CAPÍTULO II FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Fundamentos Teóricos

CAPÍTULO II

Fundamentos Teóricos

2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

2.1. PREDICCIÓN DEL COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE

COMPUESTOS CARGADOS

El estudio de la variación de las propiedades mecánicas con el contenido en volumen de carga Vp es de particular interés, para poder disponer de una herramienta de predicción del

comportamiento mecánico del material compuesto y así poder formularle con mayor eficiencia en función de las propiedades requeridas. Existen varios modelos teóricos y semiempíricos que describen el comportamiento mecánico en función de la fracción de carga mineral.

2.1.1. Módulo de elasticidad

La rigidez es una de las propiedades básicas de los materiales compuestos; recordamos que el incremento de rigidez es a menudo la finalidad de la incorporación de la carga mineral. Por ello, el módulo elástico, E, no solamente es el parámetro más a menudo medido pero también es el parámetro para el cual existen más modelos.

Los modelos que existen para describir el comportamiento elástico de sistemas poliméricos heterogéneos se pueden separar de tres maneras:

1. Los modelos límites son soluciones matemáticas exactas que no consideran la estructura del material

2. Los modelos analíticos se basan en la teoría de la elasticidad. Aunque muchos esfuerzos hayan sido dedicados al desarrollo de tales modelos, el comportamiento descrito es generalmente diferente de la realidad.

3. Los modelos semi-empíricos son derivados de los modelos analíticos en los cuales se han introducido unos parámetros ajustables.

2.1.1.1. La ley de las mezclas:

Uno de los primeros modelos propuestos para la predicción de las propiedades elásticas es él basado en la ley de las mezclas [Timoshenko, 1949]. Este modelo sin embargo no consiste en una única ecuación donde el módulo está relacionado con el contenido de carga sino en dos ecuaciones describiendo los comportamientos limites del material en función del contenido de carga. Para ello, se consideran dos casos extremos, a saber, un caso donde las dos fases están sometidas a la misma deformación (caso de isodeformación) y un caso donde las dos fases están sometidas a la misma tensión (caso de isotensión), tal como se enseña en la Figura 2.1.

Mediante estas consideraciones, se obtienen las siguientes ecuaciones para el módulo de Young del material compuesto:

Fundamentos Teóricos

Límite inferior (isotensión):

p p m p c E V E V E 1 1 ) 1 ( 1 _{= − +} (2.2)

Donde los índices c, m y p se refieren al material compuesto, a la matriz y a la carga mineral, respectivamente. Vp es la fracción en volumen de carga mineral.

Figura 2.1. Modelos simples para la predicción del módulo elástico mediante la ley de las

mezclas. a) caso de isodeformación y b) caso de isotensión. M y P se refieren a la matriz y a la carga mineral, respectivamente.

La evolución del módulo de Young con la concentración de partículas rígidas está generalmente incluida entre los comportamientos descritos por las ecuaciones (2.1) y (2.2). Sin embargo, a medida que la diferencia entre los valores de módulo de las dos fases se va haciendo mayor, la distancia entre las dos líneas de comportamiento limite aumenta, por lo que la información obtenida con la ley de las mezclas se vuelve más imprecisa.

2.1.1.2. El modelo de Kerner:

El trabajo de Kerner [1956] ha dado a luz uno de los modelos más utilizados para describir el comportamiento elástico de materiales plásticos cargas con partículas. Este

la matriz es notable hasta una cierta distancia a partir de la cual la matriz presenta unas propiedades homogéneas. Las propiedades de la región de interfaz que se halla entre la partícula y esta distancia crítica son intermedias entre las de la matriz y las de la partícula.

Kerner propuso las siguientes expresiones para los módulos de elasticidad de cizalla (G’) y de compresibilidad (Q): ) 1 ( 15 ) 1 ( ) 10 8 ( ) 5 7 ( ) 1 ( 15 ) 1 ( ) 10 8 ( ) 5 7 ( m p p m m m m p m p p m m m p p m c V G G G V V G G G V G G ν ν ν ν ν ν − − + ′ − + ′ − ′ − − + ′ − + ′ − ′ ′ = ′ (2.3) p m p m m p p m p p m m m p c Q G V Q G V Q G Q V Q G Q V Q 3 4 3 4 ) 1 ( 3 4 3 4 ) 1 ( + ′ + + ′ − + ′ + + ′ − = (2.4)

donde ν es el coeficiente de Poisson.

Cuando se puede asumir que la carga mineral es mucho más rígida que la matriz se obtiene:         − − − + ′ = ′ ) 10 8 )( 1 ( ) 1 ( 15 1 m p m p m c V V G G ν ν (2.5)

En la expresión (2.5) el módulo de cizalla del material compuesto depende únicamente del módulo y del coeficiente de Poisson de la matriz y de la fracción volumétrica de carga mineral.

2.1.1.3. La ecuación de Kerner-Nielsen:

Fundamentos Teóricos p KN p KN KN m c V B V B A E E − + = 1 1 (2.6)

donde AKN y BKN vienen determinados a partir de las propiedades elásticas de los

componentes del material mediante las expresiones:

m m KN A ν ν 10 8 5 7 − − = (2.7) KN m p m p KN A E E E E B + − = 1 (2.8) 2.1.1.4. La ecuación de Lewis-Nielsen:

Lewis y Nieslen [1970] introdujeron un termino Ψ en la ecuación de Kerner-Nielsen para tener en cuenta el empaquetamiento de las partículas. La ecuación de Lewis-Nieslen tiene la siguiente expresión: p KN p KN KN m c V B V B A E E Ψ − + = 1 1 (2.9)

donde Ψ es un factor que depende de la fracción volumétrica y de la fracción de máximo empaquetamiento de las partículas, V_fmax:

(

)

El valor de Vpmax se ve afectado por el tamaño de partículas, por la distribución de

tamaños, y por la relación de tamaños de la carga mineral.

La influencia de partículas anisotrópicas se puede comparar, en un cierto grado, a la influencia de fibra corta y varios modelos desarrollados para describir la evolución del módulo elástico con el contenido de fibra corta han sido aplicados a materiales con partículas laminares [Jancar, 1989-a y 1989-b; Velasco, 1996-b].

Tsai [1968] relacionó el valor del módulo elástico de un material reforzado con fibra corta distribuida aleatoriamente con los valores de módulo de Young obtenidos para el mismo sistema pero con orientación unidireccional y medidos en la dirección longitudinal, E//, y

transversal, E_⊥, respecto a la orientación de las fibras:

⊥ + = E E E_c 8 5 8 3 // (2.11)

donde el valor de E// se obtiene usando la formula de Halpin [1969]:

p H p H m V B BV A E E − + = 1 1 // (2.12)

donde AH=2D/ep con D el diámetro medio de partículas y ep el espesor. El factor BH es

función de la fracción entre los módulos elásticos de las diferentes fases y se determina de manera similar al factor BKN de la ecuación de Kerner-Nielsen mediante la expresión

(2.8).

El valor de E_⊥ se obtiene considerando que, en la dirección perpendicular a las fibras, la influencia de la carga es equivalente a la de partículas esféricas. Se utiliza por lo tanto el módulo de Kerner-Nielsen.

2.1.1.6. El Modelo de Paul:

Este modelo fue derivado para inclusiones cúbicas [Paul, 1960]:

Fundamentos Teóricos

2.1.2. Resistencia a la tracción

La predicción del valor de tensión a la cedencia, σy, es algo más complicada que la del

módulo elástico debido al nivel de deformación alcanzado por el material cuando ocurre la cedencia.

2.1.2.1. La ley de las mezclas – Modelo de adhesión nula:

La primera aproximación para predecir el valor de σy considera que si no existe ningún

tipo de adhesión en la interfaz partícula/matriz, el valor de la tensión de cedencia puede ser obtenido considerando únicamente la reducción de la sección efectiva de la matriz [Mascia, 1974], con lo cual, la ley de las mezclas toma la expresión:

ym p yc V σ

σ =(1− ) (2.14)

Trantina [1984] observó que la resistencia de un film de PP en el cual se han practicado agujeros puede ser correctamente descrita por la ecuación (2.14), independientemente de la concentración de tensiones inducidas.

2.1.2.2. El modelo semiempírico de Nicolais y Narkis

Considerando unas partículas esféricas y asumiendo que la cedencia ocurre en el plano ecuatorial de las partículas, Nicolais y Narkis [1971] derivaron la siguiente expresión a partir de la reducción de sección efectiva:

) 21 . 1 1 ( _p23 ym yc =σ − V σ (2.15)

2.1.2.3. La ecuación de Nielsen:

En el caso de una adhesión perfecta entre las partículas y la matriz, Nieslen [1966] propuso la siguiente ecuación para calcular el valor de la tensión de cedencia:

ct p ym yc (1 V )S 3 2 − =σ σ (2.16)

donde Sct es una función de la concentración de tensiones que toma un valor de 1 cuando

no existe tal concentración.

2.1.2.4. El modelo de Pukanszky y Voros:

En un trabajo reciente, Pukanszky y Voros [1996] propusieron varios modelos para calcular la resistencia a la cedencia de un material compuesto de partículas rígidas esféricas.

Asumiendo que el esfuerzo aplicado a la matriz y a la carga mineral es relativo a las fracciones volumétricas correspondientes, se obtiene la expresión:

p te p ym yc V k V − − = 1 1 σ σ (2.17)

donde kte es una constante característica de la transferencia de esfuerzo entre partícula y

matriz (la tensión aplicada a la fase mineral es igual a kteσcVp).

Sin embargo, para tener en cuenta el tamaño de las partículas, el nivel de interacción en la interfaz y la interacción entre los campos tensionales alrededor de las partículas, los autores propusieron la siguiente expresión:

3 2 3 2 ) 1 ( _{PV p PV D p} ym yc σ A V A σ V σ = − + (2.18)

donde σD es la tensión de despegue que está relacionada con la tensión residual térmica,

Fundamentos Teóricos

(

)

APV es un factor que depende del arreglo de las partículas; en el caso de empaquetamiento

compacto al azar, APV=1.21.

Los autores reportaron una buena consistencia de este modelo con los resultados obtenidos con cuatro tipos de carga diferentes.

2.1.2.5. Sistemas con fibra corta:

Considerando un sistema cargado con fibra corta orientada de longitud inferior al valor crítico, el análisis conduce a [Hull, 1987]:

p p p p ym yc V r l V τ σ σ = (1− )+ (2.20)

donde lp y rp son la longitud y el radio de las fibras, respectivamente, y τ es el esfuerzo

2.2. LA MECÁNICA DE LA FRACTURA

El principal objetivo de la Mecánica de la Fractura es la determinación de parámetros característicos de la resistencia a la fractura de un material que sean independientes de la geometría e idealmente de las condiciones del ensayo.

El proceso de fractura tiene generalmente su origen en las concentraciones de tensión que existen en la vecindad de defectos en la pieza (entallas, grietas,...). Por ello, es importante poder definir el estado tensional en estas zonas. El análisis del estado tensional puede ser fácilmente realizado en el caso de un material con un comportamiento elástico lineal, es decir, que sigue la ley de Hooke. En este caso, la determinación de los parámetros de fractura se lleva a cabo mediante la Mecánica de la Fractura Elástico-Lineal (LEFM). Por otra parte, en el caso de materiales donde la deformación plástica es pronunciada, lo que es frecuente en materiales poliméricos, se tiene que aplicar la Mecánica de la Fractura Elastoplástica (EPFM).

2.2.1. La Mecánica de la Fractura Elástico-Lineal

La Mecánica de la Fractura Elástico-Lineal es un cuerpo teórico que ha sido desarrollado para los materiales con un comportamiento elástico, es decir, que sigue la ley de Hooke. En realidad, las concentraciones de tensión que existen cerca de los defectos de una pieza pueden implicar que en estas zonas el valor de la tensión llegue a ser mayor que la tensión de cedencia del material, por lo que puede aparecer una cierta deformación plástica. Sin embargo, si la influencia de esta zona es lo suficientemente limitada para que el comportamiento global del material siga elástico-lineal, se puede todavía aplicar la Mecánica de la Fractura Elástico-Lineal.

La base de la Mecánica de la Fractura Elástico-Lineal reside en la determinación de parámetros de fractura como son la energía de fractura, o tasa crítica de liberación de energía elástica, GC, y la tenacidad a la fractura, o factor crítico de intensidad de

tensiones, KC. El valor obtenido tiene que ser independiente de la geometría e idealmente

Fundamentos Teóricos

2.2.1.1. El criterio energético:

El trabajo original de Griffith [1920] es la base de la determinación de la energía de fractura. En ello, se considera una grieta elíptica de longitud 2a sometida a una tensión uniforme en un material de dimensiones infinitas (Figura 2.2). En el caso de un incremento de longitud de grieta de da, se pueden relacionar, mediante un balance energético, el trabajo realizado por la fuerza externa, Wext, la energía elástica almacenada

en el material, Uel, y el trabajo necesario para crear una nueva superficie de longitud da.

El criterio de fractura se puede entonces escribir:

a A U W a ext el ∂ ∂ ≥ − ∂ ∂ _γ 2 ) ( (2.21)

donde ∂A es el incremento de área superficial asociado con el incremento de longitud de

grieta (∂A=B∂a para una placa de espesor B) y γ es la energía libre superficial.

Figura 2.2. a) Solicitación de un cuerpo conteniendo una grieta y b) registros

Sin embargo, el término 2γ únicamente tiene en cuenta la energía necesaria para la rotura de enlaces secundarios de tipo van der Waals, y no considera la rotura de enlaces covalentes más fuertes, la cual es generalmente necesaria para la propagación de las grietas en materiales poliméricos. Otro fenómeno que no está incluido en 2γ es la energía absorbida por el material mediante deformación plástica, la cual representa generalmente la principal fuente de absorción de energía en el material.

Por estas razones, se ha introducido el parámetro GC, el cual engloba todas las perdidas de

energía alrededor de la punta de la grieta. Por tanto, GC es la energía requerida para

incrementar la grieta de una unidad de longitud en una probeta de espesor unitaria y se denomina energía de fractura o tasa crítica de liberación de energía.

El criterio de fractura se escribe entonces:

C el ext U G W a B ∂ − ≥ ∂ ) ( 1 (2.22)

En el caso de un comportamiento elástico lineal, la energía elástica almacenada en la probeta se puede calcular a partir del área debajo de la curva fuerza-desplazamiento y el trabajo de la fuerza exterior es equivalente al área rayado. Se obtiene entonces la expresión: ) ( 2 1 ) (W_ext −U_el = P∂d−d∂P ∂ (2.23)

por lo que el valor crítico de la tasa de liberación de energía se expresa de la siguiente manera:       ∂ ∂ − ∂ ∂ = a P d a d P B G_C 2 1 (2.24)

Introduciendo la expresión de la flexibilidad, C, o compliance:

P d

Fundamentos Teóricos se obtiene la expresión: a C B P G_C C ∂ ∂ = 2 2 (2.26)

donde PC es el valor crítico de la fuerza aplicada para el cual ocurre la propagación de

grieta.

Cuando se puede establecer la relación entre C y a, el valor de la energía de fractura puede ser determinado.

2.2.1.2. El criterio tensional:

El análisis del estado tensional alrededor de la punta de la grieta está basado en el trabajo de Irwin [1964], el cual propone unas soluciones para el estado tensional en la punta de una grieta de longitud 2a elíptica, sometida a una tensión uniforme σ0 (Figura 2.3):

) ( ) 2 ( 12 ij ij θ π σ f r K = (2.27)

donde σij son los componentes del tensor de tensiones en un punto, r y θ son las

coordenadas polares de este punto, tomando la punta de la grieta como origen, y fij(θ) son

funciones conocidas de θ. K es el factor de intensidades de tensiones que relaciona la intensidad de tensión cerca de la grieta con la carga aplicada y la geometría de la pieza.

Figura 2.3. Esquematización de una grieta en un cuerpo de dimensiones infinitas.

Figura 2.4. Los tres modos simples de deformación de una grieta.

En el modo I, el criterio tensional de fractura considera que como el parámetro KI define

Fundamentos Teóricos

cuando [Irwin, 1964]:

IC

I K

K ≥ (2.28)

donde KIC es la tenacidad a la fractura y es una propiedad del material.

Además, en el modo I, el factor de intensidad de tensiones se puede expresar de la siguiente forma: 2 1 0a Y KI = σ (2.29)

donde σ0 es la carga aplicada e Y es una función del tamaño de la grieta y de la geometría

de la estructura. En el caso de la placa de dimensiones infinitas de la Figura 2.3, el valor de Y es π1/2. El valor crítico del factor de intensidad de tensiones se obtiene a partir de la expresión (2.29), considerando el valor de la tensión aplicada al inicio de la propagación de grieta, σc.

2.2.1.3. El tamaño de la zona plástica:

La expresión (2.27) es una solución elástica según la cual la tensión es infinita en la punta de la grieta (r=0). En realidad, esto no puede ocurrir debido a la deformación plástica que aparece delante la punta de la grieta, donde σ>σy. El tamaño de la zona plástica, rp*,

puede ser calculado como la distancia, desde la punta de la grieta, hasta la cual la tensión supera la tensión de cedencia. La Figura 2.5a muestra la evolución de la tensión en el plano θ=0. A partir de la ecuación (2.27), substituyendo σ por σy:

2 2 2 * y I p K r πσ = (2.30)

El tamaño de la zona plástica es un factor importante en la Mecánica de la Fractura. En efecto, el uso del factor de intensidad de tensiones para caracterizar el estado tensional alrededor de una grieta es valido únicamente si la zona plástica es totalmente caracterizada por KI. Para ello, el tamaño de la zona plástica debe ser pequeño delante de

las dimensiones del material.

En realidad, el tamaño de la zona plástica es mayor que el predicho por la expresión (2.31). Irwin [1958 y 1960] afirmó que la presencia de deformación plástica hace que la grieta se comporta como si fuera más larga que su longitud física. Asimismo, la longitud de grieta efectiva, aeff, es igual a la longitud física de la grieta, a, más una corrección,

δ, cuyo valor es igual al tamaño de la zona plástica de la primera aproximación, rp*,

conocida como la corrección de Irwin para la zona plástica. Si se asume que la zona plástica tiene una forma circular, está puede representarse como en la Figura 2.5b, donde la grieta efectiva se extiende hasta el centro de la zona plástica.

Figura 2.5. Tamaño de la zona plástica delante de la punta de la grieta. a) Primera

aproximación; b) Corrección de Irwin.

La corrección de la zona plástica es muy útil para calcular la apertura de la grieta, COD (Crack Opening Displacement), la cual viene esquematizada en la Figura 2.6. En efecto, si se considera que la apertura de la grieta viene dada por:

Fundamentos Teóricos 2 2 0 4 x a E COD= σ − (2.32)

donde x=a en la punta de la grieta, se obtiene que la apertura de la punta de la grieta (CTOD) es igual a cero si no se considera la plasticidad. Sin embargo, si se considera la corrección de la zona plástica de Irwin, se obtiene:

2 2 0 * 4 x r a E COD= σ  + _p  − (2.33)

por lo que se obtiene el valor de la apertura de la punta de la grieta en x=a:

y I p E K ar E CTOD σ π σ 2 0 * 4 2 4 = = (2.34)

El valor de la apertura de la punta de la grieta en el momento del inicio de la propagación de grieta aparece ser una propiedad del material, a ser función de parámetros característicos del material, como son E, KIC y σy.

Figura 2.6. Apertura de la grieta.

La zona plástica en condiciones de deformación plana es significativamente más pequeña que la zona plástica en condiciones de tensión plana. Esto se debe al hecho de que la tensión efectiva de cedencia en deformación plana es mayor que la tensión de cedencia uniaxial. En realidad, en condiciones de deformación plana, la tensión máxima en la zona plástica puede llegar a ser tres veces mayor que la tensión de cedencia uniaxial. Se define

COD _x

y eff pcf m σ σ = (2.35)

La Figura 2.7 muestra la evolución de la tensión en el plano θ=0 para condiciones de tensión plana y de deformación plana.

Si la tensión efectiva de cedencia en deformación plana es tres veces mayor que la resistencia a la tracción, la expresión (2.30) se modifica de la siguiente manera:

2 2 18 * y I p K r πσ = (2.36)

Figura 2.7. Distribución de tensiones delante de la punta de la grieta.

a) Tensión plana y b) Deformación plana.

Sin embargo, en un caso práctico, el material cerca de la superficie de una probeta no está en condiciones de deformación plana. Como consecuencia, el valor promedio del factor de restricción plástica es mucho menor que 3. Irwin [1960] propone un factor de

3

=

pcf

Fundamentos Teóricos

En condiciones de tensión plana, el factor de restricción plástica tiene un valor de 1, por lo que el valor de la corrección de Irwin en tensión plana, r_p″, viene dado por:

2 2 2 1 y I p K r σ π = ″ _(2.38)

El tamaño de la zona plástica se ve reducido por unas condiciones de deformación plana, respecto a la zona plástica que desarrolla el mismo material en tensión plana.

2.2.1.4. Relación entre los criterios

En el caso de la LEFM, existe una relación directa entre G y K. Para un material homogéneo, en condiciones de deformación plana, esta relación viene dada por:

2 2 2 2 2 2 1 1 1 IIIC IIC IC C K E K E K E G     − +     − +     − = ν ν ν (2.39)

lo que también puede expresarse:

IIIC IIC

IC

C G G G

G = + + (2.40)

Se obtiene por lo tanto, en modo I:

E K

GIC IC

2

= para tensión plana (2.41)

E K G IC IC 2 2 ) 1 ( −ν

= para deformación plana (2.42)

Asimismo, en la LEFM, un valor crítico de la tasa de liberación de energía, GIC, que

corresponde al estado energético en el momento del inicio de la propagación, es equivalente al valor crítico de factor de intensidad de tensiones, KIC, el cual caracteriza el

2.2.1.5. Influencia del espesor

El espesor de la probeta tiene una influencia importante sobre el estado tensional en la punta de la grieta. Asimismo, para asegurar que la mayor parte de la punta de la grieta está en condiciones de deformación plana, se requiere un espesor suficientemente grande. La evolución del factor crítico de intensidad de tensiones con el espesor está representada esquemáticamente en la Figura 2.8. Se puede observar, en un primer tiempo, que el valor de KIC es mayor para condiciones de tensión plana que para condiciones de deformación

plana, por lo que este último valor es el valor que se tiene que considerar para cuestiones de diseño.

Figura 2.8. Evolución del factor crítico de intensidad de tensiones con el espesor de la muestra.

Se puede observar, además, que para espesores mayores a un cierto valor, Bmin, el valor de

la tenacidad a la fractura no depende más del espesor, al ser despreciable la influencia de la parte de la punta de la grieta que no está en condiciones de deformación plana.

De modo general, el espesor requerido para asegurar un predominio de las condiciones de deformación plana es [Kinloch, 1983]:

Fundamentos Teóricos

′ ≥ rp

B 47 (2.44)

Cabe destacar que esta restricción únicamente permite asegurar unas condiciones de deformación plana y que la aplicación de la LEFM está limitada por el cumplimiento de requisitos adicionales.

2.2.2. La Mecánica de la Fractura Elastoplástica

2.2.2.1. El concepto de la integral J

El proceso de fractura de materiales dúctiles, como son los compuestos de polipropileno, conlleva generalmente una deformación plástica que no es despreciable, sobretodo a temperatura ambiente y a baja velocidad de deformación. En este caso, la Mecánica de la Fractura Elástico-Lineal no es aplicable por lo que se ha desarrollado un cuerpo teórico llamado Mecánica de la Fractura Elastoplástica (EPFM), el cual está basado principalmente en el concepto de la integral J.

La integral J es la forma bidimensional de una de las integrales de contorno definidas por Eshelby [1974]:

∫

donde Γ es un contorno cerrado en un sólido sometido a un esfuerzo (en la Figura 2.9, Γ es equivalente al contorno cerrado ABCDEF), Τ es el vector de tensión perpendicular a Γ,

u es el desplazamiento en la dirección x, ds es un elemento de Γ y Ws es la energía de

deformación por unidad de volumen.

Esta integral ha sido aplicada al estudio de grietas en cuerpos sólidos por Cherapanow [1967] y Rice [1968] (Figura 2.9). Se ha mostrado que en este caso, el valor de la integral

integral J definida al lo largo de un contorno alrededor de la punta de la grieta es equivalente a la variación de energía asociada con la extensión de la grieta da:

cste d a U B J = ∂ ∂ − = 1 (2.46)

donde U es la energía medida como el área debajo de la curva fuerza-desplazamiento (Figura 2.10), a es la longitud de grieta, B es el espesor de la probeta y d el desplazamiento.

Figura 2.9. Contorno alrededor de la punta de

una grieta.

Figura 2.10. Comportamiento elastoplástico.

Representación esquemática de la integral J.

Procedimientos Experimentales

En su trabajo para generalizar una técnica de probeta única, Rice et al. [1973] separaron la integral J en una componente elástica y una componente plástica:

pl el J

J

J = + (2.47)

donde Jel es la componente elástica, con Jel=G, la tasa de liberación de energía de Griffith.

Sumpter y Turner [1976] modificaron esta forma para dar:

) ( ) ( BW a U a W B U J _el el _pl pl − + − =η η (2.48)

donde Uel y Upl son, respectivamente, las partes elásticas y plásticas de el área debajo de

la curva fuerza-desplazamiento (Figura 2.11) y ηel y ηpl son funciones de la relación entre

longitud de grieta y anchura, a/W. Los autores utilizaron las relaciones de la LEFM para determinar ηel mientras ηpl fue calculado mediante métodos numéricos.

Figura 2.11. Comportamiento elastoplástico. Representación de la energía debajo la curve

P-d y separación en una componente elástico y una componente plástica.

Para la región elástica, la Mecánica de la Fractura Elástico-Lineal asume la linealidad de

d P

d W a C P ) / ( 1 = (2.49)

donde C es la flexibilidad que es función únicamente de la longitud de grieta.

En este caso, se ha mostrado que:

a C C B el d d = η (2.50)

La expresión del factor de trabajo plástico se obtiene mediante el análisis de la carga limite, PL, que resulta, para una probeta con geometría SENB, en la expresión siguiente

[Hashemi, 1986-a y 1991]:

(

)

Turner et al. [Turner, 1980 y Latzko, 1984] llevaron a cabo unos estudios analíticos y numéricos para evaluar η, ηel y ηpl para diferentes geometrías. Sus resultados sugieren

utilizar un factor η global (η=ηpl=ηel) cuando el comportamiento no es ni elástico ni

totalmente plástico.

En el caso de una probeta con geometría SENB con una longitud de grieta igual a la mitad de la anchura de la probeta (a/W=0.5) y con un empalme de S=4W, se obtiene

η=ηel=ηpl=2 [ASTM, 1981 y 1987] y la ecuación (2.48) se simplifica:

) ( 2 a W B U J J J _{el pl} T − = + = (2.52)

donde UT es la energía total debajo de la curva fuerza-desplazamiento.

2.2.2.2. La curva de resistencia J-R

Procedimientos Experimentales

grieta. Aunque no es rigurosamente valido, este concepto permite definir la cantidad de energía necesaria al avance de la grieta. En la Figura 2.12, se representa una curva típica de resistencia J-R.

La primera parte de la curva, con una pendiente elevada, corresponde a la primera etapa del proceso de deformación donde el crecimiento de la longitud de grieta es únicamente debido al enromamiento de la punta de la grieta. En el punto de inicio de la propagación

de grieta, la pendiente de la curva se ve reducida de forma brusca, lo que refleja el hecho de que la resistencia al crecimiento de la grieta es más fácil una vez iniciada la propagación.

Figura 2.12. Curva típica de resistencia a la fractura (Cura J-R) y inicio de la propagación

de la grieta según el criterio propuesto por ASTM.

Considerando que el incremento de grieta debido al enromamiento de la grieta es igual a la mitad de la apertura de la punta de la grieta, se obtiene la expresión de la línea de enromamiento:

a

J =2σy∆ (2.54)

Se tiene que considerar que, en la punta de la grieta, la tensión efectiva de cedencia puede ser mayor que la tensión uniaxial, por lo que se tiene que utilizar, de acuerdo con el apartado 2.1.1.3:

a m

J =2 _pcfσ_y∆ (2.55)

En un gráfico representando la curva J-R, la línea de enromamiento es entonces la línea de pendiente 2mpcfσy pasando por el origen del gráfico.

2.2.2.3. Criterio de propagación estable

Los materiales desarrollando una deformación plástica considerable generalmente presentan también un crecimiento de grieta lento y estable antes de la fractura completa, incluso cuando el estado tensional de la punta de la grieta es esencialmente de deformación plana. Asimismo, el inicio de la propagación de la grieta ocurrirá en el valor crítico JIC. Por otra parte, la posterior propagación de la grieta requiere un valor mayor de J.

El criterio para asegurar la propagación estable puede ser expresado como:

R

J

J ≥ (2.56)

donde JR es el valor de la integral J que describe la curva J-R a medida que se propaga la

grieta.

El criterio de fractura inestable es:

Procedimientos Experimentales

Paris et al. [1979] propusieron una forma adimensional para la segunda condición de la expresión (2.54): a J E a J E R y y d d d d 2 2 σ σ ≥ (2.58)

lo que puede expresarse también de la siguiente manera:

Mmat

M T

T ≥ (2.59)

donde TM es el módulo de desgarro y TMmat es la resistencia a la propagación de la grieta,

la cual es una propiedad del material.

2.2.2.4. El principio de la separación de la carga

El principio de la separación de la carga considera que la carga puede ser separada en dos funciones independientes y multiplicativas, lo cual se puede expresar, según el trabajo de Ernst et al. [1979 y 1981]: ) / ( H ) / ( G a W W P= ⋅ ν_pl (2.60)

donde G y H son las funciones de geometría y de deformación que dependen, respectivamente, de la longitud de grieta, a, para una geometría dada, y del desplazamiento plástico, νpl. W es la anchura de la probeta.

donde θc es la rotación adicional debida a la presencia de la grieta, M es el momento de

flexión y b es el ligamento de la probeta (b=W-a).

Esta expresión puede ser modificada de la siguiente forma separable:

) ( 2 c F b M = ⋅ θ (2.62)

Merkle y Corten [1974] introdujeron un método para determinar J para probetas compactas a partir de un único ensayo usando el análisis del limite plástico y desarrollaron una forma que asume una pequeña componente de tracción en la carga predominantemente de flexión de la probeta compacta. En este caso, la carga viene dada por la siguiente forma separable:

) ( ) 2 ( 2 p y a g b B P _⋅ θ            σ = (2.63)

Sin embargo, la separación de la carga ha sido analíticamente demostrada únicamente para materiales de Ramberg-Osgood. El comportamiento de dichos materiales sigue la expresión siguiente: n 0 0 0     + = σ σ α σ σ ε ε (2.64)

donde σ₀ es la tensión de cedencia y ε0 es la deformación correspondiente (σ0=Eε0). α es

una constante del material y n es el exponente de endurecimiento por deformación.

Para materiales de este tipo, el libro EPRI de soluciones elastoplásticas [Kumar, 1981] sugiere una forma separable para representar la carga en ambas soluciones elásticas y plásticas. Para soluciones elásticas, el desplazamiento elástico, νel, viene dado por:

eff eff el E P a f ⋅ = ( ) ν (2.65)

Procedimientos Experimentales el eff eff a f E P= ⋅ν ) ( 1 (2.66)

donde Eeff es el módulo elástico efectivo, aeff es la longitud de grieta efectiva de Irwin

modificada para el endurecimiento por deformación y f(ae) es una función de la longitud

de grieta únicamente.

Para soluciones plásticas, se obtiene:

n 0 0 pl P P n W a ah           =αε , ν (2.67) con P₀ =mµσ₀ (2.68)

La expresión (2.67) puede ser expresada de la siguiente manera:

n pl n n 0 0 n W a ah m P 1 1 1 ( ) , ) ( ν µ αε σ             ⋅ = (2.69)

donde νpl es el desplazamiento plástico

m es una constante que depende de la configuración y de la restricción

µ es una función de la longitud de grieta y de la configuración,

h(a/W,n) es una función de la longitud de grieta y del exponente de

endurecimiento por deformación.

La expresión (2.69) puede entonces ser expresada por una forma separable:

comprobada experimentalmente para algunos materiales metálicos [Sharobeam, 1991 y 1993-a] y plásticos [Cassanelli, 1997; Bernal, 1996-a, 1996-b y 1999; Landes, 1993; Garcia-Brosa 1999] y recientemente por Morhain y Velasco [Morhain, 2001], mediante la aplicación del criterio de separación de la carga propuesto por Sharobeam y Landes [Sharobeam, 1991].

2.2.2.5. El criterio de separación de la carga

La aplicación del criterio de separación de la carga introduce el parámetro de separación,

Sij, y definido como la relación entre las cargas aplicadas para dos ensayos distintos con

diferentes longitudes de grietas a un mismo nivel de desplazamiento plástico:

pl plj j pli i ij a P a P S ν ν ν ) , ( ) , ( = (2.71)

donde los índices i y j se refieren a las dos probetas ensayadas.

Si la carga puede ser expresada por una forma separable, se obtiene, a partir de las expresiones (2.60) y (2.71), que: ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( W a G W a G W H W a G W H W a G S j i pl plj j pli i ij _⋅ = ⋅ = ν ν ν (2.72)

La ecuación (2.72) implica que el valor de Sij es constante para valores fijos de ai y aj y no

depende del desplazamiento plástico. En otras palabras, para grietas estacionarias, cuando el valor de Sij es constante a lo largo de todo el intervalo de desplazamiento plástico,

entonces la carga puede ser representada por una forma separable.

Procedimientos Experimentales

estacionarias. Además observaron un corto rango de no separabilidad de la carga a bajos valores de desplazamiento plástico (νpl<νplmin), el cual se asoció a la transición entre los

comportamientos elásticos y plásticos. Los autores también propusieron un método para determinar la función de geometría, G(a/W), a partir de los valores de Sij obtenidos con

varias probetas. En estudios anteriores [Landes, 1979; Clarke, 1979], el valor de ηpl era

determinado experimentalmente comparando las dos formas de Jpl, a saber, la forma de

interpretación de la tasa de energía y la forma de la área modificada:

pl pl a U ν ∂ ∂ − = b A_pl pl η (2.73)

Se obtiene entonces la expresión del factor geométrico:

              ∂ ∂ − = b A a U _pl pl pl pl ν η (2.74)

Usando la forma separable (2.60), se puede obtener una forma analítica alternativa:

W b W a G W a G pl ⋅ ′ − = ) / ( ) / ( η (2.75)

Considerando que b=W-a, se obtiene:

(

) (

)

La ecuación (2.76) muestra la relación entre la función de geometría, G(b/W), y el factor

ηpl. La función G(b/W) puede ser determinada a partir de los datos experimentales

obtenidos para Sij para diferentes registros:

Basados en observaciones experimentales de las curvas Sij frente a bi/W, los autores

sugirieron que la ecuación (2.77) podía ser reescrita a través de una forma potencial:

m i ij W b S       ⋅ =A₂ (2.78)

donde m es el exponente del ajuste potencial y A2 es una constante que viene dada por:

m j W b −     = 2 A (2.79)

Las ecuaciones (2.77) y (2.78) implican que la función de geometría es equivalente a una ley potencial: m i i W b W b G( / )=A₃( / ) (2.80)

Se obtiene entonces la expresión del factor ηpl, utilizando la expresión (2.75): m W b W b m W b m i m i i pl = ⋅ = − ) / ( ) / ( 1 η (2.81)

El valor del factor ηpl puede, por lo tanto, ser obtenido a partir del ajuste de los datos

experimentales de Sij frente a bi/W por una ley potencial.

Los autores discutieron los valores de ηpl obtenidos para varios materiales metálicos y

varias geometrías de ensayo. Aparece que el valor del factor ηpl obtenido por este nuevo

método no presenta la dependencia de la deformación plástica que había sido observada utilizando el método clásico [Turner, 1980; Latzko, 1984].

Además, los valores obtenidos de ηpl fueron ligeramente diferentes de los valores

teóricos. Se observó que el valor de ηpl depende del exponente de endurecimiento por

Procedimientos Experimentales

analíticas del EPRI handbook [Landes, 1987-a].

2.2.2.6. Método de normalización de la carga

Este método ha sido desarrollado por Landes y Herrera [1988] y está basado en la asunción de que las propiedades de deformación siguen una curva reproducible donde la carga, el desplazamiento y la longitud de grieta están relacionados sin ambigüedad. Cuando la carga es separable, la determinación de la relación entre estas tres variables puede realizarse mediante la determinación de la forma funcional de las funciones de geometría y de deformación. En efecto, en la ecuación (2.60), el valor de a puede ser determinado en cada momento del ensayo si se conocen los valores de P y νpl y las

funciones G y H.

La extensión de la validez de la separación de la carga a grietas no estacionarias ha sido demostrada por Sharobeam y Landes [1993], con la limitación de que la propagación de grieta no debe ocurrir antes de que el patrón de deformación plástica haya totalmente desarrollado, es decir, antes del final de la región de no-separación (νpl<νplmin).

La determinación de la función de geometría puede ser llevada a cabo experimentalmente, tal y como se ha descrito en el apartado anterior. Asimismo, la expresión de G(a/W) ha sido reescrita con un formato más conveniente, utilizando el trabajo de Ernst et al. [1981], para varias configuraciones geométricas. Por ejemplo, para probetas entalladas y sometidas a un esfuerzo de flexión, se obtiene la forma:

(

)

[

]

a

G( / )= 2 / (2.82)

donde b es la longitud de ligamento, B es la anchura de la probeta, y g(b/W) es una función definida por la geometría:

(

)

[

]

W b

El método de normalización de la carga consiste entonces en determinar la expresión de la función de deformación, H(νpl/W). Para ello, se define la carga normalizada:

) / ( ) / (a W H W G P P_N = = ν_pl , (2.85)

la cual es equivalente a la función de deformación. Para determinar la relación entre la carga normalizada y el desplazamiento plástico, se asume una cierta forma funcional con unas constantes desconocidas y se determinan los valores de las constantes mediante el uso de unos puntos de calibración donde los valores de la carga, del desplazamiento y de la longitud de grieta son conocidos simultáneamente.

El método de normalización de la carga ha sido aplicado con éxito para determinar las curvas de resistencias J-R de muchos materiales de varias naturalezas: metales [Landes, 1988 y 1991], plásticos amorfos [Zhou, 1994; Bernal 1995, 1996-a y 1999; Che, 1997] y plásticos semi-cristalinos [Bernal, 1996-a y 1999; Garcia Brosa, 1999]. Sin embargo, el método ha sufrido muchas modificaciones desde su desarrollo y todavía existen muchas divergencias en la manera de aplicarle, sobretodo, en la expresión de la forma funcional y en la determinación de los puntos de calibración.

2.2.2.7. Procedimiento original del método de normalización

El trabajo original de Landes y Herrera [1988] considera que las variaciones de la carga normalizada con el desplazamiento plástico pueden ser, en el caso de un material metálico, correctamente ajustada por una ley potencial:

m pl N W P ′     =β ν (2.86)

donde β y m’ son unas constantes.

Procedimientos Experimentales

ser relacionadas a través de la expresión (2.64) y la expresión separable de la carga (2.67) puede ser reescrita de la siguiente manera:

n N pl P W β ( ) ν ′ = (2.87)

donde β’ es una constante y n es el exponente de endurecimiento por deformación. Se puede relacionar así una constante de la forma funcional de la carga normalizada con el comportamiento de deformación del material:

n

m′=1/ (2.88)

La determinación de las constantes de la forma funcional se realiza mediante la definición de puntos de calibración. Estos puntos son los para los cuales los valores de la carga, del desplazamiento y de la profundidad de grieta son conocidos simultáneamente. Al ser los valores de P y d conocidos en cada momento del ensayo, los puntos de calibración son en realidad los puntos donde el valor de a es conocido.

El primer punto de calibración es el punto final del ensayo, con Pf y df los valores de la

carga y del desplazamiento al final del ensayo y af el valor de profundidad de grieta

medido directamente sobre la superficie de fractura de la probeta, después de completar la fractura en condiciones frágiles.

El segundo punto de calibración se halla al principio del ensayo de fractura, es decir antes de que la propagación de grieta ocurra (νpl<νplmax). Por otra parte, para poder calcular el

valor de la carga normalizada, se requiere que la carga sea separable (νpl>νplmin), por lo

que el segundo punto de calibración debe pertenecer a una región llamada región de enromamiento separable, limitada por νplmin y νplmax y donde se considera que las

variaciones en la profundidad de grieta solamente son atribuible al enromamiento de la punta de la grieta, el cual está considerado despreciable por los autores.

i) El primer método consiste en una determinación gráfica de los limites de la región de enromamiento, la cual ha sido sugerida por Sharobeam y Landes [1993] y revisada por Cassanelli y Bernal [1997]. La base de este método reside en el análisis de las variaciones del parámetro de separación, Spb, frente al desplazamiento plástico. Este

parámetro tiene una definición similar a la del parámetro Sij:

pl plb b plp p pb a P a P S ν ν ν ) ; ( ) ; ( = (2.89)

donde los índices p y b corresponden a una probeta con una entalla aguda (precracked) y una probeta con entalla roma (blunt-notched), respectivamente.

De manera similar al parámetro Sij, el parámetro Spb puede ser expresado, cuando la

carga es separable, de la siguiente manera:

) / ( ) / ( W a G W a G S b p pb = (2.90)

En la Figura 2.13 se representan, de manera esquematizada, las variaciones del parámetro, Spb, frente al desplazamiento plástico normalizado, νpl/W. En una primera

etapa, el valor del parámetro de separación no es constante debido a la existencia de la zona de no-separación a bajos valores de νpl/W (νpl<νplmin).

El valor de Spb mantiene entonces un valor constante hasta el inicio de la propagación

de grieta, el cual se caracteriza por una caída en el valor de Spb. Esta caída se debe al

hecho de que una de las dos probetas implicadas en el cálculo de Spb no cumple más el

requisito de grieta estacionaria. La propagación de grieta resulta en una reducción de la longitud de grieta, la cual provoca una reducción del numerador de la expresión (2.90), si se considera la expresión de la función G dada en (2.82).

Sharobeam y Landes [1993] utilizaron además este procedimiento para determinar el valor crítico de la integral J correspondiente al inicio de la propagación de la grieta. Una vez identificado el momento del inicio de la propagación, en νpl=νplmax, el valor de

Procedimientos Experimentales ) ( 2 0 Spb Spb a W B U J − = (2.91)

donde USpb es la energía calculada como el área debajo de la curva P-d hasta el inicio

de la propagación de la grieta.

Figura 2.13. Determinación gráfica de los límites de la región de enromamiento separable

(νplmin; νplmax) usando el parámetro de separación Spb.

El segundo método para la determinación de los límites de la región de enromamiento separable está también basado en una determinación gráfica. En este caso, se asume que la evolución de la carga normalizada frente al desplazamiento plástico normalizado sigue una ley potencial. Por lo tanto, mediante una representación en escala logarítmica de PN frente a νpl/W, se puede determinar la región de

enromamiento separable como la región cuyos puntos son alineados con el punto final del ensayo, PN(Pf,df,af), tal como se enseña en la Figura 2.14.

Aunque varios autores reportaron buenos resultados usando este método [Landes, 1988; Bernal, 1995, 1996-a y 1999], éste presenta el inconveniente de que tanto el valor de PN como el de νpl dependen de la longitud de grieta, por lo que el eventual

Figura 2.14. Determinación gráfica del rango de enromamiento separable considerando

una relación potencial entre PN y νpl/W.

Una vez determinada la región de enromamiento separable, se dispone de una gran cantidad de puntos susceptibles de ser el segundo punto de calibración. Sin embargo, la curva de calibración tiene que coincidir con la curva experimental a lo largo de todo el intervalo de enromamiento separable. Por ello, el segundo punto de calibración no consiste en un solo punto sino que suelen utilizarse seis puntos repartidos a lo largo del intervalo tal como se muestra en la Figura 2.15.

El ajuste potencial de las variaciones de la carga normalizada se realiza entonces utilizando seis puntos de la región inicial y el punto final. Por otra parte, se ha reportado [Morhain, 2000] que es necesario dar la misma importancia a la parte final de la curva que la parte inicial. Con este fin, se considera, durante el ajuste potencial, que el punto final tiene un peso seis veces mayor que cada uno de los seis puntos de la zona inicial.

Procedimientos Experimentales

Una vez determinada la expresión de la función de deformación, se pueden relacionar la carga, el desplazamiento y la profundidad de grieta en cada momento del ensayo. En efecto, el desplazamiento puede descomponerse en una parte elástica y una parte plástica:

pl el

d =ν +ν (2.92)

Figura 2.15. Esquematización de la determinación de la función de deformación mediante

el ajuste potencial de los valores experimentales de PN frente a νpl/W.

El desplazamiento elástico puede ser expresado en función de la carga y de la flexibilidad,

C, la cual es función de la profundidad de grieta:

P W a C el = ( / )⋅ ν (2.93)

A su vez, el desplazamiento plástico se relaciona con la carga y la profundidad de grieta en cada momento mediante la función inversa de la función de deformación:

m W a BW P W P W a C d _ ′       − + ⋅       = 1 2 ) / 1 ( β (2.95)

para una probeta con geometría SENB. A partir del registro del ensayo de fractura se conocen los valores de P y d en cada momento. Se puede entonces determinar el valor de

a en cada momento mediante la expresión (2.95) usando una rutina numérica.

2.2.2.8. Modificación del procedimiento original

Influencia del enromamiento de la punta de la grieta:

Aunque el trabajo original de Landes y Herrera [1988] consideraba que la influencia del enromamiento de la punta de la grieta sobre la aplicación del método de normalización era despreciable y que la profundidad de grieta mantenía un valor constante, a=a0, hasta

el inicio de la propagación, se ha introducido rápidamente [Landes, 1991] un incremento de la profundidad de grieta, ∆ab, equivalente al enromamiento para cuantificar este

fenómeno durante la región de enromamiento separable:

) ( ) ( _{N 0 b} N a P a a P = +∆ , hasta νpl=νplmax (2.96)

donde el incremento de grieta equivalente al enromamiento viene dado por la ecuación general de la línea de enromamiento, reescribiendo la expresión (2.55):

y pcf 0 b m J a σ 2 = ∆ (2.97)

donde J0 es el valor de la integral J calculado a partir de la ecuación (2.52) con a=a0, σy es

la tensión de cedencia en tracción. mpcf es el factor de restricción plástica en la punta de la

grieta, el cual depende únicamente del estado tensional en la punta de la grieta [Kinloch, 1983]. Sin embargo, otros autores reportan valores de mpcf dependientes del material

[Han, 1999].

Procedimientos Experimentales

normalizada y del desplazamiento plástico.

La función LMN:

Se observó experimentalmente que la ley potencial describe adecuadamente el comportamiento de deformación de varios materiales metálicos [Landes, 1988; Sharobeam, 1993] y se extendió con éxito su aplicación a los materiales plásticos [Bernal, 1995, 1996-a y 1999].

Sin embargo, se reportó que el uso de otras formas funcionales resulta en unas curvas de resistencia a la fractura más consistentes. En un primer tiempo, se observó que la variación de la carga normalizada con el desplazamiento plástico seguía una tendencia lineal a elevados valores de νpl, por lo que se sugirió que la forma funcional sea una

combinación de una ley potencial para νpl bajos y una línea recta para νpl altos [Herrera,

1990].

Posteriormente, Landes et al. [1991] propusieron utilizar la función llamada LMN introducida por Orange [1990]:

        +     + = W W W P pl pl pl N ν ν ν N M L (2.98)

donde L, M y N son las constantes de calibración. Esta forma funcional presenta la ventaja de describir una ley potencial a bajos valores de νpl y una línea recta a altos

valores de νpl. Además, mediante el uso de esta función se evita la transición abrupta entre

los dos tipos de comportamiento como se obtenía con la combinación de una ley potencial y una línea recta.

resultados que la función LMN.

Existen varios métodos para determinar las constantes L, M y N. Landes et al. [Landes, 1991] propusieron un método iterativo donde se utilizan tres puntos de calibración (PN,νpl/W) para determinar las tres constantes. Tal y como se muestra en la Figura 2.16,

los dos primeros de estos puntos son los puntos de calibración utilizados para la ley potencial, a saber, el punto final del ensayo (punto A) y un punto múltiple perteneciendo al rango de enromamiento separable (puntos B1, B2,...). Al no existir un tercer punto para

el cual los valores de P, d y a son conocidos simultáneamente, los autores introducen un punto intermedio C de abscisa fijada arbitrariamente (νpl(B)<νpl(C)<νpl(A)) y de ordenada

por determinar.

Los autores propusieron que si la evolución de la carga normalizada puede efectivamente ser descrita por una función LMN, entonces, el punto de calibración C es el punto para el cual las constantes L, M y N son las mismas para cada uno de los puntos Bi utilizado.

Figura 2.16. Representación esquemática del procedimiento de determinación de los

puntos de calibración de la función LMN.

El primer paso del procedimiento consiste en fijar un valor para la ordenada del punto C; el valor inicial suele ser igual al valor máximo del punto B (PN(C1)=PN(Bmax). Se

determinan entonces los valores de las constantes L, M y N para los puntos A y C1 y para

Procedimientos Experimentales

cada constante. La determinación del tercer punto de calibración C consiste entonces en determinar la ordenada PN(Ci) para la cual las desviaciones estándares de L, M y N son

mínimas. Los valores promedios de las constantes obtenidos para este punto son utilizados para la función LMN.

Por otra parte, se ha propuesto un procedimiento alternativo [Landes, 1993] para determinar L, M y N. El valor de L viene relacionado con la carga limite:

) / (a W G P L 0 L = (2.99)

donde PL es la carga limite para la geometría del ensayo. G(a0/W) es el valor de la función

de geometría calculado con el valor inicial de profundidad de grieta. Para una probeta con geometría SENB, la solución para la carga limite propuesta por el libro EPRI Handbook [Kumar, 1981] puede ser utilizada:

2 ) ( 364 . 0 _{y 0} L W a P = σ − (2.100)

donde σy es la tensión de cedencia a la tracción.

Una vez L ha sido determinado, se puede obtener M considerando que para valores altos de desplazamiento plástico la función LMN sigue una tendencia lineal con ecuación:

(

)

M L

P_N = + ν_pl (2.101)

Por lo tanto, M es igual a la pendiente de una línea recta conectando el punto de coordenadas (0 ; L) y el punto final del ensayo (νplf/W ; PNf), tal y como se muestra en la

Figura 2.17.

Figura 2.17. Determinación de los valores de las constantes L, M y N mediante el uso de la

carga limite.

De manera similar al procedimiento usando la ley potencial, cuando las funciones G y H son conocidas, se puede determinar a en cada momento a partir de la expresión de la función de deformación:

(

_{)( )}

la cual puede ser reescrita en función de P, d y a únicamente :

      − ⋅       − ⋅ +       − ⋅ + = − W P W a C d W P W a C d N W P W a C d M L W a BW P ( / ) ) / ( ) / ( ) / 1 ( 2 (2.103)