetivos. Estudiar operadores lineales diagonalizables. Establecer criterios de operador lineal diagonalizable.

Requisitos. Independencia lineal de subespacios propios asociados a diferentes valores propios.

1. Definici´on (operador lineal diagonalizable). Sean V un espacio vectorial sobre un campo F, dim(V ) < +∞, T ∈ L(V ). Se dice que T es diagonalizable si existe una base U de V tal que la matriz TU es diagonal.

2. Observaciones antes de la definici´on de matriz diagonalizable. A cada matriz cuadrada A ∈ Mn(F) asociamos el operador lineal T^A ∈ L(Fⁿ) definida mediante la siguiente regla:

T_Ax = Ax ∀x ∈ Fⁿ.

Este operador T_A tiene propiedad que (T_A)_E = A, donde E es la base can´onica de Fⁿ. Es natural decir que A es diagonalizable si es diagonalizable el operador T_A, esto es, si existe una base U de Fⁿ tal que la matriz (T_A)U es diagonal. Notemos que

(T_A)U = P_E,U⁻¹(T_A)_EP_E,U = P_E,U⁻¹AP_E,U.

Se sabe que a cada matriz invertible P ∈ M_n(F) le corresponde una ´unica base U de Fⁿ tal que P = PE,U. Tomando en cuenta estas observaciones, obtenemos la siguiente definici´on.

3. Definici´on (matriz diagonalizable). Una matriz cuadrada A ∈ M_n(F) se llama diagonalizable si existe una matriz invertible P ∈ M_n(F) tal que la matriz P⁻¹AP es diagonal.

4. Definici´on (polinomio se factoriza en factores lineales). Sea f ∈ P(F). Vamos a decir que f se factoriza en factores lineales sobre F si f se puede escribir en forma

f (x) = c(x − x₁)^p1 · . . . · (x − x_m)^pm, donde c, x1, . . . , xm ∈ F, p¹, . . . , pm ∈ {1, 2, . . .}.

5. Ejemplos.

1. f (x) = x²− x − 12 = (x − 4)(x + 3) se factoriza en factores lineales sobre Q.

2. f (x) = x² − 7 no se factoriza en factores lineales sobre Q, pero se factoriza en factores lineales sobre R.

Operadores lineales diagonalizables, p´agina 1 de 4

3. f (x) = x²+6 no se factoriza en factores lineales sobre R, pero se factoriza en factores lineales sobre C.

6. Ejemplo. Este ejemplo sirve para comprender mejor la demostraci´on del lema y del teorema escritos en continuaci´on. Sea V un espacio vectorial real de dimensi´on 5, sea T ∈ L(V ) y sea U = (u1, u2, u3, u4, u5) una base de V tal que

T u₁ = 7u₁, T u₂ = 7u₂, T u₃ = 7u₃, T u₄ = 6u₄, T u₅ = −3u₅. Escriba TU.

Calcule C_T y sp(T ).

Para todo λ ∈ sp(T ) calcule r(λI₅− TB)) y dim(ker(λI − T )).

7. Proposici´on (criterio para que la matriz asociada a un operador lineal sea diagonal). Sea V un espacio vectorial sobre un campo F, dim(V ) = n < +∞, sea T ∈ L(V ) un operador lineal y sea U = (u₁, . . . , u_n) una base de V . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) la matriz TU es diagonal;

(b) los elementos de U son vectores propios de T , o sea U consiste de vectores propios de T .

Adem´as, si se cumplen estas condiciones, entonces los elementos diagonales de TU son valores propios de T .

Demostraci´on. (a)⇒(b). Sup´ongase que

TU = diag(α₁, . . . , α_n).

Entonces por la definici´on de la matriz asociada TU se tiene que T uj = αjuj para todo j. Adem´as los vectores u_j son no nulos como elementos de la base U . Por lo tanto, los vectores u_j son vectores propios de T .

(b)⇒(a). Supongamos que u₁, . . . , u_nson vectores propios de T y α₁, . . . , α_nson valores propios correspondientes (algunos de los escalares α₁, . . . , α_n pueden coincidir entre si):

T u_j = α_ju_j (j ∈ {1, . . . , n}).

Entonces por la definici´on de la matriz asociada a un operador lineal tenemos TU = diag(α1, . . . , αn).

Operadores lineales diagonalizables, p´agina 2 de 4

8. Teorema (criterio para que un operador lineal sea diagonalizable). Sean V un espacio vectorial sobre un campo F, dim(V ) = n < +∞, T ∈ L(V ). Sean λ1, . . . , λ_m todos los valores propios distintos de T y S_T,λk := ker(λ_kI − T ) los correspondientes subespacios propios. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) T es diagonalizable.

(b) En V existe una base de vectores propios de T . (c) dim(S_{T ,λ1}) + . . . + dim(S_{T ,λm}) = n.

(d) El polinomio caracter´ıstico de T se factoriza en factores lineales sobre F:

C_T(λ) = (λ − λ₁)^p1 · . . . · (λ − λ_m)^pm,

y las multiplicidades algebraicas coinciden con las multiplicidades geom´etricas:

∀j ∈ {1, . . . , m} dim ker(λ_jI − T ) = p_j.

Demostraci´on. La equivalencia (a)⇔(b) sigue de la proposici´on antes del teorema.

(c)⇒(b). Encontramos algunas bases B₁, . . . , B_m de los subespacios S_T,λ1, . . . , S_{T ,λm} y denotemos por U a la contenaci´on de las listas B₁, . . . , B_m:

U := B₁∨ . . . ∨ B_m.

Del teorema de la independencia lineal de subespacio propios asociados a diferentes valores propios sigue que U es una base de W₁+ . . . + W_m. Como

|U | =

m

X

k=1

|B_k| =

m

X

k=1

dim(S_{T ,λk}) = n, U es una base de V .

(d)⇒(c). Es grado del producto de polinomios es igual con el producto de los grados, por eso

m

X

k=1

dim(S_{T ,λk}) =

m

X

k=1

p_k = deg(C_T) = n.

(a)⇒(d). Sea U una base tal que TU es diagonal:

TU = diag(α₁, . . . , α_n).

Denotemos por q_j al n´umero de las entradas diagonales de la matriz T_U iguales a λ_j: q_j :=

i ∈ {1, . . . , n} : α_i = λ_j  . Entonces q₁+ . . . + q_m = n y

C_T(λ) = C_TU(λ) = (λ − α₁) · . . . · (λ − α_n) = (λ − λ₁)^q1 · . . . · (λ − λ_m)^qm. Operadores lineales diagonalizables, p´agina 3 de 4

Adem´as,

dim(ker(λ_jI − T )) = n − r(λ_jI − T )) = n − r(λ_jI_n− TU)

= n −el n´umero de las entradas diagonales no nulas de la matriz λ_jI_n− TU



=el n´umero de las entradas diagonales nulas de la matriz λjIn− TU



=el n´umero de las entradas diagonales de la matriz TU iguales a λ_j



= q_j.

9. Corolario. Sean V un EV/F, dim(V ) = n < +∞, T ∈ L(V ). Supongamos que T tiene n valores propios diferentes. Entonces T es diagonalizable.

10. Ejercicio. Sean V un EV/F de dimensi´on finita y T ∈ L(V ) un operador lineal dia- gonalizable. Demuestre que el polinomio m´ınimo de T pos´ee una factorizaci´on en factores lineales sobre F, y todas sus ra´ıces son simples:

µ_T(λ) = (λ − λ₁) · . . . · (λ − λ_m).

Sugerencia. Sea B una base tal que TB es diagonal. Calcule (T_B − λ₁I) · . . . · (T_B − λ_mI).

11. Tarea adicional. Sean V un espacio vectorial F de dimensi´on finita y T ∈ L(V ) un operador lineal tal que µ_T se puede factorizar en factores lineales sobre F, y todas sus ra´ıces son simples. Demuestre que T es diagonalizable.

12. Ejemplo. Determine si la matriz dada A es diagonalizable o no. Si es diagonalizable, encuentre una matriz P tal que P⁻¹AP sea una matriz diagonal.

A =





4 3 4

3 3 3

−4 −3 −4



. 13. Ejemplo.

A =





0 2 2

−1 −3 −2

1 2 1



. 14. Ejercicios.

A =





−1 −4 −2

−6 −3 −6

4 4 5



, A =





−1 −1 −1

1 1 1

2 2 1



.

15. Ejercicio (criterio para que una matriz sea escalar). Sea A ∈ M_n(F) y sea λ ∈ F. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) A es diagonalizable y sp(A) = {λ}.

(b) A = λIn.

Operadores lineales diagonalizables, p´agina 4 de 4