UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEM ´ ATICA

INFORME FINAL

“POTENCIAL ESCALAR Y DENSIDAD DE ENERG´ IA DE LA QUINTA ESENCIA DEPENDIENTE DEL TIEMPO”

Dr. Jorge Abel Espich´ an Carrillo

(01-03-2010 al 28-02-2011; R. R. N

⁰

310-2010-R)

CALLAO - PER ´ U

2011

´ Indice

1. RESUMEN 1

2. INTRODUCCI ´ ON 2

3. MARCO TE ´ ORICO 5

3.1. Ecuaciones B´ asicas . . . . 5

3.2. Potencial Escalar de la Quinta Esencia . . . . 7

3.3. Soluciones Dependientes del Desplazamiento al Rojo . . . . 10

4. MATERIALES Y M´ ETODOS 13 5. RESULTADOS 14 5.1. Soluciones Dependientes de z(t) . . . . 14

5.2. Soluciones Particulares . . . . 18

6. DISCUSI ´ ON 23 7. REFERENCIALES 25 8. AP´ ENDICE 28 8.1. Diagrama del Cuadro de Trabajo de Investigaci´ on . . . . 28

8.2. Cuadro de los Resultados de la Investigaci´ on . . . . 29

8.3. ANEXO . . . . 30

8.3.1. Diagrama del Cuadro de la Fuente de Informaci´ on . . . . 30

1. RESUMEN

Con el prop´ osito de alcanzar el objetivo de la presente investigaci´ on, es decir, determinar

formas anal´ıticas para la densidad de energ´ıa y potencial escalar de la quinta esencia, cuando

su ecuaci´ on de estado depende del tiempo, iniciamos el estudio, con la revisi´ on de los modelos

cosmol´ ogicos que permiten obtener la densidad de energ´ıa y el potencial escalar de la quinta

esencia en un caso general, es decir, cuando su ecuaci´ on de estado es constante y cuando

depende del desplazamiento al rojo, z. Seguidamente, proponemos un nuevo modelo anal´ıtico

para determinar la densidad de energ´ıa y el potencial de la quinta esencia dependiente del

tiempo, en la cosmolog´ıa de Friedmann-Robertson-Walker formada por un fluido perfecto

y la quinta esencia. Como resultado de considerar las ecuaciones de campo de Einstein y

del hecho que la ecuaci´ on de estado de la quinta esencia depende del desplazamiento al

rojo z(t), obtenemos formas anal´ıticas para la densidad de energ´ıa y el potencial escalar de

la quinta esencia dependiente del tiempo. Adem´ as, determinamos expresiones particulares

como funci´ on del tiempo.

2. INTRODUCCI ´ ON

En la actualidad el universo se encuentra sometido a una aceleraci´ on. Esta afirmaci´ on es deducida de los datos observacionales de las curvas de luminosidad de las supernovas del tipo Ia, las cuales indican que la expansi´ on del universo est´ a acelerando y que las dos terceras partes de la densidad de energ´ıa total existen en una forma de energ´ıa oscura con presi´ on negativa (Filipenko et. al., 2000). Como es conocido, una presi´ on negativa en las ecuaciones de Friedmann-Robertson-Walker ocasiona un tipo de r´ egimen antigravitacional que puede acelerar la expansi´ on del universo. Adem´ as, las medidas de la radiaci´ on de fondo tambi´ en indican la existencia de la energ´ıa oscura. Un candidato tradicional para esta energ´ıa oscura es la constante cosmol´ ogica (Λ) o densidad de energ´ıa del vac´ıo, la cual es equivalente a un fluido perfecto que satisface la ecuaci´ on de estado p = −ρ. Una alternativa m´ as reciente, para construir un modelo adecuado para la energ´ıa oscura es asociarlo con un campo escalar φ, conocido como la quinta esencia, espacialmente homog´ eneo y que evoluciona lentamente a lo largo de su potencial V (φ), cuya ecuaci´ on de estado es diferente de los Bariones, Neutrinos, materia oscura o Radiaci´ on (Wang et. al., 2000). Para esta materia extra˜ na usualmente se introduce un par´ ametro, la ecuaci´ on de estado c´ osmica w. Tal par´ ametro es definido por la raz´ on entre su presi´ on y densidad de energ´ıa, siendo normalmente llamada como par´ ametro de la quinta esencia. Dependiendo de la forma del potencial V (φ), la ecuaci´ on de estado w puede ser constante, monoticamente creciente, decreciente u oscilatorio. Si w es constante y satisface w ≤ −1, la quinta esencia es llamada de materia X, que tambi´ en incluye modelos con constante cosmol´ ogica como un caso l´ımite. Para estos modelos de materia X, restricciones de la estructura de gran escala y anisotrop´ıa de la radiaci´ on de fondo complementada por los datos de la supernova Ia, exigen que los valores del par´ ametro de densidad Ω

_x

se encuentren en el intervalo 0,6 ≤ Ω

x

≤ 0,7 con w < −0,6 para un universo plano y en el caso de un universo con curvatura espacial arbitraria el l´ımite es w < −0,4 (Brevik, et. al., 2007).

Asimismo, modelos de la quinta esencia teniendo en cuenta que la ecuaci´ on de estado depende

del desplazamiento al rojo (red shift) z han sido considerados en recientes investigaciones

(Linder, 2003). Sin embargo, en la literatura se menciona la posibilidad de estudiar la quinta

esencia cuando su ecuaci´ on de estado dependa del tiempo o que oscile en forma temporal.

Estas nuevas consideraciones para la ecuaci´ on de estado permite conocer su comportamiento durante la evoluci´ on del universo y lo m´ as importante tener un mejor entendimiento de la quinta esencia.

Como mencionamos la energ´ıa oscura se encuentra caracterizada por su ecuaci´ on de estado w, la cual, para un estudio m´ as realista, es en general una funci´ on dependiente del tiempo en los modelos de la quinta esencia. En la literatura, resultados anal´ıticos en la construcci´ on de potenciales escalares y el estudio de la evoluci´ on de la densidad de energ´ıa de la quinta esencia son determinados para el caso de una ecuaci´ on de estado constante (Espich´ an, et. al., 2008); (Hannestad, et. al., 2002) as´ı como dependiente del desplazamiento al rojo (Espich´ an, 2009); (Guo, et. al., 2005); (Sol` a, et. al., 2005). Sin embargo, soluciones para el caso de una ecuaci´ on de estado w(t) no fueron obtenidas.

Por estas razones y con la finalidad de tener un mejor entendimiento sobre el compor- tamiento de la quinta esencia, fijamos nuestra atenci´ on en el estudio te´ orico considerando que la ecuaci´ on de estado depende del tiempo. En principio, el objetivo obvio es la validez de una teor´ıa o modelo (en el caso el modelo padr´ on) dentro de un cuadro general en nuestro caso cuantificado por la ecuaci´ on de estado w(t) de la quinta esencia. Como es conocido, el estudio de potenciales escalares y densidades de energ´ıas de los campos escalares tipo quinta esencia son inspirados normalmente en ejemplos espec´ıficos oriundos de la teor´ıa cu´ antica de campos. No obstante, ser´ıa muy interesante obtener algunas nuevas aproximaciones. Es decir, determinar las dependencias de las referidas cantidades como funci´ on del tiempo. Este problema, del potencial y la densidad de energ´ıa, fueron considerados en la literatura, sin em- bargo, ´ unicamente soluciones para el caso de una ecuaci´ on de estado constante y dependiente del desplazamiento al rojo fueron obtenidas.

Por otro lado, la importancia y justificaci´ on de la presente investigaci´ on se encuentra

en primer lugar sobre el avance del conocimiento cient´ıfico de la densidad de energ´ıa y el

potencial de la quinta esencia, los cuales van a permitir entender como fue su evoluci´ on en el

tiempo, en segundo lugar, en su aplicaci´ on en el estudio de casos particulares considerando

dos restricciones para las relaciones del desplazamiento al rojo con el tiempo. Asimismo, va a

permitir la posibilidad de usar los resultados como herramienta para futuras investigaciones

en cosmolog´ıa te´ orica, como por ejemplo, el estudio de agujeros de gusano en un espacio

tiempo con una ecuaci´ on de estado que depende tanto del espacio como del tiempo (Kuhfittig,

2007); la interacci´ on entre un campo escalar y un fluido ideal no homog´ eneo que explica como

la energ´ıa oscura es responsable de la aceleraci´ on c´ osmica (Chakraborty, 2008) o el estudio

de la expansi´ on del universo considerado como transiciones entre diferentes eras de Sitter, el

cual sugiere un soluci´ on interesante para el problema de la constante cosmol´ ogica (Nojiri1,

et. al., 2007).

3. MARCO TE ´ ORICO

En esta secci´ on del informe final presentamos los modelos cosmol´ ogicos, los cuales se encuentran en la literatura, que permiten obtener la densidad de energ´ıa y el potencial de la quinta esencia cuando su ecuaci´ on de estado es contante y cuando depende del desplaza- miento al rojo z.

3.1. Ecuaciones B´ asicas

Cuando se estudia el universo, se realizan ciertas restricciones, por ejemplo, se asume que es homog´ eneo e isotr´ opico, lo cual implica que su geometr´ıa es descrita por la m´ etrica general de Friedmann-Robertson-Walker, dado por (Kolb et.al., 1990):

ds

²

= dt

²

− R

²

(t)

 dr

²

(1 − kr

²

) + r

²

dθ

²

+ r

²

sin

²

θdφ

²



, (1)

donde, R(t) es el factor de escala del universo y k es el par´ ametro de curvatura, que puede tomar los valores k = ∓1 y k = 0. El caso k = −1 corresponde a una curvatura negativa y en este caso se tiene un universo de geometr´ıa abierta. El caso k = 0 corresponde a una curvatura nula y se tiene un universo de geometr´ıa Plana y k = +1 corresponde a una curvatura positiva y en este caso, se tiene un universo de curvatura cerrada.

Por otro lado, se considera que la fuente de este espacio-tiempo es una combinaci´ on del campo escalar real φ, acoplado d´ ebilmente, y que intercambia energ´ıa con un fluido perfecto que est´ a representando a todos los otros campos. Asimismo, la densidad lagrangiana del campo escalar es (Caldwell, 2000) y (Linde, 1992):

L = 1

2 ∂

^µ

φ∂

_µ

φ − V (φ) + L

_int

, (2)

donde V (φ) es el potencial escalar en el cual se encuentra φ y la interacci´ on es descrita por L

_int

. El tensor de energ´ıa-momento para el campo escalar φ es dado por:

T

_φ^µν

= ∂

^µ

φ∂

^ν

φ − Lg

^µν

, (3)

en el cual, g

^µν

son las componentes de la m´ etrica de FRW, dadas en (1). Las ecuaciones

de movimiento para el campo escalar φ puede ser obtenida por la variaci´ on de la acci´ on

S = R d

⁴

x √

−gL, es decir,

δS = 0, (4)

el cual conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange o equivalentemente tambi´ en se pueden obtener de la conservaci´ on del tensor de energ´ıa-momento,

T

_φ;µ^µν

= 0. (5)

Adicional a estas consideraciones, se asume que el fluido perfecto y la quinta esencia tienen ´ unicamente una interacci´ on gravitacional. El fluido perfecto obedece la ley-γ de la ecuaci´ on de estado

p = (γ − 1)ρ, (6)

donde el par´ ametro γ ∈ [0, 2] y ρ y p son la densidad de energ´ıa y presi´ on del fluido perfecto, respectivamente. Dependiendo de los valores de γ se tendr´ a un escenario del universo, por ejemplo, si γ =

⁴₃

se obtiene que p =

¹₃

ρ (´ epoca de la radiaci´ on), γ = 0 se tiene que p = −ρ (vac´ıo) y γ = 1 se obtiene p = 0 (´ epoca de la materia). Tambi´ en, el tensor de energ´ıa- momento para el fluido perfecto es dado por:

T

^µν

= (ρ + p)u

^µ

u

^ν

− p g

^µν

, (7)

con u

^µ

siendo la 4-velocidad del fluido perfecto.

En este caso, las ecuaciones de campo de Einstein, son 8π

m

²_pl

(ρ + ρ

φ

) = 3 R ˙

²

R

²

+ 3 k

R

²

, (8)

8π

m

²_pl

(p + p

_φ

) = − 2 R ¨

R − R ˙

²

R

²

− k

R

²

, (9)

donde el sobre punto denota

_dt^d

y m

²_pl

= 1/G es la masa de Planck. Las cantidades ρ

_φ

y p

_φ

son la densidad de energ´ıa y presi´ on del campo escalar φ. Asimismo, se define una ecuaci´ on de estado para el campo escalar φ(t), dado por (Caldwell et al., 1998) y (Turner et. al., 1997):

w(t) = p

_φ

ρ

_φ

=

1

2

φ ˙

²

− V (φ)

1

2

φ ˙

²

+ V (φ) , (10)

donde V (φ) es el potencial asociado al campo escalar φ. En particular, si el campo escalar es representado por la materia X, w es constante y sus valores se encuentran en el intervalo [−1, 0].

Por otro lado, desde que la energ´ıa de cada componente es conservada separadamente, las densidades de energ´ıa satisfacen las siguientes ecuaciones

˙

ρ + 3γHρ = 0, (11)

˙

ρ

_φ

+ 3(1 + w)Hρ

_φ

= 0, (12)

con H = ˙ R/R siendo el par´ ametro de Hubble. Integrando dichas ecuaciones, se obtienen

ρ = ρ

0

 R R

₀



−3γ

, (13)

ρ

_φ

= ρ

_φ0

 R R

0



^−3(1+w)

, (14)

donde ρ

₀

, ρ

_φ0

y R

₀

son los valores de estos par´ ametros en el tiempo actual (t = t

₀

). Natu- ralmente, la segunda soluci´ on es v´ alida s´ olo para valores constante de w. Si la expresi´ on ρ

_φ

, dada por (10), es reemplazada en la ley de conservaci´ on de energ´ıa para el campo escalar, se obtiene la ecuaci´ on de movimiento (Matos et. al., 2000)

φ + 3H ˙ ¨ φ + dV (φ)

dφ = 0. (15)

Es immediato observar que si V (φ) es conocida, una aproximaci´ on est´ andar es obteni- da integrando la ecuaci´ on anterior. Equivalentemente una clase de potenciales restringe el par´ ametro w(t) dado por (10).

3.2. Potencial Escalar de la Quinta Esencia

Determinamos aqu´ı la soluci´ on para el potencial escalar de la quinta esencia, considerando

que el universo est´ a formado por un fluido perfecto y un campo escalar cuya ecuaci´ on de

estado es constante (Espich´ an et. al., 2008). Comenzamos combinando las expresiones de p

_φ

y ρ

_φ

, definidas por (10), y obtenemos

V (φ) = (1 − w) 2(1 + w)

φ ˙

²

, (16)

ρ

_φ

= 1

(1 + w)

φ ˙

²

, (17)

el cual muestra que V (φ) y ρ

_φ

pueden ser determinadas si ˙ φ

²

es conocido como una funci´ on de φ.

Ahora reemplazando la derivada de V (φ) respecto de φ en la ecuaci´ on (15), se obtiene la siguiente ecuaci´ on diferencial

φ ¨

φ ˙ + 3(1 + w) 2

R ˙

R = 0, (18)

cuya primera integral es dada por

φ = ˙ q

(1 + w)ρ

_φ0

 R R

₀



−^3(1+w)₂

= q

(1 + w)ρ

_φ0

x

^−3(1+w)2

, (19)

donde la variable x =

_R^R

0

ha sido introducida en la segunda igualdad. Adem´ as, se observa que w = −1 implica ˙ φ = 0. Este caso especial corresponde a la constante cosmol´ ogica.

La expresi´ on anterior indica que la soluci´ on puede ser obtenida s´ olo si el factor de escala es determinado como una funci´ on de φ. Para esto, de las ecuaciones ((8) - (10)) y (14) se encuentra

dt

dx = H

₀⁻¹

p1 − Ω

0

− Ω

_φ0

+ Ω

₀

x

^−(3γ−2)

+ Ω

_φ0

x

^−(1+3w)

, (20) con H

₀

siendo el par´ ametro de Hubble en el tiempo actual (t = t

₀

) y Ω

₀

, Ω

_φ0

son los par´ ametros de densidad del fluido y quinta esencia, relacionados por

Ω

₀

+ Ω

_φ0

− 1 = k

H

₀²

R

²₀

. (21)

De esta manera, reemplazando (20) en (19) obtenemos

dφ = H

₀⁻¹

q

(1 + w)ρ

φ0

x

^−32(1+w)

dx

p1 − Ω

0

− Ω

_φ0

+ Ω

₀

x

^−(3γ−2)

+ Ω

_φ0

x

^−(1+3w)

. (22)

La integraci´ on e inversi´ on de la ecuaci´ on anterior permite obtener R(φ). Sin embargo, no puede ser anal´ıticamente solucionado para valores arbitrarios del par´ ametro de curvatura.

Como se discute a continuaci´ on, una soluci´ on general existe s´ olo para el caso plano. Soluciones para k = ±1 son posibles para valores espec´ıficos del par (γ, ω).

Caso plano

Para k = 0 de (21) tenemos Ω

₀

+ Ω

_φ0

= 1, el cual reduce (22) a

dφ = H

₀⁻¹

q

(1 + w)ρ

_φ0

x

^−32(1+w)

dx

pΩ

₀

x

^−(3γ−2)

+ Ω

_φ0

x

^−(1+3w)

. (23) Introduciendo la coordenada auxiliar θ definido por

Ω

φ0

Ω

₀

x

^{3(γ−w−1)}

= senh

²

θ, (24)

la integral de (23), es dada por

R(φ) = R

₀

 Ω

₀

Ω

φ0



_{3(γ−w−1)}¹

senh

^{3(γ−w−1)2}

3 (γ − w − 1) √ 8 π 2 p3(1 + w)

φ m

pl

!

, (25)

o equivalentemente, φ(R)

m

_pl

= 2 p3(1 + w) 3 (γ − w − 1) √

8 π arcsenh

r Ω

_φ0

Ω

₀

 R R

₀



^{3(γ−w−1)}₂

!

, (26)

donde la constante de integraci´ on ha sido considerada nula.

Ahora, reemplazando (25) en (19) y usando (16), obtenemos el potencial del campo escalar

V (φ) = (1 − w)

2 ρ

_φ0

 Ω

_φ0

Ω

0



_(γ−w−1)^(1+w)

senh

^{−(γ−w−1)2(1+w)}

3 (γ − w − 1) √ 8 π 2 p3(1 + w)

φ m

pl

!

. (27)

Las correspondientes densidades de energ´ıa para el fluido perfecto γ y el campo escalar φ son dadas por

ρ(φ) = ρ

₀

 Ω

_φ0

Ω

₀



_γ−w−1^γ

senh

^{−(γ−w−1)2 γ}

3 (γ − w − 1) √ 8 π 2 p3(1 + w)

φ m

_pl

!

, (28)

ρ

φ

(φ) = ρ

φ0

 Ω

_φ0

Ω

₀



_(γ−w−1)^(1+w)

senh

⁻

2(1+w)

(γ−w−1)

3 (γ − w − 1) √ 8 π 2 p3(1 + w)

φ m

_pl

!

. (29)

Las relaciones (25) - (29) son las soluciones general y unificada que describe un univer- so plano compuesto de un fluido perfecto y una componente materia X caracterizado por el par (γ, ω). De esta manera, todas las soluciones conocidas son casos particulares para una adeucada elecci´ on de los correspondientes par´ ametros. En particular, permite calcular expresiones para ´ epocas diferentes.

3.3. Soluciones Dependientes del Desplazamiento al Rojo

Presentamos aqu´ı un modelo cosmol´ ogico para determinar el potencial y la densidad de energ´ıa de la quinta esencia, considerando que la ecuaci´ on de estado depende del desplaza- miento al rojo z (Espich´ an, 2009).

En este caso, como consideramos que las componentes, el fluido perfecto y la quinta esencia, se encuentran desacoplados entonces las leyes de conservaci´ on de la energ´ıa para el fluido y el campo escalar, son dadas por las siguientes ecuaciones diferenciales

˙

ρ + 3γHρ = 0, (30)

˙

ρ

_φ

+ 3(1 + w(z))Hρ

_φ

= 0. (31)

La ecuaci´ on (31) es reescrita, sustituyendo el par´ ametro de Hubble H =

^R_R^˙

, como

˙

ρ

_φ

+ 3(1 + w(z)) R ˙

R ρ

_φ

= 0. (32)

Asimismo, considerando la relaci´ on entre el factor de escala y el desplazamiento al rojo z, dada por (Zhao, 2007)

R = R

0

1 + z , (33)

se obtiene

dR

R = − 1

1 + z dz. (34)

Adem´ as de (32) se tiene 1

ρ

_φ

dρ

_φ

= −3(1 + w(z)) 1

R dR. (35)

As´ı, sustituyendo (34) en (35), obtenemos 1

ρ

_φ

dρ

_φ

= 3(1 + w(z)) 1

1 + z dz, (36)

cuya integraci´ on es dada por

ρ = ρ

_φ0

exp



3

z

Z

0

(1 + w(z)) 1 + z dz



 . (37)

La obtenci´ on de una soluci´ on para (37) es posible si una forma para w(z) es conocida.

En la literatura, tres formas, como funci´ on de z, son conocidas, a saber (Gu, et. al., 2008);

(Gerke, et. al., 2002); (Watson, et al., 2003):

w(z) = w

0

+ w

1

z, (38)

w(z) = w

₀

+ w

₁

z

1 + z , (39)

w(z) = w

₀

+ w

₁

ln(1 + z), (40)

donde w

₀

∈ [−1, −0,164], w

₁

∈ [−0,417, 0,854] y w ∈ [−1, 1].

A continuaci´ on consideramos el primer caso, dado por (38), y lo reemplazamos en (37), obteni´ endose

ρ = ρ

_φ0

(1 + z)

^3(1+w0−w1)

exp(3w

₁

z). (41)

Esta expresi´ on representa la densidad de energ´ıa de la quinta esencia para una ecuaci´ on de estado dado por w(z) = w

₀

+ w

₁

z.

Para el segundo caso, consideramos la expresi´ on de w(z) dada por (39) cuya sustituci´ on en (37) permite obtener

ρ = ρ

φ0

(1 + z)

^3(1+w0+w1)

exp(−3w

1

z

1 + z ), (42)

el cual representa la densidad de energ´ıa de la quinta esencia para una ecuaci´ on de estado

dada por w(z) = w

₀

+ w

_11+z^z

.

Para el tercer caso, sustituimos la ecuaci´ on de estado w(z) = w

₀

+ w

₁

ln(1 + z) en (37) y obtenemos

ρ = ρ

φ0

(1 + z)

^{3(1+w0)+32w1ln(1+z)}

. (43)

De esta manera, se determina expresiones anal´ıticas, dadas por (41), (42) y (43), las cuales representan las densidades de energ´ı´ıa de la quinta esencia, cuando su ecuaci´ on de estado depende del desplazamiento al rojo z.

A continuaci´ on presentamos los c´ alculos que permiten determinar formas anal´ıticas para el potencial de la quinta esencia, considerando que su ecuaci´ on de estado depende del des- plazamiento al rojo z. Comenzamos con la hip´ otesis que la ecuaci´ on de estado depende del desplazamiento al rojo y es definida como

w(z) = p

_φ

(z) ρ

_φ

(z) =

1

2

φ ˙

²

− V (z)

1

2

φ ˙

²

+ V (z) , (44)

donde ρ

_φ

(z) y p

_φ

(z) son la densidad de energ´ıa y presi´ on del campo escalar φ como funci´ on del desplazamiento al rojo z, respectivamente. A continuaci´ on, combinando las expresiones para ρ

_φ

(z) y p

_φ

(z), dadas por (44), se obtiene

V (z) = (1 − w(z))

2 ρ

_φ

(z). (45)

De esta manera, usando las expresiones (38) y (41); (39) y (42); (40) y (43) en (45), se consiguen tres formas anal´ıticas para el potencial de la quinta esencia, dadas por

V (z) = (1 − w

₀

− w

₁

z)

2 ρ

_φ0

(1 + z)

^3(1+w0−w1)

exp(3w

₁

z), (46)

V (z) = (1 − w

₀

− w

_11+z^z

)

2 ρ

_φ0

(1 + z)

^3(1+w0+w1)

exp(−3w

₁

z

1 + z ), (47)

V (z) = (1 − w

₀

− w

₁

ln(1 + z))

2 ρ

_φ0

(1 + z)

^{3(1+w0)+32w1ln(1+z)}

. (48)

Estas relaciones muestran el comportamiento, como funci´ on del desplazamiento al rojo z,

del potencial de la quinta esencia.

4. MATERIALES Y M´ ETODOS

Materiales o Instrumentos:

Este trabajo no est´ a sujeto a experimento de laboratorio. Se ha desarrollado sobre la base de art´ıculos, textos y experiencias propias en ecuaciones diferenciales, teor´ıa cl´ asica de campos, relatividad general y su aplicaci´ on en cosmolog´ıa.

Adem´ as, se ha usado material de tipo t´ ecnico en el dise˜ no e impresi´ on de los informes trimestrales y final. Toda la informaci´ on ha sido procesada en una computadora personal, usando el programa de texto Latex2e, mediante el cual se han editado todo el formalismo Matem´ atico y la redacci´ on del presente informe.

M´ etodos

Luego de obtener la informaci´ on necesaria para la investigaci´ on, se han usado fundamen-

talmente, los m´ etodos inductivo, deductivo y anal´ıtico. Tambi´ en, las ecuaciones que reflejan

las leyes o principios f´ısicos de la relatividad general y su aplicaci´ on en cosmolog´ıa, as´ı co-

mo tambi´ en las herramientas matem´ aticas avanzadas referidas por el an´ alisis y los criterios

sobre las soluciones de ecuaciones diferenciales; de igual modo los conocimientos de car´ acter

observacional que contienen las referencias bibliogr´ aficas del presente trabajo.

5. RESULTADOS

En est´ a secci´ on del informe final presentamos un modelo cosmol´ ogico para determinar formas anal´ıticas para el potencial y densidad de energ´ıa de la quinta esencia, considerando que su ecuaci´ on de estado dependa del tiempo, y que el universo no s´ olo se encuentra formado por un fluido perfecto sino tambi´ en por un campo escalar φ, en la cosmolog´ıa de Friedmann- Robertson-Walker.

5.1. Soluciones Dependientes de z(t)

Como es conocido en la literatura, la ecuaci´ on de estado de la quinta esencia es definida por el cociente entre su presi´ on y densidad de energ´ıa. Ahora, como el par´ ametro que puede ser obtenido de las mediciones astron´ omicas es el desplazamiento al rojo en cada instante del tiempo, entonces vamos a considerar que la ecuaci´ on de estado dependa de z(t), as´ı tenemos que:

w(z(t)) = p

_φ

(z(t)) ρ

_φ

(z(t)) =

1

2

φ ˙

²

− V (z(t))

1

2

φ ˙

²

+ V (z(t)) , (49)

donde el sobre punto denota

_dt^d

, ρ

_φ

(z(t)) y p

_φ

(z(t)) son la densidad de energ´ıa y presi´ on del campo escalar φ.

El modelo cosmol´ ogico que presentamos considera que las componentes del fluido perfecto y la quinta esencia, se encuentran desacoplados entonces las leyes de conservaci´ on de la energ´ıa para el fluido y el campo escalar, son dadas por las siguientes ecuaciones diferenciales

˙

ρ + 3γHρ = 0, (50)

˙

ρ

_φ

+ 3(1 + w(z(t)))Hρ

_φ

= 0, (51)

donde, a diferencia del caso anterior, la ecuaci´ on de estado de la quinta esencia ahora depende de z(t).

A continuaci´ on vamos a reescribir la ecuaci´ on (51), sustituyendo el par´ ametro de Hubble H por

^R_R^˙

, como

˙

ρ

_φ

+ 3(1 + w(z(t))) R ˙

R ρ

_φ

= 0. (52)

Asimismo, considerando la relaci´ on que existe entre el factor de escala y el desplazamiento al rojo z, dada por

R(t) = R

0

1 + z(t) , (53)

donde R

₀

es el valor del factor de escala en el tiempo actual (t = t

₀

), se obtiene R ˙

R = − ˙z

1 + z(t) . (54)

De esta manera, (52) se escribe como

˙

ρ

_φ

− 3(1 + w(z(t))) ˙z

(1 + z(t)) ρ

_φ

= 0, (55)

o

1 ρ

_φ

dρ

_φ

dt − 3(1 + w(z(t))) ˙z

(1 + z(t)) = 0, (56)

cuya integraci´ on es dada por

ρ

_φ

(t) = ρ

_φ0

exp



3

t

Z

t0

(1 + w(z(t))) ˙z (1 + z(t)) dt



 , (57)

donde ρ

_φ0

es el valor de la densidad energ´ıa de la quinta esencia en el tiempo actual (t = t

₀

).

Obviamente la obtenci´ on de una soluci´ on para (57) es posible si una forma para la ecuaci´ on de estado de la quinta esencia como funci´ on del desplazamiento al rojo dependiente del tiempo, es decir w(z(t)), es conocida. Adem´ as, ya lo mencionamos anteriormente, como el desplazamiento al rojo es determinado en cualquier instante del tiempo y si consideramos las tres formas, como funci´ on de z(t), conocidas en la literatura para la ecuaci´ on de estado, dadas por:

w(z(t)) = w

₀

+ w

₁

z(t), (58)

w(z(t)) = w

0

+ w

1

z(t)

1 + z(t) , (59)

w(z(t)) = w

₀

+ w

₁

ln(1 + z(t)), (60)

donde w

₀

∈ [−1, −0,164], w

₁

∈ [−0,417, 0,854] y w ∈ [−1, 1], se pueden obtener formas anal´ıticas para (57).

De esta manera, vamos a considerar el primer caso, dado por (58), y reemplazarlo en (57), del cual obtenemos

ρ

_φ

(t) = ρ

_φ0

exp



3

t

Z

t0

(1 + w

₀

+ w

₁

z(t)) ˙z (1 + z(t)) dt



 , (61)

cuya integraci´ on es:

ρ

_φ

(t) = ρ

_φ0





 1 + z(t) 1 + z(t

₀

)



3(1+w0)

exp



3w

₁

t

Z

t0

˙z(t)z(t) (1 + z(t)) dt







 . (62)

Esta expresi´ on representa la densidad de energ´ıa de la quinta esencia para una ecuaci´ on de estado dado por w(z(t)) = w

₀

+ w

₁

z(t).

Para el segundo caso, consideramos la expresi´ on de w(z(t)) dada por (59) y cuya susti- tuci´ on en (57) permite obtener

ρ

φ

(t) = ρ

φ0

exp



3

t

Z

t0



1 + w

0

+ w

1

z(t) (1 + z(t))

 ˙z (1 + z(t)) dt



 , (63)

y de aqu´ı

ρ

_φ

(t) = ρ

_φ0





 1 + z(t) 1 + z(t

₀

)



3(1+w0)

exp



3w

₁

t

Z

t0

˙z(t)z(t) (1 + z(t))

²

dt







 , (64)

ρ

_φ

(t) = ρ

_φ0





 1 + z(t) 1 + z(t

₀

)



3(1+w0)

exp



3w

₁

t

Z

t0

 1 2

d

dt ln(1 + z(t))

²

− ˙z(t) (1 + z(t))

²

 dt







 , (65)

ρ

φ

(t) = ρ

φ0

"

 1 + z(t) 1 + z(t

₀

)



3(1+w0)

(1 + z(t))

²

(1 + z(t

₀

))

²





3w1 2

exp



−3w

₁

t

Z

t0

˙z(t) (1 + z(t))

²

dt







 , (66) el cual representa la densidad de energ´ıa de la quinta esencia para una ecuaci´ on de estado dada por w(z(t)) = w

₀

+ w

_11+z(t)^z(t)

.

Para el tercer caso, sustituimos la ecuaci´ on de estado w(z(t)) = w

0

+ w

1

ln(1 + z(t)) en (57) y obtenemos

ρ

_φ

(t) = ρ

_φ0

exp



3

t

Z

t0

(1 + w

₀

+ w

₁

ln(1 + z(t))) ˙z (1 + z(t)) dt



 , (67)

ρ

_φ

(t) = ρ

_φ0





 1 + z(t) 1 + z(t

₀

)



3(1+w0)

exp



3w

₁

t

Z

t0

ln(1 + z(t)) ˙z(t) (1 + z(t)) dt







 , (68)

ρ

_φ

(t) = ρ

_φ0





 1 + z(t) 1 + z(t

0

)



3(1+w0)

exp



3w

₁

t

Z

t0

1 2

d

dt ln

²

(1 + z(t))dt







 , (69)

ρ

_φ

(t) = ρ

_φ0

"

 1 + z(t) 1 + z(t

₀

)



3(1+w0)

exp  3w

₁

2 ln

²

(1 + z(t)) − ln

²

(1 + z(t

₀

)) 

 #

. (70)

De esta manera, determinamos expresiones anal´ıticas, dadas por (62), (66) y (70), las cuales representan las densidades de energ´ıa de la quinta esencia, cuando su ecuaci´ on de estado dependa del desplazamiento al rojo z(t) a trav´ es de las relaciones dadas por (58), (59) y (60), respectivamente. Observe que estas expresiones permiten el conocimiento de la densidad de energ´ıa de la quinta esencia, en cualquier ´ epoca del universo, con la medici´ on del desplazamiento al rojo.

A continuaci´ on presentamos los c´ alculos que permiten determinar las formas anal´ıticas para el potencial de la quinta esencia, considerando que su ecuaci´ on de estado depende del desplazamiento al rojo z(t). Comenzamos con la hip´ otesis que la ecuaci´ on de estado de la quinta esencia dependa de z(t) a trav´ es de la relaci´ on (49). De este modo, combinando las expresiones para ρ

_φ

(z(t)) y p

_φ

(z(t)), dadas por (49), del cual tambi´ en se observa que

p

_φ

(z(t)) = w(z(t))ρ

_φ

(z(t)) (71)

se obtiene

V (z(t)) = (1 − w(z(t)))

2 ρ

_φ

(z(t)). (72)

De esta manera, usando las expresiones en pares, dadas por, (58) y (62); (59) y (66); (60) y (70) en (72), se obtienen tres formas anal´ıticas para el potencial de la quinta esencia, es decir

V (z(t)) = (1 − w

₀

− w

₁

z(t))

2 ρ

_φ0





 1 + z(t) 1 + z(t

₀

)



3(1+w0)

exp



3w

₁

t

Z

t0

˙z(t)z(t) (1 + z(t)) dt







 , (73)

V (z(t)) = (1 − w

₀

− w

_11+z(t)^z(t)

)

2 ρ

_φ0

"

 1 + z(t) 1 + z(t

₀

)



3(1+w0)

 (1 + z(t))

²

(1 + z(0))

²



^3w1₂

×

×exp



−3w

₁

t

Z

t0

˙z(t) (1 + z(t))

²

dt







 , (74)

V (z(t)) = (1 − w

₀

− w

₁

ln(1 + z(t)))

2 ρ

_φ0

"

 1 + z(t) 1 + z(t

0

)



3(1+w0)

×

× exp  3w

₁

2 ln

²

(1 + z(t)) − ln

²

(1 + z(t

₀

)) 



. (75)

Estas relaciones muestran el comportamiento, como funci´ on del desplazamiento al rojo z(t), del potencial de la quinta esencia. En forma an´ aloga del caso de la densidad de energ´ıa, estas expresiones permiten el conocimiento del potencial de la quinta esencia, en cualquier ´ epoca del universo, con la medici´ on del desplazamiento al rojo.

Debemos mencionar que las expresiones anal´ıticas obtenidas, sobre la hip´ otesis que la ecuaci´ on de estado dependa de z(t), para la densidad de energ´ıa y potencial de la quinta esencia son diferentes de los casos conocidos en la literatura (dadas por (41), (42), (43), (46), (47) y (48)). M´ as a´ un, las formas obtenidas en el presente trabajo de investigaci´ on, como fun- ci´ on de z(t), permite conocer los comportamientos tanto de la densidad de energ´ıa, as´ı como del potencial de la quinta esencia en cualquier ´ epoca en la evoluci´ on del universo. Represen- tando, de esta manera, un avance muy importante en el conocimiento y entendimiento del universo.

5.2. Soluciones Particulares

En lo que sigue de la investigaci´ on, vamos a estudiar el comportamiento de las densidades de energ´ıa y potencial de la quinta esencia, considerando dos formas particulares para el desplazamiento al rojo dependiente del tiempo, es decir z(t). Para esto, recordamos que el mismo es definido, en t´ ermino del factor de escala, por:

R(t) = R

₀

1 + z(t) , (76)

donde R

₀

es el valor del factor de escala en el tiempo actual (t = t

₀

).

Es inmediato concluir de esta expresi´ on que en el tiempo actual, (t = t

₀

), el valor del dezplazamiento al rojo es z(t = t

₀

) = 0. De esta manera, postulamos dos formas para el desplazamiento al rojo, dependiente del tiempo, a saber:

z(t) = r

1 − t

t

₀

, (77)

cuando se considera valores peque˜ nos del desplazamiento al rojo, es decir, z(t) < 1, y por

z(t) = r t

₀

t − 1, (78)

en el caso que z(t) ≥ 1. Observe que los dos casos satisfacen el requerimiento que en el tiempo actual, (t = t

0

), el desplazamiento al rojo es nulo.

Caso z(t) < 1

En este caso de (77), obtenemos la siguiente relaci´ on:

˙z(t) = − 1 2t

₀

1 q 1 −

_t^t

0

, (79)

de tal forma que

t

Z

t0

˙z(t)z(t)

(1 + z(t)) dt = − 1 2t

₀

t

Z

t0

1 (1 + q

1 −

_t^t

0

)

dt. (80)

Ahora haciendo el siguiente cambio de variable, a saber:

1 − t

t

₀

= x

²

, (81)

se tiene

− 1 2t

₀

t

Z

t0

1 (1 + q

1 −

_t^t

0

) dt =

Z x

1 + x dx = x − ln(1 + x), (82) as´ı, regresando a la variable original, obtenemos que:

t

Z

t0

˙z(t)z(t) (1 + z(t)) dt =

r 1 − t

t

₀

− ln

 1 +

r 1 − t

t

₀



. (83)

De esta manera, (62) es escrita como:

ρ

_φ

(t) = ρ

_φ0

 1 +

r 1 − t

t

₀



^3(1+w0−w1)

exp

 3w

₁

r 1 − t

t

₀



. (84)

De la misma manera, para el caso (66), usando (77), procedemos en forma similar y obtenemos

t

Z

t0

˙z(t)

(1 + z(t))

²

dt = − 1 2t

₀

t

Z

t0

1 q 1 −

_t^t

0

1 (1 + q

1 −

_t^t

0

)

²

dt. (85)

Luego, usando el cambio de variable (81) y la correspondiente integraci´ on, se encuentra que (66) es dada por:

ρ

_φ

(t) = ρ

_φ0

 1 +

r 1 − t

t

₀



^3(1+w0+w1)

exp





−3w

₁

q 1 −

_t^t

0

1 + q 1 −

_t^t

0



 . (86)

Para el caso de (70), sustituimos la relaci´ on (77) y obtenemos:

ρ

φ

(t) = ρ

φ0

 1 +

r 1 − t

t

₀



^3(1+w0)

exp



ln

 1 +

r 1 − t

t

₀



^3w12

ln

 1 +

r 1 − t

t

₀





 . (87)

Las expresiones (84), (86) y (87), permiten obtener los correspondientes potenciales, los cuales son dados por:

V (t) =



1 − w

₀

− w

₁

q 1 −

_t^t

0



2 ρ

_φ0

 1 +

r 1 − t

t

₀



^3(1+w0−w₁)

exp

 3w

₁

r 1 − t

t

₀



, (88)

V (t) =



1 − w

₀

− w

₁

q 1−^t

t0

1+q 1−^t

t0



2 ρ

_φ0

 1 +

r 1 − t

t

₀



^3(1+w0+w1)

exp





−3w

1

q 1 −

_t^t

0

1 + q 1 −

_t^t

0



 , (89)

V (t) =

(1 − w

₀

− w

₁

ln(1 + q 1 −

_t^t

0

))

2 ρ

_φ0

 1 +

r 1 − t

t

₀



^3(1+w0)

×

×exp



ln

 1 +

r 1 − t

t

0



^3w12

ln

 1 +

r 1 − t

t

0





 . (90)

Caso z(t) ≥ 1

En este caso de (78), obtenemos la siguiente relaci´ on:

˙z(t) = − t

₀

2

1 t

²

1 q

t0

t

− 1

, (91)

de modo que

t

Z

t0

˙z(t)z(t)

(1 + z(t)) dt = − t

₀

2

t

Z

t0

1 t

²

1 (1 + q

t0

t

− 1)

dt, (92)

cuya integraci´ on es posible, si hacemos t

₀

t − 1 = x

²

, (93)

obteni´ endose

t

Z

t0

˙z(t)z(t) (1 + z(t)) dt =

r t

₀

t − 1 − ln 1 + r t

₀

t − 1

!

. (94)

De esta manera, se tiene que (62) es

ρ

_φ

(t) = ρ

_φ0

1 + r t

₀

t − 1

!

3(1+w0−w₁)

exp 3w

₁

r t

₀

t − 1

!

. (95)

Repitiendo los mismos procedimientos del caso anterior, obtenemos las expresiones para las otras dos densidades de energ´ıa, las cuales son dadas por:

ρ

_φ

(t) = ρ

_φ0

1 + r t

₀

t − 1

!

3(1+w0+w1)

exp





−3w

₁

q

t0

t

− 1 1 +

q

t0

t

− 1



 . (96)

ρ

_φ

(t) = ρ

_φ0

1 + r t

₀

t − 1

!

3(1+w0)

exp



ln 1 + r t

₀

t − 1

!

^3w1₂

ln 1 + r t

₀

t − 1

! 

 . (97) En este caso los correspondientes potenciales se expresan de la siguiente manera:

V (t) =



1 − w

0

− w

1

q

t0

t

− 1 

2 ρ

_φ0

1 +

r t

₀

t − 1

!

3(1+w0−w1)

exp 3w

₁

r t

₀

t − 1

!

, (98)

V (t) =



1 − w

₀

− w

₁

√

t0 t−1 1+

√

t0 t−1



2 ρ

_φ0

1 +

r t

₀

t − 1

!

3(1+w0+w1)

exp





−3w

₁

q

t0

t

− 1 1 +

q

t0

t

− 1



 , (99)

V (t) =

(1 − w

₀

− w

₁

ln(1 + q

t0

t

− 1))

2 ρ

_φ0

1 +

r t

₀

t − 1

!

3(1+w0)

×

×exp



ln 1 + r t

0

t − 1

!

^3w1₂

ln 1 + r t

0

t − 1

! 

 . (100)

Determinamos expresiones anal´ıticas, considerando dos formas particulares para el des-

plazamiento al rojo, dadas por (77) y (78), las cuales permiten el conocimiento de la densidad

de energ´ıa y el potencial de la quinta esencia, en cualquier ´ epoca del universo.

6. DISCUSI ´ ON

Podemos indicar que el presente modelo cosmol´ ogico, discutido en este trabajo de inves- tigaci´ on, es para un universo formado por un fluido perfecto γ y la quinta esencia, la cual es descrita por un campo escalar φ y una ecuaci´ on de estado que depende del tiempo por su relaci´ on con el desplazamiento al rojo z(t). Procedimientos anal´ıticos, permiten obtener expresiones generales para la densidad de energ´ıa de la quinta esencia, ρ

_φ

(z(t)), potencial de la quinta esencia, V (z(t)), con lo cual es posible estudiar los comportamientos de las cantidades anteriormente mencionadas en cualquier ´ epoca de la evoluci´ on del universo. El comportamiento f´ısico es una consecuencia matem´ atica de las ecuaciones de campo de Eins- tein y las condiciones impuestas para la quinta esencia, como por ejemplo, su ecuaci´ on de estado w(z(t)).

Las formas anal´ıticas obtenidas para la densidad de energ´ıa y el potencial de la quinta esencia, dependientes del tiempo, representan expresiones generales. Comparando nuestros resultados con los trabajos obtenidos en la literatura, por ejemplo, para el caso de una ecuaci´ on de estado constante (Espich´ an, et. al., 2008) o dependiente del desplazamiento al rojo z (Espich´ an, 2009), observamos que el segundo caso es particular de nuestras soluciones.

Adem´ as, determinamos expresiones anal´ıticas particulares, que permiten estudiar los comportamientos de la densidad de energ´ıa y el potencial de la quinta esencia para dos formas o relaciones que existen entre el desplazamiento al rojo y el tiempo, dadas por (77) y (78). Observe que para t = t

₀

, las relaciones (84), (86) y (87) coinciden y son constantes, independiente de la forma de la ecuaci´ on de estado. De la misma manera, para t = t

₀

, las relaciones (88), (89) y (90) son similares, es decir, en el tiempo actual, para los tres casos de la ecuaci´ on de estado de la quinta esencia, los potenciales tienen el mismo comportamiento.

Nuestro modelo cosmol´ ogico discutido en este trabajo de investigaci´ on es permitido para

un universo formado por s´ olo dos componentes. Para describir un universo m´ as realista

se debe considerar un modelo con m´ as de un tipo de materia, tal como una combinaci´ on

de radiaci´ on y materia no relativista, y ciertos tipos de materias, tales como un campo escalar (quinta esencia), adem´ as de una ecuaci´ on de estado dependiente del tiempo, como fue considerado en el presente trabajo.

Debemos mencionar que en los diferentes art´ıculos de la informaci´ on bibliogr´ afica los

trabajos son realizados considerando que la ecuaci´ on de estado w para el campo escalar φ es

independiente del tiempo o depende del desplazamiento al rojo z, sin embargo, mencionan

la posibilidad de estudiar el caso dependiente del tiempo, el cual permitir´ıa conocer su

comportamiento durante la evoluci´ on del universo. Al respecto, los resultados obtenidos

en el presente trabajo, es un avance importante para el estudio del comportamiento de la

quinta esencia en su evoluci´ on en el tiempo. L´ ogicamente, estos resultados son ´ utiles para

una investigaci´ on futura como continuaci´ on de la presente.

7. REFERENCIALES Referencias

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